Проект

«Графический метод решения

уравнений с параметром»

Актуальность проекта



Изучение многих физических процессов и геометрических

закономерностей часто приводит к решению задач с

параметрами, которые часто бывают весьма сложными и

требующими нестандартного подхода к решению. В школе

же, этот один из наиболее трудных разделов школьного курса

математики, рассматривается только на немногочисленных

занятиях.



Уравнения с параметром можно решать аналитически и

графически. На наш взгляд, графический метод является

удобным и быстрым способом решения уравнений с

параметрами.

Проект адресован учащимся школы.

по продолжительности - долгосрочный,

возраст учащихся - 15-17 лет,

по типу исследовательский,

Учебные дисциплины: математика, информатика

Проблема:

Нехватка времени на изучение задач с параметрами, составляющих

неотъемлемую и наиболее трудную часть экзаменационных

заданий

Цель:

Создание наглядного методического пособия для проведения

уроков алгебры

Задачи:



Проанализировать проблему



Изучить информацию по данной теме



Подобрать примеры, которые наглядно показывают

графический способ решения уравнений с параметрами



Оформить презентационный материал

Этапы работы над проектом

Этап

Деятельность учащихся

Организационный

этап

Анализируем проблему, обсуждаем главную идею

будущего проекта, в ходе дискуссии определяем

конечную цель - продукт деятельности (наглядно-

методическое пособие, распределяем обязанности

участников совместного проекта

Деятельностный этап

Сбор информации по проблеме. Организация и

выполнение проекта, исследование. Оформление

результатов.

Презентационный

этап

Презентация проекта, самооценка результатов

деятельности, выводы, перспективы проекта.

Ожидаемый результат



Проект поможет нам овладеть теоретическим материалом и приобрести

навык решения уравнений с параметрами.



Повысится уровень знаний



Усовершенствуются навыки работы в сфере проектной деятельности.



Будет создано наглядное методическое пособие для проведения уроков

алгебры.

Основные понятия



Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное

выражение, называется уравнением с параметрами.

Примеры:

аx + в = 0 (x – переменная,

а и в – параметры),

аx² + вx + с = 0 (x – переменная,

а, в и с – параметры).

Чаще всего встречаются две постановки задач:



Первая постановка задачи:

решите уравнение. Это значит,

что для каждого значения

параметра а, необходимо найти

решения.



Решить уравнение с

параметрами - значит

указать, при каких значениях

параметров существуют

решения и каковы они.



Вторая постановка задачи: при

каких значениях параметра а

уравнение имеет два различных

корня.



Решить уравнение с

параметром – значит, для

любого допустимого значения

параметра найти множество

всех корней заданного

уравнения.

Алгоритм решения:



Находим область определения уравнения.



Выражаем a как функцию от х.



В системе координат хОа строим график функции а=f(х) для тех

значений х, которые входят в область определения данного уравнения.



Находим точки пересечения прямой а=с, где с-любое действительное

число, с графиком функции а=f (х).Если прямая а=с пересекает график

а=f (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого

достаточно решить уравнение а=f (х) относительно х.



Записываем ответ.

И для начала – несложное задание – задайте формулой семейство графиков.

(Слайд 11 в презентации)

Далее мы подобрали несколько задач, которые наглядно показывают

удобство графического решения уравнений с параметрами.

Задача 1 (слайд 12-14)

Решить уравнение при всех значениях параметра а х

2

- 6 х + 8 = а

Рассмотрим графики двух функций

У= х

2

– 6 х +8 и у = к

1.За основу возьмем график функции

У=х

2

– 6 х +8

Парабола, ветви вверх, при у=0 х=2 и х=4

2.Отобразим симметрично относительно оси ОУ часть графика,

находящуюся правее ее

3.Отобразим симметрично относительно оси ОХ часть графика,

находящуюся ниже ее

у = к – графиком является прямая, параллельная оси абсцисс

Совместив графики обеих функций получим:

1. Если а < 0, то графики не пересекаются, а следовательно уравнение не

имеет корней

2. Если а2= 0, то уравнение имеет 4 корня ( -4,-2,2,4)

3.Если 0 <а < 1 – 8 корней

4.Если а3=1,то уравнение имеет 6 корней

5. Если ,1< а 4<8, то уравнение имеет 4 корня

6 Если а5=8, то уравнение имеет 3 корня

7. Если а >8, то уравнение имеет 2 корня

Задача 2 (слайд 15-17)

Сколько корней имеет уравнение X+1 =aX?



Разобьем данное уравнение на две функции

y = x+1 y = ax

Построим график: Построим график:

-за основу берем график функции y = ax – графиком является прямая,

y = x+1 проходящая через начало координат

-отобразим симметрично

относительно оси ОХ часть графика,

находящуюся ниже этой оси

Совместив графики обеих функций получим:

1 Уравнение имеет одно решение при а=0, a>1, a < -1

2 Уравнение имеет два решения при -1<a<0

3 Уравнение не имеет решений при 0<a < 1

Задача 3 (слайд 18-19)

При каких значениях параметра а уравнение 2х –а +1 = х+3 имеет

единственное решение

Рассмотрим графики функций

у = 2х – а –графиком является

острый угол с вершиной (а/2;0),

вид у = 2х

у = х + 3 – 1 – графиком является

прямой угол с вершиной (-3;-1),

вид у = х

Совместив графики обеих функций получим:

Ответ: уравнение имеет одно решение если а/2 = -4, а = -8

а/2 = -2, а = -4

Задача 4 (слайд 20-21)

Исследовать на количество корней уравнение

(а + 4х – х

2

– 1)(а + 1 – х -2 ) = 0

Решение

а + 4х – х

2

– 1 = 0 или а + 1 – х - 2 = 0

а = х

2

– 4х + 1 а = х - 2 - 1

Построим графики обеих функций в одной системе координат

у = х

2

– 4х +1 – график парабола, вид

у = х

2

, вершина (2;-3)

у = х -2 -1 , вид у = х , вершина угла (2;-1)

Ответ:

1 При а < -3, корней нет

2 При а = -3 - 1 корень

3 При -3 < а < -1

а = 1 - 2 корня

4 При а = -1 - 3 корня

5 При а > 1 - 4 корня

Задача 5 (слайд 22-23)

При всех значениях параметра а решить уравнение:

х + 8 + х + 5 = а

Разобьем данное уравнение на две функции

у = х + 8 + х + 5 и у = а

Построим графики данных функций в одной системе координат

у = х + 8 + х + 5

-2х – 13,если х < -8

у = 3, если -8 х < -5

2х + 13, если х -5

у = а – прямая параллельная оси ОХ

Ответ:

При а < 3,корней нет

При а = 3 , бесконечное множество корней Х принадлежит отрезку от -8 до -5

При а > 3 , 2 корня

Вывод:

Знания по теме «Решение задач с параметрами» необходимы учащимся в наше время, как

при подготовке к ЕГЭ. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать

критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и

логического мышления. Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед

учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для

математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом

математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании

логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся,

владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими

задачами. Я считаю, что подготовленный нами наглядно-методический материал будет

хорошим подспорьем для учащихся на уроках алгебры.