Управление образования и науки Тамбовской области МБОУ «Комсомольская сош» ТОГБПОУ «Аграрно-технологический техникум» Учебное пособие по дисциплине "Математика" для студентов всех специальностей Автор: учитель математики МБОУ «Комсомольская СОШ» отделение ТОГБПОУ «Аграно- технологический техникум»
Щёголева Т.А
пос. совхоза «Селезневский» 2016 1
. Учебное пособие содержит теоретический материал и практические задания. Состоит из трех разделов: Векторы на плоскости и в пространстве, Прямая на плос - кости, прямая и плоскость в пространстве. В конце каждого раздела даются упраж- нения для самостоятельной работы. Учебное пособие предназначено студентам и преподавателям средних учеб- ных заведений. 2
ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................... 5 1. Векторы на плоскости и в пространстве.................................................................7 1.1. Скалярные и векторные величины.................................................................... 7 1.2. Линейные операции над векторами..................................................................8 1.2.1. Сложение векторов........................................................................................8 1.2.2. Вычитание векторов......................................................................................9 1.2.3. Умножение вектора на число....................................................................... 9 1.3. Векторный базис на плоскости и в пространстве.......................................... 10 1.4. Прямоуголные системы координат на плоскости и в пространстве............11 1.5. Операции над векторами, заданными своими координатами.......................13 1.6. Размерность и базис векторного пространства. Переход к новому базису..................................................................................14 1.7. Скалярное произведение векторов.................................................................. 17 1.7.1. Понятие и свойства скалярного произведения векторов.........................17 1.7.2. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами....18 1.8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками.........................................13 1.9. Деление отрезка в данном отношении............................................................ 18 1.10. Угол между векторами.................................................................................... 19 1.11. Условие перпендикулярности и коллинеарности векторов.........................20 1.12. Правая и левая системы трех векторов......................................................... 21 1.13. Векторное произведение двух векторов........................................................22 1.13.1. Понятие векторного произведения.......................................................... 22 1.13.2. Свойства векторного произведения.........................................................23 1.13.3. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей............................................................................................ 23 1.14. Смешанное произведение.............................................................................. 24 1.14.1. Компланарные векторы.............................................................................24 1.14.2. Свойства смешанного произведения.......................................................25 1.14.3. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей............................................................................................ 25 1.14.4. Признак компланарности в координатной форме..................................25 1.14.5. Объем параллелепипеда........................................................................... 26 2. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ....................................................................................27 2.1. Геометрическое место точек на плоскости.....................................................27 2.2. Уравнение линии на плоскости........................................................................27 2.3. Каноническое и параметрические уравнения прямой...................................27 2.4. Нормальное уравнение прямой........................................................................29 2.5. Общее уравнение прямой и его частные случаи............................................30 2.5.1. Частные случаи уравнения прямой........................................................... 32 2.6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно дан- ному вектору..................................................................................................................34 2.7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом..................................................................................................36 2.8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.............................37 2.9. Уравнение прямой в отрезках.......................................................................... 37 3
2.10. Исследование взаимного расположения двух прямых................................39 2.10.1. Пересечение прямых..................................................................................39 2.10.2. Условие параллельности прямых.............................................................39 2.10.3. Условие перпендикулярности прямых.................................................... 40 2.11. Вычисление угла между прямыми.................................................................42 2. 12. Расстояние от точки до прямой.....................................................................43 3. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.................................................45 3.1. Понятие об уравнении поверхности и линии в пространстве......................45 3.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором...................................................................................... 46 3.3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи.......................................47 3.3.1. Частные случаи уравнения плоскости......................................................47 3.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки......................................48 3.5. Взаимное расположение плоскости и пары точек.........................................49 3.6. Pасстояние от точки до плоскости...................................................................49 3.7. Нормальное уравнение плоскости...................................................................50 3.8. Взаимное расположение плоскостей...............................................................51 3.8.1. Условие параллельности плоскостей........................................................51 3.8.2. Условие перпендикулярности плоскостей................................................ 51 3.9. Угол между двумя плоскостями.......................................................................51 3.10. Уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором................................................................................52 3.11. Параметрические уравнения прямой............................................................ 53 3.12. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки...........................54 3.13. Общие уравнения прямой.............................................................................. 54 3.14. Угол между прямой и плоскостью.................................................................55 3.15. Условие параллельности прямой и плоскости.............................................55 3.16. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.....................................56 4. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.............................................................................58 4.1. Пути развития векторного исчисления........................................................... 58 4.2. Из истории аналитической геометрии на плоскости.....................................60 ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................................................... 64 ЛИТЕРАТУРА.............................................................................................................. 65 4

ВВЕДЕНИЕ
Математика — самая древняя и в то же время самая юная из наук. Она стала складываться во втором тысячелетии до нашей эры, когда потребности торговли, землемерия и мореплавания заставили упорядочить приемы счета и измерения, начало которых уходит в еще более глубокую древность. Уже строи- тели египетских пирамид владели математическими знаниями. В Древней Греции начиная с 4 в. до н. э. математика приобретает статус самостоятельной науки. Окончательно как наука математика оформилась в 3в. Евклидом в его бессмертных «Началах». По этой книге изучали геометрию бо- лее двух тысяч лет. Отсюда видно, что математика значительно отличается от всех других наук. Теоретические представления Аристотеля обобщили все имевшиеся к тому времени знания об окружающем мире. Сложившись, математика не перестает развиваться, разрабатываются но- вые методы, открываются новые области, совершенствуются символика и науч- ный аппарат. Великий поворотный пункт в истории математики наступил в 17 в., когда Декарт создал аналитическую геометрию. Эти открытия в огромной степени создали возможность как для собственного развития математики, так и для развития других наук. Раздел математики, занимающийся изучением свойств геометрических фигур с помощью алгебры, носит название аналитической, геометрии, а исполь- зование для этой цели координат называется методом координат Аналитическая геометрия возникла из потребности создать единооб- разные средства для решения геометрических задач с тем, чтобы применить их к изучению важных для практики линий различной формы. Эта цель была до- стигнута созданием координатного метода. В нем ведущую роль играют вычис- ления, построения же имеют вспомогательное значение. Вследствие этого ре- шение задач методом аналитической геометрии требует гораздо меньшей изоб- ретательности. Создание координатного метода было подготовлено трудами древнегре- ческих математиков, в особенности Аполлония (3 – 2 в. до н. э.). Систематиче- ское развитие координатный метод получил в первой половине 17 века в рабо- тах Ферма и Декарта. Они рассматривали только плоские линии, а к изучению пространственных линий и поверхностей координатный метод был применен впервые Л. Эйлером. Бурное развитие математики, последовавшее за этими открытиями, привело на рубеже 19 – 20 столетий к новой научной революции, связанной, в частности, с признанием правомерности неевклидовых геометрий (Лобачевского, Римана, Бойяи). Учебное пособие "Аналитическая геометрия" написано в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта, утвержденного Министерством образования РФ и примерной программой учебной дисципли- ны "Математика" для специальностей среднего профессионального образования (повышенный уровень), утвержденной управлением образования РФ. Учебное пособие написано на основе чтения лекций и проведения практических заданий учителем школы. 5
Целью учебного пособия, разработанного учитель математики МБОУ «Комсо- мольская СОШ», является ознакомление читателей с различными способами ре- шения задач, а также оказания помощи студентам при подготовке к занятиям и самоподготовки. 6

1. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

1.1. Скалярные и векторные величины
При изучении различных разделов физики, механики и экономических дисциплин встречаются величины, которые в выбранной системе единиц впол- не характеризуются заданием их численных значений. Такие величины называ- ются скалярными (числовыми). Так, например, длина, площадь, объем, масса, температура являются скалярными величинами. Существуют, однако, и такие величины, для определения которых задания лишь чис- ленных значений недостаточно. Необходимо знать также их направление в пространстве. Такие величины называ- ются векторными. Например, сила, скорость, ускорение, напряженность магнитного поля являются векторными величинами. Векторная величина геометрически изображается с помощью направленного отрезка.
Определение 1.
Геометрическим вектором или просто вектором назы- вается направленный отрезок прямой, т. е. отрезок, у которого одна из ограни- чивающих его точек принимается за начало, а другая – за конец. Векторы удобно обозначать двумя буквами со стрелкой или черточкой над ними, причем первая буква – его начало, а вторая буква – конец. На рис. 1 изображены векторы AB , CD , EF . Векторы обозначаются также одной бук- вой, над которой ставится стрелка или черточка: a , b или же одной жирной буквой:
а, b, с
. Мы будем обозначать векторы одной жирной буквой.
Определение 2.
Длиной или модулем вектора AB называется длина от- резка АВ и обозначается | AB |. Если вектор AB обозначается через
а,
то его мо- дуль обозначается |
а
|. Вектор длина, которого равна единице называется единич- ным вектором.
Определение 3.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается
0
. Модуль нулевого вектора равен нулю.
Определение 4.
Направлением вектора AB называется направление, определяемое полупрямой АВ. Нулевой вектор направления не имеет.
Определение 5.
Векторы AB и CD называются одинаково (противопо- ложно) направленными, если одинаково (противоположно) направлены лучи АВ и СD.
Определение

6.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они одинаково или противоположно направлены. Нулевой вектор считает- ся коллинеарным любому вектору. Ненулевой вектор AB параллелен плоскости, если прямая АВ парал- лельна этой плоскости.
Определение 7.
Ненулевые векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.
Определение 8.
Углом между двумя ненулевыми векторами
а
и
b
назы- Рис.1 7
вается угол между направлениями этих векторов.
Определение 9.
Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одну и ту же длину. Если два вектора
а
и
b
равны, то пи- шут
а
=
b
.
1.2. Линейные операции над векторами
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложе- ния, вычитания векторов и умножения вектора на число.
1.2.1. Сложение векторов
Пусть даны векторы
а
и
b
(рис 2). Из произвольной точки О построим вектор OA
= а,
а затем из точки А построим вектор AB =
b
. Вектор
с
= OB , соединяю- щий начало вектора
а
с концом вектора
b,
на- зывается суммой векторов
а
и
b
, обозначается
а + b.
Таким образом,
с = а + b,
или OB = OA + AB . Это равенство называется прави- лом треугольника сложения векторов. Векторы можно складывать по правилу параллелограмма (рис 3а): векторы надо рас- положить так, чтобы их начала совпадали, из концов векторов построить векто- ры равные данным, вектор – диагональ, начало которого совпадает с началом данных векторов, является суммой данных векторов.. Сложение векторов обла- дает следующими свойствами: 1) Свойство коммутативности:
а
+
b
=
b

+ а
. 2) Свойство ассоциативности: (
а
+
b
)+
с = а
+ (
b
+
с
)
.
Свойство коммутативности и ассоциативности следует из рис. 3. Для нахождения суммы трех и большего числа векторов применяют правило многоугольника: суммой нескольких векторов называется вектор, по величине и направлению равный направленному отрезку, замыкающему пространственную ломаную линию, построенную на данных векторах, т. е. начало вектор-суммы совпадает с началом первого вектора, а его конец – с концом последнего. На рис. 4 изображен вектор OE =
а
Рис. 2 Рис 3 Рис. 4 8
+
b
+
с
+
d
+
е
.
1.2.2. Вычитание векторов
Для любого векто р а AB противоположным ему называется вектор BA . Вектор, противоположный вектору
а,
обозначается
-

а
. Из определения следует, что противоположные векторы имеют одинаковую длину и противоположные направления (рис. 5). Пусть
а
= AB , тогда
-а
= BA . Так как AB + BA = AA =
0
, то
а
+ (
-а
) =
0
. Вектор
с
=
а
+ (
-b)
называется раз- ностью векторов
а
и
b
. Чтобы найти разность векторов
a
и
b
, векторы надо расположить так, чтобы их н ач а л а с о в п а д а л и , т о гд а в е к т о р , соединяющий конец вектора
b
и конец в е к т о р а
а
будет являться разностью векторов
а
и
b
. Итак, cумма векторов
a
+
b
есть одна и з д и а го н а л е й п а р а л л е л о г р а м м а , построенного на векторах
а
и
b
, разность векторов
а
-
b
– его другая диагональ (рис. 6). Поэтому b a b a    только в том случае, если диагонали параллелограмма равны между собой, т.е. параллелограмм является прямоугольником. Отсюда следует, что , b a b a    если . b a 
1.2.3. Умножение вектора на число
Произведением вектора
а
на число k называется вектор, длина которого равна k
a
, а направление совпадает с направлением вектора
а
, если k >0 и противоположно, если k <0. Упражнения 1. В треугольнике AВС проведена медиана АD, D – точка стороны ВС. Дока- зать, что AD AC AB 2   . 2.Дан параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 . Найти сумму векторов: 1) CB , 1 1 A B , 1 AD ; (CD 1 ) 2) 1 AC , A D 1 , 1 BD ; (AD 1 ) 3) C D 1 , 1 AA , CB , C C 1 ; (DB 1 ) 4) AB , 1 1 C B , 1 BB . (AC 1 ) 3. Дан тетраэдр АВСD. Найти сумму векторов: 1) AD , CB , DC ; (AB) 2) AB , CD , BC , DA . 4. Возьмите два произвольных вектора
а
и
b
и постройте следующие векто- ры: Рис 5 Рис 6 9
1)
а
-
b
; 2) 2 1
b
- 2
а;
3) З
а
-
b
; 4) -
a
+
2b
; 5) 2(
а
+
b
); 6) З
а
- 2(
а
- 2 1
b
) + 3( 2 1
a
+
b
) -2
b
. 5. В параллелограмме АВСD: АВ =
а
, АВ =
b
, O – точка пересечения диагоналей. Выразить векторы BD , OB , AC , CO через
а
и
b
. 6. В равнобедренной трапеции AВСD (рис. 7) угол BAD = 60°, |АВ| = |AС| = |СD| = 2, М – середина_стороны ВС, N – середина стороны СD. Выразить векторы DC , AM , AN и MN через единичные векторы
а

0
и
b
0 .
1.3. Векторный базис на плоскости и в пространстве
Если векторы
а
и
b
не коллинеарны, то любой вектор
с
, компланарный с векторами
а
и
b,
можно представить в виде
с
= x
a
+ y
b
, где х и у – некоторые числа (рис. 8).
Определение 1.
Линейной комбинацией векторов
a

1
,
a

2
,
a
3 , …,
a

n
называ- ется любой вектор вида х 1
а

1
+ х 2
а

2
+.. ... + х n
a

n
, где х 1 , ..., х n – числа, называемые коэффициентами линейной комбина- ции. Если вектор представлен в виде линейной комбина- ции каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам. Так, вектор
с
= x
a
+ y
b
представлен в виде линейной комбинации векторов
а
и
b,
поэтому говорят, что он разложен по векторам
а
и
b
.
Определение 2.
Векторным базисом на плоскости называют два произвольных неколлинеарных вектора этой плоскости, взятых в определенном порядке. Легко видеть, что в любой плоскости существует бесконечное множе- ство базисов. Пусть (
e

1
;
e

2
) – один из базисов некоторой плоскости. Тогда можно пока- зать, что любой вектор
а
этой плоскости может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации базисных векторов, т. е.
а
= х
е

1
+ у
е

2
. Это означает, что если на плоскости выбран базис (
e

1
;
e

2
), то каждому вектору
а
этой плоскости однозначно сопоставлена упорядочения пара чисел х и у и, наоборот, каждой упорядоченной паре чисел х и у соответствует на плос- кости единственный вектор
а
, определяемый равенством
а
= х
е

1
+ у
е

2
. Числа х и у, стоящие перед базисными векторами в разложении вектора по базису называ- ются координатами вектора
а
в базисе (
e

1
;
e

2
), при этом пишут:
а
= (х; у).
Определение 3
. Базис (
e

1
;
e

2
) называется ортонормированным, если 2 1 e e  и 2 1 e e  = 1, т. е. если базисные векторы единичны и взаимно перпенди- кулярны. В ортонормированном базисе на плоскости единичные векторы мы бу- дем обозначать через
i
и
j
. Разложение вектора
а
= (х; у) по базису (
i
;
j
) имеет вид
а
= х
i
+ у
j
. Например, разложение вектора
а
= (-2; 5) по базису (
i
;
j
) имеет вид
а
= -2
i
+ 5
j
. Если же вектор
а
задан своим разложением в базисе (i;
j
), например
а
= Рис 7 Рис. 8 10
3
i
- 7
j
, то в этом базисе он имеет координаты (3; -7), т. е.
а
= (3; -7).
Определение 4.
Векторным базисом пространства называют тройку некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке. Пусть (
е
;
e

2

; e

3
) — произвольный базис пространства. Так как базисные векторы
е

1

,

e

2
;
e

3
некомпланарны, то можно показать, что любой вектор
а
про- странства может быть представлен единственным образом в виде:
а
= х
е

1
+ у
е

2
+ z
е

3
, где х, у, z – некоторые числа. Это означает, что для любого вектора
а
существует и притом только одна тройка чисел (х; у; z), удовлетворяющих равенству
а
= х
е

1
+ у
е

2
+ z
е

3
. Спра- ведливо и обратное утверждение; тройка чисел (х; у; z) в данном базисе (
е

1
;
e

2

;

e

3
) определяет единственный вектор
а
. Числа х, у и z называются координатами вектора
а
в базисе (
е

1
;
e

2

; e

3
). Если вектор
а
пространства задан своими коорди- натамих
,
у и z, то пишут
а
= (х; у; z).
Определение 5.
Базис (
е

1
;
e

2

; e

3
) пространства называется ортонормиро- ванным, если базисные векторы единичны и попарно перпендикулярны, т. е. если |е 1 | = 1 3 2   e e и 2 1 e e  , 3 1 e e  , 3 2 e e  . Базисные векторы ортонормированного базиса пространства мы будем обозначать через
i
,
j
и
k
. Разложение вектора
а
= (х; у; z) по базису (
i
;
j
;
k
) имеет вид
а
= х
i
+ у
j
+ z
k
. Так, разложение вектора
а
= (2; -1; 3) по базису (
i
;
j
;
k
) имеет вид
а
= 2
i
-
j
+ З
k
; если
а
= 2
j
- 5
k,
то в этом базисе вектор
а
имеет координаты (0; 2; -5), т. е.
a
= (0; 2; -5). Упражнения 1. Написать разложения по базису (
i
;
j
) следующих векторов: 1)
а
=(4; -3); 2)
b
=(-2; 1); 3)
а
=(0; 5); 4)
b
=(5;0). 2. Написать разложения по базису (
i
;
j
;
k
) следующих векторов: 1)
a
= (3; 2;-1); 2)
b
= (-5; 0; 2); 3)
а
= (0; 0; -4); 4)
b
= (7: 0; 0); 5)
а
= (0; 2; —1); 6)
b
= (6; —3; 0). 3. Найти в базисе (
i
;
j
) координаты векторов: 1)
a
= 12
i
- 5
j
; 2)
b
= -
i
+ 3
j
; 3)
a
= -11
j
; 4)
b
= 13
i
. 4. Нaйти в бaзисе (
i
;
j
;
k
) координaты векторов: 1)
a
=
i
+ 3
j
- 2
k
; 2)
b
= 5
i
-
j
+ 3
k
; 3)
a
= 5
i
+ 2
k
; 4)
b
= -2
j
- 3
k
; 5)
a
= - 4
j
, 6)
b
=
k
.
1.4. Прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве
Пусть О – произвольная фиксированная точка некоторой плоскости,
а
=(
i
;
j
) – один из ортонормированных базисов той же плоскости.
Определение

1.
Совокупность фиксирован- Рис. 9 11
ной точки О и ортонормированного базиса (
i
;
j
) называется прямоугольной де- картовой (или просто прямоугольной) системой координат на плоскости. Точка О называется началом координат; прямые Ох и Оу, проходящие через начало координат в направлении векторов (
i
;
j
), называются осями координат: Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат. Систему координат будем обозначатьO
ij
или Оху, а плоскость с соответствующей системой координат будем называть плоскостью Оху. Легко видеть, что декартова прямоугольная система координат на плос- кости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями, на каж- дой из которых выбрано положительное направление и задан отрезок единич- ной длины. Оси координат делят плоскость на четыре области – четверти или квадранты. Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху (рис. 9). Радиус-век- тором точки М по отношению к точке О называется вектор OM . Координата- ми точки М в системе координат Oxy называются координаты радиус-вектора OM в базисе (
i
;
j
). Если вектор OM = (x; y), то координаты точки М записыва- ют так; М(x; y); число х называется абсциссой точки М, у – ординатой точки М. Обратно; если М(x; y), то вектор OM = (x; y).
Определение 2.
Совокупность фиксированной точки О и ортонормиро- ванного базиса (
i
;
j
;
k
) называется прямоугольной декартовой (или просто пря- моугольной) системой координат в пространстве. Как и в случае плоскости, точка О называется началом координат. Пря- мые Ох, Оу и Оz, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов(
i
;
j
; k) (рис. 10), называются осями координат: Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат. Плоскости, проходя- щие через оси координат, называются координатны- ми плоскостями. Они делят пространство на восемь областей – октантов. Координатами точки М называ- ются координаты радиус-вектора OM в базисе (
i
;
j
;
k
); при этом если вектор OM = (х; у; z), то пишут М(х; у; z), где х – абсцисса, у – ордината, z – апплика- та точки М. Обратно: если М(х; у; z), то вектор OM = (х; у; z). Прямоугольная систе- ма координат в пространстве дает возможность установить взаимно однозначное соответствие между точками про- странства и упорядоченными тройками чисел (их коор- динатами), а на плоскости – между точками плоскости и упорядоченными парами чисел. Например, тройке чисел (2; 3; 3) соответствует в пространстве точка А и обратно, точке А пространства со- ответствует упорядоченная тройка чисел (2; 3; 3) (рис. 11). Если вектор в прямоугольной системе координат задан двумя точками А(x 1 ; y 1 ; z 1 ) и В(x 2 ; y 2 ; z 2 ), то кординаты вектора AB будут равны разности соот- Рис. 10 Рис 11 12
ветствующих координат его конца и начала, т.е. AB   1 2 1 2 1 2 ; ; z z y y x x    . Упражнения 1. Построить точки: А(3; 5), В(2; 1), С(4; -3), D(0; -5), E(2; -6). 2. Построить точки: А(1; 3; 5), В(-2; 3; 4), С(0; 1; -3), D(-2; 0; 3), E(2; -3; 0). 3. Построить вектор AB , если 1) А(-2; -6) и В(3; 7) 2) А(1; 2) и В(-3; 5) 3) А(1; -2; 2) и В(0; 2; -3) 4) А(3; 0; 0) и В(0; -1; 5) 4. Найти координаты векторов , AB , CD , EF если А(4; -6), В(-3; 8), С(0; -3), D(-9; -1), Е(8; -1; 5), F(10; -7; 0). 5. Даны точки А(-3; 1; -1), В(2; -4; 1). Выразить вектор AB через орты.
1.5. Операции над векторами, заданными своими координатами
Пусть в прямоугольной системе координат Oxy даны векторы
a
= (x 1 ; y 1 )
b
= (x 2 ; y 2 ), т.е
a
= x 1
i
+ y 1
j
и
b
= x 2
i
+ y 2
j
. тогда 1.   b a (x 1
i
+ y 1
j
)  (x 2
i
+ y 2
j
) = (x 1  x 2 )
i
 (y 1  y 2 )
j
, т.е. координаты суммы (разности) векторов равны сумме (разности) одноимен- ных координат этих векторов или при сложении (вычитании) векторов их соот- ветствующие координаты складываются (вычитаются). 2. 
a
=  (x 1
i
+ y 1
j
) = (  x 1 )
i
+ (  y 1 )
j
, т.е. при умножении вектора на чис- ло все его координаты умножаются на это число. Если векторы
a
и
b
заданы в системе Oxyz, т.е. если
a
= x 1
i
+ y 1
j
+ z 1
k
и
b
= x 2
i
+ y 2
j
+ z 2
k
. тогда
1.
  b a (x 1
i
+ y 1
j
+ z 1
k
)  (x 2
i
+ y 2
j
+ z 2
k
) = (x 1  x 2 )
i
+ (y 1  y 2 )
j
+ + (z 1  z 2 )
k
,
2.
 a =  (x 1
i
+ y 1
j
+ z 1
k
) = (  x 1 )
i
+ (  y 1 )
j
+ (  z 1 )
k.
Упражнения 1. Даны векторы а(1; 2;-3) и b(4;-1; 2). Найти координаты векторов: 1) 3
а
- 2
b
; 2) -5
a
+
b
; 3) -4
b.

3.
Вычислить координаты вектора с = а - b, если дано разложение векторов
а
и
b
по ортам
а
=
i
- 3
j
+3
k
, и
b
= -2
i
+
k.

4.
Даны координаты точек А(0; -1; 2), В(-7; 4; 3), С(-2; 1; 0) и D(-1; 0; 3). Вы- числить координаты вектора
m
= CD BA  .
1.6. Длина вектора. Расстояние между двумя точками
Пусть дан вектор
a
= (x; y) скалярное произведение
aa
=
a
2 = x 2 + y 2 , то- гда модуль (длина) вектора a = 2 2 y x  , (5) если вектор задан в пространстве
a
= (x; y; z), то a = 2 2 2 z y x   , (5a)
Определение.
Модуль (длина) вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат. 13
Пусть требуется найти расстояние d между точками A(x 1 ; y 1 ) и В(x 2 ; y 2 ) плоскости Oxy . искомое расстояние d равно длине вектора AB . Его координа- ты равны AB = (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ), тогда AB = 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( y y x x d     . (6) Аналогично расстояние между точками A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) и В(x 2 ; y 2 ; z 2 ) пространства Oxyz вычисляется по формуле 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( ) ( z z y y x x d       . (6a) Пример 1. Доказать, что треугольник с вершинами А(2; 1; 5), B(-1; 0; 3), C(5; -1; 4) равнобедренный. Решение: 14 ) 5 3 ( ) 1 0 ( ) 2 1 ( 2 2 2         AB 38 ) 3 4 ( ) 0 1 ( ) 1 5 ( 2 2 2         BC 14 ) 5 4 ( ) 1 1 ( ) 2 5 ( 2 2 2         AC . Отсюда видно, что |AB| = |AC|, зна- чит треугольник ABC равнобедренный.
1.7.

Размерность и базис векторного пространства.

Переход к новому базису
Множество векторов с действительными компонентами, в котором опре- делены операции сложения векторов и умножение вектора на число, удовлетво- ряющее приведенным выше свойствам, называется векторным про- странством.
Определение

1
. Векторы
а

1

,

а

2

,

. . . , a

m
, векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1  , 2  , … m  , не равные одновременно нулю, что 0 ... 2 2 1 1     m m a a a    (1) В противном случае векторы
а

1

, а

2

, ..., a

m
называются линейно независи- мыми. Из определения следует, что векторы
а

1

, а

2

..., a

m
линейно независимы, если равенство (1) справедливо лишь при 1  = 2  = ... = m  = 0 , и линейно за- висимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел i  (
i
= 1, 2, … m) отлично от нуля. Если векторы
а

1

, а

2

,
...
, a

m
линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы. Примером линейно независимых векторов являются два неколлинеар- ных, т.е. не параллельных одной прямой, вектора
а

1
и
а

2
на плоскости. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы. Отметим неко- торые свойства векторов линейного пространства. 1. Если среди векторов
а

1

, а

2

..., a

m
имеется нулевой вектор, то эти векто- ры линейно зависимы. В самом деле, если, например,
a

1
= 0, то равенство (1) справедливо при 1  = 1, 2  = ... = m  = 0. 2. Если часть векторов
а

1

, а

2

..., a

m
являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые. Действительно, если, например, векторы 14

a

2
, ...,
a

m
линейно зависимы, то справедливо равенство 0 2 2   m m a a   , в котором не все числа 2  , ..., m  равны нулю. Но тогда с теми же числами 2  , ..., m  и 1  = 0 будет справедливо равенство (1). Пример 1. Выяснить, являются ли векторы
a

1
=(1; 3; 1; 3),
a

2
= (2; 1; 1; 2) и
a

3
=(З; -1; 1; 1) линейно зависимыми. Решение: Составим векторное равенство 0 3 3 2 2 1 1    a a a    . Записывая
а

1

, a

2

, a

3
в виде вектор-столбцов, получим 0 1 1 1 3 2 1 1 2 3 1 3 1 3 2 1                                                  , применив правила умножения вектора на число и сложение векторов, а также свойство равенства векторов, получим систему:                    0 2 3 0 0 3 0 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1             Решим систему методом Гаусса:                1 2 3 1 1 1 1 1 3 3 2 1 ~                   8 4 0 2 1 0 10 5 0 3 2 1 ~               0 0 0 0 0 0 2 1 0 3 2 1 ~         2 1 0 3 2 1 , отсюда         0 2 0 3 2 3 2 3 2 1      система имеет бесконечное множество решений: 3 2 2     , 3 1    . Пусть c  3  , где с — произвольное действительное число, тогда c  1  , c 2 2    и c  3  . Итак, для данных векторов условие (1) выполняется не только при 1  = 2  = 3  = 0 но и, например, при 1 1   , 2 2    , 1 3   (с = 1); при 2 1   , 4 2    , 2 3   (с = 2) и т.д.), следовательно, эти векторы линейно зависимые.
Определение 2.
Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n +1) векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Чис- ло n называется размерностью пространства R и обозначается dim(R).
Определение 3.
Совокупность n линейно независимых векторов n-мер- ного пространства R называется базисом.
Теорема.
Каждый вектор
а
линейного пространства R можно предста- вить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. Если векторы
е

1

,

е

2

,
...,
е

n
образуют произвольный базис n-мерного пространства R, то вектор
а
= x 1
e

1
+ x 2
e

2
+ … + x n
e

n
(2) Равенство (2) называется разложением вектора
a
по базису
е

1

, е

2

, ..., е

n
, а числа х 1 , х 2 , ..., х n – координатами вектора
a
относительно этого базиса. В силу 15
единственности разложения (2) каждый вектор однозначно может быть опреде- лен координатами в некотором базисе. Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, – противоположные по знаку координаты. Если
е

1

, е

2

, ..., е

n
– система линейно независимых векторов пространства R и любой вектор
а
линейно выражается через
е

1

, е

2

, ..., е

n
, то пространство R является n-мерным, а векторы
е

1

, е

2

, ..., е

n
– его базисом. Пример 2. В базисе
е

1

, е

2

, е

3
заданы векторы
а

1
= (1; 1; 0),
а

2
= (1; -1; 1) и
a

3
= (-3; 5; -6). Показать, что векторы
а

1

а

2

, а

3
образуют базис. Решение: Векторы
а

1

а

2

, а

3
образуют базис, если они линейно независи- мы. Составим векторное равенство: 0 3 3 2 2 1 1    a a a    . Решая его аналогично примеру 1, можно убедиться в единственном нулевом его решении: 0 3 2 1       , т.е. векторы
а

1

а

2

, а

3
образуют систему линейно независимых векторов и, следо- вательно, составляют базис. Пример 3. В базисе
е

1

, е

2

, е

3
заданы векторы
а

1
= (1; 1; 0),
а

2
= (1; -1; 1) и
a

3
= (-3; 5; -6) и вектор
b
=(4; -4; 5). Найти координаты вектора
b
в базисе
а

1

а

2

,

а

3
. Решение: В примере 2 было показано, что векторы
а

1

а

2

, а

3
образуют ба- зис, тогда
b
= x
а

1
+ y
а

2
+ z
а

3
, где x, y, z – координаты вектора
b
в базисе
а

1

а

2

, а

3
. Записывая векторы в виде столбцов, получим:                                                6 5 3 1 1 1 0 1 1 5 4 4 z y x , применив правила умножения вектора на число и сложение векторов, а также свойство равенства векторов, получим систему:               5 6 4 5 4 3 z y z y x z y x . Решим её методом Гаусса               5 6 1 0 4 5 1 1 4 3 1 1 ~              5 6 1 0 8 8 2 0 4 3 1 1 ~              5 6 1 0 4 4 1 0 4 3 1 1 ~              1 2 0 0 4 4 1 0 4 3 1 1 или             1 2 4 4 4 3 z z y z y x , отсюда z = -0,5; y = 2; x = 0,5. Таким образом получили
b
= 0,5
а

1
+ 2
а

2
- 0,5
а

3
.
1.7. Скалярное произведение векторов

1.7.1. Понятие и свойства скалярного произведения векторов

Определение 1.
Скалярным произведением двух отличных от нуля векто- ров называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов равен нулю, то ска- лярное произведение этих векторов равно нулю. Скалярное произведение векторов
а
и
b
обозначается b a 
,
или
ab,
или (
а
, Рис 12 16

b
). Итак, по определению  cos    b a ab , (3) где  – угол между векторами
a
и
b
.
Определение 2.
Проекцией вектора
а
на ось l называется число, равное произведению модуля вектора
а
на косинус угла между вектором
а
и осью l и обозначается пр b а = |а| соs  (рис. 12). Можно также говорить о проекции вектора
а
на вектор
b
 0, подразуме- вая при этом проекцию вектора
а
на ось, определяемую вектором
b
. Тогда  cos    b a ab = |а| пр a b = |b| пр b a, т. е. скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из векторов на проекцию другого вектора на первый. Скалярное произведение двух векторов обладает следующими свойства- ми. 1) Свойство коммутативности:
аb
=
bа
. 2) Числовой множитель можно выносить за знак скалярного произ- ведения, т.е. (k
a
)
b
=
a
(k
b
) = k(
ab
) 3) Свойство дистрибутивности:
а
(
b
+
с
) =
аb
+
ас
. 4) Скалярный квадрат вектора
а
2 = a a  равен квадрату модуля этого векто- ра, т. е.
а

2
= |
а
| 2 . 5) Скалярное произведение двух ненулевых векторов
а
и
b
равно нулю тогда и только тогда, когда а  b. Еслиа  b
,
то  = 90° и
аb
=   b a соs90° = 0. Обратно, если  cos    b a ab = 0, то соs  = 0 (так как
а
0  и b 0  ), отку- да  = 90°, т. е.а  b. Пример 1. Найти скалярное произведение (2
а
- 3
b
)(
а
+ 2
b
), если |
а|
= 3, |
b|
= 2 и  =60°. (2
а
- 3
b
)(
а
+ 2
b
) = 2
a
2 +4
ab
- 3
ba
- 6
b
2 = 2|
а
| 2 +
ab
- 6|
b
| 2 = -3 Пример 2. Найти модуль вектора
с
= З
а
-
b,
если |
а
| = 2, |
b
| = 3 и  =120°. Имеем |c| = . 7 3 63 120 cos 6 9 6 9 2 2 2 2           b b a a b ab a 
1.7.2. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами рав- но сумме произведений одноименных координат. Пусть в системе координат Оxy даны векторы
a
= x 1
i
+ y 1
j
и
b
= x 2
i
+ y 2
j
, тогда
ab
= (x 1
i
+ y 1
j
) (x 2
i
+ y 2
j
) = x 1 x 2
i
2 + x 1 y 2
ij
+ y 1 x 2
ji
+ y 1 y 2
j
2 , т.к. векторы
i
и
j
перпендикулярны, то
ij
=
ji
= 0,
i
2 =
j
2 = 1 (угол между ними равен 0  , cos0  = 1), тогда скалярное произведение
ab
= x 1 x 2 + y 1 y 2 . (4) Аналогично для векторов
a
= x 1
i
+ y 1
j
+ z 1
k
и
b
= x 2
i
+ y 2
j
+ z 2
k
, заданных в пространстве имеем
ab
= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 . (4a)
1.9. Деление отрезка в данном отношении
Пусть на плоскости Оху заданы две произ- Рис 13 17
вольные различные точки М 1 (х 1 ; y 1 ) и М 2 (х 2 ; y 2 ). Проведем через эти точки пря- мую l и возьмем на ней произвольную точку М не совпадающую с М 2 . (рис. 13). Точкa M(x; y) разделила отрезок М 1 М 2 в отношении 2 1 MM M M   , т.е. M M 1 = 2 MM   . Возможны случаи: - если  > 0, то точка М лежит между точками М 1 и М 2 ; - если  = 0, то точка М совпадает с точкой М 1 (М = М 1 ); - если  < 0, то точка М лежит вне отрезка М 1 М 2 ; Так как М 1 отлично от М 2 , то вектор 2 1 MM M M   , следовательно, 1    . Найдем координаты точки М, делящей отрезок М 1 М 2 в заданном отноше- нии 1    , если известны координаты точек М 1 и М 2 . Перепишем равенство (1) в координатной форме: х - х 1 = ) ( 2 x x   и ) ( 2 1 y y y y     , решая полученные уравнения относительно х и у, получим      1 2 1 x x x ,      1 2 1 y y y (8) Если точка М делит отрезок пополам (  = 1), то её координаты будут иметь вид 2 2 1 x x x   и 2 2 1 y y y   . (9) Аналогично в пространстве для нахождения координат точки М, деля- щей отрезок в отношении  (от точки М 1 к М 2 ) получаются формулы      1 2 1 x x x ,      1 2 1 y y y ,      1 2 1 z z z (8a) Пример 1. Даны точки А(3; -2) и В(10; -9). Найти координаты точки М, делящей отрезок в отношении 5 2 (от А к В) Решение: Так как точка М делит отрезок от А к В, то за х 1 и у 1 принима- ются координаты точки А. Итак, 5 5 7 7 5 2 1 10 5 2 3       M x 4 5 7 5 28 5 2 1 ) 9 ( 5 2 2           M y . Получили М(5; -4). Пример 2. Дан треугольник с вершинами А(1; 1 1), В(5; 1; -2) и С(7; 9; 1). Найти координаты точки пересечения биссектрисы угла А со стороной СВ. Решение: Биссектриса внутреннего угла А треугольника АВС делит сто- рону ВС на части пропорциональные длинам прилежащих сторон, значит AB AC DB CD    . Найдем длины сторон, образующих угол А: 5 ) 1 2 ( ) 1 1 ( ) 1 5 ( 2 2 2         AB , 10 ) 1 1 ( ) 1 9 ( ) 1 7 ( 2 2 2        AC . Итак 2 5 10    . используя формулы (4), получим 3 17 2 1 5 2 7 1           B C D x x x , 3 11 2 1 1 2 9 1           B C D y y y , 18
1 2 1 ) 2 ( 2 1 1             B C D z z z . Итак, D( ) 1 ; 3 11 ; 3 17  .
1.10. Угол между векторами
ИЗ формул () () определения скалярного произведения векторов
а
и
b
имеем при 0  a и 0  b получим формулу вычисления угла между векторами на плоскости: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 cos y x y x y y x x b a ab        (10) и соответственно в пространстве: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cos z y x z y x z z y y x x         . (10a)
1.11. Условие перпендикулярности и коллинеарности векторов
Если векторы
a
и
b
перпендикулярны, то
ab
= x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0, x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0. Обратно, если скалярное произведение x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 или x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0, то векторы перпендикулярны. Если векторы
а
и
b
коллинеарны, т.е.
а
= b  , то x 1 = 2 x  , y 1 = 2 y  , z 1 = 2 z  . Для плоскости Oxy, где z 1 = z 2 = 0, получаем условие коллинеарности век- торов, заданных координатами 0 1 2 2 1   y x y x или 2 1 2 1 y y x x  , когда . 0 , 0 2 2   y x Для пространства получаем условия коллинеарности векторов, задан- ных координатами 0 1 2 2 1   y x y x , 0 1 2 2 1   z y z y , 0 1 2 2 1   x z x z или 2 1 2 1 2 1 z z y y x x   , когда . 0 , 0 , 0 2 2 2    z y x Пример 1. Даны векторы
a
= 3
i
- 5
j
и
b
=-
i
+ 2
j
. Найти скалярное произве- дение векторов 2
а
и
a
- 3
b
. Решение: Найдем координаты векторов 2
а
и
a
- 3
b
2
а
= (6; -10) и
a
- 3
b
= (3 -3(-1); -5 -3*2) = (6; -11), тогда 2
а
(
a
- 3
b
) = 6*6 + (-10)*(-11) = 146. Пример 2. При каком значении m векторы
a
(3; -4; m) и
b
(2m; -5; 1) пер- пендикулярны? Решение: Используя условие перпендикулярности векторов получим: 3*2m + (-4)*(-5) + 1*m = 0, отсюда m = 7 20 .
Упражнения
1. Дано |
a
| = 5, |
b
| = 4 и  =120 о . Найти 1)
ab
; 2)
a
2 ; 3) (
a
- 2
b
)(
a
+ 2
b
); 4) (
a
-
b
) 2 ; 5) (7
a
+
b
) 2 . 2. Дано |
a
| = 5, |
b
| = 4 и угол между векторами  = 3  . Найти модуль вектора
с
= 5
а
+ 3
b
. 3. Показать, что треугольник с вершинами А(5; 1), В(1; -3) и С(-1; -1) прямо- угольный. 19
4. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a
= 2
i
+
j
и и = -2
i
+
k
. 5. При каком значении m векторы
a
=(4; m; -6) и
b
=(m; 2; -7) взаимно перпенди- кулярны. 6. Найти вектор
b
, коллинеарный вектору
а
, если: 1)
а
=(2; 1; -1),
ab
= 3; 2)
а
= -
i
+ 2
j
+ 2
k
,
ab
= -2. 7. Дан треугольник АВС с вершинами в точках А(1; 2; 3), В(7; 10; 3) и С(-1; 3; 1). Доказать, что угол А тупой. 8. Доказать, что треугольник АВС с вершинами в точках А(-1; -5; -2), В(-4; 0; 0) и С(-7; -4; -3) равнобедренный. 9. Даны три вершины параллелограмма АВСD: А(-1; -1; 2), В(0; 1; -3), С(-4; 0; -2). Найти координаты вершины D. 10.Отрезок, соединяющий точки А(-3; -7) и В(10; 2) разделен на три равные ча- сти. Найти координаты точек деления. 11.Дан треугольник АВС с вершинами А(1; 4), В(-5; 0) и С(-2; -1). Найти длину медиан, точку их пересечения и углы треугольника. 12.Найти координаты центра тяжести однородной пластины с вершинами в точ- ках А(2; 3; 4), В(3; 1; 2) и С(4; -1; 3). 13.Дан треугольник АВС с вершинами А(1; 5), В(4; 1) и С(13; 10). Найти точку пересечения биссектрисы внутреннего угла А со стороной ВС. 14.Показать, что векторы
a
=(1; 2; 0)
b =
(3; -1; 1)
c
=(0; 1; 1), заданные в базисе (
е

1
;
е

2
;
е

3
) , образуют базис. 15.Даны векторы
a
=
e

1
+
e

2
+
e

3
,
b
= 2
e

2
+ 3
e

3
,
с
=
е

2
+ 5
е

3
, где (
е

1
;
е

2
;
е

3
) – базис линейного пространства. Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора
d
=2
e

1
-
е

2
+
е

3
в этом базисе.
1.12. Правая и левая системы трех векторов
Пусть
a
,
b
, – три (ненулевые) вектора, не параллельные одной плоскости и взятые в указанном порядке (т.е.
a
– первый вектор,
b
– второй и
с
–третий.) Приведя их к общему началу 0 (рис. 14), получим три вектора , OA , OB , OC не лежащие в одной плоскости. Система трех векторов
a, b, c
называется правой (рис. 14), если поворот Рис.14 Рис 15 20
вектора OA , совмещающий его по кратчайшему пути с вектором OB , соверша- ется против часовой стрелки для наблюдателя, глаз которого помещается в точ- ке С. Если же упомянутый поворот совершается по часовой стрелке (рис 15), то система трех векторов
a
,
b
,
c
называется левой. Если имеем две системы трех векторов и каждая из них правая или каж- дая левая, то говорят, что эти системы имеют одинаковую ориентацию; если же одна система правая, а другая левая, то говорят, что системы имеют противопо- ложную ориентацию. Правую систему трех векторов нельзя совместить, ни с какой левой. При зеркальном изображении правая система становится левой и наоборот.
1.13. Векторное произведение двух векторов

1.13.1. Понятие векторного произведения

Определение 1.
Векторным произведением вектора
a
(множимое) на не коллинеарный с ним вектор
b
(множитель) называется третий вектор
с
(произве- дение), который строится следующим образом: - его модуль численно равен площади параллелограмма (АОВL рис. 16), по- строенного на векторах
a
и
b
, т.е. он равен  sin   b a ,  - угол между векто- рами
а
и
b
- его направление перпендикулярно к плоскости упо- мянутого паралелограмма; - при этом направление вектора
с
выбирается (из двух возможных) так, чтобы векторы
a,

b,

c
составляли правую систему. Обозначение:
с
=
а

b
= [
ab
] . Если векторы
а
и
b
коллинеарны, то векторное произведение коллинеарных векторов считается рав- ным нуль-вектору. Пример 1. Найти векторное произведение
i

j
, где
i, j
– основные векторы правой системы координат (рис. 17). Решение: 1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма (квадрата) численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице. 2) Так как перпендикуляр к плоскости Oxy есть ось Oz, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором
k
; так как оба они имеют мо- дуль 1, то искомое векторное произведение равно либо
k
, либо
-k
. 3) Из этих двух возможных векторов надо вы- брать первый, так как векторы
i, j, k
образуют правую систему, а векторы
i, j. -k
– левую). Р и с 1 6 Рис 17 21
Итак,
i

j
=
k
Пример 2. Векторы
a
и
b
имеют длины, соответственно равные 80 см и 50 см, и образуют угол в 30 0 . Приняв за единицу длины метр, найти длину век- торогого произведения
а

b
. Решение: Площадь параллелограмма, построенного на векторах
а
и
b
численно равна модулю векторного произведения, т.е. S = 80*50*sin 30 o =2000 (cм 2 ) = 0,2 м 2 . Длина искомого векторного произведения равна 0,2 м. Длина вектора
a

b
зависит не только от длин сомножителей
a
и
b
, но также от выбора единицы длины.
1.13.2. Свойства векторного произведения
1. Векторное произведение
a

b
обращается в нуль лишь, тогда, когда век- торы
a
и
b
коллинеарны (в частности, если один из них или оба – нуль-векто- ры). 2. При перестановке сомножителей векторное произведение умножается на -1, т.е. меняет знак на обратный
b

a
= - (
a

b
) Таким образом, векторное произведение не обладает свойством перемести- тельности . 3. (
a
+
b
) l =
a
l +
b
l (свойство распределительности). Это свойство имеет место для любого числа слагаемых. 4. (m
a
)
b
= m(
ab
) (свойство сочетательности относительно скалярного мно- жителя) Примеры: 1) (-3
a
) 
b
= - 3(
a

b
) 2) 0,3
a
 4
b
= 1,2 (
a

b
). 3) (2
a
- 3
b
)  (
c
+ 5
d
) = 2(
a

c
) + 10 (
a

d
) – 3(
b

c
) – 15(
b

d
) = = 2(
a

c
) + 10 (
a

d
) + 3(
c

b
) +15(
d

b
) =2(
a

c
) -10 (
d

a
) +3(
c

b
) + 15(
d

b
) Векторные произведения – основных векторов: Из определения вытекает, что
i

i
= 0
i

j = k

i

k = - j

j

i = -k

j

j =
0
j

k = i

k

i = j

k

j =-i

k

k
= 0 Пример. Упростить выражение (2
i
- 3
j
+ 6
k
)  (4
i
- 6
j
+ 12
k
). Решение: Раскрывая скобки и пользуясь таблицей, находим: (2
i
– 3
j
+6
k
)  (4
i
– 6
j
+12
k
) = 8 (
i

j
)- 12 (
i

j
) + 24(
i

k
) – 12(
j

i
) + 18(
j

j
) - 36(
j

k
) +24(
k

i
) – 36(
k

j
) + 72(
k

k
) = -12
k
– 24
j
+ 12
k
– 36
i
+ 24
j
+ 36
i
= 0 Так как векторное произведение обращается в нуль только в случае кол- линеарности сомножителей, то векторы 2
i
– 3
j
+ 6
k
и 4
i
– 6
j
+ 12
k
коллинеарны.
1.13.3. Выражение векторного произведения через координаты

сомножителей
Если
a

1
= (х 1 , у 1 , z 1 ) и
a

2
= (x 2 , y 2 , z 2 ), то
a

1

a

2
=         2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ; ; y x y x x z x z zx y z y (11) Практическое правило. Чтобы получить координаты вектора
а

1

а

2
, со- ставим таблицу x 1 y 1 z 1 22
x 2 y 2 z 2 Закрыв в ней первый столбец, находим первую координату Закрыв второй столбец и взяв оставшийся определитель с обратным зна- ком находим вторую координату. Закрыв третий столбец (оставшийся определитель берется снова со своим знаком), находим третью координату. Пример 1. Найти векторное произведение векторов
a

1

=
(3; -4; -8) и
a

2

=
(-5; 2;-1). Решение: Составляем таблицу 3 -4 -8 -5 2 -1 Закрыв первый столбец, получаем первую координату x = 1 2 8 4    = - (-4) (-1) – 2(-8) = 20 Закрыв второй столбец, находим определитель y = - 1 5 8 3    . Переставляя в нем столбцы (при этом знак меняется на обратный), получаем вторую координа- ту y = 5 1 3 8    = 43 Закрыв третий столбец, получаем третью координату z = 2 5 4 3   = - 14 Итак,
а

1

а

2
= (20; 43; -14) Пример 2. Найти площадь S треугольника, заданного вершинами: А 1 (3; 4; -1), А 2 (2; 0; 4), А 3 (-3; 5; 4). Решение: Искомая площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах 2 1 A A и 3 1 A A . Находим координаты векторов 2 1 A A и 3 1 A A : 2 1 A A = (2-3; 0-4; 4+1) = (-1; -4; 5) и 3 1 A A = (-6; 1; 5). Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения 2 1 A A  3 1 A A , а последнее равно (-25; -25; -25). Следовательно, S =       7 , 21 1875 2 1 25 25 25 2 1 2 1 2 2 2 3 1 2 1          A A A A
1.14. Смешанное произведение

Определение 1.
Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов
a, b, c
(взятых в указанном порядке) называется скалярное произ- ведение вектора
а
на векторное произведение
b

c
, т.е. число
а
(
b

c
), или, что то же, (
b

c
)
а
. Обозначение:
abc

1.14.1. Компланарные векторы
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости. Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора считаются компланарными. Если система
а, b, c
– правая, то
аbc
> 0; если левая, то
аbc
< 0. Если же 23
векторы
а, b, c
компланарны, то
аbc
= 0. Иными словами, обращение в нуль сме- шанного произведения
аbc
есть признак компланарности векторов
а, b, c
. Геометрическое истолкование смешанного произведения. Смешанное произведение
аbc
трех некомпланарных векторов
а, b, c
равно объему паралле- лепипеда, построенного на векторах
а,

b, c
, взятому со знаком плюс, если систе- ма
а, b, c
– правая, и со знаком минус, если эта система левая.
1.14.2. Свойства смешанного произведения
1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меня- ется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный:
abc
=
bca
=
cab
= -(
bac
) = -(
cba
) = -(
acb
) 2. (
a
+
b
)
cd
=
ac
d +
bcd
(свойство распределительности). 3. (m
a
)
bc
= m(
abc
) (свойство сочетательности относительно скалярного множи- теля). Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преоб- разования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять по- рядок сомножителей можно только с учетом знака произведения. 4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю:
aab
= 0 Пример 1.
ab
(3
a
+ 2
b
– 5
c
) = 3
aba
+ 2
abb
– 5
abc
= - 5
abc
.
1.14.3. Выражение смешанного произведения через координаты сомножи-

телей
Если векторы
а

1
,
а

2
,
а

3
даны c координатами
a

1
= (x 1 ; y 1 ; z 1 ),
a

2
= (x 2 ; y 2 ; z 2 ),
a

3
= (x 3 ; y 3 ; z 3 ), то смешанное произведение
а

1

а

2

а

3
вычисляется по формуле
а

1

а

2

а

3
= 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x (12) Пример 1. Найти смешанное произведение векторов
а
1 = (-2; -1; -3),
a

2
= (-1; 4; 6),
a

3
= (1; 5; 9). Решение:
а

1

а

2

а

3
= 0 9 5 1 6 4 1 3 1 2      . Значит, векторы компланарны. Пример 2. Векторы
а

1
(1; 2; 3),
a

2
(-1; 3; 4),
a

3
(2; 5; 2) образуют левую си- стему, так как их смешанное произведение
а

1

а

2

а

3
= 27 5 5 2 4 3 1 3 2 1    отрицательно.
1.14.4. Признак компланарности в координатной форме
Условие (необходимое и достаточное) компланарности векторов: сме- шанное произведение равно нулю:
a

1
= (x 1 ; y 1 ; z 1 ),
a

2
= (x 2 ; y 2 ; z 2 ),
a

3
= (x 3 ; y 3 ; z 3 ), есть
а

1

а

2

а

3
= 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x =0 (13) 24

1.14.5. Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда, построенного на век- торах
a

1
= (x 1 ; y 1 ; z 1 ),
a

2
= (x 2 ; y 2 ; z 2 ),
a

3
= (x 3 ; y 3 ; z 3 ), (рис 18), равен V =  3 3 3 2 2 2 1 1 1 Z Y X Z Y X Z Y X , (14) где знак плюс берется, когда определитель третьего порядка положителен, и минус, если определитель от- рицателен Пример 1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:
а
= (1; 2; 3),
b
= (-1; 3; 4),
c
= (2; 5; 2) Решение: Имеем: V = + 3 3 3 2 2 2 1 1 1 Z Y X Z Y X Z Y X = 2 5 2 4 3 1 3 2 1  =  (-27) Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак минус. Нахо- дим V = 27. Пример 2. Найти объем V треугольной пирамиды АВСD с вершинами А(2; -1; 1), В(5; 5; 4), С(3; 2; -1), D(4; 1; 3). Решение: Находим координаты векторов AB , AC , AD : AB = (5-2; 5+1; 4-1) = (3; 6; 3). Таким же образом AC = (1; 3; -2), AD = (2; 2; 2). Искомый объем равен 6 1 объема параллелепипеда, построенного на ре- брах AB, AC, AD. V=  6 1 2 2 2 2 3 1 3 6 3  = 3 Отсюда получаем V = 3 ед 3 .
Упражнения
Даны векторы
a
(1; 3; 4),
b
(-1; 0; 2),
c
(3; 4; 1),
d
(3; 7; 7). 1. Найти разложение вектора
d
по векторам
a
,
b
,
c
; 2. Найти угол между векторами
a
,
b
-
с
; 3. Найти векторное произведение векторов
a
+ 2
b
и
с
- 4
b
; 4. При каком значении  векторы
a
+ 
b
и
c
перпендикулярны; 5. При каком значении  вектор
a
+ 
b
коллинеарен вектору
c
; 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a
,
b
с об- щим началом; 7. Найти объем и высоту параллелепипеда, построенного на векторах
a
,
b
,
c
, как на ребрах; 8. При каком значении  векторы
a
,
b
+ 
c
,
a
+ 
b
компланарны; 9. Построить векторы
a
,
b
,
c
. Рис 18 25

2. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

2.1. Геометрическое место точек на плоскости
Линия на плоскости обычно задается как геометрическое место точек, т. е. как совокупность точек, обладающих некоторым геометрическим свойством, исключительно им присущим. Приведем примеры: Пример 1. Окружность радиуса R (рис. 19) есть геометрическое место точек, удаленных на расстояние R от данной точки О (центра). Иными словами, все точки окружности радиуса R обладают этим свойством (т. е. удалены на данное расстояние R от центра); наоборот, всякая точка, не лежащая на данной окружности, этим свойством не обладает.
2.2. Уравнение линии на плоскости

Определение 1.
Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Таким образом, для того чтобы установить, что данное уравнение является уравнением некоторой линии l, необходимо и достаточно: 1) доказать, что координаты любой точки, лежащей на л и н и и l , удовлетворяют этому уравнению, 2) доказать, обратно, что, если координаты некоторой точки удовлетворяют этому уравнению, то точка лежит на прямой. Если известно уравнение некоторой линии, то для любой точки плоскости можно решить задачу: лежит она на этой линии или нет. Для этого достаточно подставить в данное уравнение вместо переменных х и у координаты исследуемой точки; если получилось верное равенство, то точка лежит на линии, если – ложное, то не лежит на линии. Пример. Определить лежат ли точки A(-2; 1) и В(0; 1) на линии 3х - у + 7 = 0. Решение: Подставим в данное уравнение вместо х и у координаты точки А, получим 0 7 7 7 1 ) 2 ( 3         . Следовательно, точка А лежит на данной линии. Подставим координаты точки В, получим 0 6 7 1 0 3      , т.е. точка В не лежит на данной линии.
2.3. Каноническое и параметрические уравнения прямой
Пусть в прямоугольной системе координат Оху заданы точка М 0 (x 0 ; у 0 ) и ненулевой вектор
а
=(a 1 ; а 2 ). Требуетсясоставить уравнение прямой l, проходя- щей черезточку М 0 и параллельной вектору
а
(рис. 20).
Определение 1.
Любой ненулевой вектор
а,
параллельный прямой l, на- зывается направляющим вектором этой прямой. Согласно аксиоме о параллельности прямых через данную точку М 0 (x 0 ; у 0 ) проходит единственная прямая с данным направляющим вектором
a
. Возьмем на прямой l произвольную точку М(х; Рис 19 Рис 20 26
у). Тогда векторы M M 0 = (x - x 0 ; у- y 0 ) ивектор
а
=(a 1 ; а 2 ) коллинеарны, и следо- вательно, при 0 1  a и 0 2  a имеем 2 0 1 0 a y y a x x    (15) Если точка М(х; у) не принадлежит прямой l, то векторы M M 0 и
а
не кол- линеарны, поэтому 2 0 1 0 a y y a x x    . Таким образом, уравнение
(
15) является уравнением прямой l.
Определение

2.
Уравнение (15) называется каноническим уравнением прямой, или уравнением прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору. Пример 1. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(-5; 2) параллельно вектору, соединяющему точки B(1; -1) и C(3; 2). Решение: За направляющий вектор искомой прямой примем вектор BC =(2; 3). Заменив в уравнении (1) х 0 , y 0 координатами точки М и а 1 , а 2 координата- ми вектора BC , получим искомое уравнение . 3 2 2 5    y x Если, 0 1  a и 0 2  a то направляющий вектор
а,
а следовательно, и прямая l перпендикулярны к оси Ох или параллельны оси Оу. В этом случае уравнение прямой имеет вид х = х 0 ,. (16) Если 0 1  a и 0 2  a
,
то направляющийвектор
а
, а следовательно,и прямая l перпендикулярны к оси Оу (параллельны оси Ох). В этом случае уравнение прямой имеет вид y = y 0 (17) Пример 2. Дан треугольник с вершинами А(-1; -2), B(2; -2) и С(1; 3). Со- ставить уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ. Решение: За направляющий вектор искомой прямой примем вектор AB = (3; 0). Ордината направляющего вектора
a

2
= 0, поэтому уравнение искомой прямой имеет вид: у = у 0 . Заменив у 0 ординатой точки С, получим y = 3. Обозначив буквой t каждое из равных отношений уравнения (15), полу- чим           2 0 1 0 a y y t a x x , отсюда        at y y at x x 0 0 (18) Уравнения (18) называются параметрическими уравнениями прямой. Пример 3. Построить прямую         t y t x 5 2 2 3 Решение: Для построения прямой достаточно найти две ее точки. Поло- жив t = 0, находим точку М 1 (3; -2). При t = 1 находим вторую точку М 2 (1; 3). По- строив эти точки, проводим через них искомую прямую. Упражнения 27
1. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку М 0 параллельно вектору
а
, если: 1) М 0 (-4; 2),
а
=(2; -1); 2) М 0 (2;-1),
а
=(-2; 5); 3) М 0 (4;0),
а
= 3
i
- 7
j
; 4) М 0 (0; -3),
а
=2
i
-
j
. 2. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через данную точку М 0 параллельно вектору
а
, если: 1) М 0 (-4; 2),
а
=(2;-1); 2) М 0 (3; -5),
а
= 5
i
- 2
j
. 3. Написать параметрическое уравнение каждой из данных прямых: 1) 5 1 2 3     y x 2) 3 5 4   y x 4. Написать каноническое уравнение каждой из данных прямых: 1)        t y t x 5 2 1 2)         t y t x 2 4 2 5 5. Построить прямую: 1)         t y t x 3 2 1 2)       t y t x 3 4 2 3) 3 2 4 5     y x
2.4. Нормальное уравнение прямой
Положение произвольной прямой АВ на плоскости (рис 21) полностью определяется также длиной ОР = р перпендику- ляра, опущенного из начала координат на эту прямую, и углом  , который перпендикуляр ОР образует с положительным направлением оси Ох. Выведем уравнение прямой АВ, заданной этими параметрами р и  , так называемое нор- мальное уравнение прямой. Для этого возьмем на прямой АВ произвольную точку М(х; у), опу- стим из неё перпендикуляр МR на ось О х и за- тем проведем RD параллельно АВ и МС парал- лельно ОР (рис. 21). Из чертежа видно, что p = ОР = OD + DP = OD + CM. (1) Из прямоугольного треугольника ODR имеем: OD = OR  cos  = xсоs  . Аналогично, из прямоугольного треугольника RСМ, где угол СRМ =  , находим: СМ = RМ  sin  = уsin  . Подставляя в равенство (1) полученные значения для OD и СМ, будем иметь: р = xсоs  + уsin  или, окончательно, xсоs  + уsin  - p = 0 (19) Уравнение (19) называется нормальным уравнением прямой.
2.5. Общее уравнение прямой и его частные случаи

Определение 1.
Линия называется линией (кривой) n-го порядка, если Рис 21 28
она определяется уравнением n-й степени относительно текущих прямоугольных координат х и у. Например, линии x + y - 1 = 0; x 2 + y 2 = 1; x 2 y + xy 2 = 2 имеют соответственно порядки: первый, второй и третий. Прямая линия есть линия первого порядка.
Теорема.
Всякое уравнение первой степени относительно текущих прямоугольных координат представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости.
Доказательство.
Рассмотрим общее уравнение первой степени относительно текущих координат х и у: Ax + By + C = 0 (20) г д е А, В и С – постоянные коэффициенты, причем А и В не равны нулю одновременно, т. е. А 2 + B 2  0. Покажем, что уравнение (1) является уравнением прямой линии. Для этого умножим обе части уравнения (1) на неопределенный, отличный от нуля постоянный множитель М, не зависящий от х и у: МAх + МBу +МС = 0. Последнее уравнение равносильно уравнению (20), т. е. оба они удовлетворяются одними и теми же парами значений х и у. Следовательно, они определяют одну и ту же линию. Подберем множитель М таким образом, чтобы уравнение МAх + МBу +МС = 0 приняло вид х cosα + у sinα - p = 0 Для этого следует положить          p MC MB MA   sin cos (21) Легко убедиться, что всегда можно найти такой множитель М чтобы при некоторых α и р удовлетворялись равенства (21). В caмом деле, возведем первые два из равенства (21) в квадрат и сложим. Получим последовательно: M 2 A 2 = cos 2 α, M 2 B 2 = sin 2 α и М 2 (А 2 + В 2 ) = соs 2 α + sin 2 α = 1. Отсюда, поскольку А 2 + В 2  0 имеем: 2 2 1 B A M    (22) М н а з ы ва е т с я нормирующим множителем. П р и С  0 з н а к нормирующего множителя М должен быть обратен знаку свободного члена С в уравнении (1), так как на основании равенства МС = -р произведение МС <0. Если С = 0, то выбор знака в формуле (4) произволен. Далее, разделив второе из равенств (21) на первое, получим: A B tg   . Отсюда, учитывая на основании (21) знаки  sin и  cos для любых коэффициентов А и В, не равных нулю одновременно, можно найти в пределах от 0 до 2  вполне определенное значение угла  . Найденные таким образом значения М и  удовлетворяют, очевидно, двум первым уравнениям системы (21); пользуясь третьим уравнением этой системы определяем р. 29
Итак, после умножения уравнения (1) на нормирующий множитель М мы получили нормальное уравнение некоторой прямой. Следовательно, и уравнение (21) определяет туже прямую линию. Но так как уравнение (21) является уравнением первой степени, то прямая есть единственная линия первого порядка. Теорема доказана. Пользуясь равенствами (21) и значением (22) нормирующего множителя М, получаем формулы                   2 2 2 2 2 2 sin cos B A C p B A B B A A   (23) и, следовательно, нормальное уравнение прямой (1) имеет.вид 2 2 B A C By Ax     =0 (24) где знак перед корнем выбирается обратным знаку свободного члена С. Таким образом, имеем правило: чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, достаточно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель, равный обратной величине корня квадратного из суммы квадратов коэффициентов при текущих координатах, причем знак перед корнем следует взять обратным знаку свободного члена уравнения С, если последний отличен от нуля. При С = 0 можно брать любой·знак. Пример. Привести уравнение прямой 3x + 4y - 10 = 0 к нормальному виду. Умножив обе части этого уравнения на нормирующий множитель 5 1 4 3 1 2 2    M , получим: 0 2 5 4 5 3    y x . Это и есть нормальное уравнение нашей прямой; здесь , 5 3 cos   5 4 sin   , p = 2. В прямоугольной системе координат любая прямая относительно пере- менных х и у определяется уравнением первой степени Ах + Ву + С = 0 и обрат- но, уравнение Ах + Ву + С = 0 при произвольных коэффициентах (A и B не рав- ны одновременно нулю) определяет прямую и притом единственную в прямо- угольной системе координат.
Определение 2.
Уравнение вида Ах + Ву + С = 0 (1) называется общим уравнением прямой. Оно содержит уравнение любой прямой при соответствую- щем выборе коэффициентов A, B, C. В общем уравнении прямой A, B, и C могут принимать различные дей- ствительные значения, исключая одновременное равенство нулю A и B.
2.5.1. Частные случаи уравнения прямой
Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения прямой, полу- чающиеся из уравнения Ах + Ву + С = 0 при равенстве нулю отдельных его ко- эффициентов. 30
1. Если А = 0, тогда получим уравнение вида Ву + С = 0 или y = B C  . Поло- жив b = B C  будем иметь уравнение вида y = b. Это уравнение определяет прямую параллельную оси Ox, все точки которой имеют одну и ту же ордина- ту, равную b . 2. Если А = С = 0, то уравнение примет вид y = 0, это уравнение определяет ось Ох. 3. Если B = 0, то уравнение примет вид Ах + С = 0 или x = A C  . Положив a = a C  будем иметь уравнение вида x = a. Это уравнение определяет прямую параллельную оси Oy, все точки которой имеют одну и ту же абсциссу, рав- ную а. 4. Если В = С = 0, то уравнение примет вид х = 0, это уравнение определяет ось Оy. 5. Если С = 0, В  0, то уравнение примет вид Ах + Ву = 0 или x B A y   . По- ложив k = B A  будем иметь уравнение вида y = kx. Это уравнение определя- ет прямую, проходящую через начало координат. k – угловой коэффициент, определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох, т.е. k = tg  .
Определение 1.
Тангенс угла наклона прямой к положительному направ- лению оси Ох называется угловым коэффициентом прямой. Пусть В 0  , общее уравнение прямой можно представить таким об- разом: C Ax By    , т.е. B C x B A y    или y = kx + b. (25) Сравнивая уравнения y = kx и y = kx + b, замеча- ем, что ординаты точек прямых, определяемых этими уравнениями, для одних и тех же значений х отличаются на одно и то же число b , т.е. эти прямые параллельны. Это значит, что они имеют один и тот же угол наклона к положительному направлению оси Ох. Следовательно, и в этом случае, k = tg  . Очевидно, что если х = 0, то у = b, следовательно, прямая, определяемая уравнением (2), пересекает ось Оу в точке В(0; b) (рис. 22).
Определение 2.
Число b называется начальной ординатой прямой, а уравнение y = kx + b – уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если прямая задана общим уравнением Ах + Ву + С = 0, в котором В  0, то ее угловой коэффициент k можно вычислить по формуле k = B A  . Если же известен угол  наклона прямой к положительному направлению оси Ох, то ее угловой коэффициент k находят по формуле k = tg  . При этом если  = 0, то k = 0. В этом случае прямая параллельна оси Ох (или совпадает с ней). Если  = Рис 22 31
90°, то k = tg  не имеет смысла. В этом случае прямая параллельна оси Оу (или совпадает с ней). Часто требуется вычислить угловой коэффициент прямой по известным координатам двух точек этой прямой: M 1 (x 1 ; y 1 ) и М 2 (х 2 ; y 2 ). Допустим для простоты рассуждений, что х 2 > x 1 , у 2  y 1 и 0   < 90°. Из прямоугольно- го т р еу гол ь н и ка М 1 NМ 2 ( р и с 2 3 ) имеем: 1 2 1 2 1 2 x x y y N M NM tg k       Таким образом, 1 2 1 2 x x y y k    (26) Эта формула (26) справедлива и для 90°<  <180°. При х 2 = х 1 прямая, проходящая через точ- ки M 1 (x 1 ; y 1 ) и М 2 (х 2 ; y 2 ), параллельна оси Оу, и ее углового коэффициента не су- ществует. Пример 1. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(-2; 3) и В(5; -1). Решение: Заменив в формуле (3) х 1 и у 1 координатами точки А и х 2 , y 2 координатами точки B, получим 7 4 ) 2 ( 5 3 1        k . Пример 2. Найти угловой коэффициент и начальную ординату прямой Зх - 2у - 6 = 0. Решение: Используя соответствующие формулы, находим 2 3     B A k и 3 2 6       B C b . Угловой коэффициент и начальную ординату можно найти и другим пу- тем. Преобразуем данное уравнение к виду у = kх + b; для этого решаем его от- носительно у: 2у = - Зx +6 или 3 2 3    x y . Сравнивая полученное уравнение с уравнением у = kх + b, находим k = 2 3  , b = 3. Пример 3. Построить прямую Зх + 4y - 12 = 0. Решение: Для построения прямой достаточно по- строить две ее точки. Проще всего найти точки пересече- ния прямой с осями координат, если, конечно, они суще- ствуют и помещаются на чертеже. Положив в данном уравнении у = 0, получим 3х - 12 = 0, т. е. х = 4. Следовательно, точка пересечения данной прямой с осью Ох имеет коор- динаты (4; 0). Положив в том же уравнении х = 0, найдем y = 3, т. е. координаты точки пересечения прямой с осью Оу будут (0; 3). Строим найденные точки и проводим через них прямую (рис. 24). Пример 4. Составить уравнение прямой, образующей с положительным Рис 23 Рис 24 32
направлением оси Ох угол  = 60° и отсекающей на оси Оу отрезок, равный 4. Решение: По формуле k = tg  * находим k = tg60° = 3 . Прямая отсекает на оси ординат отрезок, равный 4, следовательно, ее начальная ордината b = 4. Подставив найденные значения k и b в уравнение у=kх + b *(11), получим у = 3 х + 4 или 3 x - у + 4 = 0.
Упражнения
1. Найти угловой коэффициент и начальную ординату прямой 4х + 6у - 3 = 0. 2. Уравнение прямой 2x - 5у - 10 = 0 преобразовать к виду: 1) уравнения прямой с угловым коэффициентом; 2) канонического уравнения прямой; 3) параметрическим уравнениям прямой. 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-5; -2) и имеющей начальную ординату b= -12. Привести полученное уравнение к нормальному виду. 4. Вычислить угол наклона прямой Зx + 2y + 6 = 0 к положительному направле- нию оси Ох.
2.6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно

данному вектору
Пусть в плоскости Оху заданы некоторая точка М 0 (х 0 ; у 0 ) и ненулевой вектор
п
с координатами (A; В). Требуется составить уравнение прямой l, проходящей че- рез точку М 0 и перпендикулярной вектору
n
(рис. 25).
Определение 1.
Любой ненулевой вектор
п
, пер- пендикулярный прямой l, называется нормальным век- тором этой прямой. Очевидно, что через точку М 0 в плоскости Оху проходит единственная прямая l, имеющая нормальный вектор
п
. Возьмем на прямой l произвольную точку М(х; у). Тогда вектор M M 0 перпендикулярен вектору
п
и, следовательно, их ска- лярное произведение равно нулю, т. е. M M n 0  = 0 Вектор M M 0 =(х - x 0 ; у - у 0 ) и
n
= (A; В), выразим скалярное произведе- ние через координаты соответствующих векторов, получим уравнение прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором: 0 ) ( ) ( 0 0       y y B x x A . (27) Если точка М(х; у) не принадлежит прямой l, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (27), так как   M M n 0 0.
Определение 2.
Уравнение (27) называется уравнением прямой, проходя- щей через точку М 0 (x 0 ; у 0 ) с заданным нормальным вектором
п
= (А; В). Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (-1; 5) перпендикулярно вектору
п
=(2; -3). Решение: Из условия задачи имеем x 0 = -1, y 0 = 5, A = 2, В = -3. Подставив Рис 25 33
эти значения в уравнение (2), получим 2(x + 1) + (-3)(y - 5) = 0 или 2x - 3y +17 = 0. Пример 2. Дан треугольник AВС с вершинами А(4; -3), В(-2; 6) и С(5; 4), Составить уравнение высоты СD (рис. 26). Решение: Высота СD проходит через точку С(5; 4), поэтому можно положить x 0 = 5, y 0 = 4. Так ка к AB CD  , то за нормальный вектор прямой СD можно взять вектор AB =(-6; 9). Следовательно, ис- комое уравнение имеет вид 6(x - 5) - 9 (у - 4) = 0, или 2x - 3y + 2 = 0. Если коэффициентам А и В уравнения (2) при- давать различные значения, то можно получить урав- нение любой прямой, проходящей через точку М 0 (x 0 ; у 0 ). Пример 3. Среди множества прямых А(х + 3) + В(y - 4) = 0 выделите ту, которая перпендикулярна вектору
п
= -5
i
+ З
j
. Уравне- ние искомой прямой можно написать как уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (-3; 4) перпендикулярно вектору
п
(-5; 3): -5(x + 3) + 3(y - 4) = 0 или 5х - 3y + 27=0.
Упражнения
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку В(-1; -2) перпендику- лярно вектору
n
= (0; -2). 2. Среди прямых А(х - 1) + B(у - 3) = 0 выделить ту прямую, которая перпенди- кулярна вектору: 1)
n
=(-1; 5); 2)
п
= 2
i
- 3
j
. 3. Дан треугольник с вершинами A(-3; 2), B(5; -2) и С(0; 4). Составить уравне- ние высоты, опущенной из вершины В. Сделать чертеж. 4. Составить уравнение прямой, проходящей через середину отрезка АВ пер- пендикулярно к нему, если А(3; -2) и В(5; -4). 5. Дан треугольник с вершинами А(3; 4), В(2; 5) и С(7; 8). Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В перпендикулярно медиане ВD (D  АС).
2.7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным

угловым коэффициентом
Пусть даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и угловой коэффициент k прямой, проходящей через точку М 0 . Требуется составить уравнение этой прямой. Запишем уравнение искомой прямой в виде 0 ) ( ) ( 0 0       y y B x x A . В этом уравнении координаты А и В нормального вектора
п
нам неизвестны, поэтому постараемся их исключить. Для этого разделим уравнение на В (В  0, в противном случае k = B A  не существует); 0 ) ( ) ( 0 0     y y x x B A , откуда ) ( 0 0 x x B A y y     , т.к. k = B A  , то получим уравнение вида Рис 26 34
) ( 0 0 x x k y y    (28)
Определение

1.
Уравнение (28) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом. Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(-3; 2) и образующей с положительным направлением оси Ох угол  = 4 3  . Решение: Находим угловой коэффициент и искомой прямой: 1 4 3       tg tg k . Заменив в формуле (2) x 0 , y 0 координатами точки М и угловым коэффициентом k найденным значением, получим у - 2 = -1(х + 3) или x + y + 1 = 0 При различных значениях k и фиксированной точке M 0 (x 0 ; y 0 ) уравнение (2) определяет множество прямых, проходящих через точку М 0 , кроме прямой, параллельной оси Оу (так как k = tg90° не имеет смысла).
Определение 2.
Совокупность прямых, проходящих через одну точку, называется пучком прямых с центром в этой точке. Пример 2. Из пучка прямых, определяемых уравнением у + 2 = k(х - 5), выделить ту, которая проходит через точку А(1; 6). Решение: Подставив в данном уравнении вместо текущих координат х и у координаты точки А, находим 6 + 2=k(1 - 5), откуда k = -2. Следовательно, искомое уравнение будет у + 2 = -2(х - 5) или 2х + у - 8 = 0.
2.8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Пусть даны две различные точки M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ). Требуется составить уравнение прямой, про- ходящей через эти точки. Возьмем произвольную точку М(х; у) на этой прямой (рис. 27). Рассмотрим векторы M M 1 = (х - x 1 ; у - y 1 ) и 2 1 M M = (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ) . (3) Точки М, М 1 и M 2 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны и, следова- тельно, их координаты пропорциональны. При 2 1 x x  и 2 1 y y  имеем 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x      (29)
Определение 3.
Уравнение (29) называется уравнением прямой, проходя- щей через две данные точки. Если х 1 = х 2 , то прямая параллельна оси Оу и, следовательно, ее уравне- ние имеет вид: х = х 1 . (30), если y 1 = y 2 то прямая параллельна оси Ох и ее уравнение имеет вид: y = y 1 (31). Рис 27 35
Пример. Даны координаты вершин треугольника AВС: А(2; 4), В(6; 3) и С(4; -3). Составить уравнение медианы АD (рис. 28). Решение: Координаты точки D (середины ВС) находим по формулам:    2 C B D x x x 5 2 4 6   0 2 ) 3 ( 3 2       C B D y y y Подставив в уравнение (29) вместо х 1 и y 1 коорди- наты точки А, а вместо х 2 и у 2 координаты точки D, полу- чим 4 0 4 2 5 2      y x или 4x + 3у - 20=0.
2.9. Уравнение прямой в отрезках
Пусть требуется составить уравнение прямой l, отсекающей на оси Ох отрезок величиной а ( 0  a ), а на оси Оу — отрезок величиной b ( 0  b ) (рис. 29). Обозначим точки пересечения прямой l с осями координат Ох и Оу соот- ветственно через А и В. Тогда точка А имеет коор- динаты (а; 0), а точка В координаты (0; b). Соста- вим уравнение прямой l как прямой, проходящей через две точки A(а; 0) и В(0; b). Заменив в (4) х 1 , у 1 , координатами точки А и х 2 , у 2 координатами точки В, получим 0 0 0      b y a a x откуда 1   b y a x (32)
Определение

4.
Уравнение (32) называется уравнением прямой в отрезках (оно связывает текущие координаты х и у и величины отрезков а и b, отсекаемые прямой на осях координат). Пример 1. Построить прямую 2х - Зу - 6 = 0. Решение: Преобразуем данное уравнение к виду (7); для этого перенесем свободный член вправо и разделим обе части на него: 1 2 3    y x Сравнивая полученное уравнение с уравнением (32), найдем а = 3 и b=-2. Отложим на оси Ох отрезок ОА величиной 3 и на оси Оу отрезок OВ величиной -2. Прямая, проведенная через точки А и В, будет искомой (рис. 30). Пример 2. Составить уравнение прямой, если т о ч к а М(2; 3) является серединой ее отрезка, Рис 28 Рис 29 Рис 30 Рис 31 36
заключенного между осями координат (рис. 31). Решение: Из точки М опустим перпендикуляры ММ 1 и ММ 2 на координатные оси Ох и Оу; тогда точка М 1 имеет абсциссу х = 2, а точка М 2 имеет ординату у = 3. Так как ММ 1 и ММ 2 являются средними линиями треугольника ОАВ, то OM 1 = M 1 A = 2 и ОМ 2 = М 2 В = З. Таким образом, прямая отсекает на оси Ох отрезок ОА величиной 4, а на оси Оу отрезок OВ величиной 6, поэтому ее уравнение будет иметь вид 1 6 4   y x или 3x + 2 y- 12 = 0.
Упражнения
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3; -1) и имеющей угловой коэффициент, равный 2. 2. Дан треугольник с вершинами А(-5; -5), В(1; 7) и С(5; -1) Составить уравне- ния сторон и медиан этого треугольника. 3. Прямая проходит через точки А(-1; -6) и B(7; 2). Найти отрезки, отсекаемые этой прямой на осях Ох и Оу. 4. Найти длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой 1 16 12   y x с осями координат. 5. Высота равнобедренного треугольника совпадает с положительным направ- лением оси Оу, а основание – с осью Ох. Составить уравнения боковых сто- рон треугольника, если одна из них образует с положительным направлени- ем оси Ох угол в 135°, а высота его равна 5. 6. Составить уравнение прямой EF, проходящей через две заданные точки, если E(-2; 1), F(6; -4). Привести ее к нормальному виду. 7. Даны координаты трех вершин параллелограмма АВСD: А(-1; 2), B(-2; -2) и С(5; -2). Составить уравнения его диагоналей АС и ВD. 8. Дан треугольник с вершинами А(2; -1), B(4; 5) и С(-3; 2). Составить уравне- ние прямой, проходящей через центр тяжести этого треугольника и начало координат. 9. Составить уравнение прямой, если точка М(-3; 1) являете серединой ее от- резка, заключенного между осями координат. 10. Найти площадь треугольника, ограниченного прямой 2х - 5у - 10 = 0 и осями координат. 11.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(6; 0), если площадь треугольника, ограниченного прямой и осями координат, равна 21 кв. ед.
2.10. Исследование взаимного расположения двух прямых
Пусть на плоскости заданы прямые l 1 и l 2 соответственно уравнениями А 1 х + В 1 у + С 1 = 0, А 2 х + В 2 у + С 2 = 0. Известно, что две прямые на плоскости либо пересекаются, либо парал- лельны, либо совпадают. Выясним условия, при которых имеет место каждый из перечисленных случаев, для чего рассмотрим систему 37
         0 0 2 2 2 1 1 1 C y B x A C y B x A (33)
2.10.1. Пересечение прямых
Если 0 1 2 2 1   B A B A или (при 0 2  A , В 2  0) 2 1 2 1 B B A A  , т. е. нормальные век- торы
п

1
= (А 1 ; В 1 ) и
n

2
= (A 2 ; В 2 ) данных прямых не коллинеарны, то прямые l 1 и l 2 не параллельны и не совпадают, а следовательно, пересекаются. Чтобы найти координаты точки пересечения прямых l 1 и l 2 достаточно решить систему , со- ставленную из уравнений прямых, т.е. систему (33).
2.10.2. Условие параллельности прямых
Если 0 1 2 2 1   B A B A или (при 0 2  A , В 2  0) 2 1 2 1 B B A A  , т. е. нормальные векторы
п

1
= (А 1 ; В 1 ) и
n

2
= (A 2 ; В 2 ) данных прямых не коллинеарны, то прямые l 1 и l 2 параллельны, либо совпадают, Здесь имеются две возможности: а) если 2 1 2 1 2 1 C C B B A A   , то прямые l 1 и l 2 совпадают, система (33) будет иметь множество решений, т.е. прямые l 1 и l 2 будут иметь бесконечное множество общих точек. б) е сли 2 1 2 1 2 1 C C B B A A   , то прямые l 1 и l 2 параллельны, система (33) не будет иметь решений. Итак, для того, чтобы прямые А 1 х + В 1 у + С 1 = 0, и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0 были паралллельны, включая случай, когда они совпадают, необходимо и доста- точно, чтобы 0 1 2 2 1   B A B A или (при 0 2  A , В 2  0) 2 1 2 1 B B A A  . (34) Запишем равенство 2 1 2 1 B B A A  следующим образом 2 1 2 1 B B A A    , т.к. , 1 1 1 k B A   а , 2 2 2 k B A   то k 1 = k 2 . (35) Таким образом, прямые (при 0 2  A , В 2  0 ) параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, между собой (35). Если прямые заданы общими уравнениями, то они параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны коэффициенты при одноименных теку- щих координатах в их уравнениях (34).
2.10.3. Условие перпендикулярности прямых
Если прямые l 1 и l 2 взаимно перпендикулярны, то взаимно перпендику- лярны и их нормальные векторы
п

1
= (А 1 ; В 1 ) и
n

2
= (A 2 ; В 2 ). Их скалярное произведение 38
0 2 1 2 1   B B A A (36) Равенство (10) является необходимым и достаточным условием перпен- дикулярности прямых. Разделим почленно равенство (36) на В 1 В 2 (В 1 и В 2 не равны нулю), полу- чим 0 1 2 2 1 1    B A B A или 0 1 2 2 1 1              B A B A , т.к. , 1 1 1 k B A   , 2 2 2 k B A   то 0 1 2 1    k k , при k 1 0  имеем 1 2 1 k k   (37) Таким образом, прямые (при 0 1  A , 0 1  B , В 2  0 ) взаимно перпендику- лярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величи- не и противоположны по знаку (37). Пример 1. Показать, что прямые Зх -2y + 1 = 0 и 2х + 5у -12 =0 пересе- каются и найти точку их пересечения. Решение: Так как 5 2 2 3   , то прямые пересекаются. Для нахождения точ- ки их пересечения решаем систему          0 12 5 2 0 1 2 3 y x y x , откуда x = 1, у = 2, т. е. пря- мые пересекаются в точке (1; 2). Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(-4; 1) параллельно прямой 4х - 3y + 7 = 0. Решение: Напишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку А(-4; 1); у - 1= k (x + 4). Затем находим угловой коэффициент данной прямой; 3 4 3 4       B A k Искомая прямая параллельна данной прямой, поэтому ее угловой коэф- фициент тоже равен 3 4 , Подставив в уравнение пучка k = 3 4 , найдем у - 1= 3 4 (x + 4) или 4х - Зу +19 = 0. Пример 3. Даны вершины треугольника A(-2; 1), В(0; 5) и С(2; -4). Соста- вить уравнение высоты, проведенной из вершины С. Решение: Напишем уравнение пучка прямых с центром в точке С: у + 4 =k (x - 2). Высота, проведенная из вершины С, перпендикулярна стороне АВ, поэтому ее угловой коэффициент AB k k 1   . Зная координаты точек A и B, нахо- дим 2 ) 2 ( 0 1 5         A B A B AB x x y y k Следовательно, 2 1   k . Подставив найденное значение k в уравнение пучка, найдем ) 2 ( 2 1 4     x y или х + 2y + 6 = 0.
Упражнения
39
1. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых (в случае их пересечения найти точки пересечения): 1) Зх -2у - 4 = 0 и x + 3y - 5 = 0; 2) х - 5у + 7 = 0 и Зx - 15у + 4 = 0; 3) 5х - 3y + 9 = 0 и 6x + 10y - 13 =0; 4) х - 2у - 7 = 0 и 4x + 2у -3 = 0. 2. Определить координаты вершин треугольника, если даны уравнения его сторон 2x - y - 1 = 0, х - 2у + 3 = 0, 2x + 3y - 5 = 0. Дать аналитическое и графическое решение. 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х - у - 3 = 0 и х - Зу - 4 = 0 параллельно прямой x + y - 1 = 0. 4. Дан треугольник с вершинами А(6; 4), В(-3; 5) и С(-2; -6). Составить уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно медиане, проведенной из вершины В. 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2; -3) перпендику- лярно прямой х - 2у + 3 = 0. 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых x + 2у + 2 = 0 и Зx + 4у + 9 =0 перпендикулярно прямой 2х + 3у - 6 = 0. 7. В треугольнике с вершинами А(-2; 0), и B(2; 6) и С(4; 2) проведена высота ВD ( AC D  ) и медиана ВЕ ( AC E  ). Составить уравнение стороны АС, медианы ВЕ и высоты ВD. 8. Даны уравнения сторон треугольника AВС: 4x + 2y - 19 =0 (АВ), 5x + 6y + 6=0 (ВС) и х + у + 1= 0 (АС). Составить уравнение высоты ВD ( AC D  ).
2.11. Вычисление угла между прямыми
Пусть требуется определить угол между прямыми l 1 и l 2 , заданными в плоскости Оху уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Вычисление одного из двух смежных углов между прямыми l 1 и l 2 сво- дится к вычислению угла  между нормальными векторами
n

1
= (А 1 ; В 1 ) и
n

2
= (А 2 ; В 2 ) этих прямых (рис. 32). Как мы знаем угол меж- ду векторами вычисляется по формуле: 2 1 2 1 cos n n n n     (38) Записав правую часть последнего равенства в координатной форме, получаем 2 2 1 1 2 1 2 1 cos B A B A B B A A       (39) Если требуется вычислить острый угол между прямыми l 1 и l 2 , то числитель правой части равенства (1) берется по модулю, т.е. 2 2 1 1 2 1 2 1 cos B A B A B B A A       (39a) Пример 1. Найти угол между прямыми 7х - у - 2 = 0 и х - у + 3 = 0. Решение: По формуле (39) находим 8 , 0 1 1 1 49 ) 1 ( ) 1 ( 1 7 cos            Рис 32 40
 = аrссоs0,8 = 36°52'. Если прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом у = k 1 х + b 1 и у = k 2 х + b 2, то угол  , на который нужно повернуть прямую l 1 в положительном направлении до совпадения с прямой l 2 , можно вычислить че- рез угловые коэффициенты k 1 и k 2 этих прямых. Из рис. 32 видно, что      1 2 , откуда 1 2      . Если прямые l 1 и l 2 не перпендикулярны, т. е. имеет смысл  tg , то 2 1 1 2 1 2 1 ) (        tg tg tg tg tg tg       , но 1 1 k tg   , 2 2 k tg   , поэтому 2 1 1 2 1 k k k k tg      (40) Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой и какая второй, то правая часть формулы (40) бе - рется по модулю, т. е. 2 1 1 2 1 k k k k tg      (40a) Пример 2. Найти острый угол между прямыми 2х - у - 4 = 0 и у= 2 1 х +4. Решение: Из уравнения 2х - у - 4 = 0 находим k 1 = 2 1 2      B A . Сравнивая уравнение у = 2 1 х + 4 с уравнением у = k 1 x + b, находим k 2 = 2 1 . По формуле (4) имеем 75 , 0 4 3 2 2 3 2 1 2 1 2 2 1          tg тогда 75 , 0 arctg   = 36°52'.
Упражнения
1. Вычислить угол между прямыми: 1) 5х - у + 7 = 0 и 2x - 3y + 1 = 0; 2) у = 2х - 3 y = 4 2 1  x 3) 2х + у = 0 и y = 3х - 4; 4) Зx - 4у - 6 = 0 и 8x + 6y - 11 = 0. 2. Вычислить угол между прямой 2х - Зу + 6 = 0 и прямой, проходящей через точки А(4; -5) и В(-3; 2). 3. Даны уравнения сторон треугольника AВС: 7x + 4y + 9 = 0 (АВ), х - 8у + 27 = 0 (ВС), 2х - у - 6 = 0 (АС). Найти внутренние углы треугольника. 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(-2; 0) и образующей угол аrсtg 3 2 с прямой Зх + 4у + 6 = 0.
2. 12. Расстояние от точки до прямой
Рассмотрим прямую АВ, заданную нормальным уравнением х cos  + sin  - р = 0 (1) и точку С(x 1 , y 1 ) (рис. 33). Определим расстояние этой точки С до прямой АВ. Для этого проведем через точку С вспомогательную прямую А'В', 41
параллельную прямой АВ. Ее нормальное уравнение: х cos  + у sin  - р' = 0, где р' = ОР' - длина перпендикуляра ОР', опущенного из начала координат на прямую А'В'. Так как прямая А'В' проходят через точку С(x 1 ; y 1 ), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению х cos  + у sin  - р' = 0, т. е. х 1 cos  + у 1 sin  - р' = 0 откуда р' = х 1 cos  + у 1 sin  . Легко видеть, что искомое расстояние  в нашем случае равно  = DC = PP' = OP' - OP = p' - p. Следовательно,  = х 1 cos  + у 1 sin  - р. (41) Это и есть формула, устанавливающая расстояние, точки С(х 1 , у 1 ) до пря- мой АВ. Для того чтобы найти расстояние точки до прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих коор- динат подставить координаты данной точки и взять численную величину полученного ре- зультата. Замечание. В зависимости от располо- жения точки и прямой правая часть формулы (3) может дать расстояние этой точки до пря- мой или со знаком плюс (+), или со знаком ми- нус (-). А именно, если точка и начало координат расположены по разные сторо- ны от прямой, то правая часть формулы (3) положительна; если же точка и нача- ло координат расположены по одну сторону от прямой, то правая часть формулы (3) отрицательна, причем в обоих случаях она численно равна расстоянию  . Поэтому общую формулу можно записать в виде:  =  (х 1 cos  + у 1 sin  - р), (41а) где знак выбирается таким образом, чтобы величина  была положительной. Пример. Вычислить расстояние точки С(-1; 3) до прямой 3x + 4y - 7 = 0. Решение: Приведем данное уравнение к нормальному виду, для этого вы- числим нормирующий множитель по формуле 2 2 1 B A M    (знак перед дробью берется противоположный свободному члену С общего уравнения прямой). Нормирующий множитель в данном случае равен 5 1 4 3 1 2    M . Умножим данное уравнение на М, получим нормальное уравнение задан- ной прямой 0 5 7 4 3    y x или 0 5 7 5 4 5 3    y x (cos  = 5 3 , sin  = 5 4 ) Подставляя в левую часть. этого уравнения вместо текущих координат координаты точки С(-1; 3), найдем искомое расстояние  =. 5 2 5 7 3 5 4 ) 1 ( 5 3       . Таким образом формулу расстояния от точки A(x 0 ; y 0 ) до прямой Ax + By + C = 0 можно записать в виде: 2 2 0 0 B A C By Ax d     (42) Рис 33 42

Упражнения
1. Даны стороны треугольника: х - у = 0 (АВ), х + у - 2 = 0 (ВС), у = 0 (АС). Со- ставить уравнение медианы, проходящей через вершину В, и высоты, прохо- дящей через вершину А. 2. Даны две смежные стороны параллелограмма 2х - у + 2 = 0 и х - 2у - 2 = 0 и точка М(1; 1) пересечения диагоналей, Найти уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма. 3. Даны две вершины A(-3; 3), В(5; -1) и точка D(4; 3) пересечения высот тре- угольника. Составить уравнения его сторон. 4. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x -2у -8 = 0 и Зх -2у - 8 = 0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравне- ние этой стороны. 5. Даны вершины А(-3; -2), B(4; -1), С(1; 3) трапеции АВСD (АD||ВС) . Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вер- шины D. 6. Даны уравнения двух высот треугольника х + у = 4 и у - 2х = 0 и одна из его вершин А(0; 2) . Составить уравнения сторон треугольника. 7. Уравнение одной из сторон квадрата х + Зу - 5 = 0 . Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если O(-1; 0) есть точка пересечения его диагона- лей. 8. Даны уравнения одной из сторон ромба х - Зу + 10 = 0 и одной из его диагона- лей x + 4у - 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке (0; 1). Найти уравне- ния остальных сторон ромба. 9. Уравнения двух сторон параллелограмма х + 2у - 2 = 0 и х + у - 4 = 0, а урав- нение одной из его диагоналей х - 2 = 0. Найти координаты вершин паралле- лограмма. 10. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин С(4 ;- 1), а также уравнения высоты 2х - 3у + 12 = 0 и медианы 2х + 3у = 0, прове- денных из одной вершины.
3. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

3.1. Понятие об уравнении поверхности и линии в пространстве
Пусть множество решений уравнения F(х; у; z) = 0 непусто. Тогда каж- дой тройке чисел х, у и z, являющейся решением этого уравнения, соответствует точка с координатами (х; у; z) в некоторой прямоугольной системе координат. Множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют урав- нению F(х; у; z) = 0 есть некоторая поверхность.
Определение 1.
Уравнением данной поверхности в системе координат Охуz называется такое уравнение с переменными х, у и z, которому удовлетворя- ют координаты любой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой поверхности. Линия в пространстве рассматривается как линия пересечения двух по- 43
верхностей, т. е. как множество точек, общих двум поверхностям. Так, если Р(х, у, z) = 0 и Ф (х, у, z) = 0 – уравнения двух поверхностей, пересекающихся по не- которой линии l, то координаты точек этой линии удовлетворяют каждому из этих уравнений. Таким образом, система уравнений      0 ) ; ; ( 0 ) ; ; ( z y x Ф z y x F определяет рассматриваемую линию l в пространстве. Например, система (х + 1) 2 + (y- 2) 2 + (z + З) 2 = 14 и х 2 + y 2 + z 2 = 0 определяет окружность (как линию пересечения двух сфер). Отметим, что если известно уравнение поверхности (линии), то относи- тельно любой точки пространства можно решить вопрос: лежит эта точка на данной поверхности (линии) или нет? Пример. Лежит ли точка A(2; -3; 6) на поверхности х 2 + у 2 + z 2 - 49 = 0? Решение: Подставив .в данное уравнение вместо текущих координат х, у и z координаты точки А, получим: 4 + 9 + 36 - 49 = 49 - 49 = 0. Точка А лежит на данной поверхности, т.к. координаты этой точки удовлетворяют уравнению по- верхности.
3.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с заданным нор-

мальным вектором
Пусть в прямоугольной системе координат Охуz задана некоторая точка М 0 (х 0 ; у 0 ; z 0 ) и ненуле- вой вектор
n
=(А; В; С). Требуется составить урав- нение плоскости  , проходящей через точку Мо и перпендикулярной вектору
n
(рис. 34).
Определение.
Любой ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости  , называется нор- мальным вектором этой плоскости. Положение плоскости  определяется зада- нием точки М 0   и вектора
n
  . Возьмем на плоскости  произвольную точ- ку М(х; у; z). Тогда вектор M M 0   и вектор
n
 M M 0 . Скалярное произведе- ние этих векторов равно нулю. Найдем координаты вектора M M 0 и выразим скалярное произведение через координаты векторов
n
и M M 0 : M M 0 = (x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0 ), тогда А(х - xо)+В(у - уо)+С(z - zо)= 0. (43) Уравнение (1) называется уравнением плоскости, проходящей через дан- ную точку Мо, с заданным нормальным вектором
n
. Это уравнение первой степени относительно текущих координатх
,
у и z, поэтому можно сделать вывод: в прямоугольной системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой стeпени относительно текущих координат. Eсли коэффициентам A, В и С уравнения (1) придавать различные значе- ния, то можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку М 0 (х 0 ; y 0 ; z 0 ). Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, назы- вают связкой плоскостей. Поэтому уравнение (1) называют и уравнением связки Рис 34 44
плоскостей. Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2; -1; 3) перпендикулярно вектору
n
=
i
+ З
j
-5
k
. Решение: Имеем x 0 = 2, уо = -1, zо = 3, А = 1, В = 3 и С = -5. Подставив эти значения в уравнение (1), получим (x - 2) + 3(y + 1) - 5(z - 3) = 0 или х + 3у - 5z + 16 = 0.
3.3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи
В прямоугольной системе координат Охуz каждая плоскость определяет- ся уравнением первой степени относительно текущих координат х, у и z. Теперь докажем обратное: всякое уравнение первой степени Ах + Ву + Сz + D = 0 (44) в прямоугольной системе координат Охуz, определяет плоскость и притом единственную. Так как уравнение (44) является уравнением первой степени, то по крайней мере один из коэффициентов А, В или С отличен от нуля. Допустим, для определенности, что А 0  . Тогда уравнение (44) можно представить в виде 0 ) 0 ( ) 0 ( )) ( (        z C y B A D x A Это уравнение имеет вид уравнения А(х - xо) + В(у - уо) + С(z - zо)= 0 и, следовательно, оно определяет единственную плоскость, проходящую через точку ; ( A D  0; 0) и перпендикулярную вектору
n
= (А; В; С). Тогда и уравнение (1), равносильное уравнению (2), определяет плоскость. Уравнение (44) называется общим уравнением плоскости.
3.3.1. Частные случаи уравнения плоскости
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (44) (плоскость, опре- деляемую этим уравнением, обозначим через  ). 1. Свободный член D = 0. Тогда уравнение (1) имеет вид Ах + Ву + Сz = 0. Этому уравнению удовлетворяют координаты точки O(0; 0; 0), следовательно, плос- кость проходит, через начало координат. 2. Один из коэффициентов при текущих координатах равен нулю. Пусть А = 0 Тогда уравнение (1) примет вид Ву + Сz + D = 0. В этом случае плоскость  ‌ ‌ Ox. Аналогично, если B = 0, то  ‌ ‌ Oy и, если С = 0, то  ‌ ‌ Oz. Таким об- разом, если в уравнении плоскости отсутствует какой-либо член, содержащий координату х, у или z, тo плоскость параллельна соответственно оси Ох, Оу или Оz. Например, плоскость, определяемая уравнением Зх - 2z + 5 = 0, параллельна оси Оу (здесь В = 0). 3. Свободный член и один из коэффициентов при текущих координатах равны нулю. Пусть, например, A = D = 0, получим уравнение видa Ву + Сz = 0. При А = 0 плоскость  ‌ ‌ Ox и при D = 0 плоскость  проходит через начало коорди- нат. Следовательно, плоскость  проходит через ось Ox. Аналогично можно показать, что уравнения Ах + Cz = 0 и Ах + Ву = 0 определяют плоскости, про- ходящие соответственно через оси Оу и Оz. Так, уравнение х - 2у = 0 опреде- 45
ляет плоскость, проходящую через ось Оz. 4. Два коэффициента при текущих координатах равны нулю. Пусть, например, А = B = 0. Тогда уравнение (1) примет вид Сz + D = 0. При А = 0 плоскость  ‌ ‌ Ox и при B = 0 плоскость  ‌ ‌ Oy. Следовательно, данная плоскость парал- лельна координатной плоскости Охy. Этот же вывод можно получить иначе. Имеем Сz + D = 0, отсюда C D z   , обозначив c C D   , получим уравнение z = c. Это уравнение показывает, что все точки данной плоскости имеют одну и ту же аппликату, т.е. данная плоскость параллельна оси Оху. Аналогично, уравнения Ву + D = 0 и Ах + D =0 определяют плоскости, соответственно па- раллельные координатным плоскостям Охz и Оуz. Например, уравнение 2z + 5 = 0 (или z = -2,5) определяет плоскость, параллельную плоскости Оху и рас- положенную ниже Оху на расстоянии 2,5 ед. от нее. 5. Свободный член и два коэффициента при текущих координатах равны нулю. Пусть, например. А = В = D = 0. Тогда уравнение (1) имеет вид Сz = 0 или z =0 . Это уравнениe определяет плоскость, все точки которой имеют апплика- ту z = 0, т. е. координатную плоскость Оху. Аналогично, х = 0 – уравнение плоскости Оуz и у = 0 – уравнение плос- кости Охz. Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и через точку А(2; 1; 3). Решение. Так как искомая плоскость проходит через ось Ох, то ее урав- нение имеет вид Ву + Сz = 0. Заменив в этом уравнении текущие координаты координатами точки А, получаем В + ЗС = 0, откуда В = -ЗС. Подставив это значение В в уравнение Ву + Cz = 0, находим -ЗСу + Сz = 0, или Зу - z = 0. Пример 2. Построить плоскость 6х + 10у + 5z -30 = 0. Решение. Для построения плоскости достаточно построить три ее точки. Проще всего найти точки пере- сечения плоскости с осями координат. Положив в данном уравнении у = 0 и z = 0, найдем х = 5. Положив х = 0 и z = 0, находим у = 3. Наконец, положив х = О и y = 0, нахо- дим z = 6. Таким образом, данная плоскость пересекает оси Ох, Оу и Оz соот- ветственно в точках A(5; 0; 0), B(0; 3; 0) и С(0; 0; 6) (рис. 35).
3.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Пусть даны три точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) , M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3 ), не лежащие на одной прямой. На плоскости выберем произвольную точку М(х; у; z). Векторы M 1 M (x-x 1 ; y-y 1 ; z-z 1 ), M 1 M 2 (x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1 ), M 3 M 1 (x 3 -x 1 ; y 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) компланарны, используя условие компланарности векторов (смешанное произведение равно нулю), получим уравнение плоскости, проходящей через три точки: Рис 35 46
0 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1           z z y y x x z z y y x x z z y y x x (45) Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки A(3; -1; 2), B(4; -1; -1) и C(2; 0; 2). Решение: Пусть искомое уравнение имеет вид (1). Так как каждая из дан- ных точек принадлежит, данной плоскости, то координаты этих точек удовле- творяют уравнению (1), т. е.                0 2 2 0 4 0 2 3 D C A C B A D C B A Решим эту систему, приняв за неизвестные коэффициенты А, В, С и счи- тая D 0  , получим A = 3, В = 3, С = 1 и D = -8. Отсюда получаем уравнение плоскости Зх + Зу + z - 8 = 0.
3.5. Взаимное расположение плоскости и пары точек
Взаимное расположение пары точек М 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) , М 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) и плоскости Ax + By + Cz + D = 0 можно определить по следующим признакам: - точки М 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) и М 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) лежат по одну сторону от плоскости, если числа D Cz By Ax    1 1 1 и D Cz By Ax    2 2 2 имеют одинаковые знаки; - точки М 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) и М 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) лежат по разные стороны от плоскости, если числа D Cz By Ax    1 1 1 и D Cz By Ax    2 2 2 имеют разные знаки; - одна из точек (или обе) лежит на плоскости, если одно из этих чисел (или оба) равно нулю. Пример. Как расположены точки А(2; 3; 3) и В(1; 2; -1) относительно плоскости 6x + 3y + 2z - 6 = 0 Решение: Подставим координаты точек A и В в левую часть уравнения плоскости, получим 21 6 3 2 3 3 2 6        и 4 6 ) 1 ( 2 2 3 1 6         . Оба числа положительны, значит точки A и В лежат по одну сторону от плоскости.
3.6. Pасстояние от точки до плоскости
Расстояние d от точки М 1 (x 1 ; y l ; z l ) до плоскости Ах + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины: 2 2 2 1 1 1 C B A D Cz By Ax d       (46) Пример. Найти расстояние от точки К(3; 9; 1) до плоскости х - 2у + 2z - 3 = 0. Решение: 3 1 5 3 15 3 15 2 ) 2 ( 1 3 1 2 9 2 3 1 2 2 2               d Замечание 1. По знаку величины d, вычисленной без модуля, можно судить о взаимном расположении точки М 1 и начала О относительно плоскости (44) (Замечание п. 2.12).
3.7. Нормальное уравнение плоскости
Уравнение вида 47
0 cos cos cos        p z y x    (47) г д е 1 cos cos cos 2 2 2       , р – полярное расстояние, называется нормальным уравнением плоскости. Пример 1. Составить нормальное уравнение плоскости, у которой полярное расстояние равно 3 1 , а все углы тупые и равны между собой. Ре ш е н и е : П р и o 120       у с л о в и е 1 cos cos cos 2 2 2       д а е т 3 1 120 cos cos cos cos      o    , тогда нормальное уравнение плоскости будет иметь вид: 0 3 1 3 1 3 1 3 1      z y x . Пример 2. Является ли нормальным уравнение плоскости вида: а) 0 5 5 2 3 2 3 1     z y x б) 0 5 3 2 3 2 3 1      z y x ? Решение: а) Из уравнения плоскости имеем: 3 1 cos   , 3 2 cos   , 3 2 cos    , условие 1 3 2 3 2 3 1 2 2 2                       выполняется, но полярное расстояние р =-5 меньше нуля. Значит данное уравнение не является нормальным. б) Из уравнения плоскости имеем: 3 1 cos    , 3 2 cos   , 3 2 cos    , условие 1 3 2 3 2 3 1 2 2 2                        выполняется, но полярное расстояние р = 5. Значит данное уравнение является нормальным. Чтобы найти нормальное уравнение плоскости, заданной общим уравнением Аx + Ву + Сz + D = 0, достаточно разделить обе части данного уравнения на 2 2 2 C B A    , причем верхний знак берется, когда D > 0, и нижний, когда D < 0, если D = 0, то можно взять любой знак. Пример 3. Привести к нормальному виду уравнение плоскости х - 2у + 2z - 6 = 0. Решение: Pазделим обе части уравнения на 3 2 ) 2 ( 1 2 2 2     (перед корнем взяли знак плюс, т.к. D < 0). П ол у ч а е м : 0 2 3 2 3 2 3 1     z y x . Следовательно, р = 2, 3 1 cos   , 3 2 cos    , 3 2 cos   .
3.8. Взаимное расположение плоскостей

3.8.1. Условие параллельности плоскостей
Если плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 параллельны то нормальные векторы
n

1
(A 1 , B 1 , С 1 ) и
n

2
(А 2 , B 2 , С 2 ) коллинеарны (и обратно). Поэтому условие параллельности (необходимое и достаточное) есть 1 2 1 2 1 2 C C B B A A   (48) Пример 1. Плоскости 2х - Зу - 4z + 11 = 0 и - 4х + 6у + 8z + 36 = 0 параллельны, так как 4 8 3 6 2 4      = -2. 48
Пример 2. Плоскости 2x - 3z - 12 = 0 (A 1 = 2, B 1 = 0, С 1 = -3) и 4x + 4y - 6z + 7 = 0 (A 2 = 4, B 2 = 4, С 2 = -6) не параллельны, так как B 1 = 0, а B 2  0 Замечание. Если не только коэффициенты при координатах, но и сверх того и свободные члены пропорциональны, т. е. если 1 2 1 2 1 2 1 2 D D C C B B A A    , то плоскости совпадают. Так, уравнения 3x + 7y - 5z + 4 = 0 и 6х + 14y - 10z + 8 = 0 представляют одну и ту же плоскость.
3.8.2. Условие перпендикулярности плоскостей
Если плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы
n

1
(A 1 , B 1 , С 1 ),
n

2
(А 2 , B 2 , С 2 ) (и обратно). Поэтому условие перпендикулярности (необходимое и достаточное) есть A 1 A 2 + B 1 B 2 + С 1 С 2 = 0. (49) Пример 1. Плоскости Зх - 2у - 2z + 7 = 0 и 2x + 2y + z - 4 = 0 перпендикулярны, так как 3·2 + (-2)·2 + (-2)·1 = 0. Пример 2. Плоскости 3х - 2у = 0 (A 1 = 3, B 1 = -2, С 1 = 0) и z = 0 (A 2 = 0, B 2 = 0, С 2 = -1), перпендикулярны.
3.9. Угол между двумя плоскостями
Две плоскости 1  и 2  А 1 х + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 образуют четыре двугранных угла, равных попарно. Один из них равен углу между нормальными векторами
n

1

=
(А 1 , B 1 , С 1 ) и
n

2
=(А 2 , B 2 , С 2 ). Обозначая любой из двугранных углов через φ, имеем: (50) cos 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 C B A C B A C C B B A A           Выбирая верхний знак, получаем   2 1 , cos n n  , выбирая нижний, - получаем             2 1 0 , 180 cos n n . Пример. Угол между плоскостями х - у + 2 z +2 = 0 и х + у + 2 z - 3 = 0 определится из равенства (    2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 ) 1 ( 1 1 cos 2 2                 . Получаем φ = 60 0 или φ = 120 0 . Если вектор
n

1
образует с осями Оx, Оy, Oz углы α 1 , β 1 , γ 1 , а вектор
n

2
- углы α 2 , β 2 , γ 2 , то cosφ = ± (cosα 1 cosα 2 + cosβ 1 cosβ 2 + cosγ 1 cosγ 2 ).
3.10. Уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным

направляющим вектором
Пусть в прямоугольной системе координат Охуz задана некоторая точка 49
М 0 (х 0 ; y 0 ; z 0 ) и ненулевой вектор
s
=(m; п; р). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку М 0 и параллельной вектору
s
(рис. 36).
Определение.
Любой ненулевой вектор
s,
коллинеарный прямой l, назы- вается направляющим вектором этой прямой. Положение прямой l в пространстве определя- ется заданием точки М 0 (х 0 ; y 0 ; z 0 ) векторa
s
=(m; п; р)
,
параллельного прямой l. Возьмем на прямой l произвольную точку М(х; у; z), Ясно, что условие принадлежности точки М прямой l эквивалентно коллинеарности векторов
s
и M M 0 =(x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0 ), т.е. пропорционально- сти их соответствующих координат. Следовательно, p z z n y y m x x 0 0 0      (51) Уравнения (51) называются уравнениями прямой, проходящей через дан- ную точку М 0 с заданным направляющим вектором
s
= (т; п; р) или канониче- скими уравнениями прямой Пример 1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М 0 (-5; 2; -3) параллельно вектору, соединяющему точки М 1 (1; -1; 2) и M 2 (3; 2; -1). Решение: За направляющий вектор искомой прямой примем вектор 2 1 M M = =(3-1; 2+1; -1-2) = (2; 3; -3). Заменив в уравнениях (1) х 0 ; y 0 ; z 0 коорди- натами точки М 0 и т, п, р координатами вектора 2 1 M M , получим искомые урав- нения 3 3 3 2 2 5       z y x . Отметим, что если прямая l перпендикулярна какой-либо из координат- ных осей, то соответствующая координата направляющего вектора
s
равна нулю. Например, если  l Оу, то п = 0. B этом случае формально записывают уравнения прямой в каноническом виде: p z z y y m x x 0 0 0 0      . Пример 2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку А(-1; 0; 3) параллельно вектору
s =
(0; 1; -2). Решение: Согласно уравнениям (1) имеем 2 3 1 0 1      z y x . Прямая l пер- пендикулярна оси Ox.
3.11. Параметрические уравнения прямой
В канонических уравнениях прямой p z z n y y m x x 0 0 0      обозначим рав- ные отношения через t, получим              p z z n y y t m x x 0 0 0 отсюда выразим x, y, z, получим Рис 36 50
           pt z z nt y y mt x x 0 0 0 , (52) г д е t является параметром, принимающим всевозможные действительные значения в зависимости от положения точки на прямой l. Уравнения (52) называются параметрическими уравнениями прямой. Пример. Найти точку пересечения прямой 5 2 1 1 3 1       z y x с плоско- стью x + y - 2z - 4 = 0. Решение: Представим данные уравнения прямой в параметрическом виде:             t z t y t x 5 2 1 3 1 Для нахождения координат точки пересечения прямой с плоскостью нужно решить систему:                   0 4 2 5 2 1 3 1 z y x t z t y t x Заменив в последнем уравнении х, у z их значениями из первых трех уравнений, найдем 1 + 3t -1 - t - 4 - 10t - 4 = 0 или , -8t - 8 = 0, отсюда t =-1. Подставив найденное значение t в параметрические уравнения прямой, получим: х = -2, у = 0, z = -3. Следовательно, искомая точка имеет координаты (-2; 0; -3).
3.12. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
Пусть требуется найти уравнения прямой l, проходящей через точки М 1 (х 1 ; у 1 ; z 1 ) и М 2 (х 2 ; у 2 ; z 2 ). Так как вектор 2 1 M M =(х 2 - х 1 ; у 2 - у 1 ; z 2 - z 1 ) коллинеарен прямой l, то можно принять его за направляющий вектор. Искомые уравнения напишем как уравнения прямой, проходящей через точку М 1 и имеющей направляющий век- тор 2 1 M M : 1 2 1 1 2 1 1 2 1 z z z z y y y y x x x x         (53) Пример. Дан треугольник с вершинами A(-1; -2; -3), B(2; -1; 4) и С(3; 2; 1). Составить уравнения медианы ВD (D  АС). Решение: Находим координаты точки D как середины отрезка А С по формулам (8а): 1 2 3 1 2       C A D x x x , 0 2 2 2 2       C A D y y y , 1 2 1 3 2        C A D z z z Напишем искомые уравнения как уравнения прямой, проходящей через 51
точки B(2; -1; 4) и D(1; 0; -1): 4 1 4 1 0 1 2 1 2          z y x или 5 4 1 1 1 2        z y x .
3.13. Общие уравнения прямой
Рассмотрим систему            0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A (54) Каждое из уравнений системы (54) в прямоугольной системе координат Охуz определяет плоскость. Если нормальные векторы
n

1
=(A 1 ; B 1 ; C 1 ) и
n

2
=(A 2 ; B 2 ; C 2 ) этих плоскостей не коллинеарны, т. е. плоскости не параллельны и не совпадают, то система (54) определяет некоторую прямую l как линию пересечения двух плоскостей. Уравнения (54) называются общими уравнениями прямой. Пример. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой            0 7 2 3 0 5 3 2 z y x z y x Решение: Исключив сначала у, а затем z, получим уравнения 11x - 5z + 16 = 0, 7х - 5у - 3 = 0. Разрешим каждое из уравнений относительно х: 11 ) 5 16 ( 5 11 16 5     z z x и 7 ) 5 3 ( 5 7 3 5     y y x , откуда 11 ) 5 16 ( 5 7 ) 5 3 ( 5     z y x или 11 5 16 7 5 3 5     z y x Решая задачи на прямую и плоскость, следует помнить, что для прямой p z z n y y m x x 0 0 0      основной характеристикой является направляющий вектор
s
=(т; п, р), а для плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 нормальный вектор
N
=(А: В; С).
3.14. Угол между прямой и плоскостью
Пусть прямая l образует с плоскостью  некоторый угол  . Угол  , об- разованный направляющим вектором
s
прямой l и нормальным вектором
n
плоскости  равен  (рис 37). Тогда   cos sin  , но т.к. 2 2 2 2 2 2 cos p n m C B A Cp Bn Am          , следовательно, угол между прямой и плоско- стью можно найти из формулы: 2 2 2 2 2 2 sin p n m C B A Cp Bn Am          (55) П р и м е р . Н а й т и у гол м е ж д у п р я м о й 2 1 1 2 2 1      z y x и плоскостью 2x + y - z + 4 = 0 Решение: Из уравнения прямой имеем: m = 2, n = 1, p = 2. Из уравнения плоскости: A = 2, B = 1, С = -1. Находим 15 3 2 1 2 ) 1 ( 1 2 2 1 1 1 2 2 sin 2 2 2 2 2 2               Рис 37 52
sin  = 0,7746, тогда  =arcsin0,7746  24 o .
3.15. Условие параллельности прямой и плоскости
Прямая l и плоскость  параллельны друг другу в том и только в том случае, когда векторы
s =
(m; n; p) и
n =
(A; B; C) взаимно перпендикулярны. А для этого необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю или, в координатной форме: Аm + Вn + Сp = 0. (56) Это условие можно получить используя формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью., Так как  || l , то угол 0   , тогда дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, т.е. Аm + Вn + Сp = 0. Пример. При каком значении m прямая 2 2 1 2      z y m x параллельна плоскости Зx - у + 2z - 8 = 0? Решение. По формуле (4) имеем 0 ) 2 ( 2 2 ) 1 ( 3        m , откуда m = 2.
3.16. Условие перпендикулярности прямой и плоскости
Прямая l и плоскость  перпендикулярны в том и только в том случае, когда векторы
s
(m; n; p) и
n
(A; B; C) параллельны друг другу. А для этого необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны, т. е. p C n B m A   (57) Пример. При каких значениях В и С п р я м а я             t z t y t x 4 2 3 3 2 перпендикулярна плоскости 2х + Ву + Сz - 3 = 0? Решение. Из уравнения прямой имеем m = 3, n = 2, р = -1, а из уравнения плоскости A = 2. Подставив эти значения в (1), получаем 1 2 3 2    C B откуда 2 3 2 B  и 1 3 2   C получаем В = 3 4 , С = 3 2 
Упражнения
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат пер- пендикулярно вектору n = (3; 0; -2). Привести полученное уравнение к нор- мальному виду. 2. Даны точки А(3; -1; 2) и B(4; -2; -1).. Составить уравнение плоскости, прохо- дящей через точку А перпендикулярно к вектору AB . 3. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости: 1) Зх - 4у + 5z - 2 = 0 и 3x - 4у + 5z + 5 = 0; 2) 8x + 2у - 6z + 7 = 0 и 4х + у + Зz - 1 = 0; 3) x + 2y - 3 = 0 и 5x + 10z - 13 = 0. 4. Определить, при каком значении р следующие пары уравнений будут опре- делять перпендикулярные плоскости: 1) 2х - 5у + рz - 7 = 0 и x - 2y - Зz + 4 = 0; 2) x + Зу - z + 2 = 0 и 5x - 2y + pz + 1 = 0; 3) у - 2z + 1 = 0 и Зx + ру - z - 5 = 0. 53
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (2; 3; -1) парал- лельно плоскости: 1) 5х - Зу + 2z - 10 = 0; 2) 2х - у + 3z - 4 = 0. 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: 1) A(1; -3; 4), В(0; -2; - 1) и С(1; 1; -1); 2) M(1; -2; -0,5), N(2; 1; 3) и L(0; -1; -1). 7. Найти расстояние от точки A(2; 3; -1) до плоскости: Зх + 4у - 5 = 0. 8. Найти расстояние от точки M(3; 4; -1) до плоскости: 7х - 6y + 6z + 42 = 0. 9. Составить уравнения прямой, проходящей через точку A(3; 0; -2) параллель- но: 1) вектору
s
=(-1; 5; 0); 2) прямой 1 2 1 3 2 1       z y x ; 3) оси Оx; 4) оси Oy 5) оси Oz. 10.Даны вершины треугольника: A(3; -1; -1), B(1; 2; -7) и С(5; 2; -1). Составить уравнения прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне АС. 11.Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A(3; -7; 0) параллельно прямой 2 5 1 2 3      z y x . 12.Дан треугольник с вершинами: A(0; 4; 1), B(-2; -5; 3) и С(2; 0; 2). Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС. 13.Доказать, что прямая х = 3t - 2, у = -4t + 1, z = 4t -5 параллельна плоскости 4х - Зу - 6z - 5 = 0. 14.Найти точку пересечения прямой и плоскости: 1) 2 3 2 1 5 2      z y x и x + 2y - 2z + 6 = 0; 2)            0 1 3 5 3 0 4 2 z y x x y x 2x + 7y - z - 8 = 0. 15.Даны вершины треугольника: A(1; -3; 3), B(7- 1- 3) и C(-5; 1;-1). Составить уравнения его медиан. 16.Даны вершины треугольника: А(3; -1; -1), В(1; 2; -7) и С(-5; 14; -3). Соста- вить уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В. 17.При каком значении р прямая p z y x 1 2 5 2       параллельна плоскости x - 3y - 2z - 5 = 0? 18.При каких значениях А и С прямая            t z t y t x 1 3 5 2 перпендикулярна плоскости Ах + 6y + Сz - 11 = 0? 19.Даны координаты вершин пирамиды А 1 (10; 6; 6), A 2 (-2; 8; 2), A 3 (6; 8; -1), A 4 (7; 10; 3). 1) составить уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 ; 2) составить уравнение прямой А 1 А 4 ; 3) найти угол между гранью А 1 А 2 А 3 и ребром А 1 А 4 ; 4) составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А 4 на грань А 1 А 2 А 3 ; 54
5) найти проекцию вершины А 4 на грань А 1 А 2 А 3 ; 6) найти точку * 4 A , симметричную А 4 относительно грани А 1 А 2 А 3 ; 7) найти площадь грани А 1 А 2 А 3 , объем пирамиды и её высоту, опущенную из вершины А 4 ; 8) составить уравнение плоскости, проходящей через А 4 перпендикулярно А 2 А 3 55

4. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Исчисление с направленными отрезками приняло современный вид лишь в конце 19 века, главным образом с потребностями механики физики. Его корни уходят в далекое прошлое, причем одним из важнейших источников фор- мирования основных понятий учения о векторах была теоретическая и практи- ческая геометрия. Зачатки геометрического исчисления изложены в "Началах" Евклида, сложение величин сводится к таким же операциям над отрезками, умножение величин – к построению прямоугольника на соответствующих от- резках, деление – к операции "приложения" геометрических фигур. Геометрическая алгебра, сыгравшая известную роль в развитии матема- тики, стала из-за ограниченности своих средств тормозом в развитии алгебры в 16-17 веках. Идея создания геометрического исчисления, близкого по смыслу к совре- менному векторному исчислению, была впервые выдвинута в в1679 году Лейб- ницем в одном из писем к Гюйгенсу. В последние десятилетия 17-18 в. ученые вопросам геометрии не уделяли большого внимания. Вопрос о создании геомет- рического исчисления вновь возникает в начале 19 века. Итак, развитие настоящего векторного исчисления относится к 19 в.
4.1. Пути развития векторного исчисления
Исторически развитие векторного исчисления шло тремя путями: гео- метрическим (исчисление отрезков), физическим (исследование векторных ве- личин, встречаемых в естествознании) и алгебраическим (расширение понятия операции при создании современной алгебры). Начала исчисления направленных отрезков были впервые изложены уро- женцем Норвегии Каспаром Весселом в мемуаре «Опыт об аналитическом представлении направления и его применениях, преимущественно к решению плоских и сферических многоугольников», опубликованном в «Трудах Датской Академии наук» в 1799 г. В этой Академии Вессель работал на протяжении всей своей сознательной жизни в должности «тригонометрического оператора», т. е. в качестве геодезиста, картографа и землемера. Вессель создал свой труд, исхо- дя из чисто практических задач с целью облегчения труда геодезиста-землеме- ра. Стремясь для этой цели построить «геометрическое исчисление», в котором алгебраическими методами можно было бы находить отрезки по величине и направлению, Векторную алгебру на плоскости (или двумерное векторное про- странство) Вессель строит почти так же, как она изложена в наших учебниках. Его определение суммы нескольких векторов, следующее за определением сум- мы двух направленных отрезков: «Чтобы сложить более двух отрезков, нужно следовать тому же правилу: располагаем их так, чтобы конец первого совпадал с началом второго, а конец второго совпадал с первой точкой третьего и т. д., за- тем соединяем отрезком ту точку, где первый отрезок начинается, с той точкой, где последний отрезок оканчивается, и называем этот последний отрезок сум- мой всех данных отрезков». 56
Он строит также исчисление направленных отрезков в пространстве (т. е. трехмерное векторное пространство) и, развивая оригинальную «алгебру вра- щения сферы», применяет ее к решению сферических треугольников и много- угольников. Работа Весселя является ярким примером огромного влияния, ока- зываемого практикой на развитие математики. Следует также отметить, что в труде Весселя нет никаких примеров из области механики или физики. «Опыт» Весселя свидетельствует о том, что именно удовлетворение потребностей при- кладной геометрии привело к развитию векторного исчисления. Последний факт подтверждается и работой Л. Карно «Геометрия поло- жения для тех, кто готовится к измерению земель», изданной в 1803 г. и предвосхитившей некоторые основные идеи проективной геометрии и тополо- гии. Карно занимает видное место и в истории векторного исчисления. В ней Карно вводит понятие геометрического количества, под которым он подразумевает в основном направленный отрезок, и занимается действиями над ориентированными фигурами, в частности отрезками. До него положительные и отрицательные отрезки рассматривались лишь в пределах одной прямой, он же ввел отрезки, имеющие любое направление, и фактически проложил путь к векторному исчислению. У Карно отсутствует систематическое исчисление направленных отрезков, содержащееся у Весселя. Однако «Опыт» последнего не оказал никакого влияния на развитие векторного исчисления, так как на протяжении целого столетия ученые не обращали на него внимания, в то время как понятие геометрического количества Карно стали употреблять передовые математики уже в самом начале XIX в. Некоторые введенные Карно термины и символы. в частности обозначение вектора с помощью черты наверху, сохранились и поныне. В сочинении по аналитической и проективной геометрии (1827) немец- кий математик А. Мебиус в известной мере продолжил труд Карно и системати- зировал идеи последнего. Он, в частности, впервые представлял геометрическое количество АВ в виде разности точек: В - А. Швейцарский математик Жан Арган (1768—1822) под влиянием идей Карно написал в 1806 г. «Опыт о способе изображения мнимых количеств в гео- метрических построениях». Арган ставит и корректно решает задачу построе- ния исчисления направленных отрезков, которые он называет «направленными линиями». Свой метод он применяет для решения различных задач геометрии, алгебры и механики. Примерно в то же время появился и ряд других работ М. Бюэ, Дж. Уоррена и др. Дальнейшее развитие векторного исчисления связано с исследованиями У. Гамильтона и Г. Грассмана по гиперкомплексным числам. Первый дал стро- гое изложение алгебры комплексных чисел и создал учение о кватернионах, ко- торое явилось одним из алгебраических источников развития современного век- торного исчисления. Он впервые стал применять термин «вектор» и опериро- вать с векторами в трехмерном пространстве. Основы векторной алгебры и век- торного анализа были изложены Гамильтоном в его «Лекциях о кватернионах» (1853), в которых впервые появляются термины «скаляр» (от латинского sса1а – 57
лестница; подобно ступенькам лестницы, можно упорядочить действительные числа, вводя понятия «больше» и «меньше») и «вектор». Тут же встречаются термины скалярное произведение и векторное произведение. Почти одновремен- но независимо от Гамильтона к понятию вектора пришел и Грассман, изложив- ший основы векторного исчисления в 1844 г. в работе «Учение о протяженно- сти», написанной в геометрическом духе. В ней впервые излагается учение об n- мерном пространстве. Это «Учение» содержит теорию векторов на плоскости и в трехмерном пространстве. Свой метод геометрического исчисления Грассман применял и к исследованию кривых. Векторы, названные им палочками, он обозначал жирными буквами латинского алфавита. Скалярное произведение векторов, названное им внутренним произведением, он обозначал а|b; векторное произведение, названное им внешним произведением, он обозначал [а, b]. В создании трудов вышеуказанных ученых, развивших векторное исчис- ление, кроме уже названных мотивов, большую роль сыграли запросы естество- знания. Вместе с тем для ряда других ученых эти запросы были единственным мотивом проявления интереса к векторному исчислению. Этот третий путь раз- вития учения о векторах начался, как мы видели, еще в 16 – 17 вв. В частности, во второй половине 19 в. эта линия развития продолжалась в трудах знаменито- го французского ученого-механика, внесшего огромный вклад в теорию упруго- сти, Сен-Венана (1797 – 1886), в «Рациональной механике» видного русского ученого И. И. Сомова, в работах одного из создателей теории электромагнитно- го поля, выдающегося английского физика Джемса Кларка Максвелла (1831– 1879), систематически применявшего векторное исчисление. Однако современный вид придали векторному исчислению в конце 19 в. американский физик, один из основателей химической термодинамики и стати- стической механики – Дж. Гиббс (1839–1903), примкнувший в своих «Элемен- тах векторного анализа» (1881–1884) к идеям Грассмана, и английский физик О. Хевисайд (1850–1925), применивший векторы в своей «Электромагнитной тео- рии» (1893). В последней четверти прошлого столетия происходит слияние трех путей (геометрического, алгебраического и физического) исторического разви- тия и трех источников формирования векторного исчисления. Векторное исчис- ление становится независимой ветвью математики. Наряду с векторной алгеброй, изучающей постоянные векторы, Гамильтон создал и векторный анализ, изучающий векторы и определил производные скалярной функции по векторному аргументу (градиент). Векторное исчисление стало применяться в аналитической геометрии в 20 веке.
4.2. Из истории аналитической геометрии на плоскости
Возникновение в первой половине 17 в. аналитической геометрии, уста- новившей связь между алгеброй и геометрией было подготовлено как ходом развития математики, так и общими потребностями производства, экономики, науки и торговли той эпохи. После Аполлония в древней Греции не было крупных открытий в гео- метрии. В этой науке наступил длительный застой, причинами которого были не только политические и экономические условия, но и следующий существен- 58
ный факт: геометрическая проблематика классического периода оказалась по- чти полностью исчерпанной. Все, что можно было сделать в геометрии с помо- щью ограниченного математического аппарата того времени, которым пользова- лись греки, было ими сделано, и сделанное вполне удовлетворяло запросам эко- номики, техники и науки. Идеи Евдокса, Архимеда, Аполлония и других корифеев древней матема- тики нельзя было развивать дальше без расширения понятия числа, введения в математику символики, идеи переменных величин и движения, без создания дифференциального и интегрального исчисления. В основе аналитической геометрии, созданной П. Ферма (1601— 1665) и Р. Декартом, лежат две идеи: 1) идея координат, приведшая к арифметизации плоскости, т. е. к тому, что каждой точке плоскости ставится в соответствие два числа, взятые в опре- деленном порядке, и наоборот, 2) идея истолкования любого уравнения с двумя неизвестными как некоторой линии на плоскости и, наоборот, представления любой линии, определяе- мой как некоторое геометрическое место точек, соответствующим уравне- нием. Мы уже знаем, в чем состоит метод координат, и имеем понятие о том, как он используется для изучения свойств геометрических фигур и решения геометрических задач с помощью алгебры, т. е. для развертывания координат- ной, ныне называемой аналитической геометрии. Еще Виет назвал свою буквен- ную алгебру «аналитическим искусством», что дало повод его современникам и последователям называть всякие приложения алгебры к геометрии «аналитиче- скими». Однако термин «аналитическая геометрия» в современном смысле был введен не ее создателями Ферма и Декартом, а гораздо позже французским ма- тематиком С. Лакруа, автором учебного руководства «Курс математики» (1796 —1799). Первая же работа, содержащая некоторые начала аналитической гео- метрии, была написана примерно в середине 30-х годов XVII в. Пьером Ферма и названа им «Введение в учение о плоских и телесных местах». Первой кни- гой, названной «Аналитическая геометрия», был учебник Г. Гарнье, изданный в Париже в 1808 г. К своим новым идеям Ферма пришел, основательно изучая, как и все ве- ликие математики того времени, классические труды древнегреческих ученых, в частности Аполлония. В предисловии к своему «Введению» Ферма указывает, что древнегрече- ские ученые не обладали общими методами решения геометрических задач. Каждая задача трактовалась отдельно и независимо от других, с нею родствен- ных. Отсутствие единого общего подхода к исследованию и решению задач, как и отсутствие символики, приводило к повторениям одного и того же и делало не-возможным рационально классифицировать разрозненные задачи и обозре- вать их сущность с более широкой точки зрения. Ферма задался целью устано- вить общий подход к исследованию геометрических мест. Он с самого начала заявляет, что всякое уравнение между двумя «неизвестными» представляет гео- метрическое место, описываемое концом одной из неизвестных. Его «неизвест- 59
ные», т. е. переменные, являются отрезками. Пользуясь подобием треугольников, Ферма доказывает, что прямая ах = by проходит через начало координат. Он приводит к виду ах = by и общее урав- нение прямой. Идея измерения абсцисс на некоторой фиксированной прямой и опреде- ления точек любой прямой посредством их расстояний от некоторой фиксиро- ванной точки никто раньше Ферма и Декарта до такой «простой вещи» не доду- мался. Одним из недостатков труда Ферма была ограниченность его системы координат. Во-первых, фиксированной считалась только ось абсцисс. Ось орди- нат по существу отсутствует, она как бы подразумевается. Во-вторых, х и у при- нимают, как и в древности, лишь положительные значения. Фактически вся си- стема координат состояла из одного, первого квадранта. «Геометрия» Декарта была впервые опубликована на французском языке в 1637 г. в качестве одного из трех приложений к его философскому труду «Рас- суждение о методе». В этом, как и в других своих произведениях, Декарт выска- зал мысль, что математика является важнейшим средством для понимания зако- нов вселенной и лучшим подтверждением того, что человеческий разум спосо- бен найти истину в науке и познавать природу. Еще в 23-летнем возрасте Декар- та озарила мысль о перестройке всех наук на математической, аналитической основе, мысль о создании одной единой и всеобъемлющей науки «универсаль- ной математики». Эта мысль его постоянно воодушевляла, хотя ему так и не удалось осуществить ее полностью. «Геометрия» Декарта и появилась как ча - стичная реализация общей его идеи, как объединение арифметики и алгебры с геометрией. Фактически «Геометрия» Декарта является алгебраическим трудом, и мало в ней можно найти из того, что мы сегодня называем «аналитической гео- метрией», однако, основная идея последней – алгебраический способ исследо- вания вопросов геометрии с помощью метода координат – в ней четко изложе- на. Декарт начинает с утверждения, что всякая геометрическая задача сводит- ся.в конце концов к нахождению длины или к построению некоторых отрезков, в овязи с чем он развивает свое исчисление отрезков. Чтобы ввести в геометрию предлагаемый им алгебраический метод и доказать его превосходство над мето- дами древнегреческих ученых, Декарт обращается к так называемой «задаче Паппа», известной в древности как задача «о геометрическом месте к трем или более прямым». Эта задача восходит к доевклидовой эпохе, ее решением занимались многие математики, включая Евклида, Аполлония и Паппа, но полного решения ей так и не было дано. Один только Аполлоний ее решил для 3-х и 4-х прямых. Итак, не только.у Ферма, но и у Декарта еще нет того, что мы называем системой декартовых координат на плоскости, есть только ось абсцисс с на- чальной точкой на ней. Хотя «Геометрия» Декарта еще не представляла собой настоящую аналитическую геометрию, все же она как наука развивалась имен- но под влиянием этой книги Декарта, а не под влиянием «Введения» Ферма, по- явившегося в печати лишь в 1679 г. 60
Из-за нелегкого стиля и нечеткого способа изложения «Геометрия» Де- карта оказалась очень трудной для чтения. Уже в 1649 г. француз Ф. Дебон в своих «Кратких замечаниях» комментирует и несколько дополняет Декарта. Так же поступил голландский математик Франц ван-Скоотен, издававший «Геомет- рию» Декарта на латинском языке в 1649 и 1659 гг. У ван Скоотена мы уже на - ходим самостоятельное уравнение прямой у= а - х, преобразования координат и др. Дж. Валлис впервые ввел и отрицательные абсциссы, которые он применил наряду с отрицательными ординатами. Метод координат с трудом пробивал себе дорогу. Некоторые из продолжателей дела Декарта хотя и рисовали вторую ось координат, но не применяли ее. Существенным толчком для дальнейшего разви- тия координатной геометрии на плоскости были небольшой труд и книга его со- отечественника Дж. Стирлинга. Лишь Г. Крамер в своем «Введении в анализ ал- гебраических кривых» (1750) впервые по современному ввел ось У, считая ее равноправной с осью Х, и четко пользовался понятием двух координат точки на плоскости. Этого новшества, однако, еще нет во втором томе «Введения в ана- лиз» (1748) Эйлера. С другой стороны, эта работа Эйлера, посвященная геомет- рии, явилась первой в современном смысле аналитической геометрии кониче- ских сечений. Близкие к современным новые обозначения и расположение мате- риала плоской аналитической геометрии мы находим впервые у С. Лакруа в «Элементарном курсе прямолинейной и сферической тригонометрии и прило- жений алгебры к геометрии», который переиздавался много раз на протяжении целого столетия, начиная с 1798 г. 61

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В учебном пособии по математике раздела "Аналитическая геометрия" изло- жен теоретический материал более кратко, приводятся рисунки, решения опре- деленного круга задач, что дает студентам лучше и быстрее усвоить изученный материал. Тщательно проработаны понятия и доказательства некоторых теорем. Учебный материал данного учебного пособия усваивается студентами значи- тельно легче. В основу написания учебного пособия положен дидактический принцип – от простого к сложному. Автор изложил материал полно, строго и доступно, пре- следуя цель не просто сообщить те или иные сведения по математике, а вызвать у студентов интерес, расширить их кругозор и способствовать привитию мате- матической культуры. 62

ЛИТЕРАТУРА
1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней шко- лы: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 576с. 2. Глезер Г.И. История математики в средней школе. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1970. – 461с. 3. Щипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высш.школа. 1998. – 479с. 63