Предмет алгебра

Класс 9

Учитель Благова Наталья Александровна

Тема урока Числовые последовательности.

Арифметическая и геометрическая

прогрессии.

Тип урока урок проверки и коррекции знаний

Цель

повторить с целью закрепления и систематизации ранее

изученного материала по числовой последовательности

и арифметической и геометрической прогрессии;

расширить кругозор учащихся сведениями исторического

характера, выявлением математических закономерностей

в литературных произведениях, химии, биологии,

архитектуре, воспитывать грамотность учащихся.

Ход урока

Ребята!

Мы

изучаем

тему

“Числовые

последовательности.

Арифметическая и геометрическая прогрессии”. На предыдущих уроках

вы познакомились с новой математической моделью

- числовой

последовательностью (функцией натурального аргумента). Вы узнали

новые термины математического языка: числовая последовательность,

n-ый

член

последовательности,

арифметическая

прогрессия,

геометрическая прогрессия, разность арифметической прогрессии, сумма

конечной

арифметической

прогрессии,

знаменатель

геометрической

прогрессии, сумма конечной геометрической прогрессии. Также мы

обсудили

три

способа

задания

числовой

последовательности,

сформулировали свойства арифметической и геометрической прогрессий.

Сегодня на уроке вы не только покажете свои знания по данной теме, но и

приобретете новые сведения исторического характера, математических

закономерностей в литературных произведениях, о связи изучаемой темы с

химией и биологией, и, наконец, мы поговорим об архитектурных

памятниках.

Где мы только не встречаемся с последовательностью: и в математике, и в

искусстве, и в быту.

Дайте определение числовой последовательности.

Например:

- натуральный ряд чисел 1,2,3…;

- алфавит;

- очередь;

- последовательность четных и нечетных номеров домов на левой и правой

сторонах улицы;

- до-ре-ми-фа-соль-ля-си.

Какие способы задания последовательности вы знаете? Приведите

примеры.

Достаточно широко изучается последовательность в школьном курсе

математики: натуральный ряд чисел, числа четные и нечетные,

положительные и отрицательные, арифметическая и геометрическая

прогрессии.

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг:

“Прогрессио – движение вперед”

Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите формулу

n

-ого

члена. Расскажите о свойствах арифметической прогрессии.

Сформулируйте характеристическое свойство.

Арифметическая прогрессия – последовательность чисел, в которой

каждый член, начиная со второго, равен предыдущему путем прибавления

к нему одного и того же числа d, называемого разностью этой

арифметической прогрессии.

Таким образом, каждая арифметическая прогрессия имеет вид: a, a+d,

a+2d, a+3d,…, n-ый член которой

.

Если d > 0, то АП является возрастающей, если d < 0 – убывающей.

Если АП содержит n членов, то ее сумму можно вычислить по формуле:

Характеристическое свойство АП:

Задача: найти сумму всех целых чисел от 1 до 60.

Эта задача имеет свою историю.

Рассказывают, что учитель национальной школы в Брауншвейге господин

Битнер задал своим первоклашам задание: найти сумму всех целых чисел

от 1 до 60.

Не успел учитель прочитать задание, как мальчик небольшого роста

подошел к столу учителя и положил свою тетрадь.

- Ты, что, не понял, как надо выполнить задание? – спросил учитель.

- Нет, я уже подсчитал.

- Карл Фридрих Гаусс! Мне кажется, что тебе попросту не хочется

работать! – закричал на мальчика разозлившийся учитель. – Хочешь

получить единицу и быть наказанным?

- Я уже подсчитал,- повторил тихо мальчик.

- Ну, хорошо. Оставь тетрадь и садись на место.

Учитель сел за стол и подсчитал, что сумма всех целых чисел от 1 до 60

равна 1830. Ему тоже пришлось затратить немного времени.

- А сейчас проверим, кто правильно решил задачу, а кто не сумел, - сказал

он, наконец, когда все ребята закончили и сдали тетради.

Учитель вытащил с самого низа тетрадь Гаусса.

“Пришло время наказать ленивого ученика”,- думал он.

- Так вот,- сказал он сердито. – Карл Гаусс подсчитал, что сумма чисел

равна…

- Равна…1830.

- Скажи-ка мне, Карл, каким способом ты так быстро решил?

“Быстрее меня”,- смущенно подумал учитель.

- Это очень просто, - так же спокойно, как и прежде, ответил мальчик.

Я заметил, что первое и последние числа, второе и предпоследнее, третье и

предпредпоследнее и т.д. в сумме дают 61. Таких сумм будет 30.

61·30=1830.

Карл Гаусс, которого уже в возрасте девяти лет можно было назвать

математическим гением, вырос и стал великим математиком, королем

математиков.

Дайте определение геометрической прогрессии. Запишите формулу

n

-ого

члена.

Расскажите

о

свойствах

геометрической

прогрессии.

Сформулируйте характеристическое свойство.

Геометрическая прогрессия

– последовательность чисел, в которой

каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на

одно и то же число q, называемое знаменателем геометрической

прогрессии.

Если знаменатель прогрессии │q│> 1, то ГП является возрастающей, если

│q│< 1 – убывающей.

Если ГП содержит n членов, то ее сумму можно вычислить по формуле:

Характеристическое свойство ГП:

Индийский мудрец Сесса, сын Дагера, решил проучить недалекого и

жадного властелина Схерама. Мудрец придумал игру, в которой самая

важная фигура (король) ничего не может сделать без помощи других

фигур и пешек. Схераму, не понявшему намека, игра понравилась, и он

решил отблагодарить Сесса…

Сесса: Повелитель, прикажи выдать мне за первую клетку шахматной

доски одно пшеничное зерно.

Схерам: Простое пшеничное зерно?

Сесса: Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать два зерна, за

третью -4, за четвертую -8, за пятую -16, и так до 64-й клетки.

Схерам был обижен такой “жалкой” просьбой.

Давайте ответим на вопрос: Сколько же зерен попросил мудрец?

Архимед: Наимудрейшие! Если бы царю удалось засеять пшеницей

площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и

пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный

урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

18 446 744 73 709 551 615.

Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот

сорок

четыре

триллиона

семьдесят

три

биллиона

семьсот

девять

миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

А вот другая легенда, более поэтическая.

Молодой индийский воин и девушка любили друг друга. Поженившись,

они стали еще более счастливы, и, казалось, ничто не могло огорчить их

семейную жизнь. Но скоро воину наскучил покой. Его влекли к себе

ратные подвиги, и он стал надолго покидать свой родной край. Сильно

тосковала молодая жена. Ни мольбы, на слезы не могли остановить ее

мужа. И тогда ее осенило. Нужно придумать игру, которая заменила бы

мужу все переживания настоящего боя: пыл атак, радость побед, горечь

поражений,- он будет со мной. Так возникли шахматы.

Как своеобразно переломились в этих двух легендах математическая и

эмоциональная сущность шахмат!

Какая последовательность чисел называется

числами Фибоначчи

?

Изучая закономерности размножения кроликов (пара кроликов через год

принесет еще одну пару), итальянский математик Фибоначчи получил

последовательность, каждый член которой, начиная с третьего, равен

сумме двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

Последовательность натуральных чисел

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…

каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих

членов, т.е.

(k≥3)

называется рядом Фибоначчи.

Последовательность имеет древнюю историю. Она впервые была описана

в 1202г. в “Книге об абаке” итальянским купцом и математиком

Леонардо из Пизы, известным более по прозвищу - Фибоначчи – сын

доброй природы. С тех пор последовательность называется рядом

Фибоначчи, а ее члены - числами Фибоначчи. “Книга об абаке” Фибоначчи

была своего рода математической энциклопедией средневековья и сыграла

заметную роль в развитии математики в Европе.

Числа Фибоначчи имеют удивительные приложения в искусстве, живой и

неживой природе.

А) Химия

Среди химических соединений нередко встречаются такие, в формулах

которых имеются числа Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8,…

Например:

.

Между окислами урана

образуется целый ряд промежуточных

соединений:

.

Каждый из описанных окислов урана может быть представлен в виде

суммы двух граничных окислов ряда

и

, взятых в различных

пропорциях.

Например:

;

.

Коэффициенты перед окислами

и

взяты из ряда Фибоначчи.

Б) Архитектура

Трудно себе представить человека, который не знал, не видел и не слышал

о соборе Василия Блаженного в Москве.

2 октября 1552г. пала Казань. Для прославления “казанского взятия” было

решено заложить собор Покрова, “что на рву”.

Позже храм был прозван

Василием Блаженным из-за погребения

юродивого у его стен в конце XVI в.

Как побил государь

Золотую Орду под Казанью

Указал на подворье свое

Приходить мастерам.

И велел благодетель,-

Гласит летописца сказанье,-

В память оной победы

Да выстроят каменный храм!

Легенда говорит о том, что строить собор взялись двое зодчих – Постник

и Барма (некоторые ученые считают, что это был один человек):

Мастера выплетали

Узоры из каменных кружев,

Выводили столбы,

Кровли крыли лазурью снаружи

И в свинцовые рамы

Вставляли чешуйки слюды.

Нарушили мастера царский приказ, и к восьми башням прибавили

девятую. Летописец заметил, что построена она “не яко повелено было, но

яко … разум даровался им в размерении основаниям” – то есть из

художественных

соображений,

чтобы

придать

зданию

большую

выразительность.

К 1560 году собор был выстроен, он стал – и по сей день остается –

украшением Москвы.

ЦАРСКАЯ “МИЛОСТЬ”

…А как храм освятили,

То с посохом

В шапке монашьей

Обошел его царь –

От подвалов и служб

До креста.

И окинувши взором

Его узорчатые башни,

- Лепота! – молвил царь.

И ответили все: - Лепота!

И спросил благодетель:

- А можете ль сделать пригожей,

Благолепнее этого храма

Другой, говорю? –

И, тряхнув волосами,

Ответили зодчие

- Можем!

Прикажи, государь! –

И ударились в ноги царю.

И тогда государь

Повелел ослепить этих зодчих,

Чтоб в земле его

Церковь

Стояла одна такова,

Чтобы в Суздальских землях,

И в землях Рязанских

И прочих

Не поставили лучшего храма,

Чем храм Покрова!..

Из стихотворения “Зодчие” Дмитрия Кедрина

При рассмотрении того или иного храма невольно возникает вопрос:

случайно ли, что число куполов в нем определяется рядом Фибоначчи?

Трудно ответить на этот вопрос однозначно, тем более что в X-XI в.в.

Фибоначчи не было на свете.

Простейшие православные соборы раннего периода были одноглавые,

например, Церковь Покрова на Нерли (1165) имеет 1 купол, Георгиевский

собор Юрьева монастыря в Новгороде (1119) – трехглавый.

Однако уже в X

в. строили многокупольные

церкви. Новгородский

Софийский собор (X в.) и Софийский собор в Киеве (XI в.) были 13 -

главыми, Церковь Преображения в Кижах (1714), вырубленная из дерева,

имеет 22 главы.

В) Биология и зоология

Окружающий нас мир – это мир симметричный.

Существует несколько способов листорасположения. Так, у липы, вяза

листорасположение

описывается

формулой

½;

у

ольхи,

орешника,

винограда – 1/3; у дуба и вишни – 2/5; у малины и тополя – 3/8; у миндаля,

облепихи – 5/13.

Не трудно заметить, что в формулах листорасположения встречаются

числа Фибоначчи. (Числитель дроби равен числу оборотов по стеблю

одного листового цикла, а знаменатель – числу листьев на данном цикле.)

Посмотрите

на

сосновую

шишку.

Чешуйки

на

ее

поверхности

расположены строго закономерно – по двум спиралям. Число таких

спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21.

В корзинах подсолнечника семена также расположены по двум спиралям,

их число составляет обычно 34 и 55 или 55 и 89. Здесь мы вновь видим

числа Фибоначчи.

Числа Фибоначчи проявляются в морфологии различных организмов.

Например: морские звезды. Число лучей у них отвечает ряду чисел

Фибоначчи и равно 5, 8, 13, 21…

У хорошо знакомого комара – 3 пары ног, брюшко делится на 8 сегментов,

на голове 5 усиков – антенн.

Г) Музыка стихов

* * *

Я вас любил: любовь еще быть может,

В душе моей угасла не совсем;

Но пусть она вас больше не тревожит;

Я не хочу печалить вас ничем.

Я вас любил безмолвно, безнадежно,

То робостью, то ревностью томим;

Я вас любил так искренно, так нежно,

Как дай вам Бог любимой быть другим.

1829

Наиболее часто у А.С.Пушкина встречаются стихи из числа строк, явно

тяготеющих

к

числам

5,8,13,21,34.

Следует

учесть,

что

законы

стихосложения требуют наличия четного числа строк, так как строки

попарно рифмуются.

Он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам

Фибоначчи. Наличие этих чисел говорит о необычайном чувстве гармонии

у А.С.Пушкина.

Давайте прочтем некоторые из них.

К ПОРТРЕТУ ЖУКОВСКОГО

Его стихов пленительная сладость

Пройдет веков завистливую даль,

И, внемля им, вздохнет о славе младость,

Утешится безмолвная печаль

И резвая задумается радость.

1818

(5 строк)

***

Если жизнь тебя обманет,

Не печалься, не сердись!

В день уныния смирись:

День веселья, верь, настанет.

Сердце в будущем живет;

Настоящее уныло:

Все мгновенно, все пройдет;

Что пройдет, то будет мило.

1825

(8 строк)

НЯНЕ

Подруга дней моих суровых,

Голубка дряхлая моя!

Одна в глуши лесов сосновых

Давно, давно ты ждешь меня.

Горюешь, будто на часах,

И медлят поминутно спицы

В твоих наморщенных руках.

Глядишь в забытые вороты

На черный отдаленный путь:

Тоска, предчувствия, заботы

Теснят твою всечасно грудь.

То чудится тебе…

1826

(13 строк)

Д) Музыка

Эти числа, бесспорно, являются частью мистической естественной

гармонии, которая приятно осязается, приятно выглядит и даже приятно

звучит.

Музыка,

например,

основана

на

8-ми нотной

октаве.

На

фортепьяно это представлено 8 белыми клавишами и 5 черными - всего 13.

Древнейшая задача на прогрессию.

Древнейшая задача на прогрессию – задача о делении хлеба, которая

записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот,

разысканный Риндом в конце прошлого столетия, составлен около 2000

лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего

математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему

тысячелетию до нашей эры.

В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого

документа имеется и таковая:

Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй

получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше

второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого.

Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех

остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение.

Очевиднее,

количества

хлеба,

полученные

участниками

раздела,

составляют возрастающую арифметическую прогрессию.

Пусть первый ее член x, а разность y.

Тогда

Доля первого …x

второго …x + y

третьего …x +2y

четвертого…x +3y

пятого …x +4y

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

x + (x + y) + (x + 2y) + (x + 3y) + (x + 4y) = 100

7(x + (x + y)) = (x + 2y) + (x + 3y) + (x + 4y).

После упрощений первое уравнение получает вид:

x + 2y = 20,

а второе:

11x = 2y.

Решив эту систему, получаем:

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части

,

,

,

,

.

Задача о вознаграждении воина.

Эта задача из другого старинного русского учебника математики,

носящего заглавие:

“Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-

Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским

в

пользу

и

употребление

юношества

и

упражняющихся

в

Математике”(1795).

Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейка, за

другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось,

что

воин

получил

всего

вознаграждения

655

рублей

35

копеек.

Спрашивается число его ран.

Решение.

Составляем уравнение

или

откуда имеем:

и x = 16.

При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить

16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб.

35 коп.

Ну а теперь давайте подведем итоги нашего урока.

Сегодня мы повторили свойства арифметической и геометрической

прогрессий, решили ряд задач по данной теме.

А чем интересен и необычен для вас был этот урок?

Я думаю, что вы со мной согласитесь: Математика тесно взаимосвязана с

другими науками и таит множество тайн и открытий.

В качестве домашнего задания я предлагаю вам решить задачи, одна из

которых из старинного учебника арифметики Магницкого. Тексты вы

можете переписать на перемене.

Дополнительные задачи.

Поливка огорода.

В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая

грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в

14 м от края огорода, и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой

за один раз, достаточно для поливки только одной грядки.

Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь

начинается и кончается у колодца.

Покупка лошади.

В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную

задачу:

Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь,

раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

-

Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не

стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

-

Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные

гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в

каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй

– ½ коп., за третий – 1 коп. и т.д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить

лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется

уплатить не более 10 рублей.

На сколько покупатель проторговался?