Применение методов линейного программирования для

оптимизации раскроя арматурных стержней на строительной площадке.

Автор: Толстиква Елена Александровна, Государственное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение «Ставропольский

строительный техникум»

Аннотация:

В

статье

рассматривается

практическая

задача

минимизации отходов при раскрое сортового металлопроката (арматурных

стержней) на строительном объекте. Показано, что данная задача может быть

сформулирована как задача линейного целочисленного программирования.

Приведен конкретный численный пример, демонстрирующий экономический

эффект от применения математического моделирования. Использование

предлагаемого метода позволяет значительно снизить материалоемкость и

себестоимость работ при изготовлении арматурных каркасов.

Ключевые слова: линейное программирование, оптимизация раскроя,

арматурные работы, минимизация отходов, строительная экономика.

Abstract: The article discusses the practical problem of minimizing waste

during the cutting of rolled metal products (reinforcement rods) at a construction

site. It is shown that this problem can be formulated as a linear integer

programming problem. A specific numerical example is provided to demonstrate

the economic benefits of using mathematical modeling. The proposed method can

significantly reduce the material consumption and cost of reinforcement frames.

Keywords: linear programming, cutting optimization, reinforcement works,

waste minimization, construction economics.

1. Введение

Одной из актуальных задач при производстве строительно-монтажных

работ является эффективное использование материалов. Особенно это

касается металлопроката, который составляет значительную часть сметной

стоимости

конструкций.

Традиционный

метод

раскроя

арматурных

стержней, основанный на эмпирическом опыте мастера, часто приводит к

неоправданно высокому проценту отходов (10-25%).

Целью

данной

работы

является

демонстрация

применения

математического аппарата линейного программирования (ЛП) для решения

задачи оптимального раскроя линейных заготовок (арматурных стержней).

Задачи такого типа известны как «задачи о раскрое» или «задачи о

разрезании» (cutting stock problem).

2. Постановка задачи

На

строительную

площадку

поставляются

арматурные

стержни

фиксированной длины L (например, 11.7 м). Согласно проекту, для

изготовления каркасов требуется m типов заготовок.

Для каждого типа i (где i = 1, 2, ..., m) известны:

l_i – необходимая длина заготовки,

b_i – потребное количество таких заготовок.

Требуется разработать план раскроя n исходных стержней (или

минимального их количества) на необходимые заготовки, чтобы суммарные

отходы (обрезки, длина которых меньше минимально используемой) были

минимальными.

3. Математическая модель

Для

построения

модели

сначала

необходимо

определить

все

технически возможные варианты раскроя одного исходного стержня.

Вариант раскроя j описывается вектором a_j = (a_{1j}, a_{2j}, ..., a_{mj}), где

a_{ij} – целое число, показывающее, сколько заготовок типа i получается при

реализации

j-го

варианта

раскроя.

Для

любого

варианта

j

должно

выполняться ограничение по длине:

∑_{i=1}^{m} a_{ij} * l_i ≤ L

Обозначим за x_j – количество исходных стержней, раскраиваемых по

варианту j. Эти переменные являются целыми неотрицательными (x_j ≥ 0 и

целые).

Тогда

система

ограничений,

обеспечивающая

выполнение

производственной программы, запишется как:

∑_{j} a_{ij} * x_j ≥ b_i, для всех i = 1...m

Целевая

функция,

минимизирующая

общее

количество

использованных прутков (а, следовательно, и отходов), имеет вид:

F = ∑_{j} x_j → min

Полученная

модель

представляет

собой

задачу

целочисленного

линейного программирования. Для ее решения могут использоваться как

симплекс-метод с последующим округлением, так и специализированные

алгоритмы (метод ветвей и границ).

4. Практический пример

Исходные данные:

Длина исходного стержня L = 11.7 м.

Требуется нарезать заготовки:

Тип А: l

₁

= 3.2 м, b

₁

= 80 шт.

Тип Б: l

₂

= 2.8 м, b

₂

= 100 шт.

Тип В: l

₃

= 1.5 м, b

₃

= 120 шт.

Шаг 1. Формирование допустимых вариантов раскроя.

Составим варианты, при которых остаток меньше минимальной длины

заготовки (1.5 м):

Вариант 1: (3, 0, 1) = 33.2 + 11.5 = 11.1 м (остаток 0.6 м)

Вариант 2: (2, 1, 1) = 23.2 + 12.8 + 1*1.5 = 10.7 м (остаток 1.0 м)

Вариант 3: (1, 2, 1) = 13.2 + 22.8 + 1*1.5 = 10.3 м (остаток 1.4 м)

Вариант 4: (1, 1, 3) = 13.2 + 12.8 + 3*1.5 = 10.5 м (остаток 1.2 м)

Вариант 5: (0, 3, 1) = 03.2 + 32.8 + 1*1.5 = 9.9 м (остаток 1.8 м)

Вариант 6: (0, 1, 6) = 03.2 + 12.8 + 6*1.5 = 11.8 м (НЕДОПУСТИМ,

превышает L)

Вариант 7: (0, 0, 7) = 10.5 м (остаток 1.2 м) и т.д.

Шаг 2. Постановка задачи ЛП.

Ограничимся первыми 5-ю вариантами для наглядности. Пусть x

₁

...x

₅

–

количество стержней, раскроенных по соответствующим вариантам.

Система ограничений:

По заготовкам А: 3x

₁

+ 2x

₂

+ 1x

₃

+ 1x

₄

+ 0x

₅

≥ 80

По заготовкам Б: 0x

₁

+ 1x

₂

+ 2x

₃

+ 1x

₄

+ 3x

₅

≥ 100

По заготовкам В: 1x

₁

+ 1x

₂

+ 1x

₃

+ 3x

₄

+ 1x

₅

≥ 120

Целевая функция: F = x

₁

+ x

₂

+ x

₃

+ x

₄

+ x

₅

→ min

Шаг 3. Решение (подбором/простым перебором для демонстрации).

Можно

найти

приближенное

решение,

ориентируясь

на

самые

эффективные варианты:

Вариант 1 эффективен для заготовок А.

Вариант 5 эффективен для заготовок Б.

Вариант 4 эффективен для заготовок В.

Прикидочное решение:

Возьмем 25 стержней по Варианту 1: даст 75 шт. (А) и 25 шт. (В). Не

хватает 5 шт. (А), 100 шт. (Б) и 95 шт. (В).

Возьмем 34 стержня по Варианту 5: даст 102 шт. (Б) и 34 шт. (В).

Теперь избыток по (Б), не хватает 5 шт. (А) и 61 шт. (В).

Возьмем 5 стержней по Варианту 2: даст 10 шт. (А), 5 шт. (Б), 5 шт. (В).

Остаток: по (А) выполнен, по (Б) – избыток, не хватает 56 шт. (В).

Возьмем 19 стержней по Варианту 4: даст 19 шт. (А), 19 шт. (Б), 57 шт.

(В). Итог: (А)=104, (Б)=126, (В)=121. Программа перевыполнена.

Итого: 25 + 34 + 5 + 19 = 83 стержня.

При традиционном раскрое (например, 1А+1Б+1В с одного стержня)

потребовалось бы: max(80, 100, 120) = 120 стержней.

Экономия: 120 - 83 = 37 стержней. При средней цене стержня ~500

руб., экономия составляет 18 500 руб. только на одном виде работ.

5. Заключение и практические рекомендации

Приведенные расчеты наглядно показывают, что применение методов

математической оптимизации в задачах строительного производства является

мощным инструментом снижения издержек. Даже упрощенный расчет,

выполненный вручную, позволяет сократить расход материала на 30%.

Для внедрения данной методики в учебный процесс и на производство

рекомендуется:

Включить тему «Оптимизационные задачи в строительстве» в курс

математики техникума.

Использовать

доступное

программное

обеспечение

(например,

надстройку «Поиск решения» в Microsoft Excel) для автоматизации расчетов.

Подготавливать карты раскроя арматуры как обязательный элемент

технологической карты на арматурные работы.

Дальнейшим развитием темы может быть учет дополнительных

факторов: стандартизация раскроя для нескольких объектов, минимизация

количества резов, оптимизация логистики заготовок.

Список литературы:

Алешина И.В. Математические методы в планировании и управлении

строительным производством. – М.: Стройиздат, 1990.

Кузнецов А.В. и др. Математическое программирование. – М.: Высшая

школа, 2010.

Технологическая карта на арматурные работы. Серия 1.412-15.