Комбинаторные задачи как средство развития логического мышления

детей младшего школьного возраста

Формирование логического мышления – важная часть в психологическом развитии

детей младшего школьного возраста. Большие развивающие возможности таит в себе

процесс обучения учащихся решению комбинаторных задач.

Что такое комбинаторная задача?

Комбинаторика

–

раздел

математики,

посвященный

решению

задач,

выбору

и

расположению элементов некоторого,

обычно конечного множества в соответствии с

правилами (Математический энциклопедический словарь).

Комбинаторика – один из разделов дискретной математике, который приобрёл

важное значение в связи с использованием его в теории вероятностей, тематической

логике,

теории

чисел,

вычислительной

технике,

кибернетике

(Математический

энциклопедический словарь).

Задача – это текст, содержащий числовые компоненты.

Комбинаторная задача – это задача, при решении которой должна быть выбрана

такая система конструктивного перебора, которая давала бы полную уверенность в том,

что рассмотрены все случаи (без повтора комбинаций).

В обыденной жизни нам не редко встречаются задачи, которые имеют несколько

различных вариантов решения. Так, чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить

ни один.

Для

этого

надо

уметь

осуществлять

перебор

всех

возможных

вариантов

или

подсчитать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.

С теоретико-множественной точки зрения решение комбинаторных задач связано с

выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих определенными свойствами

и упорядочением множеств.

Комбинаторика

возникла

в

16

веке

и

первоначально

в

ней

рассматривались

комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения

таких задач были выбраны некоторые общие подходы к их решению, полученное от

формулы для подсчета числа различных комбинаций.

В

настоящее

время

комбинаторика

является

одним

из

важных

разделов

математической науки. Её методы широко используются для решения практических и

теоретических задач.

Не

только

в

начальном

обучении

математике,

но

и

в

дошкольном

роль

комбинаторных

задач

постоянно

возрастает,

поскольку

в

них

заложены

большие

возможности для развития мышления детей, для подготовки их к решению проблем,

возникающих в повседневной жизни.

Комбинаторные

задачи

решаются,

как

правило,

методом

перебора,

не

редко

используются таблицы и графы.

Л.П.Стойлова

выделяет

несколько

этапов

при

освоении

способов

решения

комбинаторных задач:

1.

Решение

комбинаторных

задач

методом

перебора

и

для

записи

возможных

вариантов используются различные способы.

2. Процесс решения задач несколько формализуется, появляется правило суммы и

произведения.

3. Рассматриваются некоторые виды комбинаций, а их число подсчитывается по

формулам.

И.И.Целищева,

И.В.Румянцева,

Е.С.Ермакова

выделили

следующие

принципы,

которые лежат в основе системы обучения комбинаторных задач:

- психологическое содержание обучения составляет стратегия развития гибкости

мышления детей (следование этапам её формирования);

-

учет

процесса

иртериоризации

(первоначального

выполнения

заданий

в

практической деятельности, затем перенесение практических действий через речь в план

умственных действий);

-

тесная

связь

содержания

комбинаторных

заданий

с

основным

содержанием

начального

курса

математике

в

соответствии

с

образовательными

стандартами

для

дошкольного и младшего школьного возрастов.

Последовательное

использование

метода

перебора

является

целью

обучения

дальнейших комбинаторных правил и формул.

Н.Б.Истомина, Е.П.Виноградова определили основную функцию комбинаторных

задач – это создать условия для формирования у детей приемов умственной деятельности

(анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, классификация) для развития произвольного

внимания и образного мышления.

Рассмотрим

на

примере

решения

такого

задания:

«Сколько

двузначных

чисел

можно создать из цифры 1, 2, 3, так, чтобы цифры в записи не повторялись».

При выполнении такого задания задействована такая мыслительная операция как

анализ. С другой стороны, в процессе синтеза дети определяют, что сначала можно

составить комбинацию, начинающуюся с цифры 1-это числа 11, 12, а потом с цифры 2 –

21, 22 и с цифрой 3 – 31, 32, соотнося условия с требованием задачи, дети не составляют

числа 11, 22, 33.

С

этим

же

заданием

может

быть

связана

такая

мыслительная

операция,

как

сравнение, где составляются все возможные числа на основе сходства и различия: 12, 13;

21, 23 и т.д. (17).

При решении комбинаторных задач детям приходится классифицировать объекты,

т.е. соотносить признаки предметов, объектов.

Например.

Рассмотрите

рисунок,

к

которому

можно

поставить

следующие

вопросы: Сколько больших кругов? Маленьких? Синих? Красных больших? И т.д.

На данном этапе обучения детей младшего школьного возраста

приёму

классификации можно использовать разные виды упражнений:

1.

Задание на разбиение группы по заданному педагогом основанию.

2.

Задание на определение по какому основанию объекты уже разбиты на группы.

3.

Задания на нахождение основания и разбитие группы.

4.

Комбинированные задания, состоящие из нескольких видов.

Выделяют следующие методы решения данных задач:

1.

Метод перебора. В переборе могут предусматриваться обнаружения как всех

возможных комбинаций с объектами, так и лишь их части, удовлетворяющие

условия задачи.

Например:

Дима съел два яблока. Какого цвета могли быть эти яблоки? Сколько вариантов у

тебя получилось?

К

К

С

К

С

С

К

Художник нарисовал картины и поместил их в такие рамки.

Развесь картинки на стене в разном порядке.

… …

… …

… …

2.

Таблицы

К решению комбинаторных задач с использованием таблиц можно перейти после

того,

как

освоен

принцип

их

составления.

Целесообразно

использовать

специальные

трафареты таблиц, в которых сделаны «окошки» в верхней строке и первом столбике, а

также прорези, намечающие места записи всех комбинаций.

Например;

Для записи букв в математическом царстве один писарь предложил использовать

знаки V,

N,

Z . Сколько слов он сможет записать с помощью этих знаков, если для записи

каждого из них можно использовать только 2 знака?

V

N

Z

V

VV

VN

VZ

N

NV

NN

NZ

Z

ZV

ZN

ZZ

3.

Графы.

Например:

Встретились

пять

друзей.

Здороваясь,

они

пожали

друг

другу

руки.

Сколько

рукопожатий было всего?

4.

Граф-дерево.

Например:

Сколько различных башенок можно построить из трех кубиков красного, синего и

зеленого цветов?

Ж С Ж К С К

С Ж К Ж К С

К С Ж

?

Таким образом, дети младшего школьного возраста возраста, овладевая приёмами

умственной

деятельности,

при

решении

комбинаторных

задач,

достигают

высоких

результатов в развитии логического мышления.

Комплекс

комбинаторных

задач

для

детей

младшего

школьного

возраста.

Задачи, решаемые методом перебора.

1.

«Мячи»

Помоги разложить пять мячей на три полки разными способами так, чтобы на каждой

полке лежали мячи.

2.

Расположи числа в порядке возрастания. 2, 7, 5, 1.

3.

Для гербария Маша собрала опавшие листья клена: желтый, зеленый и красный. В

каком порядке она сможет расположить эти листья в альбоме?

4.

Представь, что у тебя четыре кружки разного цвета. Ты решил подарить другу 2

кружки. Какие кружки ты можешь выбрать?

5.

На

тарелке

3

яблока

разного

цвета

:

зелёное,

жёлтое,

красное.

Как

можно

разложить яблоки по-разному друг за другом?

К

С

З

Ж

З

Ж

К

6.

Представь, что в мешочке лежит много красных и синих шариков. Тебе нужно

вынуть из мешочка два шарика. Какого цвета могут быть шарики?

7.

Представь, что у тебя 10 тюльпанов: три желтых, пять красных, два оранжевых.

Какие разные букеты их трех тюльпанов ты можешь составить?

8.

Расположи в клетках буквы К, Т, О по-разному.

9.

На каждом флажке должны быть полоски разного цвета: синяя, красная, белая.

Покажи, как можно раскрасить флажки, чтобы они отличались друг от друга.

10.

Представь, что у тебя три полоски бумаги разного цвета. Склей из этих полосок

одну трехцветную. Сколько различных вариантов таких полосок у тебя получиться?

Задачи, для решения которых используются таблицы и графы.

1.

Закрась в таблице клетки, обозначающие цвет.

Цвет

Фиг.

К

Ж

Ч

З

2.

Ты собираешься нарисовать картину, но у тебя только три краски: желтая, красная,

синяя.

Закрась

цветными

карандашами

клетки

таблицы,

в

которых

записаны

буквы.

Сколько новых цветов ты можешь получить, смешивая краски?

Ж

К

С

Ж

К

С

3.

У Саши 5 цветных ручек: красная, синяя, зеленая, черная, желтая. Сколько вариантов

выбора двух ручек может быть у Саши? Заполни таблицу и закрась желтым цветом клетки

с возможными вариантами выбора.

К

С

З

Ч

Ж

К

С

З

Ч

Ж

4.

В столовой приготовили пирог (П), кашу (К) И блины (Б), А из напитков – сок (С), чай

(Ч) И молоко (М). Сколько различных вариантов завтраков можно составить? Проверь

свой ответ, заполнив таблицу.

П

К

Б

С

Ч

М

5.

В танцевальном кружке занимаются 5 девочек: Женя, Маша, Катя, Юля, Даша и 5

мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей, Иван. Сколько различных танцевальных пар можно

составить? Заполни таблицу.

Ж

М

К

Ю

Д

О

В

С

А

И

6.

Для варенья ассорти использовали малину, вишню, смородину и крыжовник. Сколько

разных ассорти можно приготовить, если брать по два вида ягод? Заполни таблицу.

М

В

С

К

М

В

С

К

7.

Экипаж космического корабля состоит из пилота и бортинженера. Сколько вариантов

выбора

экипажа

возможны,

если

на

место

пилота

имеется

3

кандидата,

а

на

место

бортинженера 5. Заполни таблицу, обозначив пилотов треугольниками разных цветов, а

бортинженеров – кружками разных цветов.

Б

П

8.

Сколько различных двузначных чисел возможно записать, используя цифры 3, 5, 8,

если в записи числа может повториться одна и та же цифра? Заполни таблицу и

проверь свой ответ.

Ед.

Дес.

3

5

8

3

5

8

9.

У Маши две кофточки и три юбки – все разного цвета. Может ли Маша в течение семи

дней недели надевать каждый день разные костюмы? Составь таблицу и проверь свой

ответ (обозначь кофты треугольниками, а юбки – квадратами соответствующего цвета).

10. Представь, что тебе предложили три шапочки разного цвета: красную (к), синюю (с),

желтую (ж) и три шарфа такой же расцветки. Сколько комплектов из шапочки и шарфа

разного цвета ты можешь составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ.

11.

+

10

20

30

40

5

15

25

35