Содержание

1.

Актуальность исследования.……………………………………………2

2.

Цели и задачи ……….…………………………………………………...2

3.

Введение …………………………………………………………………3

4.

Основная часть…………………………………………………………...4

5.

Заключение……………………………………………………………….10

6.

Список литературы……..………………………………………………..11

1

Актуальность исследования

Математический ум проявляется не в простом умении решать задачу, а в

выборе более рационального способа ее решения. Поэтому мыслить

рационально – это всегда актуально. Неоспоримым доказательством этого

утверждения является практика.

Цель работы: сравнение расстояний от обыкновенной дроби до 1 и от 1

до обратной ей дроби.

Задачи:

1.

Разбор частных случаев.

2.

Выдвижение гипотез.

3.

Доказательство или опровержение гипотез.

4.

Применение доказанного свойства при решении задач.

Объект исследования: взаимно-обратные дроби.

Предмет исследования: закономерность между обыкновенной дробью,

обратной ей дробью и единицей.

План.

I.

Введение: постановка проблемы исследования.

II.

Основная часть:

1.

Пробы (разбор частных случаев).

2.

Выдвижение гипотез.

3.

Проверка гипотез.

4.

Доказательство гипотез.

5.

Подбор примеров на применение найденного свойства.

6.

Оформление результатов исследования.

III.

Заключение: выводы.

2

Введение.

Взаимно-обратные дроби мы изучаем в 6 классе. Дроби, произведение

которых равно 1, называются взаимно-обратными. Обыкновенная дробь

меньше 1, а обратная ей дробь (она неправильная) больше 1. Интересно

узнать, какая закономерность существует между обыкновенной дробью,

обратной ей дробью и 1. Поэтому я решил сравнить расстояния от

обыкновенной дроби до 1 и от 1 до обратной дроби. Для этого вспомнил

материал, пройденный в 5 классе: обыкновенные дроби, правильные и

неправильные дроби, изображение обыкновенных дробей на координатном

луче, круговые диаграммы. Закрепил материал, изученный в 6 классе:

приведение дробей к общему знаменателю, вычитание дробей с разными

знаменателями.

Результаты

исследования

частных

случаев

оказались

одинаковыми. Не закономерность ли это? Попробую доказать. Так как

понятие доказательство нами еще не пройдено, я его изучил самостоятельно.

Моё исследование, основанное на уже изученном и подпитанное новыми

знаниями, должно привезти либо к доказательству, либо к опровержению

выдвинутых гипотез.

3

Основная часть

Рассмотрим 5 обыкновенных дробей. Для каждой дроби найдем обратную

ей дробь. Для наглядности сравнения расстояний, приводим взаимно-

обратные дроби к одинаковому знаменателю:

1)

2)

3)

4)

4

0

X

=2

1

0

X

1

0

X

1

0

X

1

5)

Оказалось, что в каждом случае правильная дробь расположена ближе к 1, чем обратная ей

дробь. Результаты занесем в таблицу.

Случай

1

2

3

4

5

Правильная

дробь

Обратная

ей дробь

Ближе к 1

правильная

дробь

Да

Да

Да

Да

Да

Дальше от

1 обратная

ей дробь

Да

Да

Да

Да

Да

Мне стало интересно. Поэтому решил больше узнать об этом. Поставил

перед собой такие вопросы: Для всех ли правильных дробей расстояние до

1 меньше, чем расстояние от 1 до обратной дроби? Нет ли такой

правильно дроби, для которой расстояние до 1 равно расстоянию от 1 до

обратной ей дроби?

Рассмотрим еще 2 примера:

1.

5

1

0

X

0

X

1

0

X

1

2.

Не закономерность ли это? Попробуем доказать, что обыкновенная дробь

расположена ближе к 1, чем обратная ей дробь. Для этого рассмотрел

необходимую литературу.

Доказательство: Пусть задана правильная дробь

(

).

Запишем дробь, обратную данной:

.

Отметим обе дроби на координатном

луче:

Найдем 2 расстояния: от точки с координатой

до 1 и от точки с

координатой

до 1.

Так как

, то из 2 дробей с одинаковыми числителями больше та

дробь, у которой знаменатель меньше, т.е.

. Иначе говоря,

6

1

0

X

расстояние от правильной дроби

до 1 меньше расстояния от обратной ей

дроби до 1.

Вывод: правильная дробь

ближе к 1, чем обратная дробь

.

Так как

и

– произвольные натуральные числа, это свойство

выполняется для всех правильных дробей.

На первый вопрос ответили. Остается ответить на второй вопрос.

Доказательство:

Пусть существуют такие дроби

и

(

), которые удалены

от 1 на одно и то же расстояние. Найдем соответствующие расстояния:

Рассмотрим равенство

. Так как числители дробей равны, то

должны быть равными и знаменатели, т.е.

, но это противоречит

условию (

). Значит, наше предположение не верно. А это, в свою

очередь означает, что нет таких взаимно-обратных дробей, удаленных на

одно и то же расстояние от 1.

Потом я придумал несколько задач на применение моего исследования.

Две из них предложил учащимся своего класса.

Сначала предложил задачу 1.

7

Задача 1. Для изготовления первого пирога использовали

килограмма

муки, а для второго –

килограмма муки. Вес какого пирога будет ближе к 1

килограмму, если остальные компоненты взять в одинаковом количестве?

Получил следующие результаты: всего в эксперименте участвовало 15

учащихся.

1.

12 учащихся (80 %) дали правильный ответ (вес первого пирога ближе

к 1 килограмму), а 3 учащихся (20 %) дали неверный ответ (вес

второго пирога ближе к одному килограмму).

2.

Способ решения задачи 1 был классическим:

1)

2)

3)

3.

На решение задачи 1 потребовалось 3 минуты.

Затем я ознакомил учащихся со своим исследованием и предложил

задачу 2.

Задача 2. На конкурсе «А ну-ка, девочки » было предложено задание на

точность: переложить в пакет ровно 1 килограмм яблок из ведра. Катя

набрала

килограмма, а Маша –

килограмма. Кто оказалась точнее?

8

Результаты превзошли все ожидания: правильный ответ (Катя оказалась

точнее) был дан всеми учащимися мгновенно!

Результаты исследования изображены на круговых диаграммах:

Учитель предложил мне несколько задач из сборника «ГИА 2013

МАТЕМАТИКА» (задания № 2 – числа и прямая). С учетом полученных в

9

моей работе выводов, я справился с ними очень быстро. Эти же задания

предложил учащимся 9 класса.

Из 16 учащихся двое не справились с заданием. Остальные учащиеся,

справившиеся с заданиями, выполняли их, придавая буквам конкретные

значения и сравнивая числовые выражения. Таким образом, тратили на

выполнение этого задания больше времени, чем если бы они использовали

понятие взаимно обратных дробей.

10

Заключение.

«Тот, кто хоть раз пережил радость творческого свершения, не

пожалеет

никаких

усилий,

чтобы

пережить

её

снова.

Никакие

трудности не остановят его. Его стремление, старание и упорство в

преодолении препятствий будут возрастать с каждым новым успехом»,

– сказал А. Я. Хинчин.

Я с этим высказыванием полностью согласен. Вначале долго выбирал

тему. Хотелось подобрать такую тему, которая не оставила бы равнодушным

никого. Оказывается, увлекает не только тема, но и работа над ней!

Пусть мое исследование и небольшое, но для меня оно имеет огромное

значение. Во-первых, я ознакомился с элементами исследования; во-вторых,

овладел навыками пользования ПК; в-третьих, поверил в себя. А самое

главное в том, что теперь почти в каждой теме урока я вижу тему для

исследования!

11