УДК 372.851:004.67

ПРИМЕНЕНИЕ ИТЕРАТИВНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ЛОГИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ В

ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ

Гарбузов Владислав Владимирович

Преподаватель отдельной дисциплины (математика, информатика и ИКТ)

ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А.

Гагарина», кадетский корпус (инженерная школа), г. Воронеж

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается методика применения электронных таблиц Microsoft Excel для

моделирования испытаний Бернулли в рамках изучения теории вероятностей. Автор

предлагает пошаговый алгоритм реализации вычислительного эксперимента, основанный

на использовании встроенных логических функций (ЕСЛИ), статистических функций

(СЛЧИС, СЧЁТЕСЛИМН) и механизма относительной и абсолютной адресации.

Показано, как итеративные вычисления позволяют наблюдать в динамике проявление

закона больших чисел — стабилизацию относительной частоты случайного события при

увеличении числа испытаний. Методика ориентирована на формирование у обучающихся

навыков алгоритмического мышления, работы с большими массивами данных и

интерпретации результатов компьютерного моделирования. Особое внимание уделяется

практической значимости подхода для подготовки кадет инженерной школы к решению

прикладных задач военно-профессиональной направленности. Представленный материал

может быть использован преподавателями математики, информатики и естественно-

научных дисциплин в системе среднего общего и профессионального образования.

Ключевые слова: испытания Бернулли, закон больших чисел, электронные таблицы,

Excel,

итеративные

вычисления,

логические

функции,

моделирование

случайных

процессов, вычислительный эксперимент, относительная частота, алгоритмическое

мышление.

ABSTRACT

The article discusses the methodology of using Microsoft Excel spreadsheets for modeling

Bernoulli trials in the study of probability theory. The author proposes a step-by-step algorithm

for implementing a computational experiment based on the use of built-in logical functions (IF),

statistical functions (RAND, COUNTIFS) and the mechanism of relative and absolute

addressing. It is shown how iterative calculations make it possible to observe in dynamics the

manifestation of the law of large numbers — the stabilization of the relative frequency of a

random event with an increase in the number of trials. The methodology is aimed at developing

students' algorithmic thinking skills, working with large data arrays and interpreting the results

of computer modeling. Special attention is paid to the practical significance of the approach for

preparing cadets of an engineering school to solve applied problems of military-professional

orientation. The presented material can be used by teachers of mathematics, computer science

and natural science disciplines in the system of secondary general and vocational education.

Keywords: Bernoulli trials, law of large numbers, spreadsheets, Excel, iterative calculations,

logical functions, simulation of random processes, computational experiment, relative frequency,

algorithmic thinking.

ВВЕДЕНИЕ

Современные требования к результатам обучения в системе общего и

профессионального

образования

актуализируют

необходимость

формирования у обучающихся не только предметных знаний, но и

метапредметных компетенций, среди которых особое место занимает

способность применять математический аппарат для решения практических

задач с использованием цифровых инструментов [1, с. 45]. Это особенно

значимо для образовательных организаций, осуществляющих подготовку

будущих инженеров и специалистов военно-учётных специальностей, где

глубокое понимание вероятностных закономерностей и навыки работы с

данными составляют основу профессиональной деятельности.

В педагогической практике традиционно сложился определённый

разрыв между изучением теоретических положений теории вероятностей и

их

практическим

применением.

Абстрактные

понятия,

такие

как

«вероятность

события»,

«частота»,

«закон

больших

чисел»,

часто

воспринимаются обучающимися как формальные конструкции, не имеющие

связи с реальностью [2, с. 112]. Преодоление этого разрыва возможно через

использование

вычислительного

эксперимента,

который

позволяет

в

интерактивном режиме исследовать поведение случайных величин и

проверять теоретические гипотезы.

Электронные таблицы Microsoft Excel представляют собой доступный

и

универсальный

инструмент,

сочетающий

в

себе

вычислительные

возможности, встроенные статистические функции и средства визуализации

данных [3, с. 78]. Применение Excel для моделирования вероятностных

процессов не требует от обучающихся навыков программирования, но при

этом позволяет реализовать полноценный вычислительный эксперимент с

возможностью многократного повторения и варьирования параметров.

Цель

настоящей

статьи

—

представить

методику

организации

вычислительного эксперимента по моделированию испытаний Бернулли в

среде Microsoft Excel, направленную на экспериментальное подтверждение

закона

больших

чисел

и

формирование

у

обучающихся

навыков

алгоритмического мышления.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Теоретические основания моделирования испытаний Бернулли

Испытаниями

Бернулли

в

теории

вероятностей

называется

последовательность независимых опытов, в каждом из которых возможны

только два исхода — «успех» и «неудача», причём вероятность успеха

остаётся постоянной во всех испытаниях [4, с. 67]. Классическими

примерами являются бросание монеты (успех — выпадение «орла») или

проверка качества изделия (успех — изделие признано годным).

Центральное

место

в

теории

массовых

случайных

явлений

занимает закон больших чисел, который в формулировке Якоба Бернулли

утверждает: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, при

достаточно большом числе независимых испытаний частота случайного

события сколь угодно мало отличается от его вероятности [4, с. 89]. Иными

словами,

при

увеличении

числа

наблюдений

эмпирическая

частота

стабилизируется около теоретического значения вероятности.

Данное утверждение имеет фундаментальное значение для всего

статистического подхода к определению вероятности, однако его абстрактная

формулировка часто остаётся для обучающихся формальной декларацией.

Именно

вычислительный

эксперимент

позволяет

превратить

это

теоретическое положение в наглядно наблюдаемый факт, доступный для

непосредственного исследования.

2. Методика организации вычислительного эксперимента

Разработанная методика предполагает выполнение обучающимися

последовательности действий, в ходе которых они создают модель,

позволяющую:

1.

генерировать последовательность случайных чисел, моделирующих исходы

испытаний Бернулли;

2.

вычислять накопленное количество успехов после каждого испытания;

3.

рассчитывать относительную частоту успехов как функцию от числа

проведённых испытаний;

4.

строить график изменения частоты и наблюдать её стабилизацию.

Этап 1. Создание структуры рабочего листа

Перед началом моделирования обучающиеся создают в рабочей книге

Excel таблицу, содержащую следующие столбцы:



столбец A — номер испытания (от 1 до N);



столбец B — случайное число из промежутка (0; 1);



столбец C — результат испытания (1 — «успех», 0 — «неудача»);



столбец D — накопленное количество успехов;



столбец E — относительная частота успехов.

Для автоматического заполнения столбца A номерами испытаний

используется механизм автозаполнения, который позволяет сформировать

последовательность натуральных чисел от 1 до 500 без ручного ввода.

Данный приём, с одной стороны, экономит время, а с другой —

демонстрирует обучающимся принцип работы с большими массивами

данных.

Этап 2. Генерация псевдослучайных чисел

В столбец B вводится функция =СЛЧИС(), которая возвращает

случайное

число,

равномерно

распределённое

на

интервале

(0;

1).

Использование этой функции не требует никаких дополнительных настроек и

доступно в любой версии Microsoft Excel. Копирование формулы на весь

диапазон ячеек осуществляется через автозаполнение, что позволяет быстро

сгенерировать выборку требуемого объёма.

Важно обратить внимание обучающихся на то, что Excel генерирует

псевдослучайные

числа,

что

не

является

недостатком,

а,

напротив,

обеспечивает воспроизводимость эксперимента — при необходимости

можно зафиксировать начальное состояние генератора [5, с. 156].

Этап 3. Реализация логики испытаний Бернулли

Ключевым элементом модели является использование логической

функции =ЕСЛИ(В2<$Н$1; 1; 0), где в ячейке $H$1 заранее задано значение

вероятности успеха p.

Синтаксис функции ЕСЛИ включает три аргумента:



проверяемое условие (В2<$Н$1);



значение, возвращаемое при выполнении условия (1 — «успех»);



значение, возвращаемое при невыполнении условия (0 — «неудача»).

В данном контексте важно обсудить с обучающимися различие между

относительной и абсолютной адресацией. Ссылка на ячейку B2 —

относительная, она изменяется при копировании формулы вниз, обеспечивая

проверку каждого сгенерированного случайного числа. Ссылка на ячейку

$H$1 — абсолютная (зафиксирована знаками доллара), она остаётся

неизменной при копировании, что позволяет использовать единое значение

вероятности для всех испытаний.

Данный

момент

представляет

собой

важнейший

дидактический

элемент: обучающиеся не просто используют готовые формулы, а осознанно

применяют механизм адресации для решения конкретной задачи. Это

способствует

формированию

навыков

алгоритмического

мышления

и

пониманию принципов организации вычислений в электронных таблицах.

Этап 4. Накопление суммы успехов

Для

подсчёта

количества

успехов

после

каждого

испытания

используется функция =СУММ($C$2:C2). Особенность данной формулы

заключается в том, что начало диапазона суммирования зафиксировано

(ячейка $C$2), а конец диапазона изменяется при копировании (ячейка C2).

Таким образом, при копировании формулы вниз диапазон суммирования

«расширяется», включая все предыдущие результаты испытаний.

Этот приём иллюстрирует принцип итеративных вычислений: значение

в каждой следующей строке зависит от всех предыдущих значений. При

копировании

формулы

до

последней

строки

(например,

до

500-й)

формируется массив накопленных сумм, отражающих динамику накопления

успехов.

Этап 5. Вычисление относительной частоты

Относительная частота успехов после каждого испытания вычисляется

как отношение накопленного количества успехов к числу проведённых

испытаний: =D2/A2. Копирование этой формулы вниз даёт массив значений,

каждый из которых представляет собой частоту успехов к соответствующему

моменту времени.

Этап 6. Построение и анализ графика

Завершающим этапом является построение графика зависимости

относительной частоты от номера испытания. Для этого выделяется диапазон

ячеек, содержащих значения частот, и вставляется диаграмма типа «График».

Интерактивность эксперимента достигается нажатием клавиши F9,

которая пересчитывает все формулы, генерируя новые случайные числа. При

каждом пересчёте график изменяется, однако при достаточном количестве

испытаний (например, 500) становится очевидным, что относительная

частота стабилизируется около заданного значения вероятности.

3. Дидактический потенциал методики

Предложенная методика обладает рядом значимых дидактических

преимуществ.

Во-первых,

она

обеспечивает наглядность абстрактных

вероятностных

понятий. Закон больших чисел, который традиционно воспринимается как

сложная

теорема,

становится

непосредственно

наблюдаемым

фактом.

Обучающиеся видят, как «хаотичные» колебания частоты при малом числе

испытаний постепенно уступают место устойчивой стабилизации.

Во-вторых,

методика

способствует

формированию алгоритмического

мышления. Выполняя последовательные шаги — от генерации случайных

чисел

до

построения

графиков

—

обучающиеся

осваивают

логику

организации вычислений, учатся планировать действия и предвидеть

результаты.

В-третьих, работа с электронными таблицами развивает информационную

компетентность. Обучающиеся приобретают практические навыки работы с

функциями,

адресацией,

диаграммами,

что

является

востребованной

компетенцией в любой сфере профессиональной деятельности.

В-четвёртых,

методика

создаёт

условия

для исследовательской

деятельности.

Возможность

варьировать

вероятность

успеха

(меняя

значение в ячейке $H$1) и наблюдать за изменениями графика стимулирует

обучающихся к постановке гипотез и их экспериментальной проверке.

4. Методические рекомендации по организации работы

На основе апробации разработанной методики в Кадетском корпусе

(инженерной школе) ВУНЦ ВВС «ВВА» можно сформулировать следующие

рекомендации.

Работу целесообразно организовать в парах или малых группах, что

позволяет сочетать индивидуальную работу за компьютером с обсуждением

результатов. Перед началом моделирования необходимо актуализировать

теоретические знания — повторить определение вероятности, частоты, закон

больших чисел.

Важно предусмотреть этап рефлексии, на котором обучающиеся

анализируют полученные графики и формулируют выводы. Рекомендуется

предложить им ответить на вопросы:



При каком числе испытаний частота начинает стабилизироваться?



Как меняется характер графика при изменении вероятности успеха?



Всегда ли при 500 испытаниях частота оказывается близкой к вероятности?

Для

усиления

практической

направленности

можно

предложить

обучающимся интерпретировать результаты моделирования в контексте

реальных задач. Например, если вероятность отказа технического устройства

составляет 0,05, то какую долю отказов можно ожидать в партии из 500

изделий? Моделирование позволяет не только дать ответ, но и оценить

разброс возможных значений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанная методика моделирования испытаний Бернулли в среде

Microsoft Excel представляет собой эффективный инструмент формирования

у обучающихся целостного представления о закономерностях случайных

явлений. Интеграция математического аппарата теории вероятностей и

вычислительных возможностей электронных таблиц позволяет реализовать

деятельностный подход в обучении, при котором абстрактные теоретические

положения подтверждаются результатами собственного вычислительного

эксперимента.

Ключевым результатом применения методики является не только

экспериментальное

подтверждение

закона

больших

чисел,

но

и

формирование у обучающихся навыков алгоритмического мышления, работы

с данными, интерпретации результатов моделирования. Использование

логических функций, относительной и абсолютной адресации, итеративных

вычислений создаёт базу для дальнейшего изучения информатики и

применения цифровых инструментов в профессиональной деятельности.

Практическая значимость методики обусловлена её универсальностью:

она может быть адаптирована для различных уровней образования, от

старших

классов

общеобразовательной

школы

до

профессиональных

образовательных организаций. Возможность варьировать параметры модели

и многократно повторять эксперимент создаёт условия для реализации

индивидуальных образовательных траекторий.

Дальнейшее развитие методики может быть связано с расширением

спектра

моделируемых

распределений,

внедрением

элементов

статистической проверки гипотез и использованием облачных сервисов для

организации совместной работы обучающихся.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.

Бунимович, Е. А. Вероятность и статистика. 10 класс : учебное пособие для

общеобразовательных организаций : базовый и углублённый уровни / Е. А.

Бунимович, В. А. Булычев. — Москва : Просвещение, 2024. — 223 с. — ISBN

978-5-09-114572-3.

2.

Бунимович, Е. А. Вероятность и статистика. 11 класс : учебное пособие для

общеобразовательных организаций : базовый и углублённый уровни / Е. А.

Бунимович, В. А. Булычев. — Москва : Просвещение, 2023. — 304 с. — ISBN

978-5-09-112020-1.

3.

Зорина, М. А. Информационные технологии в профессиональной

деятельности : учебное пособие для вузов / М. А. Зорина, С. П. Боженов. —

Москва : Юрайт, 2024. — 215 с. — ISBN 978-5-534-18572-4.

4.

Тюрин, Ю. Н. Теория вероятностей и статистика : учебник для 10–11

классов / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. — 2-е

изд., перераб. — Москва : МЦНМО, 2023. — 256 с. — ISBN 978-5-4439-1803-

9.

5.

Шапиро, Л. А. Компьютерное моделирование в школьном курсе математики :

монография / Л. А. Шапиро. — Екатеринбург : УрГПУ, 2022. — 188 с. —

ISBN 978-5-7186-2104-8.

6.

Лаврентьев, Г. В. Цифровая трансформация образования: вызовы и

перспективы / Г. В. Лаврентьев // Педагогика. — 2023. — № 4. — С. 44–52.

— ISSN 0869-561X.

7.

Симонов, М. А. Математическое моделирование случайных процессов в

школьном курсе информатики / М. А. Симонов // Информатика и

образование. — 2024. — № 2. — С. 75–82. — ISSN 0234-0453.

8.

Иванова, Т. В. Формирование алгоритмического мышления обучающихся

средствами электронных таблиц / Т. В. Иванова, Д. А. Рыбаков //

Современные проблемы науки и образования. — 2024. — № 3. — С. 112–118.

— ISSN 2070-7428.

9.

Воронина, Е. Ю. Моделирование стохастических процессов в среде MS Excel

как средство реализации межпредметных связей / Е. Ю. Воронина // Научно-

методический электронный журнал «Концепт». — 2023. — № 8 (август). —

С. 66–74. — ISSN 2304-120X.

10.Петров, А. Н. Методика обучения математике с использованием цифровых

образовательных ресурсов / А. Н. Петров. — Санкт-Петербург : Лань, 2024.

— 192 с. — ISBN 978-5-507-49764-5.

Статья поступила в редакцию 29 июня 2026 года.