Методы решения тригонометрических уравнений

Автор-составитель: Шишкина Елена Павловна,

учитель математики МБОУ г. Мурманска «Гимназия №2»

Определение:

тригонометрическим

уравнением

называется

равенство

тригонометрических выражений, содержащих неизвестное (переменную) под знаком

тригонометрических функций.

Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все значения неизвестного,

удовлетворяющие уравнению.

Решение простейших тригонометрических уравнений.

1. sinx=a

1). |a|>1

нет решений

2). Частные случаи:

a=1,

a= - 1,

a=0,

3). |a|<1,

Обобщённая формула:

2. cosx=a

1). |a|>1

нет решений

2). Частные случаи:

a=1,

a= - 1,

a=0,

3). |a|<1

3. tgx=a

4. ctgx=a

Методы решения тригонометрических уравнений.

1.

Уравнения, сводимые к алгебраическому – это уравнения, сводимые к

одной и той же функции относительно одного и того же

неизвестного выражения, входящего только под знак функции.

Пример:

Замена

2.

Однородные уравнения относительно sinx и cosx.

а)

Уравнение вида

называют однородными 1 степени

относительно

и

Решение:

Разделим обе части уравнения на

(если

, то из уравнения видно, что и

, что невозможно,так как теряет смысл тождество

).

Уравнение примет вид:

Пример:

sin(x) - cos(x)=0,

cos(x)

0

tg(x) – 1=0

x=

б)

Уравнение вида

называют однородными 2

степени относительно

и

Решение:

Разделим обе части уравнения на

(если

, то из уравнения видно, что и

, что невозможно, так как теряет смысл тождество

).

Уравнение примет вид:

Пример:

3.

Разложение одной части на множители, если другая равна 0.

Пример:

2sin(x)cos(2x) – 1+2cos(2x) – sin(x)=0

2cos(2x)(sin(x)+1) – (sin(x)+1)=0

(sin(x)+1)( 2cos(2x) –1)=0

4

. Преобразование произведения функции в сумму и наоборот.

Формулы суммы и разности.

Формулы произведения.

Пример :

cos(3x)cos(x)=cos(5x)cos(7x)

cos(4x)+cos(2x)=cos(12x)+(cos2x)

cos(4x)=cos(12x)

cos(4x) - cos(12x)=0

2sin(8x)sin(4x)=0

5.Если в уравнении содержатся sin или cos с чётными показателями

степеней, то нужно понизить степень уравнения, применяя формулы

понижения степени:

Пример :

6. Введение вспомогательного аргумента.

Пример :

7.Использование универсальной подстановки.

Пример :

Так как мы перешли к функции

, которая не имеет смысла, когда аргумент равен

, то нужно проверить, не будут ли решениями уравнения те x, при которых

введённый tg не будет иметь смысла.

8. Метод мини-максов.

Пример :

9. Если в уравнении находится сумма или разность sin и cos одного и того

же аргумента и произведение этих функций, то такие уравнения

решаются методом введения нового переменного

1)

или 2)

Пример :

Пусть

или

10. Способ сравнений.

1)

Для выполнения равенства

необходимо и достаточно, чтобы

выполнялись равенства

2)

Для выполнения равенства

необходимо и достаточно, чтобы

выполнялись равенства

3)

Для выполнения равенства

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись

равенства

, и чтобы x и y были допустимыми значениями

аргументов функции tg и ctg.

Пример :

Ответ:

Практикум.

1.Уравнения, сводимые к алгебраическому .

Пример 1:

Ответ:

,

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

2.

Однородные уравнения относительно sinx и cosx.

Пример 1:

Ответ:

Пример 2:

Умножим правую часть уравнения на

Получим:

Ответ:

3. Разложение одной части на множители, если другая равна 0.

Пример 1:

cos(4x)=cos(12x)

cos(4x) - cos(12x)=0

2sin(8x)sin(4x)=0

Ответ:

Пример 2:

Ответ:

4.

Преобразование произведения функции в сумму и наоборот.

Пример 1:

Пример 2:

Ответ:

5. Если в уравнении содержатся sin или cos с чётными показателями

степеней, то нужно понизить степень уравнения, применяя формулы

понижения степени:

Пример 1:

Ответ:

Пример 2:

Ответ:

6. Введение вспомогательного аргумента.

Пример 1:

Ответ:

Пример 2:

Ответ:

7. Использование универсальной подстановки.

Пример :

Так как мы перешли к функции

, которая не имеет смысла, когда аргумент равен

, то нужно проверить, не будут ли решениями уравнения те x, при которых

введённый tg не будет иметь смысла.

Проверим, является ли решением уравнения

.

Ответ:

8. Метод мини-максов.

Пример 1:

Ответ:

Пример 2:

Только при

Значит,

Ответ:

9.

Способ сравнений.

Пример 1:

Ответ:

Пример 2:

Ответ:

10. Уравнения, предлагаемые на ЕГЭ.

Пример 1:

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку

Получим числа:

Ответ: а)

б)

Пример 2

:

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а) Запишем уравнение в виде

Значит, либо

откуда

либо

откуда

или

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку

Получим числа:

Ответ: а)

б)

Пример 3

:

а) Решите уравнение

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Из данного уравнения получаем:

Значит, или

, откуда

или

откуда

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку

получим числа

Ответ: а)

б)

Пример 4:

.

Укажите корни уравнения

, принадлежащие

отрезку

.

Решение.

ОДЗ:

1)

а)

отсюда

, что противоречит условию

.

б)

, отсюда

Отрезку

принадлежит корень

.

Ответ:

.

Пример 5:

Решите уравнение

.

Решение.

1)Учитывая, что

, т.е.

преобразуем уравнение

к виду:

,

.

2)Решим полученное уравнение:

а)

, что не удовлетворяет условию

;

б)

, отсюда

.

Ответ:

Пример 6:

Решите уравнение

. Укажите корни,

принадлежащие отрезку

.

Решение:

, отсюда:

1.

,

, отрезку

ни один

корень не принадлежит;

2.

,

, отрезку

принадлежат корни

.

Ответ:

; отрезку

принадлежат корни

.

Пример 7:

Решите уравнение

. Укажите корни,

принадлежащие отрезку

.

Решение:

Ответ:

,

,

.

Задачи для самостоятельного решения

№

Задание

Ответ

1

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

а)

б)

2

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

а)

б)

3

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

а)

б)

4

а)

Решите

уравнение

.

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

.

а)

.

б)

.

5

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

а)

б)

6

а) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

а)

б)

7

Укажите

корни

уравнения

,

принадлежащие

отрезку

8

Укажите

корни

уравнения

,

принадлежащие

отрезку

9

Укажите

корни

уравнения

,

принадлежащие отрезку .

10

Решите уравнение

.

11

Решите уравнение

.

12

Решите уравнение

.

13

Решите уравнение

.

14

Решите уравнение

.

Укажите корни, принадлежащие

отрезку

.

,

.

Отрезку

принадлежат

корни

,

15

Решите уравнение

.

Укажите корни, принадлежащие

отрезку

.

,

.

Отрезку

принадлежат корни

,

.

16

Решите уравнение

.

Укажите корни, принадлежащие

отрезку

.

,

.

Отрезку

принадлежат корни

,

.

17

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

а)

б)

18

а) Решите уравнение

а)

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

б)

19

а)

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие промежутку

б)

20

а) Решите уравнение

.

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

а)

б)

2

21

а)

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

а)

б)

22

а)

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

а)

б)

23

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие промежутку

а)

б)

24

а)

Решите

уравнение

б)

Укажите корни, принадлежащие отрезку

a)

б)

25

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие

отрезку

а)

б)

26

а)

Решите

уравнение

.

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие отрезку

а)

;

б)

27

а)

Решите

уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, при-

надлежащие промежутку

а)

б)