Варгараки А.В.
Варгараки А.В.
Практикум по решению задач.
Практикум по решению задач.
Исторические сведения о
Исторические сведения о
пирамиде.
пирамиде.
Египетские пирамиды – одно из
семи чудес света. Что же такое
пирамиды?
Усыпальницы египетских фараонов.
Крупнейшие из них — пирамиды
Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-
Гизе в древности считались одним из
Семи
чудес
света. Самая большая из
трех — пирамида Хеопса (зодчий
Хемиун, 27 в. до н. э.). Ее высота была
изначально 147 м, а длина стороны
основания — 232 м. Для ее
сооружения потребовалось 2 млн. 300
тыс. огромных каменных блоков,
средний вес которых 2,5 т. Плиты не
скреплялись строительным раствором,
лишь чрезвычайно точная подгонка
удерживает их. В древности пирамиды
были облицованы отполированными
плитами белого известняка, вершины
их были покрыты медными листами .
В пирамиде Хеопса угол наклона
таков, что высота пирамиды равна
радиусу воображаемой окружности, в
которую вписано основание
пирамиды.
•
Пирамидой называется
Пирамидой называется
многогранник, который
многогранник, который
состоит из плоского
состоит из плоского
многоугольника, –
многоугольника, –
основания пирамиды,
основания пирамиды,
точки, не лежащей в
точки, не лежащей в
плоскости основания, –
плоскости основания, –
вершины пирамиды и всех
вершины пирамиды и всех
отрезков, соединяющих
отрезков, соединяющих
вершину пирамиды с
вершину пирамиды с
точками основания.
точками основания.
•
Поверхность пирамиды
Поверхность пирамиды
состоит из основания и
состоит из основания и
боковых граней. Каждая
боковых граней. Каждая
боковая грань –
боковая грань –
треугольник. Одной из его
треугольник. Одной из его
вершин является вершина
вершин является вершина
пирамиды, а
пирамиды, а
противолежащей стороной
противолежащей стороной
– сторона основания
– сторона основания
пирамиды.
пирамиды.
•
Высотой пирамиды
Высотой пирамиды
называется
называется
перпендикуляр,
перпендикуляр,
опущенный из вершины
опущенный из вершины
пирамиды на плоскость
пирамиды на плоскость
основания.
основания.
A
C
D
S
B
E
F
A
C
D
S
B
∆SDB – диагональное сечение
пирамиды SABCD.
O
S
C
D
В
А
ABCD – основание
SO – высота
Основные формулы
Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее
боковой грани. Если пирамида правильная, то все
ее апофемы равны. Обратное неверно.
Объем пирамиды вычисляется по формуле
Площадь боковой поверхности
правильной
пирамиды равна половине
произведения
периметра основания на апофему
Площадь боковой поверхности
правильной усеченной пирамиды:
Объем усеченной пирамиды:
•
Свойство основания высоты пирамиды:
•
Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной
окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из
следующих условий:
•
1) Все апофемы равны
•
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
•
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
•
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым
граням
┐
└
┘
┐
┘
┐
М
S
S
1
S
2
S
3
S² = S
1
²+ S
2
²+ S
3
²
Тетраэдр, в вершине которого сходятся
три взаимно перпендикулярных ребра,
называется прямоугольным.
Точка М и будет ортоцентром.
Тетраэдр является ортоцентрическим тогда и
только тогда, когда его противоположные
ребра перпендикулярны; или середины всех
шести ребер лежат на одной сфере; или все
ребра описанного параллелепипеда равны.
Слово «тетраэдр» оразовано из двух греческих слов: tetra – «четыре»
и hedra – «основание, грань». Тетраэдр задается четырьмя вершинами;
грани тетраэдра – четыре треугольника. В качестве основания может
быть выбрана любая его грань.
Рассмотрим задачи уровня А.
№ 1
•
1
В правильной четырехугольной пирамиде
высота равна
12
см, а высота боковой грани
— 15
см. Найдите боковое ребро.
•
ОМ=√(1
5
2
-12
2
)=√81
Решение.
•
Из Δ
SOM
•
ОМ = АМ.
•
Из Δ
SMА
•
SA=√(1
5
2
+81)=√306 см.
•
Ответ: √ 306 см.
№ 2
•
Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с
катетами
6
см и
8
см. Высота пирамиды проходит через
середину гипотенузы треугольника и равна гипотенузе. Найдите
боковые ребра пирамиды.
•
Решение.
•
Гипотенуза
АВ
равна 10 см.
•
АО = ВО = СО =
5.
•
SA = SB = SC
•
= √ (10
2
+5
2
) =5 √ 5 cм.
•
Ответ: 5 √ 5 cм.
№ 3
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого
равна
15
см, а один из катетов
— 9
см. Найдите площадь сечения, проведенного
через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию.
Решение.
Сечение подобно основанию с коэффициентом ½.
Его площадь относится к площади основания как 1:4.
Площадь основания ½ * 9 * √ (15
2
- 9
2
)=4,5 √144= 54
Площадь сечения 54:4=13,5 (см
2
)
Ответ 13,5 (см
2
)
№ 4
Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 см и 8 см.
Высота пирамиды опущена в точку пересечения
его диагоналей. Меньшие боковые ребра пирамиды равны
5
см.
Найдите объем пирамиды.
Решение.
АО=АС:2=3, h
пир
= √(5
2
-3
2
)=4
V
пир
=1/3*1/2*6*8*4=32 (см
3
)
Ответ: 32(см
3
)
Рис. 137
№ 6
В правильной треугольной пирамиде боковое ребро
равно
10
см, а сторона основания
12
см. Найдите
площадь полной поверхности пирамиды.
Решение.
Sосн = ¼*12
2
√3=36√3.
hбок = √(10
2
-6
2
)=8.
S бок = 3 * ½* 12*8=144
Sпов = 144+36√3(см
2
)
Ответ: 144+36√3(см
2
)
№7
Основание пирамиды — ромб с диагоналями
30
см и
40
см. Вершина пирамиды удалена от
сторон основания на
13
см. Найдите высоту
пирамиды.
Решение.
АВ= √ (
15
2
+ 20
2
) = 25.
25* ОН = 15*20,
ОН = 12.
H
пир
= √(13
2
-12
2
)=5
Ответ: 5 см.
Задачи уровня В
№1
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с
плоскостью основания угол
45°.
Сторона основания пирамиды
равна
6
см. Найдите объем пирамиды.
Решение.
В правильной четырехугольной пирамиде основание
является квадратом, а высота проходит через точку
пересечения диагоналей этого квадрата. Площадь
основания пирамиды S = 6*6=36.
Δ АSО- прямоугольный равнобедренный,
поэтому высота пирамиды равна половине
диагонали основания и равна 3 √2.
Объем пирамиды
V= 1/3*36*3 √2 =36 √2
Ответ: 36 √2 см
3
№ 2
В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне
основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью
основания.
Решение.
Обозначим сторону основания через
а. О
— центр описанной
окружности основания пирамиды (основание высоты).
<
SAO
= φ (0° < φ < 90°) — искомый.
ОА=1/3*а√3 – радиус описанной окружности
правильного треугольника со стороной а.
Из треугольника
SOA: tg φ = SO:ОА =
а: 1/3* а √3= √3 , откуда φ = 60
0
Ответ: 60°.
Рис. 178
№ 3
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с
плоскостью основания угол
60°.
Высота пирамиды равна
3
см. Найдите
площадь поверхности пирамиды.
Основания правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, основание
высоты- точка пересечения диагонали данного квадрата.
Угол между боковым ребром AS и плоскостью основания равен углу SAO –
между боковым ребром AS и его проекцией АО на плоскость основания.
Из прямоугольного треугольника ASO:
tg 600=SO/AO. AO = SO: √3 = √3 . AC = 2√3,
BC=2 √3 *1/ √2= √6.
Площадь основания пирамиды S= √6* √6=6
Из Δ SOK: h
2
=9+(1/2* √6)
2
= 42/4, h= ½* √42.
S
бок
=4*1/2*ВС*h=2 √6*1/2 √42=6 √7
S полн= 6+6 √7
Ответ: 6+6 √7 (см
3
)
№ 4
В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью
основания угол
60°.
Высота пирамиды равна
6
см. Найдите площадь
поверхности пирамиды.
Решение.
Основание правильной четырехугольной пирамиды — квадрат, основание
высоты
SO
— точка пересечения диагоналей этого квадрата.
ОК
—
проекция апофемы
SK
на плоскость основания, поэтому <
SKO
— угол
между апофемой и плоскостью основания.
Из прямоугольного треугольника
SOK:
SК=SO :
sin 60°=12: √3=4 √3
OK = 1/2
SK
(как катет, лежащий против угла в 30°),
ВС = 2 ОК = 4
√3.
Так как
ВС = SK,
то S
Δ
SBC
= 1/2
ВС
2
= 24.
S
OCН
= BC
2
= 48, Sбок=4S
ΔSBC
=2Sосн=96
S
пол
=144
Ответ: 144 см
2
№ 3
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см и образует с
боковой гранью угол
30°.
Найдите объем пирамиды.
Решение.
Пусть
SK
— апофема пирамиды,
ОР
— высота треугольника
SOK.
Тогда
OP ﻠ
SK
и
OP ﻠ ВС
(по теореме о трех перпендикулярах),
значит,
ОР
— перпендикуляр к плоскости
BSC, <OSK —
угол
между высотой пирамиды и боковой
гранью,
<OSK
= 30°. В прямоугольном
треугольнике
SOK:
OK = SO
tg30°=2√3,
ВС = 20ОК
= 4 √3.
V=1/3* (4√3)
2
*6 = 96.
Ответ: 96 см
3
В
Рис. 183
№ 6
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна
10
см и образует с
боковым ребром угол
45°.
Найдите объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
ΔSOA — прямоугольный и равнобедренный,
поэтому
OA
= 10. Следовательно, диагональ
АС = 2*0А =
20, а сторона квадрата АВ=10 √2.
Объем пирамиды:
V=1/3*(10 √2)
2
* 10 = 666 2/3.
Ответ: 666 2/3 см
3
№ 7
В
правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
8
см;
двугранный угол при основании пирамиды равен
60°.
Найдите объем
пирамиды
РЕШЕНИЕ:
Пусть
SK -
апофема, т.е.
SK перпендикулярно ВС. ОК
— проекция SK
на плоскость основания, поэтому по теореме о трех
перпендикулярах
ОК ﻠ
ВС.
Следовательно, <SКO — линейный
угол двугранного угла при основании пирамиды, <
SKO
= 60°.
В Δ
KSO: ОК
= ½ АВ = 4,
SO =ОК tg
60° = 4√3.
Объем пирамиды
V = 1/3*64*4√3 = 1/3 *256 √3
0твет: 1/3 *256 √3 см
3
.
Рис. 185
