Рабочая программа по математике

5б класс
(основное общее образование)
Срок реализации 5 лет

Составлена на основе авторской программы по математике для общеобразовательных школ. 5

класс. В.И. Ахременкова, Москва.: «ВАКО», 2015г ;
Составитель: Зимницкая Альвира Зайнуллиновна учитель математики первой квалификационной категории 2015 год
1. Пояснительная записка

Рабочая

программа

по

математике

составлена

на

основе

следующих

нормативных

документов:

– Федерального закона от 29 декабря 2012 г. № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации»; – Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, утверждённого приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17.12.2010 №1897 ( с изменениями и дополнениями); – Федерального перечня учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки РФ к использованию в образовательном процессе в текущем учебном году; –– Образовательной программы основного общего образования МОБУ СОШ №1 с. Инзер муниципального района Белорецкий район РБ; – Учебного плана МОБУ СОШ №1 с. Инзер на текущий учебный год; - «Положения о рабочих программах учителей, реализующих ФГОС НОО, ФГОС ООО, ФК ГОС МОБУ СОШ №1 с. Инзер муниципального района Белорецкий район РБ», приказ №119 от 31.08.2015 г. - Примерной программы по учебным предметам. В рабочей программе учтены идеи и положения Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России, доминирующие идеи и положения Программы развития и формирования универсальных учебных действий, которые обеспечивают формирование российской гражданской идентичности, овладение ключевыми компетенциями, составляющими основу для саморазвития обучающихся, коммуникативных качеств личности и способствуют формированию ключевой компетенции – умению учиться.
Цели обучения
математике в общеобразовательной школе определяются ее ролью в развитии общества в целом и в развитии интеллекта, формировании личности каждого человека. Без базовой математической подготовки невозможно достичь высокого уровня образования, так как все больше специальностей связано с непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и многие другие). Следовательно, расширяется круг школьников, для которых математики становится профессионально значимым предметом. Математике принадлежит ведущая роль в формировании алгоритмического мышления, воспитании умения действовать по заданным алгоритмам и конструировать новые. В ходе решения задач – основной учебной деятельности на уроках математики – развиваются творческая и прикладная стороны мышления. Использование в математике наряду с естественным нескольких математических языков дает возможность развивать у обучающихся точную, экономную и информативную устную и письменную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые средства. Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Таким образом, значимость математической подготовки в общем образовании современного человека повлияла на определение целей обучения математикев школе. В направлении личностного развития: • формирование представлений о математике, как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества; • развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту; • формирование интеллектуальной честности и объективности, способности к преодолению мыслительных стереотипов, вытекающих из обыденного опыта; • воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения; • формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информа- ционном обществе; • развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей; В метапредметном направлении: • развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действи- тельности, создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования; • формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности; В предметном направлении: • овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения образования, изучения смежных дисциплин, применения в повседневной жизни; • создание фундамента для математического развития, формирования механизмов мышления, характерных для математической деятельности.
Исходя из общих положений концепции математического образования, основной курс математики призван решать следующие
задачи:
 овладеть системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучении смежных дисциплин;  способствовать интеллектуальному развитию, формировать качества, необходимые человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственные математической деятельности: ясности и точности мысли, интуиции, логического мышления, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;  формировать представления об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средствах моделирования явлений и процессов;  воспитывать культуру личности, отношение к математики как части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.
2. Общая характеристика учебного предмета
. Содержание математического образования в основной школе формируется на основе фунда- ментального ядра школьного математического образования. Оно в основной школе включает сле- дующие разделы: арифметика, алгебра, функции, вероятность и статистика, геометрия. Наряду с этим в него включены два дополнительных раздела: логика и множества, математика в историческом развитии, что связано с реализацией целей общеинтеллектуального и общекультурного развития учащихся. Содержание каждого из этих разделов разворачивается в содержательно-методическую ли- нию, пронизывающую все основные разделы содержания математического образования на данной ступени обучения. Содержание раздела
«Арифметика»
служит базой для дальнейшего изучения учащимися математики, способствует развитию их логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни. Развитие понятия о числе в основной школе связано с рациональными и иррациональными числами, формированием первичных представлений о действительном числе. Завершение числовой линии (систематизация сведений о действительных числах, о комплексных числах), так же как и более сложные вопросы арифметики (алгоритм Евклида, основная теорема арифметики), отнесено к ступени общего среднего (полного) образования. Содержание раздела
«Алгебра»
направлено на формирование у учащихся математического аппарата для решения задач из разных разделов математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей процессов и явлений реального мира. В задачи изучения алгебры входят также развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для усвоения курса информатики, овладения навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символьных форм вносит специфический вклад в развитие воображения учащихся, их способностей к математическому творчеству. В основной школе материал группируется вокруг рациональных выражений, а вопросы, связанные с иррациональными выражениями, с тригонометрическими функциями и преобразова- ниями, входят в содержание курса математики на старшей ступени обучения в школе. Содержание раздела
«Функции»
нацелено на получение школьниками конкретных знаний о функции как важнейшей математической модели для описания и исследования разно образных процессов. Изучение этого материала способствует развитию у учащихся умения использовать различные языки математики (словесный, символический, графический), вносит вклад в формирование представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры. Раздел
«Вероятность и статистика»
— обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования у учащихся функциональной грамотности - умений воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, проводить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащимся рассматривать случаи, осуществлять перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. При изучении статистики и вероятности расширяются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации, и закладываются основы вероятностного мышления. Цель содержания раздела
«Геометрия»
— развить у учащихся пространственное воображение и логическое мышление путем систематического изучения свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве и применения этих свойств при решении задач вычислительного и конструктивного характера. Существенная роль при этом отводится развитию геометрической интуиции. Сочетание
наглядности со строгостью является неотъемлемой частью геометрических знаний. Материал, относящийся к блокам «Координаты» и «Векторы», в значительной степени несет в себе меж- предметные знания, которые находят применение, как в различных математических дисциплинах, так и в смежных предметах. Особенностью раздела
«Логика и множества»
является то, что представленный в нем материал преимущественно изучается и используется в ходе рассмотрения различных вопросов курса. Соответствующий материал нацелен на математическое развитие учащихся, формирование у них умения точно, сжато и ясно излагать мысли в устной и письменной речи. Раздел
«Математика в историческом развитии»
предназначен для формирования представлений о математике как части человеческой культуры, для общего развития школьников, для создания культурно-исторической среды обучения. На него не выделяется специальных уроков, усвоение его не контролируется, но содержание этого раздела органично присутствует в учебном процессе как своего рода гуманитарный фон при рассмотрении проблематики основного содержания математичес- кого образования.
Распределение учебного времени между предметами представлено в таблице:

классы

Предметы математического цикла

Количество часов
5-6 Математика 340 7-9 Алгебра 306 Геометрия 204 Итого: 850 Курс математики 5 класса является фундаментом для математического образования и развития школьников, доминирующей функцией при его изучении в этом возрасте является интеллектуальное развитие обучающихся. Курс построен на взвешенном соотношении новых и ранее усвоенных знаний, обязательных и дополнительных тем для изучения, а также учитывает возрастные и индивидуальные особенности усвоения знаний обучающимися. Практическая значимость школьного курса математики 5 класса состоит в том, что предметом её изучения являются пространственные формы и количественные отношения реального мира. В современном обществе математическая подготовка необходима каждому человеку, так как математика присутствует во всех сферах человеческой деятельности. Математика является одним из опорных школьных предметов. Математические знания и умения, необходимы для изучения алгебры и геометрии в 7-9 классах, а также изучения смежных дисциплин. Одной из основных целей изучения математики является развитие мышления, прежде всего, формирование абстрактного мышления. С точки зрения воспитания творческой личности, особенно важно, чтобы в структуру мышления обучающихся, кроме алгоритмических умений и навыков, которые сформулированы в стандартных правилах, формулах и алгоритмах действий, вошли эвристические приёмы как общего, так и конкретного характера. Эти приёмы, в частности, формируются при поиске решения задач высших уровней сложности. В процессе изучения математики также формируется и такие качества мышления, как сила и гибкость, конструктивность и критичность. Для адаптации в современном информационном обществе важным фактором является формирование математического стиля мышления, включающее в себя индукцию и дедукцию, обобщение и конкретизацию, анализ и синтез, классификацию и систематизацию, абстрагирование и аналогию. Обучение математики даёт возможность школьникам научиться планировать свою деятельность, критически оценивать свою деятельность, принимать самостоятельные решения, отстаивать свои взгляды и убеждения. В процессе изучения математики школьники учатся излагать свои мысли ясно и исчерпывающе, приобретают навыки чёткого и грамотного выполнения математических записей, при этом использование математического языка позволяет развивать у обучающихся грамотную устную и письменную речь.
Знакомство с историей развития математики как науки формирует у обучающихся представления о математике как части общечеловеческой культуры. Значительное внимание в изложении теоретического материала курса уделяется его мотивации, раскрытию сути основных понятий, идей, методов. Обучение построено на базе теории развивающего обучения, что достигается особенностями изложения теоретического материала и упражнениями на сравнение, анализ, выделение главного, установление связей, классификацию, обобщение и систематизацию. Особо акцентируется содержательное раскрытие математических понятий, толкование сущности математических методов и области их применения, демонстрация возможностей применения теоретических знаний для решения задач прикладного характера, например, решение текстовых задач, денежные и процентные расчеты, умение пользоваться количественной информацией, представленной в различных формах, умение «читать» графики. Осознание общего, существенного является основной базой для решения упражнений. Важно приводить детальные пояснения к решению типовых упражнений. Этим раскрывается суть метода, подхода, предлагается алгоритм или эвристическая схема решения упражнений определенного типа.
3.Описание места учебного предмета в учебном плане
Базисный учебный (образовательный) план на изучение математики в основной школе отводит 5 учебных часов в неделю в течение каждого года обучения, всего 850 уроков. Согласно учебному плану МОБУ СОШ №1с. Инзер всего на изучение учебного предмета «Математика» в основной школе выделяется 850 часов. Из них в 5-ом классе – 170 часов математики (5ч. в неделю, 34 учебные недели), в 6-ом классе – 170 часов математики (5ч. в неделю, 34 учебные недели), в 7-ом классе – 120 часа алгебры (5ч. в неделю в 1 четверти, 3ч в неделю 2,3,4 четверти, 34 учебные недели) + 50 часов геометрии (2ч. в неделю со 2 четверти, 25 учебных недель), в 8-ом классе – 102 часа алгебры (3ч. в неделю, 34 учебные недели) + 68 часов геометрии (2ч. в неделю, 34 учебные недели), в 9-ом классе – 102 часа алгебры (3ч. в неделю, 34 учебные недели) + 68 часов геометрии (2ч. в неделю, 34 учебные недели).
4.Ценностные ориентиры содержания учебного предмета
Математическое образование играет важную роль, как в практической, так и в духов ной жизни общества. Практическая сторона математического образования связана с формированием способов деятельности, духовная — с интеллектуальным развитием человека, формированием характера и общей культуры. Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом яв ляются фунда- ментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения — от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, находить в справочниках нужные формулы и применять их, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виду таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др. Без базовой математической подготовки невозможно стать образованным современным человеком. В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисцип лин. В после школьной жизни реальной необходимостью в наши дни является непрерывное образование, что требует полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе и математической. И наконец, все больше специальностей, где необходим высокий уровень образования, связано с непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и др.). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится значимым предметом. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления и воспитании
умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач — основной учебной деятельности на уроках математики — развиваются творческая и прикладная сто - роны мышления. Обучение математике дает возможность развивать у учащихся точную, экономную и ин- формативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства. Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Необходимым компонентом общей культуры в современном толковании является общее знакомство с методами познания действительности, представление о предмете и методе математики, его отличия от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. История развития математического знания дает возможность пополнить запас историко-научных знаний школьников, сформировать у них представления о математике как части общечеловеческой культуры. Знакомство с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки, с историей великих открытий, именами людей, творивших науку, должно войти в интеллектуальный багаж каждого культурного человека.
5. Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения учебного предмета.
Изучение математики в основной школе дает возможность обучающимся достичь следующих результатов развития: В личностном направлении: • умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры; • критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта; • представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах ее развития, о ее значимости для развития цивилизации; • креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при реше нии математических задач; • умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности; • способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений; В метапредметном направлении: • первоначальные представления об идеях и о методах математики как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования явлений и процессов; • умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни; • умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, представлять ее в понятной форме, принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации; • умение понимать и использовать математические средства наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации; • умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач, понимать необходимость их проверки; • умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач; • понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действо вать в соот- ветствии с предложенным алгоритмом; • умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем; • умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера; В предметном направлении:
• овладение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания, представление об основных изучаемых понятиях (число, геометрическая фигура, уравнение, функция, вероятность) как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления; • умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), грамотно применять математическую терминологию и символику, использовать различные языки математики; • умение проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений; • умение распознавать виды математических утверждений (аксиомы, определения, теоремы и др.), прямые и обратные теоремы; • развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел, овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений; • овладение символьным языком алгебры, приемами выполнения тождественных преобра- зований рациональных выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств, умение использовать идею координат на плоскости для интерпретации уравнений, неравенств, систем, умение применять алгебраические преобразования, аппарат уравнений и неравенств для решения задач из различных разделов курса; • овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, умение на основе функционально-графических представлений описывать и анализировать реальные зависимости; • овладение основными способами представления и анализа статистических данных; наличие представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о вероятностных моделях; • овладение геометрическим языком, умение использовать его для описания предметов окружающего мира, развитие пространственных представлений и изобразительных умений, приобретение навыков геометрических построений; • усвоение систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, а также на наглядном уровне — о простейших пространственных телах, умение применять систематические знания о них для решения геометрических и практических задач; • умения измерять длины отрезков, величины углов, использовать формулы для нахождения периметров, площадей и объемов геометрических фигур; • умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера. Взаимосвязь результатов освоения предмета «Математика» можно системно представить в виде схемы. При этом обозначение ЛР указывает, что продвижение учащихся к новым образовательным результатам происходит в соответствии с линиями развития средствами предмета.
5–9 классы

Личностными результатами
изучения предмета «Математика» (в виде следующих учебных курсов: 5
–
6 класс – «Математика», 7
–
9 класс – «Алгебра» и «Геометрия») являются следующие качества:
–
независимость и критичность мышления;
–
воля и настойчивость в достижении цели. Средством достижения этих результатов является:
–
система заданий учебников;
–
представленная в учебниках в явном виде организация материала по принципу минимакса;
–
использование совокупности технологий, ориентированных на развитие самостоятельности и критичности мышления: технология проблемного диалога, технология продуктивного чтения, технология оценивания.
Метапредметными
результатами изучения курса «Математика» является формирование универсальных учебных действий (УУД).
Регулятивные УУД:

5–6-й классы
– самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, определять цель учебной деятельности, выбирать тему проекта; – выдвигать версии решения проблемы, осознавать (и интерпретировать в случае необходимости) конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных, а также искать их самостоятельно;
– составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта); – работая по плану, сверять свои действия с целью и, при необходимости, исправлять ошибки самостоятельно (в том числе
и корректировать план)
; – в диалоге с учителем совершенствовать самостоятельно выработанные критерии оценки.
7–9-й классы
– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности; – выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно; – составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта); – подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель; – работая по предложенному или самостоятельно составленному плану, использовать наряду с основными и дополнительные средства (справочная литература, сложные приборы, компьютер); – планировать свою индивидуальную образовательную траекторию; – работать по самостоятельно составленному плану, сверяясь с ним и с целью деятельности, исправляя ошибки, используя самостоятельно подобранные средства (в том числе и Интернет); – свободно пользоваться выработанными критериями оценки и самооценки, исходя из цели и имеющихся критериев, различая результат и способы действий; – в ходе представления проекта давать оценку его результатам; – самостоятельно осознавать причины своего успеха или неуспеха и находить способы выхода из ситуации неуспеха; – уметь оценить степень успешности своей индивидуальной образовательной деятельности; – давать оценку своим личностным качествам и чертам характера («каков я»), определять направления своего развития («каким я хочу стать», «что мне для этого надо сделать»). Средством формирования регулятивных УУД служат технология проблемного диалога на этапе изучения нового материала и технология оценивания образовательных достижений (учебных успехов).
Познавательные УУД:

5–9-й классы
– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления; – осуществлять сравнение, сериацию и классификацию, самостоятельно выбирая основания и критерии для указанных логических операций; строить классификацию путём дихотомического деления (на основе отрицания); – строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей; – создавать математические модели; – составлять тезисы, различные виды планов (простых, сложных и т.п.). Преобразовывать информацию из одного вида в другой (таблицу в текст, диаграмму и пр.); – вычитывать все уровни текстовой информации. – уметь определять возможные источники необходимых сведений, производить поиск информации, анализировать и оценивать её достоверность. Понимая позицию другого человека, различать в его речи: мнение (точку зрения), доказательство (аргументы), факты; гипотезы, аксиомы, теории. Для этого самостоятельно использовать различные виды чтения (изучающее, просмотровое, ознакомительное, поисковое), приёмы слушания. – самому создавать источники информации разного типа и для разных аудиторий, соблюдать информационную гигиену и правила информационной безопасности; – уметь использовать компьютерные и коммуникационные технологии как инструмент для достижения своих целей. Уметь выбирать адекватные задаче инструментальные программно- аппаратные средства и сервисы. Средством формирования познавательных УУД служат учебный материал и прежде всего продуктивные задания учебника, позволяющие продвигаться по всем шести линиям развития. 1-я ЛР – Использование математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов. 2-я ЛР – Совокупность умений по использованию доказательной математической речи. 3-я ЛР – Совокупность умений по работе с информацией, в том числе и с различными математическими текстами. 4-я ЛР
–
Умения использовать математические средства для изучения и описания реальных процессов и явлений.
5-я ЛР
–
Независимость и критичность мышления. 6-я ЛР
–
Воля и настойчивость в достижении цели.
Коммуникативные УУД:

5–9-й классы
– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.); – отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их фактами; – в дискуссии уметь выдвинуть контраргументы; – учиться критично относиться к своему мнению, с достоинством признавать ошибочность своего мнения (если оно таково) и корректировать его; – понимая позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения), доказательство (аргументы), факты; гипотезы, аксиомы, теории; – уметь взглянуть на ситуацию с иной позиции и договариваться с людьми иных позиций. Средством формирования коммуникативных УУД служат технология проблемного диалога (побуждающий и подводящий диалог) и организация работы в малых группах, также использование на уроках элементов технологии продуктивного чтения.
Предметными результатами
изучения предмета «Математика» являются следующие умения.
5-й класс
Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание: - названий и последовательности чисел в натуральном ряду в пределах 1 000 000 (с какого числа начинается этот ряд, как образуется каждое следующее число в этом ряду); - как образуется каждая следующая счётная единица; - названия и последовательность разрядов в записи числа; - названия и последовательность первых трёх классов; - сколько разрядов содержится в каждом классе; - соотношение между разрядами; - сколько единиц каждого класса содержится в записи числа; - как устроена позиционная десятичная система счисления; - единицы измерения величин (длина, масса, время, площадь), соотношения между ними; - десятичных дробях и правилах действий с ними; - сравнивать десятичные дроби; - выполнять операции над десятичными дробями; - преобразовывать десятичную дробь в обыкновенную и наоборот; - округлять целые числа и десятичные дроби; - находить приближённые значения величин с недостатком и избытком; - выполнять приближённые вычисления и оценку числового выражения; - функциональной связи между группами величин (цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние; производительность труда, время работы, работа). Выполнять устные вычисления (в пределах 1 000 000) в случаях, сводимых к вычислениям в пределах 100, и письменные вычисления в остальных случаях; выполнять проверку правильности вычислений; - выполнять умножение и деление с 1000; - вычислять значения числовых выражений, содержащих 3–4 действия со скобками и без них; - решать простые и составные текстовые задачи; - выписывать множество всевозможных результатов (исходов) простейших случайных экспериментов; - находить вероятности простейших случайных событий; - решать удобным для себя способом (в том числе и с помощью таблиц и графов) комбинаторные задачи: на перестановку из трёх элементов, правило произведения, установление числа пар на множестве из 3–5 элементов; - решать удобным для себя способом (в том числе и с помощью таблиц и графов) логические задачи, содержащие не более трёх высказываний; - читать информацию, записанную с помощью линейных, столбчатых и круговых диаграмм; - строить простейшие линейные, столбчатые и круговые диаграммы; - находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в которых используются математические средства;
- создавать продукт (результат проектной деятельности), для изучения и описания которого используются математические средства.
6-й класс
Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: - раскладывать натуральное число на простые множители; - находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел; - отношениях и пропорциях; основном свойстве пропорции; - прямой и обратной пропорциональных зависимостях и их свойствах; - процентах; - целых и дробных отрицательных числах; рациональных числах; - правиле сравнения рациональных чисел; - правилах выполнения операций над рациональными числами; свойствах операций. - делить число в данном отношении; - находить неизвестный член пропорции; - находить данное количество процентов от числа и число по известному количеству процентов от него; - находить, сколько процентов одно число составляет от другого; - увеличивать и уменьшать число на данное количество процентов; - решать текстовые задачи на отношения, пропорции и проценты; - сравнивать два рациональных числа; - выполнять операции над рациональными числами, использовать свойства операций для упрощения вычислений; - решать комбинаторные задачи с помощью правила умножения; - находить вероятности простейших случайных событий; - решать простейшие задачи на осевую и центральную симметрию; - решать простейшие задачи на разрезание и составление геометрических фигур; - находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в которых используются математические средства; - создавать продукт (результат проектной деятельности), для изучения и описания которого используются математические средства.
7-й класс.

Алгебра
Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: -натуральных, целых, рациональных, иррациональных, действительных числах; -степени с натуральными показателями и их свойствах; -одночленах и правилах действий с ними; -многочленах и правилах действий с ними; -формулах сокращённого умножения; -тождествах; методах доказательства тождеств; -линейных уравнениях с одной неизвестной и методах их решения; -системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными и методах их решения. -Выполнять действия с одночленами и многочленами; -узнавать в выражениях формулы сокращённого умножения и применять их; -раскладывать многочлены на множители; -выполнять тождественные преобразования целых алгебраических выражений; -доказывать простейшие тождества; -находить число сочетаний и число размещений; -решать линейные уравнения с одной неизвестной; -решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки и методом алгебраического сложения; -решать текстовые задачи с помощью линейных уравнений и систем; -находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в которых используются математические средства; -создавать продукт (результат проектной деятельности), для изучения и описания которого используются математические средства.
7-й класс.


Геометрия
Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: -основных геометрических понятиях: точка, прямая, плоскость, луч, отрезок, ломаная, многоугольник; -определении угла, биссектрисы угла, смежных и вертикальных углов; -свойствах смежных и вертикальных углов; -определении равенства геометрических фигур; признаках равенства треугольников; -геометрических местах точек; биссектрисе угла и серединном перпендикуляре к отрезку как геометрических местах точек; -определении параллельных прямых; признаках и свойствах параллельных прямых; -аксиоме параллельности и её краткой истории; -формуле суммы углов треугольника; -определении и свойствах средней линии треугольника. Применять свойства смежных и вертикальных углов при решении задач; -находить в конкретных ситуациях равные треугольники и доказывать их равенство; -устанавливать параллельность прямых и применять свойства параллельных прямых; -применять теорему о сумме углов треугольника; -использовать теорему о средней линии треугольника и теорему Фалеса при решении задач; -находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в которых используются математические средства; -создавать продукт (результат проектной деятельности), для изучения и описания которого используются математические средства.
8-й класс.

Алгебра
Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: -алгебраической дроби; основном свойстве дроби; -правилах действий с алгебраическими дробями; -степенях с целыми показателями и их свойствах; -стандартном виде числа; -функциях y = kx + b , y = x 2 , y = k x , их свойствах и графиках; -понятии квадратного корня и арифметического квадратного корня; -свойствах арифметических квадратных корней; -функции y = √ x , её свойствах и графике; -формуле для корней квадратного уравнения; -теореме Виета для приведённого и общего квадратного уравнения; -основных методах решения целых рациональных уравнений: методе разложения на множители и методе замены неизвестной; -методе решения дробных рациональных уравнений; -основных методах решения систем рациональных уравнений. Сокращать алгебраические дроби; -выполнять арифметические действия с алгебраическими дробями; -использовать свойства степеней с целыми показателями при решении задач; -записывать числа в стандартном виде; -выполнять тождественные преобразования рациональных выражений; -строить графики функций y = kx + b , y = x 2 , y = k x и использовать их свойства при решении задач; -вычислять арифметические квадратные корни; -применять свойства арифметических квадратных корней при решении задач; -строить график функции y = √ x и использовать его свойства при решении задач; -решать квадратные уравнения; -применять теорему Виета при решении задач; -решать целые рациональные уравнения методом разложения на множители и методом замены неизвестной;
-решать дробные уравнения; -решать системы рациональных уравнений; -решать текстовые задачи с помощью квадратных и рациональных уравнений и их систем; -находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в которых используются математические средства; -создавать продукт (результат проектной деятельности), для изучения и описания которого используются математические средства.
8-й класс.

Геометрия
Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: -определении параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата; их свойствах и признаках; -определении трапеции; элементах трапеции; теореме о средней линии трапеции; -определении окружности, круга и их элементов; -теореме об измерении углов, связанных с окружностью; -определении и свойствах касательных к окружности; теореме о равенстве двух касательных, проведённых из одной точки; -определении вписанной и описанной окружностей, их свойствах; -определении тригонометрические функции острого угла, основных соотношений между ними; -приёмах решения прямоугольных треугольников; -тригонометрических функциях углов от 0 до 180°; -теореме косинусов и теореме синусов; -приёмах решения произвольных треугольников; -формулах для площади треугольника, параллелограмма, трапеции; -теореме Пифагора; -признаках подобия треугольников; -теореме о пропорциональных отрезках; -свойстве биссектрисы треугольника; -пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике; -пропорциональных отрезках в круге; -теореме об отношении площадей подобных многоугольников; -свойствах правильных многоугольников; связи между стороной правильного многоугольника и радиусами вписанного и описанного кругов; -определении длины окружности и формуле для её вычисления; -формуле площади правильного многоугольника; -определении площади круга и формуле для её вычисления; формуле для вычисления площадей частей круга; Применять признаки и свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата при решении задач; -решать простейшие задачи на трапецию; -находить градусную меру углов, связанных с окружностью; устанавливать их равенство; -применять свойства касательных к окружности при решении задач; -решать задачи на вписанную и описанную окружность; -выполнять основные геометрические построения с помощью циркуля и линейки; -находить значения тригонометрических функций острого угла через стороны прямоугольного треугольника; -применять соотношения между тригонометрическими функциями при решении задач; в частности, по значению одной из функций находить значения всех остальных; -решать прямоугольные треугольники; -сводить работу с тригонометрическими функциями углов от 0 до 180° к случаю острых углов; -применять теорему косинусов и теорему синусов при решении задач; -решать произвольные треугольники; -находить площади треугольников, параллелограммов, трапеций; -применять теорему Пифагора при решении задач; Применять признаки подобия треугольников при решении задач; -решать простейшие задачи на пропорциональные отрезки; -решать простейшие задачи на правильные многоугольники; -находить длину окружности, площадь круга и его частей;
-находить простейшие геометрические вероятности; -находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в которых используются математические средства; -создавать продукт (результат проектной деятельности), для изучения и описания которого используются математические средства.
9-й класс.

Алгебра
Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: -свойствах числовых неравенств; -методах решения линейных неравенств; -свойствах квадратичной функции; -методах решения квадратных неравенств; -методе интервалов для решения рациональных неравенств; -методах решения систем неравенств; -свойствах и графике функции y = x n при натуральном n; -определении и свойствах корней степени n; -степенях с рациональными показателями и их свойствах; -определении и основных свойствах арифметической прогрессии; формуле для нахождения суммы её -нескольких первых членов; -определении и основных свойствах геометрической прогрессии; формуле для нахождения суммы её нескольких первых членов; -формуле для суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим по модулю единицы. Использовать свойства числовых неравенств для преобразования неравенств; -доказывать простейшие неравенства; -решать линейные неравенства; -строить график квадратичной функции и использовать его при решении задач; -решать квадратные неравенства; -решать рациональные неравенства методом интервалов; -решать системы неравенств; -строить график функции y = x n при натуральном n и использовать его при решении задач; -находить корни степени n; -использовать свойства корней степени n при тождественных преобразованиях; -находить значения степеней с рациональными показателями; -решать основные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии; -находить сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим по модулю единицы; -находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в которых используются математические средства; -создавать продукт (результат проектной деятельности), для изучения и описания которого используются математические средства.
9-й класс.

Геометрия
Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: -правиле нахождения суммы и разности векторов, произведения вектора на скаляр; свойства этих операций; -определении координат вектора и методах их нахождения; -правиле выполнений операций над векторами в координатной форме; -определении скалярного произведения векторов и формуле для его нахождения; -связи между координатами векторов и координатами точек; -векторным и координатным методах решения геометрических задач. -формулах объёма основных пространственных геометрических фигур: параллелепипеда, куба, шара, цилиндра, конуса. Выполнять операции над векторами в геометрической и координатной форме;
-находить скалярное произведение векторов и применять его для нахождения различных геометрических величин; -решать геометрические задачи векторным и координатным методом; -применять геометрические преобразования плоскости при решении геометрических задач; -находить объёмы основных пространственных геометрических фигур: параллелепипеда, куба, шара, цилиндра, конуса; -находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в которых используются математические средства; -создавать продукт (результат проектной деятельности), для изучения и описания которого используются математические средства.
6.Содержание учебного предмета

АРИФМЕТИКА

Натуральные числа.


Натуральный ряд. Десятичная система счисления. Арифметические действия с натуральными числами. Свойства арифметических действий. Степень с натуральным показателем. Числовые выражения, значение числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях, использование скобок. Решение текстовых задач арифметическими способами. Делители и кратные. Свойства и признаки делимости. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Деление с остатком.
Дроби.


Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Сравнение обыкновенных дробей. Арифме- тические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части от целого и целого по его части. Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной. Проценты; нахождение процентов от величины и величины по ее процентам. Отношение; выражение отношения в процентах. Пропорция; основное свойство пропорции. Решение текстовых задач арифметическими способами.
Рациональные числа.


Положительные и отрицательные числа, модуль числа. Множество целых чисел. Множество рациональных чисел; рациональное число как отношение m/n, г д е т — целое число, п — натуральное число. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Свойства арифметических действий. Степень с целым показателем.
Действительные числа.


Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа √ 2 и несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Десятичные приближения иррациональных чисел. Множество действительных чисел; представление действительных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Сравнение действительных чисел. Координатная прямая. Изображение чисел точками координатной прямой. Числовые промежутки.
Измерения, приближения, оценки.


Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире. Выделение множителя степени 10 в записи числа. Приближенное значение величины, точность приближения. Округление натуральных чисел и десятичных дробей. Прикидка и оценка результатов вычислений.
АЛГЕБРА

Алгебраические выражения.


Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных. Подстановка выражений вместо переменных. Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметических действий. Равенство буквенных выражений. Тождество. Степень с натуральным показателем и ее свойства. Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Формула разности квадратов. Преобразование целого выражения в многочлен.
Разложение многочленов на множители. Многочлены с одной переменной. Корень многочлена. Квадратный трехчлен; разложение квадратного трехчлена на множители. Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей. Степень с целым показателем и ее свойства. Рациональные выражения и их преобразования. Доказательство тождеств. Квадратные корни. Свойства арифметических квадратных корней и их применение к преобра- зованию числовых выражений и вычислениям.
Уравнения.


Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным. Примеры решения уравнений третьей и четвертой степени. Решение дробно-рациональных уравнений. Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными, примеры решения уравнений в целых числах. Система уравнений с двумя переменными. Равносильность систем. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и сложением. Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными. Решение текстовых задач алгебраическим способом. Декартовы координаты на плоскости. Графическая интерпретация уравнения с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными; угловой коэффициент прямой; условие параллельности прямых. Графики простейших нелинейных уравнений: парабола, гипербола, окруж- ность. Графическая интерпретация систем уравнений с двумя переменными.
Неравенства.


Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной. Равносильность нера- венств. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные неравенства. Системы неравенств с одной переменной.
ФУНКЦИИ

Основные понятия.


Зависимости между величинами. Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Свойства функций, их отображение на графике. Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы.
Числовые функции.


Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики и свойства. Линейная функция, ее график и свойства. Квадратичная функция, ее график и свойства. Степенные функции с натуральными показателями 2 и 3, их графики и свойства. Графики функции у = I x I
Числовые последовательности.


Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой л-го члена. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы л-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых п членов. Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками координатной плоскости. Линейный и экспоненци альный рост. Сложные проценты.
ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА

Описательная статистика.


Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Случайная изменчивость. Ста- тистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах. Представление о выборочном исследовании.
Случайные события и вероятность.


Понятие о случайном опыте и случайном событии. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятности. Вероятности противоположных событий. Достоверные и не - возможные события. Равновозможность событий. Классическое определение вероятности.
Комбинаторика.


Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал.
ГЕОМЕТРИЯ


Наглядная геометрия


Наглядные представления о фигурах на плоскости: прямая, отрезок, луч, угол, ломаная, мно- гоугольник, окружность, круг. Четырехугольник, прямоугольник, квадрат. Треугольник, виды треугольников. Правильные многоугольники. Изображение геометрических фигур. Взаимное расположение двух прямых, двух окружностей, прямой и окружности. Длина отрезка, ломаной. Периметр многоугольника. Единицы измерения длины. Измерение длины отрезка, построение отрезка заданной длины. Виды углов. Градусная мера угла. Измерение и построение углов с помощью транспортира. Понятие площади фигуры; единицы измерения площади. Площадь прямоугольника и площадь квадрата. Приближенное измерение площадей фигур на клетчатой бумаге. Равновеликие фигуры. Наглядные представления о пространственных фигурах: куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр. Изображение пространственных фигур. Примеры сечений. Многогранники. Правильные многогранники. Примеры разверток многогранников, цилиндра и ко- нуса. Понятие объема; единицы объема. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба. Понятие о равенстве фигур. Центральная, осевая и зеркальная симметрии. Изображение симметричных фигур.
Геометрические фигуры.


Прямые и углы. Точка, прямая, плоскость. Отрезок, луч. Угол. Виды углов. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла. Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярные прямые. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых. Перпендикуляр и наклонная к прямой. Серединный перпендикуляр к отрезку. Геометрическое место точек. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. Треугольник. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Теорема Фалеса. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Теорема Пифагора. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0 до 180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Решение треугольников: теорема косинусов и теорема синусов. Замечательные точки треугольника. Четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции. Многоугольник. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники. Окружность и круг. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный угол, вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности, их свойства. Вписанные и описанные многоугольники. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника. Геометрические преобразования. Понятие о равенстве фигур. Понятие о движении: осевая и центральная симметрии, параллельный перенос, поворот. Понятие о подобии фигур и гомотетии. Построения с помощью циркуля и линейки. Основные задачи на построение: деление отрезка пополам; построение угла, равного данному; построение треугольника по трем сторонам; построение перпендикуляра к прямой; построение биссектрисы угла; деление отрезка на п равных частей. Решение задач на вычисление, доказательство и построение с использованием свойств изученных фигур.
Измерение геометрических величин.


Длина отрезка. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Периметр многоугольника. Длина окружности, число л; длина дуги окружности. Градусная мера угла, соответствие между величиной центрального угла и длиной дуги окружности. Понятие площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие фигуры. Площадь прямоугольника. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. Площадь многоугольника. Площадь круга и площадь сектора. Соотношение между площадями подобных фигур. Решение задач на вычисление и доказательство с использованием изученных формул.

Координаты.


Уравнение прямой. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.
Векторы.


Длина (модуль) вектора. Равенство векторов. Коллинеарные векторы. Координаты вектора. Умножение вектора на число, сумма векторов, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов.
ЛОГИКА И МНОЖЕСТВА

Теоретико-множественные понятия.
Множество, элемент множества. Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством. Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его обозначение. Подмножество. Объединение и пересечение множеств. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера — Венна.
Элементы логики.


Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство. Доказательство от противного. Теорема, обрат- ная данной. Пример и контрпример. Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок, если то в том и только в том случае, логические связки и, или.
МАТЕМАТИКА В ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
История формирования понятия числа: натуральные числа, дроби, недостаточность рациональных чисел для геометрических измерений, иррациональные числа. Старинные системы записи чисел. Дроби в Вавилоне, Египте, Риме. Открытие десятичных дробей. Старинные системы мер. Десятич- ные дроби и метрическая система мер. Появление отрицательных чисел и нуля. Л. Магницкий. Л. Эйлер. Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений, неразрешимость в радикалах уравнений степени, большей четырех. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н. X. Абель, Э. Галуа. Изобретение метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Р. Декарт и П. Ферма. Примеры различных систем координат на плоскости. Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске. Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма и Б. Паскаль. Я. Бернулли. А. Н. Колмогоров. От землемерия к геометрии. Пифагор и его школа. Фалес. Архимед. Построе ние правильных многоугольников. Трисекция угла. Квадратура круга. Удвоение куба. История числа л. Золотое сечение. «Начала» Евклида. Л. Эйлер. Н. И. Лобачевский. История пятого постулата.

7.Тематическое планирование

с определением основных видов учебной деятельности

5—6 классы
(340 ч)

Основное содержание по темам

Характеристика основных видов

деятельности ученика (на уровне

учебных действий)

1

2
1.
Натуральные числа (50 ч)
Натуральный ряд. Десятичная система счисления. Арифметические действия с нату- ральными числами. Свойства арифметиче- ских действий. Понятие о степени с натуральным показате- лем. Квадрат и куб числа. Числовые выражения, значение числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях, использование скобок. Решение текстовых задач арифметическими способами. Делители и кратные. Наибольший общий делитель; наименьшее общее кратное. Свой- ства делимости. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Раз- ложение натурального числа на простые мно- жители. Деление с остатком
Описывать
свойства натурального ряда.
Читать
и
записывать
натуральные числа, сравнивать и упорядочивать их.
Выполнять
вычисления с натуральными числами; вычислять значения степеней.
Ф о р м ул и р ов ат ь
свойства а ри ф ме- тических действий, записыват ь их с помощью букв, преобразовывать на их основе числовые выражения.
Анализировать
и
осмысливать
текст за- дачи,
переформулировать
условие,
извле-

к а

т

ь
необход и м у ю и нформацию,
моделировать
условие с помощью схем, рисунков, реальных предметов;
строить
ло г и ч е с ку ю ц еп о ч к у р а ссуждений; критически
оценивать
полученный ответ,
осуществлять
самоконтроль, проверяя от- вет на соответствие условию.
Формулировать
определения делителя и кратного, простого числа и составного числа, свойства и признаки делимости.
Доказывать
и
опровергать
с помощью контрпримеров утверждения о делимости чисел. Классифицировать натуральные числа (четные и нечетные, по остаткам от деления на 3 и т. п.).
Исследовать
простейшие числовые закономерности, проводить числовые эксперименты (в том числе с использова- нием калькулятора, компьютера)
2. Дроби (120 ч)
Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Сравнение обыкновенных дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части от целого и це- лого по его части. Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятич- ными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкно- венной в виде десятичной. Отношение. Пропорция; основное свойство пропорции. Проценты; нахождение процентов от вели- чины и величины по ее процентам; выраже- ние отношения в процентах. Решение текстовых задач арифметическими способами
Моделировать
в графической, предметной форме понятия и свойства, связанные с понятием обыкновенной дроби.
Формулировать, записывать
с помощью букв основное свойство обыкновенной д р о б и , п р ав и л а д е й с т в и й с обыкновенными дробями.
Преобразовывать
обыкновенные дроби, сравн и в а т ь и у п о р я д оч и в а т ь и х .
Выполнять
вычисления с обыкновенными дробями.
Читать
и
записывать
десятичные дроби.
Представл я т ь
обыкновенные дроби в виде десятичных и десятичные в виде обыкновенн ы х ;
н а х о д и т ь
десятичные приближения обыкновенных дробей.
С р а в н и в а т ь
и
упорядочивать
десятичные дроби. Выполнять вычисления с десятичными дробями.
И с п о л ь з о в а т ь
эквивалентные представления дробных чисел при их сравнении, при вычислениях.

Математика 7-9 классы
(324 ч)
Раздел «Алгебра»

Основное содержание по темам

Характеристика основных

видов деятельности ученика (на

уровне учебных действий)

1

2
1.
Действительные числа (15 ч)
Расширение множества натуральных чисел до множества целых, множества целых чисел до множества рациональных. Рациональное число как отношение т/п, где т — целое число, а п — натуральное число. Степень с целым показателем. Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. Понятие об иррациональном числе. Иррацио- нальность числа √ 2 и несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Десятичные приближения иррациональных чисел. Множество действительных чисел; пред- ставление действительных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Сравнение действительных чисел. Взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками координатной прямой. Числовые проме- жутки: интервал, отрезок, луч
Описывать
множество целых чисел, множество рациональных чисел, соотношение между этими множест- вами.
С р а в н и в а т ь
и
упорядочивать
рациональн ы е ч и с ла , в ы п о лнять в ы ч и с л е н и я с р а ц и о н а л ьными ч и с л а м и ,
вычисл я т ь
значения степеней с целым показателем.
Ф о р м у л и р о в а т ь
определение квадратного корня из числа.
Ис-

пользовать
график функции у = х 2 для нахождения квадратных корней.
Вычислять
точные и приближенные значения корней, используя при необходимос т и к а л ь к у л ятор; проводить оценку квадратных корней.
Формулировать
определение корня третьей степени; находить значения кубических корней, при необходимо- сти используя, калькулятор.
П р и в о д и т ь
примеры иррацио- н а л ь н ы х ч и с е л ;
распознавать
рациональные и иррациональные числа;
изображ а т ь
числа точками координатной прямой.
Находить
десятичные приближения рациональных и иррациональных чисел;
сравнивать
и
упорядочивать
действительные числа.
Описывать
множество действи- тельных чисел.
Использовать
в письменной ма- тематической речи обозначения и графические изображения числовых множеств, теоретико-множественную символику 2.
Измерения, приближения, оценки (10 ч)
Приближенное значение величины, точность приближения. Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире. Выделение множителя — степени 10 в записи числа. Прикидка и оценка результатов вычислений
Находить,

анализировать,

с о-

поставлять
числовые характери- стики объектов окружающего мира.
Использовать
з а п и с ь ч и с е л в стандартном виде для выражения размеров объектов, длительности процессов в окружающем мире.
Сравнивать
числа и величины,
з а п и с а н н ы е с и с п о л ьзованием степени 10.
Использовать
разные формы записи приближенных значений; делать выводы о точности приближения по записи приближенного значения.
Выполнять
вычисления с реальными данными.
Выполнять
прикидку и оценку результатов вычислений 3.
Введение в алгебру (8 ч)
Буквенные выражения (выражения с пе- ременными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения перемен- ных. Подстановка выражений вместо переменных. Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметических действий. Равенство буквенных выражений. Тождество
Выполнять
элементарные знаково- символические действия:
применять
буквы для обозначения чисел, для записи общих утверждений;
состав-

л я т ь
буквенные выражен и я п о условиям, заданным словесно, рисун- ком или чертежом;
преобразовывать
алгебраичес к и е с у м м ы и п р о и з в е д е н и я
(выполнять
приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, у п р о щ е н и е произведений).
В ы ч и с л я т ь
числовое значение буквенного выражен и я ;
находить
область допустимых з н ач ений переменных в выражеНИИ 4.
Многочлены (45 ч)
Степень с натуральным показателем и ее свойства. Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умноже- ние многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разно- сти. Формула разности квадратов. Преобра- зование целого выражения в многочлен. Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращен- ного умножения. Многочлены с одной переменной. Корень многочлена. Квадратный трехчлен, разложе- ние квадратного трехчлена на множители
Формулировать, записывать
в символической форме и
обос-

новывать
свойства степени с натуральным показателем;
приме-

нять
свойства степени для преобразо- вания выражений и вычислений.
Выполнять
действия с много- членами.
Выводить
формулы сокращенного умножен и я ,
прим е н я т ь
и х в преобразованиях выражен и й и вычислениях.
Выполнять
разложение многочленов на множители.
Распознавать
квадратный трехчлен,
выясн я т ь
возможность разложения н а м н о ж ит е л и ,
представлять
квадратн ы й т р е х ч л е н в в и д е произведения линейных множителей.
Применять
различные формы самоконтроля при выполнении преобразований 5.
Алгебраические дроби (25 ч)

Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей. Степень с целым показателем и ее свойства. Рациональные выражения и их преобра- зования. Доказательство тождеств
Формулировать
основное свойство алгебраической дроби и
применять
его для преобразования дробей.
Выполнять
действия с алгебраи- ческими дробями.
Представлять
целое выражение в виде многочлена, дробное — в виде отношения многочленов; доказывать тождества.
Формулировать
определение степени с целым показателем.
Формулировать, записывать
в символической форме и
иллю-

стрировать
примерами свойства степени с целым показателем;
приме-

нять
свойства степени для преобразования выражений и вычислений 6.
Квадратные корни (15 ч)
Понятия квадратного корня, арифме- тического квадратного корня. Уравнение вида х 2 = а . Свойства арифметических квадратных корней: корень из произведения, частного, степени; тождества, ( √ а ) 2 = а, где а ≥ 0, √ а 2 = | а | Применение свойств арифметических квадратных корней для преобразования числовых выражений и вычислений
Доказывать
свойства арифмети- ч е с к и х к в а др а т н ы х к о р н е й ;
применять
их для преобразования выражений.
Вычислять
значения выражений, содержащ и х к в а дратные корни;
в ы р а ж а т ь
переменн ы е и з геометрических и физических фор- мул.
Исследовать
уравнение вида х 2 = а; находить точные и приближенные корни при а > 0 7.
Уравнения с одной переменной (42 ч)
Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений. Линейное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к линейным. Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение уравне- ний, сводящихся к квадратным. Биквадратное уравнение. Примеры решения уравнений третьей и четвертой степени разложением на множи- тели. Решение дробно-рациональных уравнений. Решение текстовых задач алгебраическим способом
Распознавать
линейные и квад- ратные уравнения, целые и дробные уравнения.
Р е ш а т ь
линейные, квадратные уравнения, а также уравнения, сводящиеся к ним;
решать
дробно- рациональные уравнения.
Исследовать
квадратные уравнения по дискриминанту и коэффициентам.
Р е ш а т ь
текстовые задачи алгеб- раическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения; решать составленное у р а вн е н и е ;
интер-

претировать
результат 8.
Системы уравнений (32 ч)
Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными. Примеры
Определять,
является ли пара чисел решением данного уравнения с двумя
решения уравнений в целых числах. Система уравнений с двумя переменными. Равносильность систем уравнений. Система двух линейных уравнений с двумя перемен- ными; решение подстановкой и сложением. Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое второй степени. Примеры решения систем нелинейных уравнений. Решение текстовых задач алгебраическим способом. Декартовы координаты на пло ско сти. Графическая интерпретация уравнения с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными, угловой коэффициент прямой; условие параллельности прямых. Графики простейших нелинейных уравнений (парабола, гипербола, окружность). Графическая интерпретация системы уравне- ний с двумя переменными переменн ы м и ;
приводить
примеры решения уравнений с двумя пере- менными.
Р е ш а т ь
задачи, алгебраической моделью которых является уравнение с двумя переменн ы м и ;
находить
целые решения путем перебора.
Решать
системы двух уравнений с двумя переменными, указанные в содержании.
Р е ш а т ь
текстовые задачи алгеб- раическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления системы уравне- ний;
решать
составленную систему уравнен и й ; и нтерпретировать результат.
Строить
графики уравнений с двумя переменными.
Конструировать
эквивалентные речевые высказывания с использованием алгебраического и геометрического языков.
Решать
и
исследовать
уравнения и системы уравнен и й н а о снове функционально-графических представлений уравнений 9.
Неравенства (22 ч)
Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной. Равносиль- ность неравенств. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные неравенства. Системы линейных неравенств с одной переменной
Формулировать
свойства числовых неравенств,
иллюстрировать
их на координатной прямой,
доказывать
алгебраически;
применять
свойства неравенств при решении задач.
Распознавать
линейные и квад- ратные неравенства.
Решать
линейные неравенства, системы линейных неравенств.
Решать
квадратные неравенства на основе графических представлений 10.
Зависимости между величинами (15 ч)
Зависимость между величинами. Представление зависимостей между величи- нами в виде формул. Вычисления по форму- лам. Прямая пропорциональная зависимость: зада- ние формулой, коэффициент пропорцио- нальности; свойства. Примеры прямо пропор- циональных зависимостей. Обратная пропорциональная зависимость: задание формулой, коэффициент обратной пропорциональности; свойства. Примеры обратных пропорциональных зависимостей.
Составлять
формулы, выражающие зависимос т и м е ж д у в еличинами,
вычислять
по формулам.
Распознавать
прямую и обратную пропорциональные зависимости.
Решать
текстовые задачи на прямую и о б р а тн у ю п р опорциональные зависимости ( в том числе с контек- стом из смежных дисциплин, из реальной жизни)
Решение задач на прямую пропорциональ- но сть и обратную п р о п о рциональную зависимости 11.
Числовые функции (37 ч)
Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы зада- ния функции. График функции. Свойства функции, их отображение на графике: возрастание и убывание функции, нули функ- ции, сохранение знака. Чтение и построение графиков функций. Примеры графиков зависимостей, отражаю- щих реальные процессы. Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики. Линейная функция, ее график и свойства. Квадратичная функция, ее график и свойства. Степенные функции с натуральными пока- зателями 2 и 3 , их графики и свойства. Гра- фики функций у = √ х ; у = | х |
В ы ч и с л я т ь
значения функций, заданных формулами (при необ- х о д и м о с т и
использовать
калькулятор);
сос т а вля т ь
таблицы значений функций.
С т р о и т ь
п о т оч ка м г р а ф и к и ф у н к ц и й .
Описыв а т ь
свойства функции на основе ее графического представления.
Моделировать
реальные зависи- мости формулами и г р а ф иками.
Ч и т а т ь
г р а ф и к и р е а л ьных зависимостей.
И с п о л ь з о в а т ь
функциональную символику для записи разнообразных фактов, связанных с рассматриваемы- ми функциями, обогащая опыт выполнения знаково-символических д е й с т в и й .
Строи

т

ь
речевые конст рукции с и с п о л ь з ованием функциональной терминологии.
И с п о л ь з о в а т ь
компьютерные программы для построения графиков функций, для исследования положе- ния на координатной плоскости графиков функций в зависимости от значений коэффициентов, входящих в формулу.
Распознавать
виды изучаемых функций.
Показывать
схематически положение на координатной плоскости графиков изучаемых функций в зависимости от значений коэффициентов, входящих в фор- мулы.
Строить
графики изучаемых функций;
описывать
их Свойства 12.
Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая

прогрессии

(17 ч)
Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена. Арифметическая и геометрическая про- грессии. Формулы n-го члена арифметиче- ской и геометрической прогрессий, суммы первых п членов. Изображение членов арифметической и геометрической прогрес-
Применять
индексные обозначения,
строи т ь
речевые высказывания с использованием терминологии, свя- занной с понятием последовательно- сти.
В ы ч и с л я т ь
члены п о с лед ова- тельностей, заданных формулой п-го члена или рекуррентной формулой.
сий точками координатной плоскости. Линей- ный и экспоненциальный рост. Сложные про- центы
Устанавливать
закономерность в построении последовательности, если известны первые несколько ее членов.
Изображать
члены последователь- ности точка м и н а координатной плоскости.
Распознавать
арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания.
Выводить
на основе доказательных рассуждений формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых л членов арифметической и геометрической прог р е с с и й ;
реш а т ь
з а д ач и с использованием этих формул.
Рассматривать
примеры из реальной жизни, иллюстрирующие изменение в арифметичес ко й п р о г р е с с и и , в геометричес к о й п р о г р е ссии;
и з о б р а ж а т ь
соответствующие зависимости графически.
Решать
задачи на сложные проценты, в том числе задачи из реальной практики ( с использованием кальку- лятора) 13.
Описательная статистика (8 ч)
Представление данных в виде таблиц, диа- грамм, графиков. Случайная изменчивость. Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наи- меньшее значения, размах. Представление о выборочном исследовании
Извлекать
информацию из таблиц и диаграмм,
выполнять
вычисления по табличным данным.
Определять
по диаграмм а м н а и б о л ь ш и е и наименьшие данные,
сравнивать
величины.
Представлять
информацию в виде таблиц, столбчат ы х и к р у г овых диаграмм, в том числе с помощью компьютерных программ.
П р и в о д и т ь
примеры числовых данных (цена, рост, время на дорогу и т . д . ) ,
находить
среднее арифмети- ческое, размах числовых наборов.
Приводить
содержательные примеры использования средних для описания данных (уровень воды в водоеме, спортивные показатели, определение границ климатических зон) 14.
Случайные события и вероятность (15 ч)
Понятие о случайном опыте и случайном событии. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятно- сти. Вероятности противоположных событий. Достоверные и невозможные события. Равновозможность событий. Классическое
Проводить
случайные эксперименты, в т о м ч и с л е с п о м о щ ь ю компьютерного м од е л и р о вания, интерпретировать их р е з ул ьтаты.
В ы ч и с л я т ь
частоту с л учайного события; оценивать вероятность с
определение вероятности помощью частоты, полученной опытным путем.
Решать
задачи на нахождение вероятностей событий.
П р и в од и т ь
примеры случайных событий, в частности достоверных и н е в о з м о ж н ы х с о б ытий, маловероятных событий.
П р и в од и т ь
приме ры р а в- новероятных событий 15.
Элементы комбинаторики (8 ч)
Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Комбинаторное правило умноже- ния. Перестановки и факториал -
Выполнять
перебор всех возможных вариантов для пересчета объектов или комбинаций.
Применять
правило комбинаторного умножения для решения задач на нахождение числа объектов или ком- бинаций (диагонали многоугольника, рукопожатия, число кодов, шифров, паролей и т. п . ) .
Распознавать
задачи на определение числа перестановок и выполнять соответствующие вычисления.
Р е ш а т ь
задачи на вычисление вероятности с применением ком- бинаторики 16.
Множества. Элементы логики. (7 ч)
Множество, элемент множества. Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством. Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его обозначение. Подмножество. Объединение и пересечение множеств, раз- ность множеств. Иллюстрация отношений между множест- вами с помощью диаграмм Эйлера — Венна. Понятия о равносильности, следовании, употребление логических связок если то, в том и только том случае. Логические связки и, или
Приводить
примеры конечных и бесконечных множеств. Находить о б ъ е д и н е н и е и п е р е с ечение м н о ж е с т в .
П р и в о д и т ь
примеры несложных классификаций.
И с п о л ь з о в а т ь
теоретико-множе- ственную символику и язык при решении задач в ходе изучения различных разделов курса.
И л л ю с т р и р ов ат ь
математические понятия и утверждения примерами.
Использовать
примеры и контрпри- меры в аргументации.
Ко н с т р у и р о в а т ь
математические предложения с помощью связок если то, в том и только том случае, логических связок и, или
Раздел « Геометрия»

7-9 классы ( всего 186 ч)

1.

Прямые и углы
( 2 0 ч )
Точка, прямая, плоскость. Отрезок, луч. Угол. Прямой угол, острый и тупой углы, раз- вернутый угол. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и ее свойство. Свой- ства углов с параллельными и перпендикулярными сторонами. Взаимное расположение прямых на плоскости: парал- лельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярные прямые. Теоремы о параллельности и перпендикулярности пря- мых. Перпендикуляр и наклонная к прямой. Серединный перпендикуляр к отрезку. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.
Формулировать и доказывать
теоремы, выражающие свойства вертикальных и смежных углов, свойства и признаки параллельных прямых, о единственности пер- пендикуляра к прямой, свойстве перпендикуляра и наклонной, свойствах биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.
Решать задачи
на построение, доказательство и вычисления. Выделять в условии задачи условие и заключение. Опираясь на условие задачи, проводить необходимые доказательные рассуждения. Сопостав- лять полученный результат с условием задачи.
2.Треугольники (65ч.)
Треугольники. Прямоугольные, остро- угольные и тупоугольные треугольники. Вы- сота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. При- знаки равенства прямоугольных треугольни- ков. Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника, теорема о внешнем угле треугольника. Теорема Фалеса. Подобие тре- угольников; коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников. Теорема Пифагора. Синус, косинус, тан- генс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0 до 180°; приведе- ние к острому углу. Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометриче- ское тождество. Формулы, связывающие си- нус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Решение треугольников: тео- рема косинусов и теорема синусов. Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан, высот и их продолжений
Ф о р м у л и р о в а т ь
определения п р я м оу го л ь н о го , о с троугольного, тупоугольного, р а в н о б е дренного, равностороннего треугольников; вы- соты, медианы, биссектрисы, средней линии треугольника;
распознавать
и
изображать
их на чертежах и рисунках.
Формулировать
определение равных т реугольников.
Формул и р о в а т ь
и
доказывать
теоремы о признаках ра- венства треугольников.
О б ъ я с н я т ь
и
иллюстрировать
неравенство треугольника.
Ф о р м у л и р о в а т ь
и
доказывать
теоремы о свойствах и признаках равнобедренного т р е у г о л ь н и к а , соотношениях между сторонами и углами треугольника, сумме углов тре- угольника, внешнем угле треугольника, о средней линии треугольника.
Формулировать
определение подобных треугольников.
Ф о р м у л и р о в а т ь
и
доказывать
т е о р е м ы о п р и з н ак а х п о д обия треугольников, теорему Фалеса.
Ф о р м ул и р ов ат ь
определения и
иллюстрировать
понятия синус а, косинуса, тангенса и котангенса ост- р о г о у г л а п р я м оугольного треугольника.
В ы в о д и т ь
формулы, выражающ и е ф у н к ц и и у г л а прямоугольного треугольника через его стороны.
Формулиров а т ь
и
доказы-

вать
теорему Пифагора.

Формулировать
определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов от 0 до 180°.
Выводить
формулы, выражающие функции углов от 0 до 180° через функции острых углов.
Формулиров а т ь
и
разъяснять
основное тригонометрическое тожде- ство. По значениям одной т р и- гонометрической функц и и у г л а
в ы ч и с л я т ь
значен и я д р угих тригонометрических функций этого угла.
Формулир о в а т ь
и
доказывать
теоремы синусов и косинусов.
Ф о р м у л и р о в а т ь
и
доказывать
т е о р е м ы о т оч к а х п е р е с ечения серединных перпендикуляров, биссек- т р и с , м е д и а н , в ы с о т и л и и х продолжений.
Исследовать
свойства треугольника с помощью компьютерных программ.
Решать
задачи на построение, доказательство и вычисления.
Выделять
в условии задачи условие и заключение.
Моделировать
условие задачи с помощью чертежа или рисунка,
прово-

дить
дополнительные построения в хо- де решения. Опираясь на данные усло- вия задачи,
проводить
необходимые рассуждения.
Интерпретировать
полученный результат и сопоставлять его с условием задачи
3. Четырёхугольники (20ч)
Четырехугольник. Параллелограмм, теоремы о свойствах сторон, углов и диагоналей параллелограмма и его признаки. Прямоугольник, теорема о равенстве диагона- лей прямоугольника. Ромб, теорема о свойстве диагоналей. Квадрат. Трапеция, средняя линия трапеции; равно- бедренная трапеция
Ф о р м у л и р о в а т ь
определения параллелограмма, прямоугольника, к в а д р а т а , р о м б а , т р а п еции, равнобедренн о й и п р я м оугольной трапеции, средней линии трапеции;
распознавать
и
изображать
их на чер- тежах и рисунках.
Формулировать
и
доказывать
теоремы о свойствах и признаках параллелограмма, прямоугольника, квадрата, ромба, трапеции.
Исследовать
свойства четы- рехугольников с помощью компьютерных программ.
Р е ш а т ь
задачи на п о с т р о е н и е , д о к а з а т е л ь с т в о и в ычисления.
Моделировать
условие зад а ч и с помощью чертежа или р и с у н к а ,

п р о в о д и т ь
дополнит е л ь н ы е п о- строения в ходе решения.
Выделять
на чертеже конфигурации, нео б х о д и м ы е д л я п р о в е д е н и я обоснований логических шагов реше- ния.
И н т е р п р е т и р о в а т ь
полученный результат и сопо ставл я т ь е г о с условием задачи


4. Многоугольники (10ч)
Многоугольник. Выпуклые многоугольники. Правильные многоугольники. Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника. Тео- рема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника
Р а с п о з н а в а т ь
многоугольники,
ф о р м ул и р ов ат ь
определ е н и е и
приводить
примеры многоугольников.
Ф о р м у л и р о в а т ь
и
доказывать
теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.
И с с л е д о в а т ь
с в о й с т в а м н о г о- угольников с помощью компьютерных программ.
Решать
задачи на доказательство и вычисления.
Моделиров а т ь
условие зад ач и с помощью чертежа или ри сун ка ,
п р о в о д и т

ь
дополнительные построения в ходе решения.
И н т е р п р е т и р о в а т ь
полученный р е з ул ьт а т и
сопоставл я т ь
е г о с условием задачи
5. Окружность и круг (20ч)
Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный, вписанный угол, величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружно- сти, двух окружностей. Касательная и секу- щая к окружности, их свойства. Вписанные и описанные многоугольники. Ок- ружность, вписанная в треугольник, и ок- ружность, описанная около треугольника. Теоремы о существовании окружности, вписанной в треугольник, и окружности, опи- санной около треугольника. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника. Формулы для вычисления стороны правиль- ного многоугольника; радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник; ра- диуса окружности, описанной около правиль- ного многоугольника
Формулировать
определения понятий, связанных с окружностью, центрального и вписанного углов, секу- щей и касательной к окружности, уг- лов, связанных с окружностью.
Ф о р м у л и р о в а т ь
и
доказывать
теоремы о вписанных углах, углах, связанных с окружностью.
И з о б р а ж а т ь ,

р а с п о з н а в а т ь
и
описывать
взаимное расположение прямой и окружности.
И з о б р а ж а т ь
и
формулировать
определения вписанных и описанных многоугольников и треугольников; окружности, вписанной в треугольник, и окружности, описанной около треугольника.
Формулировать
и
доказывать
теоремы о вписанной и описанной окружностях треугольника и многоугольника.
Исследовать
свойства конфигураций, связанных с окружностью, с помощью
компьютерных программ.
Р е ш а т ь
з а д ач и н а п о с т р о ение, доказательство и вычисления.
Моделировать
условие задачи с помощью чертежа или рисунка,
прово-

д и т ь
дополнительные построения в ходе решения.
Выделять
на чертеже конфигурации, н е о бхо д и м ы е д л я п р о в е д е н и я обоснований логических шагов реше- ния.
Интерпретировать
полученный результат и
сопоставлять
его с условием задачи
6. Геометрические преобразования (10ч)
Понятие о равенстве фигур. Понятие движе- ния: осевая и центральная симметрии, парал- лельный перенос, поворот. Понятие о подо- бии фигур и гомотетии
О б ъ я с н я т ь
и
иллюстрировать
понятия равенства фигур, подобия.
С т р о и т ь
равные и симметричные фигур ы ,
вып о л н я т ь
параллельный перенос и поворот.
Исследовать
свойства движений с помощью компьютерных программ.
В ы п о л н я т ь
п р о е к т ы п о т е м а м геометрических преобразован и й н а плоскости
7.

Построения с помощью циркуля и линейки (5ч)
Построения с помощью циркуля и линейки. Основные задачи на построение: деление от- резка пополам; построение угла, равного дан- ному; построение треугольника по трем сторонам; построение перпендикуляра к пря- мой; построение биссектрисы угла; деление отрезка на п равных частей
Решать
задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Н а х о д и т ь
условия существования решения, выполнять построение точек, необходимых для построения искомой фигуры.
Доказывать,
что построенная фигура уд о вл е т в о р я е т у с л о в и я м з адачи
(определять
число решений задачи при каждом возможном выборе данных)
8.

Измерение геометрических величин (18 ч)
Длина отрезка. Длина ломаной. Периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Длина окружности, число л; длина дуги окружности. Градусная мера угла, соответствие между величиной центрального угла и длиной дуги окружности. Понятие площади плоских фигур. Равно- составленные и равновеликие фигуры. Пло- щадь прямоугольника. Площади параллело- грамма, треугольника и трапеции (основные формулы). Формулы, выражающие площадь
О б ъ я с н я т ь
и
иллюстрировать
понятие периметра многоугольника.
Ф о р м у л и р о в а т ь
определения расстояния между точками, от точки до прямой, между параллельными пря- мыми.
Формулировать
и
объяснять
свойства длины, градусной меры угла, площади.
Формулировать
соответствие между величиной центрального угла и длиной дуги окружности.
О б ъ я с н я т ь
и
иллюстрировать
п о н я т и я р а в н о в е л и к и х и равносоставленных фигур.
треугольника через две стороны и угол между ними, через периметр и радиус вписанной окружности; формула Герона. Площадь многоугольника. Площадь круга и площадь сектора. Соотношение между площадями по- добных фигур
В ы в о д и т ь
формулы п л о щ а д е й прямоугольника, п араллелограмма, треугольника и трапеции, а также фор- мулу, выражающую площадь треуголь- ника через две стороны и угол между ними, длину окружности, площадь круга.
Н а ход и т ь
площадь многоугольника разбиением на треугольники и четырех- угольники.
О б ъ я с н я т ь
и
иллюстрировать
отношение площадей подобных фигур.
Р е ш а т ь
задачи на в ы ч и с л е н и е линейных величин, градусной меры угла и площадей треугольников, четы- рехугольников и многоугольников, длины окружности и площади круга. Опираясь на данные условия задачи,
нах о д и т ь
возможности применения необходимых формул, преобразовывать формулы.
И с п о л ь з о в а т ь
ф о р м у л ы д л я о б о с н о в а н и я д о к азательных рассуждений в ходе решения.
Интерпретиров

а

т

ь
полученный р е з ул ьт а т и
сопоставл я т ь
е г о с условием задачи
9.

Координаты (8 ч)
Декартовы координаты на плоскости. Уравне- ние прямой. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности
О б ъ я с н я т ь
и
иллюстрировать
п о н я т и е д е к а р т о в о й с и стемы координат.
Выводить
и
использовать
формулы ко о р д и н ат с еред и н ы о т р е з к а , расстояния между двумя точками плоскости, уравнения прямой и окружности.
Вы полнять
проекты по темам использования координатного метода при решении задач на вычисления и доказательства
10. Векторы (10ч)
Вектор. Длина (модуль) вектора. Равенство векторов. Коллинеарные векторы. Коорди- наты вектора. Умножение вектора на число, сумма векторов, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Угол между векторами. Скалярное произведение вектор
Ф о р м ул и р ов ат ь
определения и иллюстрировать пон я т и я в е ктора, длины (модуля) вектора, коллинеарных векторов, равных векторов.
Вычислять
длину и координаты вектора.
Находить
угол между векторами.
Выполнять
операции над векторами.
В ы п о л н я т ь
п р о е к т ы п о т е м а м использования векторного метода при решении задач на вычисления и доказа- тельства

8. Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение образовательного

процесса
1. Математика. 5 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений/ Н.Я. Виленкин и др.: Мнемозина, 2012. 2. Чесноков А.С., Нешков К.И. Дидактические материалы по математике для 5 класса – 7-е изд. – М.:, Просвещение, 2011. 3. Рабочая тетрадь к учебнику.. 4. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11 класс. – М.: Айрис-пресс, 2005. 5. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. 5-6 класс. – М.: Просвещение, 2004.
9.Планируемые результаты изучения учебного предмета, курса.
Натуральные числа. Дроби. Рациональные числа Выпускник научится: • понимать особенности десятичной системы счисления; • оперировать понятиями, связанными с делимостью натуральных чисел; • выражать числа в эквивалентных формах, выбирая наиболее подходящую в зависимости от конкретной ситуации; • сравнивать и упорядочивать рациональные числа; • выполнять вычисления с рациональными числами, сочетая устные и письменные приёмы вычислений, применение калькулятора; • использовать понятия и умения, связанные с пропорциональностью величин, процентами, в ходе решения математических задач и задач из смежных предметов, выполнять несложные практические расчёты. Выпускник получит возможность: • познакомиться с позиционными системами счисления с основаниями, отличными от 10; • углубить и развить представления о натуральных числах и свойствах делимости; • научиться использовать приёмы, рационализирующие вычисления, приобрести привычку контролировать вычисления, выбирая подходящий для ситуации способ. Действительные числа Выпускник научится: • использовать начальные представления о множестве действительных чисел; • оперировать понятием квадратного корня, применять его в вычислениях. Выпускник получит возможность: • развить представление о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел; о роли вычислений в практике; • развить и углубить знания о десятичной записи действительных чисел (периодические и непериодические дроби). Измерения, приближения, оценки Выпускник научится: • использовать в ходе решения задач элементарные представления, связанные с приближёнными значениями величин. Выпускник получит возможность: • понять, что числовые данные, которые используются для характеристики объектов окружающего мира, являются преимущественно приближёнными, что по записи приближённых значений, содержащихся в информационных источниках, можно судить о погрешности приближения; • понять, что погрешность результата вычислений должна быть соизмерима с погрешностью исходных данных.
Алгебраические выражения Выпускник научится: • оперировать понятиями «тождество», «тождественное преобразование», решать задачи, содержащие буквенные данные; работать с формулами; • выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми показателями и квадратные корни; • выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями; • выполнять разложение многочленов на множители. Выпускник получит возможность научиться: • выполнять многошаговые преобразования рациональных выражений, применяя широкий набор способов и приёмов; • применять тождественные преобразования для решения задач из различных разделов курса (например, для нахождения наибольшего/наименьшего значения выражения). Уравнения Выпускник научится: • решать основные виды рациональных уравнений с одной переменной, системы двух уравнений с двумя переменными; • понимать уравнение как важнейшую математическую модель для описания и изучения разнообразных реальных ситуаций, решать текстовые задачи алгебраическим методом; • применять графические представления для исследования уравнений, исследования и решения систем уравнений с двумя переменными. Выпускник получит возможность: • овладеть специальными приёмами решения уравнений и систем уравнений; уверенно применять аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики; • применять графические представления для исследования уравнений, систем уравнений, содержащих буквенные коэффициенты. Неравенства Выпускник научится: • понимать и применять терминологию и символику, связанные с отношением неравенства, свойства числовых неравенств; • решать линейные неравенства с одной переменной и их системы; решать квадратные неравенства с опорой на графические представления; • применять аппарат неравенств для решения задач из различных разделов курса. Выпускник получит возможность научиться: • разнообразным приёмам доказательства неравенств; уверенно применять аппарат неравенств для решения разнообразных математических задач и задач из смежных предметов, практики; • применять графические представления для исследования неравенств, систем неравенств, содержащих буквенные коэффициенты. Основные понятия. Числовые функции Выпускник научится: • понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения); • строить графики элементарных функций; исследовать свойства числовых функций на основе изучения поведения их графиков; • понимать функцию как важнейшую математическую модель для описания процессов и явлений окружающего мира, применять функциональный язык для описания и исследования зависимостей между физическими величинами. Выпускник получит возможность научиться: • проводить исследования, связанные с изучением свойств функций, в том числе с использованием компьютера; на основе графиков изученных функций строить более сложные графики (кусочно-заданные, с «выколотыми» точками и т. п.);
• использовать функциональные представления и свойства функций для решения математических задач из различных разделов курса. Числовые последовательности Выпускник научится: • понимать и использовать язык последовательностей (термины, символические обозначения); • применять формулы, связанные с арифметической и геометрической прогрессией, и аппарат, сформированный при изучении других разделов курса, к решению задач, в том числе с контекстом из реальной жизни. Выпускник получит возможность научиться: • решать комбинированные задачи с применением формул n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессии, применяя при этом аппарат уравнений и неравенств; • понимать арифметическую и геометрическую прогрессию как функции натурального аргумента; связывать арифметическую прогрессию с линейным ростом, геометрическую — с экспоненциальным ростом. Описательная статистика Выпускник научится использовать простейшие способы представления и анализа статистических данных. Выпускник получит возможность приобрести первоначальный опыт организации сбора данных при проведении опроса общественного мнения, осуществлять их анализ, представлять результаты опроса в виде таблицы, диаграммы. Случайные события и вероятность Выпускник научится находить относительную частоту и вероятность случайного события. Выпускник получит возможность приобрести опыт проведения случайных экспериментов, в том числе с помощью компьютерного моделирования, интерпретации их результатов. Комбинаторика Выпускник научится решать комбинаторные задачи на нахождение числа объектов или комбинаций. Выпускник получит возможность научиться некоторым специальным приёмам решения комбинаторных задач. Наглядная геометрия Выпускник научится: • распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространственные геометрические фигуры; • вычислять объём прямоугольного параллелепипеда. Выпускник получит возможность: • научиться вычислять объёмы пространственных геометрических фигур, составленных из прямоугольных параллелепипедов; • распознавать развёртки куба, прямоугольного параллелепипеда, правильной пирамиды, цилиндра и конуса; • строить развёртки куба и прямоугольного параллелепипеда; • определять по линейным размерам развёртки фигуры линейные размеры самой фигуры и наоборот; • углубить и развить представления о пространственных геометрических фигурах; • научиться применять понятие развёртки для выполнения практических расчётов. Геометрические фигуры Выпускник научится: • пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира и их взаимного расположения; • распознавать и изображать на чертежах и рисунках геометрические фигуры и их конфигурации; • находить значения длин линейных элементов фигур и их отношения, градусную меру углов от 0  до 180  , применяя определения, свойства и признаки фигур и их
элементов, отношения фигур (равенство, подобие, симметрии, поворот, параллельный перенос); • оперировать с начальными понятиями тригонометрии и выполнять элементарные операции над функциями углов; • решать задачи на доказательство, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними и применяя изученные методы доказательств; • решать несложные задачи на построение, применяя основные алгоритмы построения с помощью циркуля и линейки; • решать простейшие планиметрические задачи в пространстве. Выпускник получит возможность: • овладеть методами решения задач на вычисления и доказательства: методом от противного, методом подобия, методом перебора вариантов и методом геометрических мест точек; • приобрести опыт применения алгебраического и тригонометрического аппарата и идей движения при решении геометрических задач; • овладеть традиционной схемой решения задач на построение с помощью циркуля и линейки: анализ, построение, доказательство и исследование; • научиться решать задачи на построение методом геометрического места точек и методом подобия; • приобрести опыт исследования свойств планиметрических фигур с помощью компьютерных программ; • приобрести опыт выполнения проектов по темам «Геометрические преобразования на плоскости», «Построение отрезков по формуле». Измерение геометрических величин Выпускник научится: • использовать свойства измерения длин, площадей и углов при решении задач на нахождение длины отрезка, длины окружности, длины дуги окружности, градусной меры угла; • вычислять площади треугольников, прямоугольников, параллелограммов, трапеций, кругов и секторов; • вычислять длину окружности, длину дуги окружности; • вычислять длины линейных элементов фигур и их углы, используя формулы длины окружности и длины дуги окружности, формулы площадей фигур; • решать задачи на доказательство с использованием формул длины окружности и длины дуги окружности, формул площадей фигур; • решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства). Выпускник получит возможность научиться: • вычислять площади фигур, составленных из двух или более прямоугольников, параллелограммов, треугольников, круга и сектора; • вычислять площади многоугольников, используя отношения равновеликости и равносоставленности; • применять алгебраический и тригонометрический аппарат и идеи движения при решении задач на вычисление площадей многоугольников. Координаты Выпускник научится: • вычислять длину отрезка по координатам его концов; вычислять координаты середины отрезка; • использовать координатный метод для изучения свойств прямых и окружностей. Выпускник получит возможность: • овладеть координатным методом решения задач на вычисления и доказательства; • приобрести опыт использования компьютерных программ для анализа частных случаев взаимного расположения окружностей и прямых; • приобрести опыт выполнения проектов на тему «Применение координатного метода при решении задач на вычисления и доказательства».
Векторы Выпускник научится: • оперировать с векторами: находить сумму и разность двух векторов, заданных геометрически, находить вектор, равный произведению заданного вектора на число; • находить для векторов, заданных координатами: длину вектора, координаты суммы и разности двух и более векторов, координаты произведения вектора на число, применяя при необходимости сочетательный, переместительный и распределительный законы; • вычислять скалярное произведение векторов, находить угол между векторами, устанавливать перпендикулярность прямых. Выпускник получит возможность: • овладеть векторным методом для решения задач на вычисления и доказательства; • приобрести опыт выполнения проектов на тему «применение векторного метода при решении задач на вычисления и доказательства».