«НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ»
Разработчик: Кордюкова Надежда Петровна – преподаватель.
Н. Новгород
2016г.
Аннотация.
Данная методическая разработка предназначена для преподавателей и
обучающихся, как практическое пособие с необходимым теоретическим
материалом.
Интегральное исчисление
Неопределенный интеграл.
1.
Понятие о действии интегрирования.
2.
Первообразная. Определение.
3.
Определение неопределенного интеграла.
4.
Некоторые свойства неопределенного интеграла.
5.
Геометрический смысл неопределенного интеграла.
6.
Таблица интегралов основных элементарных функций.
7.
Методы интегрирования.
Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию,
когда по известной производной восстанавливается функция.
Для заданной функции f (х) искомая (восстанавливаемая) функция
называется первообразной и обозначается в литературе F(x).
Функция F(x) называется первообразной для заданной функции
f (х), если она удовлетворяет условию F’(x) = f (х).
Т.е., если F’(x) = f (х)
F(x) – первообразная.
Любая непрерывная функция функции f (х) имеет множество
первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным
слагаемым, обозначаемым в литературе С.
Неопределённым интегралом от функции f (х) называется совокупность
всех первообразных, обозначаемая F(x) + С, и удовлетворяющая условию
(F(x) + С)’= f (х).
Символическая запись выглядит так:
C
x
F
dx
x
f
, если
x
f
x
F
'
.
Основные свойства неопределённого интеграла
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной
функции, а дифференциал от него равен подынтегральному выражению:
,
'
x
f
dx
x
f
а
.
dx
x
f
dx
x
f
d
2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой
функции плюс постоянная интегрирования
C
x
F
x
dF
или
.
C
x
x
d
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого
интеграла
dx
x
f
k
dx
x
f
k
.
4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме неопределённых интегралов от слагаемых функций
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
.
Геометрически неопределённый интеграл, есть совокупность
(семейство) интегральных кривых.
Суть действия интегрирования заключается в том, что подынтегральная
функция представляется - раскладывается на сумму слагаемых, каждое из
которых является табличным интегралом.
Методы интегрирования:
1. Непосредственное интегрирование;
2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной);
3. Интегрирование по частям.
Метод непосредственного интегрирования
Нахождение интеграловпо формулам, с применением свойств и
тождественных преобразований над подынтегральным выражением,
приводящих к алгебраической сумме табличных интегралов, называется
непосредственным интегрированием.
Примеры:
1)
x
d
х
x
х
х
х
x
7
5
2
3
4
dx
х
х
х
х
2
3
2
1
3
4
4
7
5
2
dx
x
x
x
7
5
2
6
1
2
5
dx
x
dx
x
dx
x
7
5
2
6
1
2
5
C
x
x
x
ln
7
1
6
1
5
1
2
5
2
1
6
1
1
2
5
.
ln
7
6
7
4
6
5
2
7
C
x
x
x
Произвольные постоянные, получающиеся при интегрировании каждого
слагаемого, объединены в одну произвольную постоянную С.
2) Вычитая и прибавляя в числителе подынтегральной функции число 9,
получаем
dx
x
x
x
x
d
x
2
2
2
2
9
9
9
9
dx
x
dx
x
x
x
2
2
2
2
9
9
1
9
9
9
9
=
.
3
3
ln
3
2
1
9
9
9
2
C
x
x
x
x
dx
dx
3) Возводим в квадрат (выполняем указанные действия) и, интегрируя
каждое слагаемое, получаем
dx
dx
x
x
x
2
2
6
6
2
1
6
1
dx
dx
dx
x
x
2
6
6
2
dx
x
x
x
2
6
6
ln
6
2
C
x
dx
x
x
x
x
x
36
ln
36
6
6
ln
2
36
6
6
ln
2
.
6
ln
2
36
6
6
ln
2
C
x
x
x
4) Используя одно из основных тригонометрических тождеств,
1 + ctg
2
x = 1
/sin
2
x, получаем
dx
x
xdx
ctg
1
sin
1
2
2
.
sin
2
C
x
ctgx
dx
x
dx
5) В этом случае надо использовать формулу понижения степени
2
cos
1
2
sin
2
x
x
откуда получим
dx
x
dx
x
cos
1
4
2
sin
8
2
dx
x
dx
cos
4
C
x
x
dx
x
dx
sin
4
4
cos
4
4
.
Метод подстановки
Этот метод используется в тех случаях, когда подынтегральная функция
является очень громоздкой или является производной сложной функции и её
сложно привести к алгебраической комбинации табличных интегралов.
Суть этого метода заключается в том, что путём введения новой
переменной удаётся свести данный интеграл к новому интегралу, который
сравнительно легко берётся непосредственным интегрированием.
Алгоритм метода подстановки
1. Часть подынтегральной функции принимаем за новую переменную.
2. Находим дифференциал полученного равенства.
3. Из полученного равенства выражаем dx.
4. Всё подынтегральное выражение и dx выражаем через новую переменную
и её дифференциал (после чего должен получиться табличный интеграл, не
содержащий х).
5. Находим полученный табличный интеграл.
6. Сделаем обратную подстановку.
Символическая запись алгоритма метода подстановки
1.
,
x
z
2.
dx
x
dz
,
3.
x
dz
x
d
,
4.
z
d
z
Q
x
d
x
f
,
5.
C
z
F
z
d
z
Q
,
6. … =
C
x
F
C
z
F
.
Примеры .
I. Интегралы, приводящиеся к
dx
x
n
1)
с
х
c
z
z
d
z
z
z
d
x
dx
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2
3
5
3
1
3
1
3
5
x
z
3
5
z
d
x
d
3
1
x
d
z
d
3
2)
C
x
C
z
z
d
z
x
d
x
x
3
3
2
2
cos
2
3
1
3
sin
cos
2
x
z
cos
2
x
d
x
z
d
sin
3)
с
e
c
z
z
z
d
e
dx
e
x
x
x
3
2
ln
3
1
ln
3
1
3
1
3
2
x
e
z
3
2
z
d
x
d
e
x
3
1
x
d
e
z
d
x
3
Метод интегрирования по частям.
Этот метод основан на правиле дифференцирования произведения.
C
e
C
e
du
e
t
dt
du
t
arctg
u
dt
t
e
t
arctg
u
u
t
arctg
13
2
2
1
1
)
4
C
x
arctg
C
u
arctg
u
du
du
dx
x
dx
x
du
u
x
u
x
x
dx
x
3
9
1
3
3
1
3
1
9
3
1
3
1
3
3
9
;
9
)
5
3
2
13
2
2
2
2
6
3
6
2
C
x
arctg
C
u
arctg
u
du
du
dx
x
dx
x
du
u
x
u
x
x
dx
x
3
9
1
3
3
1
3
1
9
3
1
3
1
3
3
9
;
9
)
6
3
2
13
2
2
2
2
6
3
6
2
Пусть u = u(x), v = v(x) – функции, дифференцируемые на некотором
промежутке Х. Тогда, как известно, дифференциал произведения этих
функций вычисляется по формуле: d(uv)=uˑdv + vˑdu.
Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства,
получим: ʃd(uv)=ʃ(uˑdv + vˑdu).
Но ʃd(uv)=uv + C, a ʃ(uˑdv + vˑdu)=ʃuˑdv + ʃvˑdu; поэтому
uv + C=ʃuˑdv + ʃvˑdu, откуда получаем: ʃuˑdv = uv + C - ʃvˑdu.
Так как ʃvˑdu уже содержит произвольную постоянную, то в правой части
полученного равенства можно опустить С и записать равенство в виде:
ʃ uˑdv = uv - ʃ vˑdu (1).
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Ею обычно пользуются в тех случаях, когда подынтегральное выражение
vˑdu проще, чем подынтегральное выражение uˑdv.
Заметим, что одно и то же подынтегральное выражение можно записать
в виде uˑdv различными способами. Обычно стараются в
подынтегральном выражении выделить части u и dv так, чтобы
функция v была не сложнее, чем v', а u' проще, чем u. В частности,
полезно иметь в виду, что для таких функций, как lnx, xⁿ, arctgx, arcctgx
производные имеют более простой вид, нежели сами функции.
Поэтому в большинстве случаев эти функции удобно принимать за u.
C
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
du
x
dx
x
v
dx
x
dv
x
u
xdx
х
4
4
3
4
4
4
4
3
3
3
16
1
ln
4
4
1
ln
4
4
ln
4
4
ln
ln
)
1
x
xdx
v
xdx
dv
dx
du
x
u
xdx
x
x
x
x
xdx
v
xdx
dv
xdx
du
x
u
xdx
x
sin
cos
cos
cos
2
cos
cos
sin
sin
2
sin
)
2
2
2
2
C
x
x
x
x
x
xdx
x
x
x
x
cos
2
sin
2
cos
)
sin
sin
(
2
cos
2
2
u
du
x
x
du
xdx
xdx
du
x
u
x
xdx
x
x
x
v
dx
dv
x
dx
du
x
u
xdx
2
1
arccos
2
1
2
1
1
arccos
1
arccos
arccos
)
3
2
2
2
C
x
x
x
C
u
x
x
du
u
x
x
2
2
1
2
1
1
arccos
2
2
1
arccos
2
1
arccos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
4
a
x
dx
x
a
x
x
x
v
dx
dv
a
x
dx
x
du
a
x
u
dx
a
x
dx
a
x
a
a
x
a
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
x
dx
a
dx
a
x
a
x
a
x
x
C
a
x
x
a
dx
a
x
a
x
x
dx
a
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ln
C
a
x
x
a
a
x
x
dx
a
x
2
2
2
2
2
2
2
ln
2
C
a
x
x
a
a
x
x
dx
a
x
2
2
2
2
2
2
2
ln
2
1
2
1
