Подготовил учитель математики филиала МБОУ ООШ с.Кошелёвка основной школы с.Рузаново Спасского района Пензенской области Веденяпина Нина Федоровна
Методы решения текстовых задач.

Введение удобных единиц измерений, как один из методов решения

задач.
В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. Пристальное внимание обучения текстовым задачам, которое было характерно для России, — почти исключительно российский феномен. Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило». Во все времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). При этом учителя мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа решения. Считалось, что понимать-то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал наставник своего питомца, и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу. Немаловажную роль играло приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач
способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилось так много времени при обучении математике в школе. Вот еще один пример разумного использования учащимися арифметического способа решения задачи. Шестому классу дано задание решить с помощью уравнения известную задачу из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого: Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был? Алгебраическое решение задачи приводит к уравнению 7 . (x + 12):12 = x + 5, где x р. — стоимость кафтана. Однако ученица 6 класса предложила вычислять стоимость одного месяца проще: работник не получил 12 – 5 = 7 (р.) за 12 – 7 = 5 (месяцев), поэтому за один месяц ему платили 7:5 = 1,4 (р.), а за 7 месяцев он получил 7 × 1,4 = 9,8 (р.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (р.). Обучение и развитие ребенка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал детей. Кроме того, разнообразные способы решения будят их фантазию, позволяют организовывать поиск решения каждый раз новым способом, что создает благоприятный эмоциональный фон для обучения. Возьмем старинную китайскую задачу: * В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов.
Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов. Следуя «правилам оптимальной стратегии», можно составить уравнение 4x + 2 × (35 – x) = 94, где x — число кроликов, и получить ответ задачи, но это в 6 классе. Но если это задача 5 класса? Для подготовки детей к решению таких задач я провожу в 5 классе «урок одной задачи». Предлагая аналогичную задачу с меньшими числами. В клетке находятся кролики и фазаны. Всего 6 голов и 20 ног. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке? По ходу урока у учащихся должно сложиться мнение, что задачу можно решить разными способами. Учащиеся решают задачу самостоятельно в течение 10 минут, можно заранее выполнить её дома, тогда урок сразу начать с обсуждения. Форма работы в данном случае может быть любой: индивидуальная, в парах, групповая.
Обсуждение способов решения задачи.

Способ 1.
МЕТОД ПОДБОРА: 4 кролика и 2 фазана Проверка: 2+4=6 (голов), 4*4+2*2=20 (ног) Обычно это первое решение, которое предлагают учащиеся. Важно, чтобы они сами сказали, что это метод подбора (от глагола подбирать); учителю необходимо остановиться на этом методе; задать вопрос: всегда ли удобен он при решении таких задач?; неудобен, если числа большие. Появляется стимул для поиска наиболее удобного метода.
Способ 2.
Полный перебор вариантов. Если учащиеся в начале решения задачи этим способом не назовут метод, то они наверняка сделают это в конце обсуждения, т.к. слово «перебор» всегда присутствует в их ответах. Учитель должен подвести их к слову «полный». Учащиеся предлагают этот способ в устной форме (числа в задачах должны быть небольшими).
Форма ответов примерно такая: - Если бы был 1 кролик, 5 фазанов, то ног у них было бы 14 и т.д. Решение лучше оформить в виде таблицы: Ответ: 4 кролика, 2 фазана После оформления решения вновь подводим итог: 1) повторить название метода; 2) обратить внимание на его достоинство (удобство решения) и недостатки (трудоемкость).
Способ 3.
Метод предположения. Это именно тот арифметический способ, с помощью которого в дальнейшем учащиеся и будут решать такие задачи. Очень хорошо, если пятиклассник уже немного знает об этом методе. Рассмотрим два варианта этого метода.
Метод предположения по избытку.
Предположим, что в клетке были только кролики. Тогда у них 4*6=24 (ноги), т.е. 4 ноги «лишние». Эти ноги принадлежат фазанам. Т.К. у фазана 2 ноги, то 4:2=2(фазана). Определим количество кроликов: 6-2=4(кролика)
Метод предположения по недостатку).
Предположим, что в клетке были только фазаны. Тогда у них 2*6=12 (ног), т.е. недостает 8 ног, которые принадлежат кроликам ( по 2 ноги у каждого). Отсюда 8:2=4 (кролика); 6-4=2 (фазана). количество всего кролико в фазан ов Голо в но г 1 5 6 14 2 4 6 16 3 3 6 18 4 2 6 20 5 1 6 22
Снова подводим итоги: 1) назвать метод (и объяснить, почему так называется) 2) вспомнить его варианты; 3) отметить его удобства и недостатки; 4) сравнить с другим методами. После разбора решения задачи следует вновь вернуться к тексту задачи, обратить внимание на то, как она составлена, а потом предложить ученикам попробовать составить задачу самостоятельно. После знакомства только с одной задачей, многие учащиеся «дублируют» рассмотренную задачу, беря большее количество ног и голов; изменяют кроликов на поросят, фазанов на утят или гусят. Некоторые учащиеся меняют содержательную сторону, взяв автомобили и велосипеды. В 6 классе можно предложить учащимся новый метод решения аналогичной задачи *, где используется метод уравнения. В 7 классе можно предложить ту же самую задачу решая её с помощью системы двух уравнений, каждый раз возвращаясь и к другим методам решения этой задачи. — Дети, представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? — 70 (35·2 = 70). — Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные? — Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов. — Сколько их? — 24 (94 – 70 = 24). — Сколько же кроликов? — 12 (24:2 = 12).
— А фазанов? — 23 (35 – 12 = 23). Приведем последний пример, показывающий возможности арифметических способов решения задач. На этот раз рассмотрим упрощенный вариант старинных китайских задач и задач из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона: Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. А чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей? Здесь тоже можно использовать уравнение, а можно, желая развивать способности детей рассуждать, провести такой диалог. — Представим, что мама раздала детям по четыре конфеты. Сколько конфет у нее осталось? — Три. — Если она продолжит раздавать конфеты, то, по сколько конфет она даст каждому? — По одной (5 – 4 = 1). — Скольким детям хватит еще по одной конфете? — Троим. — А скольким не хватит? — Двоим. — Сколько же было детей? — Пять (3 + 2 = 5). Очевидно, что не стоило отказываться от арифметических способов решения, если они стимулируют учащихся к поиску более простых решений, если с их помощью можно создавать разнообразные ситуации, развивающие способности учащихся к рассуждениям. В то время как применение уравнений не дает такого разнообразия. Так что из верной посылки «после овладения алгеброй…» вовсе не следует, что арифметические способы решения задач были излишни в обучении
математике. Введение удобных единиц измерений, как один из методов решения задач используется не так часто, если не считать задачи на количество работы, где используется единица. Однако такие задачи встречаются, и решению таких задач надо уделять должное внимание при подготовке сильных учащихся.
ЗАДАЧА 1.
Лошадь может съесть воз сена за один месяц, коза – за 2 месяца, а овца – за 3 месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена? РЕШЕНИЕ. За один год лошадь съест 12 возов сена, коза – 6, а овца – 4 воза сена. Всего за год они вместе съедят 22 воза сена. Тогда один воз сена они съедят все вместе за 12:22=6/11(месяца).