Исследование Исследование функции с функции с помощью помощью производной производной . .
1. Решить уравнение f’(х)=0, если f(х)=х 3 -3х 2 Решение: f’(х)=3х 2 - 6х = 3х(х - 2) f’(х)=0 3х(х-2)=0 х=0 или х=2 Такие точки называются - стационарными точками. Стационарными точками называются точки в которых производная функции равна нулю.
2. Решить уравнение f’(х)=0, если f(х)= 1/х Решение: f’(x) = -1/х 2 f’(х)=0 -1/х 2 =0 х – корней нет В точке х=0 производная функции не существует, такие точки называются критическими точками. Критическими точками называются точки, в которых производная функции не существует или точки в которых функция недифференцируема.
3. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=5х 2 +3х в точке х 0 =2. Решение: tgα = f’ (x 0 ) = f’(2) f’(x) = 10x + 3 f’(2) = 10*2+3=20+3=23 tgα = f’(2)=23>0
4. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=-3х 3 -2х 2 в точке х 0 =1. Решение: K = f’(x 0 ) = f’(1) f’(x) = -9x 2 -4x f’(1) = -9*1- 4*1= -9 - 4= -13 K = f’(1) = -13 < 0
c f’(x)>0 функция возрастает
c f’(x)<0 функция убывает
Промежутки возрастания и убывания функции называются -
промежутками монотонности
. Если на промежутке производная функции положительна, то функция возрастает. Если на промежутке производная функции отрицательна, то функция убывает. f’(x) х f(x) х 1 х 2
5. Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х 0 , что для всех х≠х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x 0 ). Точка х 0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х 0 , что для всех х≠х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x 0 ). Точки минимума и точки максимума называются
ТОЧКАМИ ЭКСТРЕМУМА.

у Теорема Ферма. f’(х 0 )=0 Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции у = f(х) f(x), то f’(x 0 ) = 0. f’(х 1 )=0 0 х 0 х 1 х k 0 = f’(x 0 ) = 0 k 1 = f’(x 1 ) = 0 х 0 и x 1 - стационарные точки.
Если при переходе через стационарную точку х 0 функции f(х) ее производная меняет знак с “плюса” на “минус”, т.е. f’(х) >0 слева от точки х 0 и f’(x)<0 справа от точки х 0 , то х 0 - точка МАКСИМУМА функции f(x). Если при переходе через стационарную точку х 0 функции f(х) ее производная меняет знак с “минуса” на “плюс”, то х 0 – точка МИНИМУМА функции f(x).
Пример 1: исследовать функцию у = х 3 –6х 2 решение: у’ = 3х 2 – 12х = 3х( х-4) у’=0 3х( х-4)=0 х=0 х=4 Функция возрастает на промежутках (-∞;0] и [4;∞) Функция убывает на промежутке [0;4].
Пример 2: исследовать функцию у = х 4 – 4х 3 решение: y’ = 4x 3 -12x 2 = 4x 2 (x-3) y’=0 4x 2 (x-3) = 0 x=0 x=3 Х min = 3

Обучающая самостоятельная работа.

Обучающая самостоятельная работа.
1. У = -2х+3 2. У = 3х 2 – 6х + 12 3. У = 5х 3 – 15х + 2
Ответы. Ответы. 1 2 3
Домашняя работа. Домашняя работа. §49, §50: № 900 (2,4); № 912 (2,4); № 914 (2,4).