Проект. Построение многоуровневой системы задач по теме «Производная» Цель:создать условия учащимся -для формирования умения находить производную по алгоритму; - для формирования представлений о правилах и формулах дифференцирования; формирования умений распознавать, в какой ситуации применяется та или иная формула; -овладения навыками дифференцирования функций; формирования умений составлять уравнение касательной; развития умения обобщать и систематизировать теоретические знания по теме раздела, способы решения задач; - для формирования представлений о применении производной для исследования функции и построения графика; развития графической культуры. БУ-базовый уровень; З.З-знакомая задача (репродуктивный уровень); М.З- модифицированная задача; Н.З. - незнакомая задача(репродуктивный уровень). Задачи на вычисление производных по определению Задачи на вычисление производных по теоремам Задачи на исследование функции на монотонность Б У З.З Найдите производную функции: у=С; у=х; у=х 2 ; у= 1 / х ; у=√х. Ответы: 0; 1; 2х; - 1 / х 2 ; 1 / 2√х Найдите производную функции: у= -6х 3 +12х; у= х sinx; у= sinx / х . Ответы: -12х 2 +12; sinx +х cosx; x cosx-sinx/ х 2 . Определите промежутки монотонности функции У = 2х 3 -3х 2 -36х+40. Ответ : возрастает на (-∞ ;-2] и на [3; ∞ ), убывает на [-2;3]. М. З Найдите производную функции: У=5; у=19х; у=7х 2 ; у= 3 / х ; у=4√х +1 . Ответы: 0; 19; 14х; - 3 / х 2 ; 2 / √х+1 Найдите производную функции: У= cos 4 x – sin 4 x; y = -sin x / 8* cos x/ 8; Ответы: -2 sin2x; - 1/ 8* соs x / 4 Определите промежутки монотонности функции У= sin 2 x; у= cos 2 x. Ответы: возрастает на [π n; π/ 2 + π n], убывает на [ -π/ 2 +π n; π n]. Н. З Найдите f”” (0), если f(x) =2х 3 - х 2 . Ответ:12 задайте аналитически функцию у=f(x), если графиком производной является парабола. Ответ:у=( х 3 )/ 3 – 3х Определите промежутки монотонности функции У= х 2 /( х 2 +2). Ответы: возрастает на [0;+ ∞), убывает на ( -∞;0].
Задачи на исследование функций на экстремум Задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции, дифференцируемых на интервале Задачи на полное исследование функции и построение графика БУ З.З Найдите точки экстремума заданной функции у=2х 2 -7х+1 Ответы: х= 7 / 4 , точка минимума. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке у=х 2 -8х+19, [-1; 5]. Ответы: у наиб = 28, у наим =3. Постройте график функции:у=х 3 -12х. Ответ: М.З Найдите точки экстремума заданной функции у=х 4 -50х 2 Ответ: х=2, х=-2- точки минимума, х=0 -точка максимума. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке у= 2sinx -х; [0; π]. Ответы: у наиб = (3√3-π)/3, у наим =-π. Полное исследование функции и построение графикаУ=(х-1) 2 (х+2). Ответ: Н.З Найдите точки экстремума заданной функции у= 4 / х +4. Ответ: х=2 - точка минимума, х=-2- точка максимума. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке У=х 3 -2х |х-2 |, [-1; 3]. Ответ: : у наиб = 21, у наим =-40/21. Исследуйте функцию и постройте её график У=(х 2 +4)/( х 2 -4). Ответ:
Задача на нахождение уравнения касательной Задачи на вычисление скорости изменения функции, прикладные задачи, дифференциальные уравнения БУ З.З Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абциссой х=а f(x) = x 2 , a=3. Ответ: у=6х-9. Закон движения некоторой точки по прямой задается формулой s(t)=t 2 +t, где t – время (в секундах), s(t)- отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени t, если t=1с. Ответ: 3м/с; 2м/с 2 . М.З Составьте уравнение касательной к графику функции в точках его пересечения с осью абцисс, если: f(x) = 9-x 2 . Ответ: у= -6х+18, у= 6х+18 . Тело движется по прямой согласно закону х(t)= t 4 / 4 – t 3 / 3 -6 t 2 +2 t+1,( где t –время (в секундах), х( t ) –координата( в метрах)). Найдите: а) ускорение движения в момент времени t=3с; б) силу, действующую на тело массой 1г в момент времени t=3с. Ответ: 9м/с 2 ; 9кгм/с 2 . Н.З Напишите уравнения тех касательных к графику функции у=arcsin x, которые параллельны заданной прямой у=х+2. Ответ: у=х Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2:3, а объём составлял 576м 2 . Каковы должны быть размеры всех его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей? Ответ: 4 3 √5м, 6 3 √5м, (24 3 √5/5)м, Литература: 1. П.И.Алтынов, Тесты. «Алгебра и начала анализа. 10-11 кл». М., «Дрофа», 1997 2. Глизбург В.И. Алгебра и начала анализа. 10 класс: контрольные работы(профильный уровень)/ В.И Глизбург.- М. : Мнемозина, 2010. 3. .Ф.Ф.Лысенко, В.Ю.Калашников, А.Б.Неймарк, Б.Е.Давыдов. Математика.ЕГЭ. Вступительные экзамены. Ростов-на-Дону. 2010,2011
4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс: в 2ч. Ч 2 :задачник для учащихся общеобраз. учреждений ( профильный уровень)/ . Мордкович А.Г.- М. : Мнемозина, 2011