Рег. №___________
Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Иркутский государственный педагогический университет»

Факультет математики, физики и информатики

Кафедра математики и методики обучения математике

Специальность:
«032100 – Математика »
Квалификация
: учитель математики
Форма обучения:
заочная
Гаврилова Татьяна Валерьевна

Методика обучения преобразованию задачной ситуации методом

моделирования на уроках математики в 5-9 классах

Дипломная работа

Научный руководитель:
Быстрова Наталья Васильевна, канд. пед. наук, доцент
Рецензент:
Работа допущена к защите________ Заведующий кафедрой___________ Защищена на «__________________» «___» декабря 2009 г. Иркутск 2009

Содержание
Введение.......................................................................................................................4 Гл а в а I. Теоретические основы формирования умения моделирования в процессе разрешения задачных ситуаций................................................................8 1.1. Понятие модели и моделирования в теории познания и в процессе обучения......................................................................................................................8 1.1.1. Понятие модели, его первичное определение...............................................8 1.1.2. Специфика понятия «модель»........................................................................11 1.1.3. Критерии модели.............................................................................................13 1.1.4. Ситуации иллюстрирующие актуальность конструирования и применения моделей.......................................................................................................................17 1.1.5. Функции моделей............................................................................................18 1.1.6. Типология моделей..........................................................................................19 1.2. Моделирование как метод исследования...........................................................24 1.2.1. Этапы процесса моделирования …................................................................24 1.2.2. Моделирование как метод научного познания..............................................25 1.2.3. Проблема обучения учащихся моделированию............................................27 1.3. Процесс работы над задачей и задачной ситуацией.........................................29 1.3.1. Задача и умение её решать.............................................................................29 1.3.2. Структура процесса решения сюжетных задач............................................33 1.3.3. Задачная ситуация на уроках математики и подготовка учащихся к повседневной жизни..................................................................................................39 1.3.4. Преобразование задачной ситуации методом математического моделирования...........................................................................................................44 1.3.5. Классификация задачных ситуаций...............................................................50 1.4. Выводы по главе I................................................................................................53 Глава II. Методика обучения преобразованию задачной ситуации на уроках математики в 5-9 классах..........................................................................................52 2.1.Методика работы с задачной ситуацией в 5-6 классах....................................52 2.1.1. Подготовительная работа в 5-6 классах........................................................52 2.1.2. Преобразование задач на движение с помощью моделирования 2.1.3. Обучение преобразованию сюжетных задач, используя задачи ЕГЭ в 5-6 кл.................................................................................................................................63 2.1.4. Основные положения методики и приёмы работы с текстовой задачей в 5- 6кл...............................................................................................................................68 2.2.Методика работы с задачной ситуацией в 7-8 классах....................................69 2.2.1. Ознакомление с задачными ситуациями в 7 классе.....................................69 2.2.2. Преобразование задачных ситуаций в задачах ЕГЭ 2010 года....................73 2.2.3. Составление базовых задачных ситуаций и их преобразование в 8 классе..........................................................................................................................80 2.2.4. Основные положения методики преобразования задачной ситуации в 7-8
кл.................................................................................................................................88 2.3.Методика работы с задачной ситуацией в 9 классе..........................................90 2.3.3.Педагогический эксперимент..........................................................................93 Заключение...............................................................................................................101 Библиографический список....................................................................................102 Приложения..............................................................................................................103

Введение
В курсе математики средней школы задачи занимают большое место. Они необходимы для того, чтобы сформировать у учащихся важные для обыденной жизни умения, связанные с решением то и дело возникающих жизненных задачных ситуаций. Но чтобы разрешить задачную ситуацию нужно понять её суть и сформулировать словесно. Поэтому очень важно научить школьников преобразованию задачных ситуаций. Опыт многих учителей показывает, что эта проблема трудно разрешима. В школе большое внимание уделяется решению готовых задач, но практически не ведётся работа по
преобразованию

задачной ситуации.
Необходимо отметить, что составлению и преобразованию задач уделяется некоторое место в процессе обучения математике. Но каждая задача связана с другими задачами, которые можно из неё получить, например, аналогичные задачи, обратные задачи, задачи в которых изменён вопрос или условие и т. д. Вот этой связи и не понимают ученики. Поэтому каждую следующую задачу они воспринимают как новую. Установление наличия этой связи помогает школьнику осознать приёмы получения новых задач, что постепенно снимает страх перед разрешением каждой новой задачной ситуации. Следовательно, возникает необходимость учить детей не только составлять задачи по выражению, по краткой записи т. д., но и преобразовывать задачные ситуации и разрешать их используя метод математического моделирования. Отсюда вытекает
проблема исследования:
поиск эффективной методики работы с задачной ситуацией на примере её преобразования на уроках математики в 5- 9 классах. Анализ литературы (М.А.Бантова, М.И.Моро, С.Е.Царева, Л.М.Фридмана и д.р.) показывает, что работа над задачей состоит из нескольких этапов. Каждый этап требует своего методического решения. Многие авторы обращают
особое внимание на последний этап – работе с задачей после её решения. Часто предлагают использовать такой приём работы, как составление и преобразование задачи. Многие авторы считают, что в процессе преобразования задач ученики начинают осознавать не только задачную ситуацию, не только связи между величинами, но и сам процесс решения задачи. В процессе преобразования и разрешения задачной ситуации учащийся овладевает общими учебными умениями, необходимыми при решении житейских задач. У ученика развивается логическое мышление, воображение, фантазия, формируется познавательный интерес к математике, развивается его творческий потенциал. Несмотря на то, что важность обсуждаемой проблемы отмечается всеми авторами, конкретной методики обучения преобразованию задачной ситуации нам не удалось найти. Поэтому
объектом
исследования является процесс формирования умения учащихся преобразовывать задачную ситуацию.
Предметом
исследования является методика обучения преобразованию задачной ситуации на уроках математики. Основное
средство
исследования – метод моделирования.
Целью
нашего исследования является разработка методики обучения преобразованию задачной ситуации в на уроках математики. Нами была выдвинута
гипотеза:
если на уроках математики вести работу по обучению преобразованию задачной ситуации и разрешению её методом моделирования, то это повысит уровень умения школьников преобразовывать задачную ситуацию и решать сюжетные задачи. Для достижения поставленной цели и доказательства выдвинутой гипотезы мы поставили перед собой следующие
задачи
:
1.
Выявить понятийный аппарат на основе анализа психолого- педагогической, методической литературы.
2.
Разработать комплект заданий, способствующих формированию умения преобразовывать задачную ситуацию в сюжетную задачу.

3.
Апробировать на практике разработанный нами комплект заданий, способствующих повышению уровня умения решать задачи на основе умений преобразования задачной ситуации на уроках математики 5-9 классах.
4.
Проанализировать полученные результаты. В своём исследовании мы пользовались следующими исследовательскими
методами
: 1. Изучение и анализ психологической, педагогической, методической литературы по теме исследования. 2. Наблюдение за деятельностью учеников при разрешении задачных ситуаций. 3. Беседы с учащимися. 4. Организация и проведение эксперимента. 5. Количественная и качественная обработка данных исследования.
Новизна
выполненного исследования состоит в том, что проблема обучения учащихся преобразованию задачных ситуаций мало изучена, нами разработана методика обучения преобразованию задачных ситуаций на уроках математики в 5-9 классах.
Практическая значимость
исследования состоит в том, что методика обучения преобразованию задачных ситуаций применима в школьной практике преподавания математики. Результаты исследования могут быть использованы при создании учебно- методических пособий для учителей, учащихся общеобразовательных учебных заведений, студентов.
І глава
посвящена изучению теоретических основ метода моделирования. В
1-м
пункте рассматривается понятие модели, критерии, функции, типология моделей и другие теоретические выкладки. В о
2-м
пункте изучается моделирование, как метод исследования. Здесь рассматриваются этапы процесса моделирования, решается проблема обучения
учащихся моделированию и изучается моделирование как метод научного познания. В
3-м
пункте изучается структура решения сюжетных задач и проблема преобразования задачной ситуации методом моделирования.
ІІ глава посвящена
разработке методики обучения преобразованию задачной ситуации в 5-6 кл, 7-8 кл и 9 кл.

Глава 1. Теоретические основы формирования умения моделирования в

процессе разрешения задачных ситуаций.

1.1.Понятие модели и моделирования в теории познания и в процессе

обучения.

1.1.1.Понятие модели, его первичное определение
Понятие модели, являясь метапонятием, широко используется сегодня в различных областях науки, искусства, техники, в различных жизненных ситуациях, но каждый принимает различные значения и смысл. В самом широком смысле модель (в переводе с латинского modulus – образец, мера) – условный образ (изображение, схема, описание,) какого-либо объекта, системы объектов, процесса, явления, который служит для их описания, замещения, выражения отношения между человеческими знаниями о них и между ними. Понятие модель всегда подразумевает наличие пары нетождественных, но сходных по какому-либо признаку объектов (системы объектов, отношений, явлений и т. д.). Обратим внимание на то, что, говоря об объекте, мы рассматриваем его не как нечто неразделённое, целое, а как систему его компонентов и отношений, связей между этими компонентами. В философской энциклопедии под редакцией Ф. В. Константинова (М.: «Советская энциклопедия». Т.3., 1964 с.481) Ю. Гостевым предложено общее определение модели, из которого могут быть получены различные понимания данного понятия. «Две системы объектов» (отношений) «А и В называются моделями друг друга (или моделирующими одна другую), если можно установить такое гомоморфное отображение системы А на некоторую систему А ' и гомоморфное отображение В на некоторую систему В ' , что А ' и В ' изоморфны». Отношение «быть моделью» - рефлексивно, симметрично, транзитивно, то
есть является отношением эквивалентности. Поэтому любую из попарно изоморфных систем мы можем считать моделью другой. Действительно, для художника, в процессе творчества моделью является изображаемый им фрагмент окружающей действительности. Когда же мы сравниваем уже готовую картину с изображённым на ней реально существующим объектом, то именно картину мы считаем моделью. На производстве в процессе снятия формы (изготовление шаблона, образца) с какого либо изделия это изделие называют моделью. В последствии, при воспроизведении других изделий данной формы, в качестве модели уже будет рассматриваться изготовленный шаблон (лекало, плаз и т.д).


Не случайно в толковых словарях, энциклопедиях можно встретить

следующие трактовки понятия «модель»:

1)
образец (эталон, стандарт) для массового изготовления какого-либо изделия или конструкции; тип, марка изделия;
2)
Изделие (из легкообрабатываемого материала), с которого снимается форма для воспроизведения (напр., посредством литья) в другом материале; разновидности таких моделей — лекала, шаблоны, плазы.
3)
Устройство, воспроизводящее, имитирующее строение и действие какого- либо др. («моделируемого») устройства в научных, производственных (при испытаниях) или спортивных целях.
4)
Позирующий художнику натурщик или изображаемые предметы («натура»).
5)
Человек, на котором модельер, парикмахер, визажист и т. п. демонстрирует своё искусство. Имея в виду педагогические цели применения моделей, целесообразно дать следующее определение модели.


Моделью некоторого объекта А ( прототипа) называется другой объект

В, в каком-то смысле подобный (аналогичный) прототипу А, выбранный

или построенный субъектом С, по крайней мере, для одной из следующих

целей:
1) замена А в некотором реальном или мысленном (воображаемом)
действии моделью В, так как в данном случае более удобно использовать не сам оригинал А, а его модель В (
замещающая модель
); 2) создание представлений об объекте А (реально существующем или воображаемом) с помощью модели В
( модель-представление
). Например, фотография человека является моделью-представлением об этом человеке; 3) истолкование (интерпретация) объекта А в виде модели В
(интерпретационная модель
). Например, уравнение, составленное по условию текстовой задачи, является её интерпретационной моделью, так как уравнение истолковывает свойства и особенности моделируемой задачи на алгебраическом языке; 4) исследование (изучение) объекта А посредством изучения его модели В
(исследовательская модель
). Для того чтобы модель была пригодна для указанных целей, она должна обладать соответствующими этим целям свойствами, общим из которых является следующее: модель должна быть подобна (аналогична) оригиналу в соответствующем её цели отношении к оригиналу, а во всех остальных отношениях она должна быть отлична от оригинала. В большинстве случаев модель обладает не одним каким-то признаком, соответствующим первоначально избранной цели, а несколькими, поэтому она обычно пригодна и для других целей. Это означает, что модель-описание может быть одновременно и замещающей, и исследовательской, и даже интерпретационной моделью. Например, когда по тексту составлено уравнение для замены этой текстовой задачи уравнением, то это уравнение является замещающей моделью. Но оно может служить и интерпретационной моделью, так как это уравнение истолковывает содержание задачи на алгебраическом языке. Это уравнение также может служить и исследовательской моделью, так как его изучение может дать нам новые знания об особенностях моделируемой задачи.

Модели, которыми пользуются для изучения и решения сюжетных задач,

весьма разнообразны. Все они делятся на три больших класса:

1. Материальные или предметные модели
, построенные или выбранные из каких-то материальных предметов и предназначенные либо для воспроизведения в наглядном виде сущности сюжета задачи, либо для построения предметной модели задачи. В свою очередь они делятся на статические (неподвижные) и динамические, воспроизводящие в движении процесс, рассматриваемый в задаче.


2.

Знаково-символические

модели
, представляющие собой сконструированные на каком-то языке модель-представление о сущности сюжетной задачи или процесса её решения. Эти модели, в свою очередь, делятся на следующие виды:
а) иконические,
построенные из каких-то наглядных символов, имеющие какое- то внешнее сходство с моделируемым объектом. Это рисунки, схемы, чертежи и т. п.;
б) знаковые
, построенные с помощью какого-то языка, отличного от языка, на котором изложена сама сюжетная задача. Это раличного рода числовые выражения, уравнения, системы уравнений, неравенства и системы неравенств.
3)

Идеальные

(мысленные,

умственные,

воображаемые)

модели
, создаваемые субъектом в своём воображении в виде образа- представления или образа воображения. В процессе решения субъект должен научиться создавать у себя умственную модель- представление о решаемой задаче, которую он должен удержать в памяти до конца процесса её решения, а также воображаемую модель о том, какой вид эта задача может принять при том или ином её преобразовании. (Фридман)
1.1.2. Специфика понятия «модель»
В зависимости от того, какая из систем рассматривается как объект изучения,
а какая в качестве её модели,
в

науке

можно

выделить

два

подхода

к

пониманию термина «модель».



Во-первых
, в теоретических науках (особенно в прикладной математике, физике, химии) «
моделью
какой либо системы обычно
называют другую

систему, служащую описанием исходной системы на языке данной науки»

[
Философская энциклопедия под редакцией Ф. В. Константинова (М.: «Советская энциклопедия». Т.3., 1964 с.481)
]



Математической моделью
при этом называют «приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики». [Математическая энциклопедия //под ред. И. М. Виноградова.- М.: «Советская энциклопедия», 1982.- Т. 3. с. 574 статья А. Н. Тихонова] Такой же смысл имеет понятие модели в языкознании.
Модель в языкознании
— абстрактное понятие эталона или образца какой- либо системы (фонологической, грамматической и т. п.), представление самых общих характеристик какого-либо языкового явления; общая схема описания системы языка или какой-либо его подсистемы. Основным процессом, лежащим в основе построения модели при данном подходе является процесс абстрагирования,
а

модель

понимается

как

результат абстрагирования – абстракция
. При этом исследователь выделяет свойства и характеристики объекта, наиболее существенные с точки зрения исследования и отвлекается от остальных свойств исследуемого объекта.
Во-вторых
, в некоторых науках (математической логике, в аксиоматических построениях математики («чистой математике»), семантике)
под

моделью

понимается
не описание, а
то,

что

описывается
. Понятие модели здесь тесным образом связано с понятием интерпретации и часто отождествляется с ним. С этой точки зрения в математической логике и основаниях математики
под

математической моделью
понимают
- любую правильную интерпретацию формализованной аксиоматической системы; - любую возможную реализацию, в которой выполняются все правильные предложения теории. [Г. И. Рузавин Математизация научного знания.- М.: Мысль, 1984.-207 с]. Построение математической модели здесь является результатом применения процесса конкретизации и служит средством обоснования вновь возникших математических теорий, логическая непротиворечивость которых доказывается конст руированием моделей из объектов ранее о б о с н о в а н н ы х , непротиворечивых математических теорий. Таким образом, модель является результатом применения одного из двух взаимно противоположных методов познания: абстрагирования и конкретизации. В нашем исследовании мы будем работать с моделями в рамках первого подхода, рассматривая модель как особого рода абстракцию. В соответствии с этим логично поставить вопрос о том, являются ли эти понятия тождественными? Для ответа на него необходимо уточнить понятие модели, выделив критерии, которым должен удовлетворять объект (явление, процесс), чтобы называться моделью другого объекта (явления, процесса).
1.1.3. Критерии модели
Анализ исследований
И. И. Блехмана,

Г. И Морозова

И. Б. Новика

В. А.

Полякова

К. Е. Рузавина

В. А. Штоффа, В. В. Давыдова, Н. Г. Салминой Л.

М. Фридмана и др.
показал, что однозначного подхода к выделению критериев модели нет. Причину этого мы видим в том, что каждый автор в своём исследовании использует модели с различной целью: описания, исследования, иллюстрации и т. д. Поэтому нам необходимо выделить те критерии модели, которыми мы будем руководствоваться в нашем исследовании в дальнейшем.
Для того чтобы выделить критерии модели, будем руководствоваться следующими рассуждениями: - критерии определения понятия предназначены для того, чтобы выделить данное понятие среди других, показав его нетождественность ни одному из существующих понятий - критерии (исходя из определения критерия в математике) должны содержать все признаки, описывающие модель (принцип полоты), но в то же время не должны содержать лишних, второстепенных, незначимых признаков. - в критериях должны быть отражены цели создания моделей. Обратимся к тем определениям и акцентам, расставленным в них авторами, которые можно встретить в современных философских и психологических исследованиях. Поскольку в нашем исследовании мы будем рассматривать модели с целью исследования объектов, их систем, свойств, то особое внимание обратим на критерии моделей, выделенные теми авторами, которые акцентируют внимание именно на роли моделей в исследовании.
В. А. Штофф
, рассматривая модель в соответствии с её ролью в проведении исследования, даёт следующее определение: «Модель – такая мысленно – представляемая или материально-реализованная система, которая, отображая и воспроизводя объект исследования, способна в определённом отношении замещать его так, что её изучение даёт нам новую информацию об объекте» [Гносеологические проблемы моделирования: автореферат на соискание учёной степени доктора философских наук. - Ленинград, 1964, с 6
]. В соответствии с

таким пониманием автор выделяет три критерия модели:

1)
наличие ярко выраженного и точно зафиксированного отношения сходства между моделью и оригиналом (условие отражения и уточнённой аналогии)
2)
модель в процессе познания является заместителем оригинала (условие репрезентации)
3)
изучение модели позволяет получить новую информацию об объекте (экстраполяция) [с 114] (Грибова М. В. Физические модели реальных явлений
как основа построения школьного курса физики. СПб, 2004, использует определение В. А. Штоффа)


В. А. Поляков
считает, что «модель – это идеальное формализованное представление системы и динамики её поэтапного формирования». Критерии модели, по мнению автора, таковы: модель должна
1)
«достаточно интегрированно имитировать реальные задачи и ситуации»,
2)
«быть компактной»,
3)
«адекватно передавать смены состояний»
4)
«должна совпадать с рассматриваемой задачей и ситуацией». Г. И. Рузавин пишет: «Модель- любое описание некоторых свойств, отношений и взаимосвязей реальных предметов и процессов объективного мира». Раскрывая принадлежность математических моделей к числу моделей вообще и концептуальных моделей в частности, автор выделяет следующие критерии модели:
1)
модель выражает некоторые существенные свойства и отношения оригинала; идеи, понятия, теории, используемые для построения модели, будучи соответствующим образом интерпретированными, отражают количественные отношения исследуемых объектов и процессов; сама модель – гомоморфизм свойств и отношений этих объектов и процессов.
2)
модель замещает оригинал и служит для изучения последнего
3)
исследование модели даёт новую информацию об оригинале
4)
построение модели всегда связано с интерпретацией [Рузавин Г. И. Математизация научного знания.- М.: Мысль, 1984.-207 с]. К. Е. Морозов: «… под моделью понимается объект любой природы, который способен замещать исследуемый объект так, что его изучение даёт новую информацию об этом объекте» [ К. Е. Морозов. Математическое моделирование в научном познании.- М.: Мысль, 1969] И. Б. Новик понимает под моделью «вспомогательную искусственную или естественную систему, находящуюся в некотором объективном соответствии с
познавательным объектом, способную его замещать в определённом отношении, и дающую при её исследовании в конечном итоге информацию о самом моделируемом объекте» Исследование понятия «модель» в психологическом аспекте нашло отражение в работах В. В Давыдова, Н. Г. Салминой, Л. М. Фридмана и др. . В. В. Давыдов в своих работах использует определение модели, данное В. А. Штоффом, акцентируя внимание на том, что «Модели – форма научной абстракции особого рода, в которой выделенные существенные отношения объекта закреплены в наглядно воспринимаемых и представляемых связях и отношениях вещественных или знаковых элементов. Это своеобразное единство единичного и общего, при котором на первый план выдвинуты моменты общего, существенного характера». [Виды обобщения в обучении: Логико- психологические проблемы построения учебных предметов.- М.: Педагогическое общество России, 2000, 480 с; с 322] По мнению Н. Г. Салминой, основная характеристика модели состоит в том, что модель является заместителем в широком смысле этого слова. Кроме этого между моделью и изучаемым объектом устанавливается гомоморфное или изоморфное соответствие. Автор, поддерживая мнение В. В. Давыдова, обращает внимание на то, что в отличие от идеального объекта – продукта идеализации, не имеющего аналога в действительности, модель представляет собой материализацию мысленных конструктов. В своём исследовании Н. Г. Салмина ставит акцент на различии терминов «схема» и «модель» одного и того же объекта. Понятие модели шире и является родовым по отношению к понятию схемы. Схема всегда однозначно интерпретируема и этой её единственной интерпретацией является та конкретная часть окружающей действительности, описанием, заместителем которой она служит. Модель же помимо того объекта, для которого она строилась (назовём его естественной интерпретацией), допускает иные интерпретации, в том числе и в других отраслях науки. Эта способность
(способность иметь различные интерпретации в разных научных отраслях) моделей объясняет их использование в прикладных целях, при установлении внутри- и межпредметных связей.[Н. Г. Салмина. Знак и символ в обучении. М.: Издательство Московского университета, 1988.- 288 с]. Таким образом для того чтобы некоторый объект М (система объектов, явлений, процессов) являлся исследовательской моделью объекта В (системы объектов, явлений, процессов) науки, окружающей действительности в некоторой ситуации, с научной точки зрения он должен удовлетворять следующим критериям:
1)
Объекты М и В должны быть сходны по некоторому признаку, между ними может быть установлен морфизм, но объекты М и В не тождественны друг другу.
2)
Объект М содержит все существенные в данной ситуации свойства и отношения объекта В и является его заместителем в широком смысле этого слова
3)
Объект М имеет не менее одной интерпретации
4)
Объект М позволяет получить новые знания об объекте В
5)
Объект М материален либо по природе объекта В, либо представляет собой материализацию мысленных конструктов, выведенных или выделенных из объекта В.
6)
Для того, чтобы модель М была математической, она должна быть выражена средствами математической символики.
1 . 1 . 4 . Ситуации

иллюстрирующие

актуальность

конструирования

и

применения моделей
В исследованиях В. А. Штоффа, В. А. Глинского, Б. С. Грязного, Б. С. Дынина, Е. П. Никитина описаны основные случаи, в которых прибегают к использованию моделей – описаний. Это: - случаи, когда объект исследования крайне удалён в пространстве (космические объекты, например) или во времени (события прошлого)
- случаи, когда объект необозрим, вследствие его размеров (галактика, земной шар до полётов в космос), длительности его существования и развития (генетические изменения у долгоживущих животных и размеров), объекты недоступны созерцанию (объекты микромира) - случаи, когда непосредственные прямые эксперименты невозможны, вследствие физических свойств объектов (физические процессы внутри звёзд) - случаи, когда целью исследования является человек и когда при этом невозможно обеспечить его безопасность и сохранение его чести, достоинства и здоровья - случаи, когда прямой эксперимент над дорогостоящими и уникальными техническими объектами экономически нерентабелен и нецелесообразен, то есть когда объектами исследования до их практического внедрения и эксплуатации являются такие объекты как мосты, суда, самолёты - случаи, когда объект исследования из-за чрезмерной сложности и специфичности недоступен из-за прямого экспериментирования (социальные и экономические процессы в обществе)  случаи, когда необходимо объяснить какое-либо явление и отсутствует соответствующая теория.
1.1.5. Функции моделей
На основе анализа работ Т. С.Марченко, Л. У. Варданяна, Н. Г. Салминой, Л. М. Фридмана, В. А. Глинского, Б. С. Грязного, Б. С. Дынина, Е. П. Никитина, П. В.Трусова и других можно выделить следующие функции модели:
1) Описательная:
модель позволяет понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, внутренние связи, основные свойства, законы развития, саморазвития, взаимодействия с окружающей средой (Т. С. Марченко, П. В. Трусов и другие)
2) Объяснительная:
в случае отсутствия подходящей теории модель служит
средством объяснения какого-либо явления, факта и т. д. (Т. С. Марченко, В. А. Глинский, Б. С. Грязной, Б. С. Дынин, Е. П. Никитин )
3)

Предсказательная
(прогностическая): использование модели для получения новых данных о предметах и процессах либо ещё не существующих, либо существующих, но не познанных (не наблюдаемых) (В. А. Глинский, Б. С. Грязной, Б. С. Дынин, Е. П. Никитин)
4)

Эвристическая:
модели могут быть источниками открытий (Т. С. Марченко) С этой функцией тесно связана следующая
5)

Экстраполяционная:
п о с р ед с т в ом и с с л ед о ва н и я м од е л е й осуществляется перенос знаний о свойствах одного объекта на другой (Т. С.Марченко)
6) Критериальная:
с помощью модели проверяется истинность знания об оригинале (Т. С. Марченко, В. А. Глинский, Б. С. Грязной, Б. С. Дынин, Е. П. Никитин)
7)

Интерпретационная:
модель обеспечивает связь теории с реальной действительностью, применяется для доказательства непротиворечивости теории ( Т. С. Марченко, А. Глинский, Б. С. Грязной, Б. С. Дынин, Е. П. Никитин)
8)

Управленческая:
позволяют научиться управлять объектом или процессом, определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (Лебедева И. П., Трусов П. В)
9)

Дидактическая:
модели применяются для овладения учащимися способами моделирования, осознанного овладения ими системными знаниями, умениями в процессе обучения
1.1.6. Типология моделей
Каждое исследование, в зависимости от цели и задач, которые оно реализует, требует использования различных моделей. При этом одна и та же цель может быть достигнута по средствам использования различных моделей и одна и та же
модель может быть использована для достижения различных целей. В современных исследованиях в различных научных науки используется довольно большое разнообразие моделей, которое постоянно увеличивается в связи с развитием науки, культуры, общества. С ростом разнообразия моделей появляются различные способы их упорядочивания, выделения типов и классов моделей. Различные типы, классы, виды моделей представлены в работах В. И. Арнольда, В. А. Штоффа, А. А. Егорова, И. П. Лебедевой, В. А. Глинского, Б. С. Грязного, Б. С. Дынина, Е. П. Никитина, В. А. Тестова, В. В. Давыдова, Н. Г. Салминой и других. В исследованиях В. А. Штоффа, Я. Г. Науймина, В. А. Глинского, Б. С. Грязнова, Б. С. Дынина, Е. П. Никитина, Д. Н. Кожевина разработаны классификации моделей. 1.
В

зависимости

от

общности,

конкретности
поставленных целей при по ст ро ении модели, возможно сти вне с ения изменений в уж е сконструированную модель выделяют «жёсткие» и «мягкие » модели (В. И. Арнольд, В. А. Тестов)
- «Жесткие»
модели – модели, которые не допускают изменений в своей структуре, функциях, созданные для чётко поставленной конкретной цели.
-

«Мягкие»
модели – модели, изменяющиеся в ходе исследования, созданные для достижения целей общего характера 2.
По природе, форме существования
:
материальные и идеальные
модели (Егоров А. А. Давыдов В. В., Кожевников Д. Н., В. А. Штофф) Материальные модели – модели, являющиеся результатом эмпирического абстрагирования, имеющие физическое, природное происхождение, созданные человеком в ходе практической деятельности Идеальные модели – модели, являющиеся результатом теоретического абстрагирования, которые делятся на
образно-иконические
(чертежи, рисунки, схемы, таблицы) и
знаковые
(формулы, уравнения, неравенства). Приведём пример образно-иконических моделей:

А)Наглядно-схематические модели
. В наглядно схематической модели воспроизводится сюжет задачи в виде какой- либо схемы. Такими моделями являются модели, воспроизводящие условие задачи и требование с помощью отрезков, геометрических фигур и т.д. Например: а в (а – в) : 3 Графическая модель (схема ) сюжетной задачи помогает понять учащимся абстрактные отношения, заданные в условии задачи, в конкретной пространственной форме. Эта схема является обобщением, позволяющим выйти за пределы данной задачи и получить обобщающий способ для решения любых задач данной структуры. Необходимость перевода абстрактных отношений в конкретно-пространственные формы стимулирует учащихся с одной стороны конкретизировать те абстрактные отношения, которые даны в условии, а с другой отвлечься от имеющейся в нем же сюжетной конкретности. Именно эта сложная двойственная природа графика и позволяет ей лечь в основу обобщенного метода решения. Б)
Табличные модели
Построение табличных моделей используется тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями, например: Цена Количество Стоимость Тесьма 18 рублей 3 ? Всего 82 рубля Лента ? 2 ? Данная табличная модель служит формой фиксации анализа сюжетной задачи и является основным средством поиска решения. Пользуясь такой схемой нетрудно найти план и осуществить решение задачи. Учащиеся после этапа построения указанных моделей, на их основе стоят решающую алгебраическую или арифметическую модель задачи. На начальных
этапах обучения рассматриваем модели, которые являются вспомогательными 1) 18 * 3 2) 82 – (1) 3) (2) : 2 таким образом, проведя поиск решения задачи, составляя вспомогательные модели можно составить решающую модель: (82 – 18 * 3) : 2 Вместе с учениками отмечаем, что числовые выражения могут быть моделью какой-то сюжетной задачи. По мере знакомства с уравнениями показываем, что для решения задачи можно составить и алгебраическую решающую модель 18 * 3 + 2 * Х = 82, обозначив неизвестное Х. Цена Количество Стоимость К В 2 раза > ? 8 на 3 > ? 81 Т ? Затем составляются арифметические модели всех соотношений, имеющихся в этой задаче 1) 8 + 3 2) (1) * ( ?) 3) ? * 2 4) 8 * (3) 5) (4) + (2) = 81 Далее выделяются соотношения разрешимые арифметическим путем и соотношения, в которые входит неизвестное и тогда отмечает, что этот тип задач имеет алгебраическую решающую модель, т.е. уравнение 11 Х + 16 Х = 81, решив уравнение, получим ответ. После чего учащиеся делают вывод, что уравнение – это алгебраические модели сюжетных задач. 3.
По

характеру

взаимодействия

сторон

оригинала:

структурные
,
функциональные
(Кожевников Д. Н., Лебедева И. П , В. А. Глинский, Б. С. Грязнов, Б. С. Дынин, Е. П. Никитин), субстанциональные, смешанные (В. А. Глинский, Б. С. Грязнов, Б. С. Дынин, Е. П. Никитин)
Субстанциональные

модели
– модели, построенная так, что её субстрат (материал) по основным свойствам был идентичен субстрату оригинала
Структурные

модели
– модели, отображающие не количественные зависимости между величинами, а имитирующие их внутреннюю организацию, фиксирующие разнообразные структурные отношения между ними
Функциональные модели
– модели, применяемые для описания динамики исследуемых процессов, способа их поведения, предсказания изменений в них

Смешанные

модели
– м од е л и , с о е д и н я ю щ и е х а р а к т е р и с т и к и субстанциональных, структурных, функциональных моделей. В качестве решающей модели используем также графики функций, геометрические построения. Многообразие моделей исчерпать невозможно. Метод моделирования эффективен при обучении решению взаимно обратных задач, при выполнении этапа проверки решения задачи. Внешние опоры – модели позволяют легко менять местами известные данные задачи и требования и использовать обратную задачу для проверки результата данной задачи. Построенная модель задачи в виде схемы, структуры, таблицы, чертежа, графика служит внешней опорой для мыслительной деятельности ученика на всех ее этапах решения. 1.
По отношению к отрасли науки
, на языке которой выражена модель:
- математические,

- физические,

- биологические

- модели кибернетики
и т. д. В рамках этой типологии можно говорить о моделях в естественных и моделях в гуманитарных науках. 2.
По объекту
, для которого строится модель: модели объектов; модели явлений; модель действий (предмета) (Егоров А. А) В основу типологии моделей может быть положена основная цель построения модели. 3.Исходя из
определения Л. М. Фридмана
[Основы проблемологии, с 77] можно выделить
:

модели-описания;

модели-репрезентации,

модели-

интерпретации, модели-заместители, исследовательские модели
. При этом для того чтобы служить указанной цели, модель должна обладать соответствующим признаком. Одна и та же модель может нести на себе признаки нескольких указанных типов моделей, а поэтому модель-
интерпретация может быть одновременно исследовательской моделью и т. д. 4.
По отношению ко времени
выделяют динамические и статические модели (В. А. Глинский, Б. С. Грязнов, Б. С. Дынин, Е. П. Никитин, Кожевников Д. Н)
Динамические модели
– модели, изменяющиеся с течением времени
Статические

модели
– модели, остающиеся неизменными в течение длительного временного промежутка 5.
В

зависимости

от

характера

посылок
и прогнозируемых результатов моделируемого процесса выделяют:
детерминированные
и
стохастические
(вероятностные) модели (Неуймин Я. Г, Рузавин Г.И, Трусов П. В.) Детерминированные модели – модели, которые при соответствующей информации дают определённые, однозначные результаты в любой момент времени и в любой точке пространства Стохастические модели – модели, результат применения которых при одних и тех же входных данных может быть различным (носит вероятностный характер) 6.
По отношению к входящим параметрам
выделяют: - непрерывные и дискретные - качественные и количественные - смешанные модели (Неуймин Я. Г, Трусов П. В) 7.
По отношению к наличию дидактической функции
модели делятся на: научные и учебные (Салмина Н. Г., Егоров А. А., Лебедева И. П. Урбан М. А)

1.2. Моделирование как метод исследования

1.2.1. Этапы процесса моделирования

Процесс выбора или построения модели некоторого объекта или явления

с последующим изучением этой модели называется моделированием.
Процесс познания с помощью моделирования состоит из следующих этапов:
1.
Первоначально объект познания изучается обычными непосредственными чувственными методами. Но на какой-то стадии обнаруживается невозможность дальнейшего изучения этого объекта этими методами, даже с помощью каких-то приборов или инструментов. Возникают какие-то задачи познания, которые нельзя решить чувственными методами. Например, задача сравнения по величине двух отрезков в некоторых случаях может быть решена путём непосредственного наложения одного из отрезков на другой. Но если возникла задача сравнения двух отрезков, находящихся в разных местах, или таких, наложение которых друг на друга невыполнимо, то их сравнение методом наложения оказывается нереальным. Или надо найти такое значение величины, которое равно сумме двух данных значений, когда их непосредственное сложение невозможно. Подобные задачи в процессе познания возникают очень часто.


2.
Для решения возникших на первом этапе познания задач, не решаемых непосредственно, выбирается или строится модель рассматриваемого объекта, причём такая, с помощью которой может быть решена та задача, которая не могла быть решена на первом этапе. В рассмотренном случае для опосредованного сравнения двух значений одной и той же величины или нахождения их суммы мы строим систему чисел, которая аналогична системе значений величины. Это подобие состоит в одинаковости их структуры, хотя в других отношениях они совершенно различны.


3.
Выбрав или построив модель оригинала, производят исследование этой
модели специфическими для неё методами. Задачи возникшие на первом этапе познания, формулируют на языке модели и, пользуясь результатами её исследования, находят решение этих задач. В рассматриваемом примере мы изучаем свойства чисел и действий над ними, устанавливаем правила их сравнения, сложения и т. д. Затем, найдя соответствие между значениями величины и числами, путём выбора единицы измерения или счёта формулируем задачи сравнения или нахождения суммы двух значений на языке чисел. Полученные задачи легко решаются по правилам математики.
4 .
Наконец, решение задач, найденные на предыдущем этапе и сформулированные на языке модели, переводят (интерпретируют) на язык оригинала. Итак, мы видим, что именованные числа можно рассматривать как модели значений величин, например длины, площади, массы и т. п., переход от значений величин, к именованным числам представляет собой огромный шаг в историческом процессе познания окружающей действительности. С помощью этого перехода была создана возможность решения многих и многих сюжетных задач, без чего ни процесс познания, ни прогресс науки и техники были бы просто невозможны.
1.2.2. Моделирование как метод научного познания
Как видим,
модели и моделирование – это тот метод, который лежит в

основе решения сюжетных задач,
следовательно , практическое применение математики в науке, технике и производстве основано на математическом моделировании явлений и процессов, изучаемых и используемых в этих науках и производстве. Поэтому знакомство учащихся с понятием модели, с их основными видами и сущностью моделирования, приобретение учащимися опыта практического использования математического моделирования для разных целей в процессе
обучения представляет собой важнейшую цель и задачу обучения математике. Лучшим средством для этого являются сюжетные задачи. На первый план выдвигается аспект использования этих задач в обучении, а именно: ознакомление учащихся с сущностью и практикой применения математического моделирования. Дело в том, что в настоящее время изменились общие цели школьного математического образования. В частности одной из важнейших стала задача формирования у школьников представлений о сущности математики как науки. В связи с этим чрезвычайно важно познакомить их с некоторыми простейшими методами математики и особенно с её главным методом – математическим моделированием.
Моделирование

является

всеобщим

научным

методом

познания
. «Наука,- указывает академик Н.Н. Моисеев,- только и может иметь дело с моделями, с приближённым описанием действительности, отражающим те или иные стороны реальной действительности. Математическая модель – это лишь специальный способ описания, позволяющий для анализа использовать формально-логический аппарат математики. Изучение математических моделей – это основной метод познания, используемых в естественных науках» (38, с.5). Знакомство учащихся с математическим моделированием представляет собой принципиально практический и воспитательный аспекты обучения математике. Как же познакомить их с методами математического моделирования объектов и явлений реальной действительности? Как сделать так, чтобы они приобрели хотя бы самые элементарные умения в таком моделировании? Считается, что раз ученики в курсе математики широко используют математическое моделирование, ибо почти всё, что они делают в процессе обучения, так или иначе связано с этим: составление уравнений, построение как графиков функций, так и чертежей фигур тел и т. д.- всё это виды математического моделирования. Тем самым они как бы овладевают сущностью и практикой математического моделирования, поэтому никакого специального изучения этого метода не требуется. Это и есть
заблуждение, которое бытует в среде учителей и методистов. Конечно, такие основные понятия школьного курса математики, как числа, числовые и алгебраические выражения, формулы, функции, геометрические фигуры и т. д., являются математическими моделями особых количественных, пространственных и им подобных отношений реальной действительности, а все действия и операции, которые ученики производят с этими понятиями, - это методы исследования этих моделей. Однако, как показывают многочисленные исследования, модельный характер этих понятий учащимися не осознаётся, а следовательно, и не усваивается.
1.2.3. Проблема обучения учащихся моделированию
Использование метода моделирования, на наш взгляд, интегрирует дидактические возможности в обучении детей решению задач целого класса и является методом, средством развития умственных способностей учащихся. В школьном курсе математики учащиеся изучают некоторые модели, но не познают их подлинной сущности: изучают их просто как уравнение, числа, геометрические фигуры, не объединяют их общим понятием «модель», «моделирование». В связи с этим, мы считаем, что в школьном курсе математики необходимо использовать моделирование как общий метод исследования задачи, как средство решения задачи, как средство развития умственных способностей учащихся. Проблема обучения учащихся моделированию при решении математических задач, на наш взгляд, остается актуальной и требует ее разработки. Психология уже свыше ста лет занимается исследованием процессов решения задач человеком. В результате этих исследований открыто много закономерностей и найдены важные характеристики процессов решения задач. Известный психолог Сергей Леонидович Рубинштейн считает, что средства познания, используемые при решении задач, сводятся к переформулированию з а д ач и , а о с н о в н а я ф о р м а м ы ш л е н и я , о с у щ е с т в л я ю щ а я э т о
переформулирование, есть анализ условий и требований задачи, когда объект в процессе мышления включается во все новые связи, и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях; из объекта, таким образом, как бы вычерпывается каждый раз все новое содержание, он как бы поворачивается каждый раз новой стороной, в нем проявляются все новые свойства. С.Л. Рубинштейн характеризовал решение задач как процесс их переформулирования, в котором непрерывно производится анализ условий и т ребований задачи, чере з синтетиче ский акт их с о о т н е с е н и я . Переформулирование задачи, считает он, и является способом ее моделирования. В науке широко используется метод моделирования, который заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект. В.В. Давыдов считает. Что перевод некоторого объекта в форму модели позволяет обнаружить в нем такие свойства, которые невыявляемы при непосредственном оперировании с ним. ОН указывает, что в процессе решения задач, используемые средства познания выступают в форме моделирования. Л.М. Фридман в результате изучения генезиса задач делает вывод о том, что задачи можно целесообразно рассматривать как знаковые модели проблемных ситуаций. Д.Н. Богоявленский пишет, что любое содержание становится предметом обучения лишь тогда, когда оно принимает для учения вид определенной задачи, направляющей и стимулирующей учебную деятельность. Так в основу проблемного обучения положено решение учащимися задач – проблем.
Г.А.Балл,

анализируя

различные

трактовки

задач,

дает

такую

последовательность определений видов задачи:


1.

Задача есть ситуация, требующая от субъекта некоторого действия

2.

Мыслительная

задача

–

ситуация,

требующая

от

субъекта

некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на

основе использования его связей с известными величинами.

3.

Проблемная задача или проблема – ситуация, требующая от субъекта

некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на

основе

использования

его

связей

с

известным

в

условиях

когда

субъект не обладает способом (алгоритмом) этого действия.

1.3. Процесс работы над задачей и задачной ситуацией

1.3.1. Задача и умение её решать
Что составляет содержание понятия «задача»? В Толковом Словаре русского языка Ожегова С.И. дана такая трактовка этого понятия: «
задача
- это то, что требует разрешения, исполнения». [17, с. 203] Из «Психологического словаря» мы узнаём, что «
задача
- цель деятельности, которая дана в определенных условиях и требует для своего использования адекватных этим условиям средств. Поиск и применение этих средств составляет процесс решения задачи». [18, с. 119]
ЗАДАЧА
— 1) отраженная в сознании или объективированная в знаковой модели проблемная ситуация , содержащая данные и условия, которые необходимы и достаточны для ее разрешения наличными средствами знания и опыта ; 2) форма структурирования и представления экспериментального материала в исследованиях процессов познания и практической деятельности ; 3) одна из форм проектирования содержания обучения. Психолог Фридман Л.М. пишет: «
Задача
представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче». [26] «Сюжетной задачей называется требование найти (установить, определить) какие-либо характеристики некоторого объекта по
известным его характеристикам». Давыдов В.В., пишет: «...
Задача
- это единство цели действия и условия её достижения». [7, с. 157] Рубинштейн С.Л. связывает понятие задачи с деятельностью. Он пишет, что, деятельность направляется непосредственно с осознаваемой целью действующего субъекта «для осуществления цели необходим учёт условий, в которых её предстоит реализовать, соотношение цели с условиями определенную задачу, которая должна быть разрешена действием. Целенаправленное человеческое действие является по существу своим решением задачи». [20, с. 15] В учебно-педагогической литературе также встречаются разнообразные подходы к пониманию задачи. Моро М.И. дает такое определение: «
Задача
- это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий». [15, с. 111] Артемов А. К. предлагает такое определение: «
Задача
- единство условий и цели». [1, с. 48] Царева С.Е. не дает строгое определение «задачи», а относит его к числу широких общенаучных понятий и выделяет следующие основные характеристики: «
Задача
содержит в себе некоторую информацию о какой-либо области деятельности (условие) и требование - то, что необходимо найти, узнать, построить, доказать». [33, с. 93] Чекмарёв Я.Ф. называет
задачей
«вопрос, для решения которого требуется определить искомое число по данным числам и по указанной в словесной форме зависимости между данными и искомым числом». [35, с. 91] Итак, у всех авторов определение задачи сформулировано по-разному, но все авторы сходятся в том, что
задача характеризуется:

· наличием у решателя определенной цели, стремлением получить ответ на

вопрос;

· наличием условий и требований, необходимых для решения задачи.

Бантова М.А. характеризует сюжетную задачу как множество жизненных ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними. [2, с. 175] Большинство авторов выделяют в задаче условие и требование. Говоря о структуре задачи, Сохор А.М. уточняет понимание условия и требования: характер внутренних отношений (связей, зависимостей) между данными и искомыми величинами. Условие задачи обычно намеренно составляется так, чтобы эти отношения не проявлялись сами по себе, в противном случае задача не была бы задачей. В формулировке любой задачи даны исходные условия и требование. Если они даны, то их уже не надо искать. Искать надо их основание, причины, следствия, взаимоотношения и т. д., о которых ничего не сказано в первоначальной формулировке задачи. Они и составляют искомое. [22, с. 132] Каждая арифметическая задача включает числа данные и искомые. Числа в задаче характеризуют количество конкретных групп предметов или значения величин. В тексте задачи указываются связи между данными числами, а также между данными и искомыми. Эти связи и определяют выбор арифметического действия. Объекты задачи и отношения между ними составляют условие задачи. Например, в задаче: «Лида нарисовала 5 домиков, а Вова - на 4 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?» объектами являются: 1) количество домиков, нарисованных Лидой (это известный объект в задаче); 2) количество домиков, нарисованных Вовой (это неизвестный объект в задаче и согласно требованию искомый). Связывает объекты отношение «больше на». Анализ условия подводит к пониманию известных и к поискам неизвестного. Этот поиск идет в процессе решения задачи. Детям надо объяснить, что решать задачу - это значит понять и рассказать, какие действия нужно выполнить над данными в ней числами, чтобы получить ответ.
Основываясь на вышеизложенной трактовке понятия «задача» методисты определяют, что значит решить задачу: «Решить задачу в широком смысле - значит раскрыть связи между данными и искомым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи», - так считает Бантова М.А. [2, с. 179] Моро М.И. раскрывает смысл требования «решить арифметическую задачу» по другому - «объяснить (рассказать), какие действия нужно выполнить над данными в ней числами, чтобы получить число, которое нужно узнать». [15, с.88] Попова Н.С. считает, что «решить задачу - это значит произвести над её числовыми данными арифметические действия, которые вытекают из условия задачи и дают ответ на её вопрос». [19, с. 53] Царева С.Е. считает, что следует различать понятия «решить задачу» и «обучать решению задачи». Очень важно понимать это различие. В узком смысле «решить задачу - это значит ответить на ее вопрос так, чтобы ответ соответствовал условию задачи» - пишет Царёва С.Е. [33, с. 105] «Обучение решению задач - это специально организованное взаимодействие учителя и учащихся, цель которого - формирование у учащихся умения решать задачи». [33, с. 105] Мы согласны с мнением Царёвой С.Е. и в своей работе будем придерживаться её точки зрения. Отождествление двух понятий "решение" и "обучение решению задач" приводит к ориентации учителя на получение ответов на вопросы задач, а не на формирование умения решать задачи, и направленности деятельности учащихся на решение конкретной задачи, овладение способом её решения. По этой причине до сих пор для большинства учащихся главное при решении задач найти конечный результат, выраженный каким либо числом. Для большинства учителей обучение решению задач однотипно: оно сводится к
показу образца, разучиванию способов решения, доведения способа решения задач до автоматизма. До сих пор среди некоторых учителей распространено мнение, что любая задача, включенная в урок, должна быть обязательно решена на уроке, решение доведено до конца и записано соответствующим образом. Такая работа и приводит учащихся к формальному, механическому решению задач. Итак, из всего вышесказанного можно сделать следующий
вывод
: дети решают: "выполняют действия - умственные, предметные, графические, речевые, и так далее, направленные на достижение цели: найти ответ на вопрос задачи, соответствующий условию" [31, с. 102], но часто не обучаются решению задачи. В своей работе мы будем рассматривать не просто задачи, а задачи, составленные детьми из задачных ситуаций, у которых есть специфические особенности: 
наличие жизненного сюжета;

наличие объектов реальной действительности,

количественных и качественных характеристик объектов;

отсутствие вопроса;

необходимость преобразования задачной ситуации и её разрешения;

необходимость использовать метод математического моделирования
.
1.3.2. Структура процесса решения сюжетных задач (фридман)
Весь процесс решения задачи состоит из следующих этапов:
1-й этап – анализ задачи (содержательный и логический, а в ряде случаев и семантический); 2-й этап – построение модели задачи; 3-й этап – поиск способа решения; 4-й этап – осуществление решения задачи; 5-й этап – проверка решения задачи; 6-й этап – исследование задачи и её решения; 7-й этап – формирование ответа задачи; 8-й этап – учебно-познавательный анализ задачи и её решения. Из указанных восьми этапов четыре являются обязательными, и они имеются в процессе решения любой задачи. Это этапы анализа задачи, поиска решения, осуществления решения и формулирования ответа. Остальные этапы являются необязательными, и они имеются лишь при решении сложных или каких-то особых задач. Решение сюжетной задачи есть сложный и многоплановый процесс. В процессе решения надо осмыслить предложенную задачу, найти способ её решения, осуществить само решение, сформулировать ответ задачи и, наконец, как-то осмыслить проведённое решение, с тем чтобы найти в нём слабые и сильные стороны, может быть найти другой способ решения, осмыслить использованные в процессе решения различные приёмы, которые могут пригодиться в будущем. Короче, сделать так, чтобы это решение принесло пользу для будущей работы. Рассмотрим более подробно и обобщённо отдельные этапы процесса решения сюжетных задач.( Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. с. 168)
1. Анализ задачи
может проводиться по двум направлениям: а) предметно-сюжетный анализ – это декодирование условия задачи в целом, воссоздание той реальной задачной ситуации, моделью которой является данная задача. Такой анализ обычно проводится устно, и создаваемая на основе этого
анализа задачная ситуация образует у решающего мысленный образ сюжета задачи. Этот образ может быть разной степени отчётливости, и чем более он отчётлив, тем больше он помогает решающему в проведении последующего анализа, в поиске способа решения задачи; б) логико-семантический анализ – это анализ текста задачи для установления величин, их значений и соотношений между ними, заданных в тексте задачи, разбиения тем самым текста задачи на отдельные элементарные условия и требования. Таким образом , выявляется структура задачи. В результате логико-семантического анализа текста задачи устанавливается: 1) какие величины характеризуют количественную сторону тех явлений, процессов и событий, которые составляют сюжет задачи; 2) сколько и какие значения каждой величины заданы явно или неявно в тексте задачи; 3) характер каждого значения величины: известное или неизвестное это значение, а если неизвестное, то-какое – искомое, промежуточное или неопределённое; 4) какими соотношениями связаны между собой эти значения величин; 5) какое значение является главным в каждом соотношении, какие слова- признаки, входящие в задание значения величины, указывают на характер этого значения; 6) каков характер каждого из этих соотношений (разрешимое или неразрешимое); 7) как связаны между собой эти соотношения. Такой подробный и детальный анализ задачи, конечно проводится не всегда. Зачастую этот анализ проводится как бы неявно, не фиксируя результаты такого анализа. Объём и характер анализа зависит от многих обстоятельств; на какой ступени обучения находятся ученики; с какой целью проводится анализ задачи. Одно дело когда анализ проводится для того, чтобы найти способ решения задачи, и
другое дело, когда анализ задачи проводится как самостоятельное упражнение для формирования у учащихся умений и навыков в проведении тщательного анализа задач до тех пор, пока не будет найден способ решения задачи, а в этом случае анализ текста задачи может проводится не однажды. Во втором же случае анализ проводится развёрнуто по всем направлениям, а сама задача затем не решается, с тем чтобы осознаваемой целью деятельности учащихся был именно анализ задачи, а не решение задачи. Поэтому возможны случаи, когда анализ проводится целиком устно и внешне сводится к внимательному чтению текста задачи. Возможны и необходимы случаи, когда анализ проводится во всём объёме, со всеми деталями и письменной фиксацией его результатов или построения на основе анализа модели задачи.
2. Построение модели сюжетной задачи
имеет несколько целей: а) для фиксации результатов анализа задачи и тем самым для организации самого этого анализа, поэтому построение модели задачи в этом случае проводится в процессе анализа и по мере его выполнения; б) для взгляда на задачу с разных точек зрения. Построение модели задачи позволяет осуществить то основное, что направляет, двигает процесс решения, процесс переформулирования задачи; в) построение модели задачи является подготовительным этапом для построения решающей математической модели задачи. Конечно, построение модели задачи производится не всегда, не при решении любых сюжетных задач. Если задача простая и её решение очевидно, то построение модели задачи излишне и не проводится. Если же задача сложная и её решить неочевидно, то построение модели весьма желательно, ибо оно может помочь решающему в поисках способа решения задачи. Модель задачи может быть самой различной: схематической, табличной, структурной, графической и т.д. Выбор вида модели задачи зависит как от характера и особенностей решающего субъекта, от его умений и навыков,
привычного для него способа анализа и построения модели задачи. При построении модели ученик опирается, с одной стороны, на данный ему текст задачи, а с другой – на приобретённые в результате жизненного опыта и школьного обучения знания о предметном содержании количественных соотношений, встречающихся в предметных задачах, и на семантические способы описания этих соотношений. Построение модели задачи может быть самостоятельным важным упражнением для формирования у учащихся умений и навыков в построении разного вида моделей задач.


3. Поиск способа решения задачи.
Решение сюжетной задачи как способ нахождения ответа на вопрос задачи возможно многими методами:
арифметическими
– непосредственное решение простых разрешимых задач, цепной способ решения открытых задач, построение числовой формулы для вычисления искомого, общие и специальные методы решения задач с неопределёнными неизвестными и некоторые другие и
алгебраическими
– построение системы уравнений как алгебраической модели задачи с последующим преобразованием и свёрткой этой системы в одно уравнение, непосредственное составление одного уравнения с одним неизвестным или системы двух-трёх уравнений по способу Ньютона, по способу Декарта, способом построения одной или двух вспомогательных задач и некоторыми другими способами. Выбор того или иного метода и способа для решения задачи зависит, в первую очередь, от решающего: какими знаниями и умениями он владеет, какие способы для него являются привычными. При этом надо учесть, что одна и та же задача, как правило, допускает решение не одним методом, а тем более способом, а многими. Конечно, выбор метода и способа решения зависит также от характера и особенностей решаемой задачи. Задача обучения состоит не только в том , чтобы учащиеся овладели всеми
методами и способами решения сюжетных задач, но и в том, чтобы они научились правильно и рационально выбирать метод и способ решения для заданной задачи В случае сложной сюжетной задачи выбор метода зачастую представляет собой очень трудный процесс поиска среди известных ученику методов или же построение нового способа решения. Как показывают результаты психологических исследований, главным, что определяет успех в этом поиске, является подход к заданной задаче как к объекту тщательного изучения, а не только как к объекту для решения. Как показывают результаты психологических исследований, главным, что определяет успех в этом поиске, является подход к заданной задаче как к объекту тщательного изучения, а не только как к объекту решения. Это означает, что ученик должен, в первую очередь, видеть в задаче объект, который надо изучить, исследовать со всех сторон с целью изобретения своего, именно своего способа её решения.
4. Построение решающей математической модели задачи.
Выбрав тот или иной метод решения сюжетной задачи, следует построить для неё соответствующую решающую математическую модель. Это значит, что если выбран арифметический метод решения, то модель строится в виде вычислительной формулы или просто последовательности арифметических действий; если же выбран алгебраический метод решения, то решающая модель строится в виде уравнения или системы уравнений, неравенств или смешанной системы.


5.

Решение

математической

модели

сюжетной

задачи.
В случае арифметического способа решение задачи сводится к выполнению намеченных действий или вычислений по полученной формуле. В случае алгебраического способа решение задачи сводится к решению полученного уравнения, системы уравнений или неравенств. При этом, как правило, требуется уточнение модели, ибо в противном случае
можно получить решение, не удовлетворяющее условиям задачи. Это уточнение обычно выделяется в особый этап процесса решения – исследование задачи и её решения.


6.

Проверка

решения

задачи
состоит в установлении факта, что полученное решение удовлетворяет всем условиям задачи. Существуют разные способы проверки решения сюжетной задачи. При решении простых задач проверка обычно не производится, ибо правильность или ошибочность решения очевидна.


7 Формулирование ответа задачи.
Ответ задачи обычно формулируется в форме словесного ответа на вопрос или требования задачи. Условия, при которых этот ответ имеет смысл, если они установлены, также указываются в ответе. Если же решений несколько, то все они перечисляются.
8. Учебно-познавательный этап.
Решение сюжетных задач производится не для того, чтобы ученики нашли ответы этих задач, а для того, чтобы в процессе их решения ученики приобрели определённые знания, развили у себя определённые умения и способности, выработали общие полезные привычки и навыки. Поэтому заключительное обсуждение проведённого решения, его анализ и исследование имеют не меньшее значение, чем собственно само решение, а может быть, и большее. Выявление недостатков проведённого решения, поиски лучшего решения, установление и закрепление в памяти учащихся тех приёмов и способов, которые были использованы в данном решении, выявление условий возможности применения этих приёмов и способов – всё это как раз и будет способствовать превращению решения задач в могучее обучающее и воспитывающее средство. При обсуждении проведённого решения полезно в некоторых случаях устанавливать возможность обобщения данной задачи, выявлять её особенности, сопоставлять решение данной задачи с ранее решёнными и т.д.
На всё это не следует жалеть времени и сил, ибо именно в процессе такого обсуждения наиболее интенсивно происходят умственное развитие учащихся, развитие их воображения, рефлексии. Таковы основные особенности отдельных этапов процесса решения сюжетных задач.


1.3.3. Задачная ситуация на уроках математики и подготовка учащихся к

повседневной жизни

Задачная ситуация
– это описание жизненной ситуации,содержащей объекты реальной действительности, обладающие количественным и и качественными характеристиками, представленной в различной форме предъявления, требующая постановки вопроса и её преобразования и разрешения. Свойство (характеристика) считается
количественным
, если объекты, обладающие этим свойством, различаются между собой по этому свойству. Свойство (характеристика) считается
качественным
, если все объекты, обладающие этим свойством, не различаются между собой по этому свойству» (Л.М.Фридман). В настоящее время во всех нормативных документах, регулирующих учебный процесс, делается акцент на то, что одной из главных целей обучения математике является подготовка уч-ся к повседневной жизни, а также развитие их личности средствами математики. Для современного общества нужен человек, обладающий необходимой системой знаний, определённым складом ума, развитым мышлением и умением принимать оптимальное решение в зависимости от возникшей реальной ситуации. Как показывают результаты международных исследований, выпускники не справляются с заданиями, проверяющими математическую компетентность, обеспечивающую готовность учащихся к повседневной жизни в современном обществе. Компетенция – это готовность (способность) ученика использовать усвоенные
знания, учебные умения и навыки, а также способы деятельности в жизни для решения практических и теоретических задач. Учебно-познавательная компетенция – это совокупность компетенций ученика в сфере самостоятельной познавательной деятельности, элементы логической, методологической, общенаучной деятельности, соотнесённые с реальными познаваемыми объектами. Математическая компетенция – это способность структурировать данные (ситуацию), вычленять математические отношения, создавать математическую модель ситуации, анализировать и преобразовывать её, интерпретировать полученные результаты. Иными словами, математическая компетенция учащегося способствует адекватному применению математики для решения возникающих в повседневной жизни проблем. Совокупность компетенций, наличие знаний и опыта, необходимых для эффективной деятельности в заданной предметной области, называют компетентностью. Компетентность проявляется в случае применения знаний и умений при решении задач, отличных от тех, в которых эти знания усваивались. Компетентность индивида в области определённой компетенции определяется уровнем его достижений в этой области. Компетентность нельзя трактовать только как сумму предметных знаний, умений и навыков. Это – приобретаемое в результате обучения и жизненного опыта новое качество, увязывающее знания и умения учащегося со спектром интегральных характеристик качества подготовки, в том числе и со способностью применять полученные знания к решению проблем, возникающих в повседневной практике. Международный опыт показывает, что продуктивная разработка контекстных заданий (описание ситуации, которое может сопровождаться рисунками, схемами, графиками и т.д.), обеспечивающих проверку этой способности, возможна при использовании определённых принципов, в том числе:
- задание составляется на основе практической ситуации, которая , по возможности, должна быть близка к ситуациям, знакомым учащимся и связанным, например, с личной жизнью (школьной, домашней, на отдыхе), с обучением (жизнью класса, школы) или общественной жизнью, профессией; - ситуация должна обеспечивать возможность комплексной проверки знаний и умений, то есть требовать использования знаний и умений из различных тем и разделов курса математики и из других учебных предметов (например, физики, биологии, географии) или внешкольных источников информации; - в рамках предложенной ситуации должна возникать такая проблема, которая делает подлинно необходимым использование математики для её разрешения; - контекст задачи не должен явно подсказывать область знаний и метод решения, которые надо использовать для разрешения поставленной проблемы; - условие задачи должно включать излишнюю информацию (текстовую и количественную), которая не является нужной для решения поставленной проблемы; - контекст задачи должен быть представлен в различной форме (таблицы, схемы, диаграммы, графика); - математическая задача, составленная на основе предложенной реальной ситуации, по возможности должна иметь более одного решения. Важную роль в создании заданий, направленных на проверку математической компетентности, играет контекст: описание ситуации, которое может сопровождаться рисунками, схемами, графиками, статистическими данными и т.д. Для решения задачи, возникающей в этой ситуации, требуется способность выделить необходимую информацию из текста, вычленить объекты и математические отношения, создать математическую модель описанной ситуации, выполнить её преобразования и интерпретировать полученные результаты в терминах и понятиях в условиях ситуации. Результаты международного исследования «математической грамотности» школьников показывают, что успешное выполнение таких заданий может быть обеспечено
только при ориентации учебного процесса на решение подобных задач.[ мат в шк №6,2008 г, статья «Проверка компетентно сти выпускников …»Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская, стр19-23] С этих позиций компетентностный подход в образовании понимается, в частности, как развитие и оценка различных компетентностей через решение субъектом соответствующих задач. В математике к таким задачам относят: – распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики; – формулировать эти проблемы на языке математики; – решать эти проблемы, используя математические факты и методы; – анализировать использованные методы решения; – интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы; – формулировать и записывать результаты решения. [24, с.39] Следовательно, задания должны создаваться с таким расчетом, чтобы группироваться вокруг общеучебных математических видов деятельности, которые присутствуют на всех этапах обучения. К одним из таких математических видов деятельности относят. −умение моделировать, которое включает структурирование предложенной ситуации таким образом, чтобы ее можно было моделировать; перевод реальной ситуации в математическую структуру; интерпретация математической модели с учетом реальной ситуации; работа с математической моделью; оценка правильности модели; размышления, анализ, критика модели и полученных результатов; запись, характеризующую модель и полученные результаты (включая ограничения полученных результатов); систематический контроль процесса моделирования. [24, с.40] −Представление имеющихся данных в различной форме, включающее декодирование или, наоборот, кодирование данных, перевод, интерпретация, различение и определение зависимости между различными формами
представления математических объектов или ситуаций; выбор или переход от одной формы к другой форме представления данных, соответствующей условию задачи. Использование символов, формализованного и технического языка и операций, включающее: декодирование и интерпретацию символов и формализованного языка и понимание его связи с естественным языком; перевод естественного языка в символический / формализованный язык; обращение с утверждениями и формулами, содержащими символы; использование переменных, решение уравнений и выполнение вычислений. [24, с.40] (24,Результаты российских учащихся в международном исследовании ПИЗА – 2000 [Текст] / под общ. ред. Г. С. Ковалевой – М. : Центр ОКО ИОСО РАО. НФПК, 2004.)
Таким

образом
, можно сделать вывод о том, что для повышения компетентности уч-ся, необходимо, уже в средней школе начинать знакомить уч-ся с задачными ситуациями, учить преобразовывать их в учебно- познавательные и разрешать, используя метод математического моделирования.
1.3.4. Преобразование задачной ситуации методом моделирования.
Чтобы осуществить деятельность ребенка по усвоению системы понятий, необходимо организовать процесс, позволяющий видеть предмет как объект исследования, определять действия с ним задолго до того, как будет получен конечный результат, то есть сформировано само понятие. А это означает, что с начального момента конструирования должен быть образ (символ), который позволит ориентироваться в предмете и анализировать его, будет служить средством продвижения в содержании.
Таким особым видом символьно-знаковой идеализации и построения научной предметности и служит моделирование. "Модели и связанные с ними представления являются продуктами сложной познавательной деятельности, включающей прежде всего мыслительную переработку исходного чувственного материала, его "очищение" от случайных моментов и т.д. Модели выступают как продукты и как средство осуществления этой деятельности 2 ". Поэтому одной из задач курса обучения детей математике является овладение детьми действием моделирования. Учебный предмет, развертывающийся как система понятий, требует логики движения в его познании от всеобщих свойств к конкретным, выделение и исследование оснований, определяющих данную систему, что невозможно без языка моделирования. Моделирование в обучении должно быть усвоено учащимися и как способ познания, которым они должны овладеть, и как важнейшее учебное действие, являющееся составным элементом учебной деятельности. Как решать эту задачу – вопрос серьезный и требующий особого внимания. Мы исходим из того, что формирование действия моделирования, общих методов решения задач, способностей к решению любых задач предполагает качественно иной подход к формированию умения решать текстовые задачи. Если моделирование – это метод и средство познания, то тогда набор текстовых задач – это один из "полигонов", где отрабатывается действие моделирования, умение решать задачи выступает как один из критериев сформированности действия моделирования. Арифметические и алгебраические текстовые задачи в литературе часто называют сюжетными, так как в них всегда есть словесное описание какого-то события, явления, действия, процесса. Поэтому сама сюжетная задача – это модель, где главным образом описана количественная сторона этого явления. Рассматриваемая в этой задаче ситуация характеризуется зависимостью между значениями величин, как известных, так и неизвестных. Такая задача определяется целью, данными и связью между целью и данными. Текст любой сюжетной задачи можно воссоздать по-другому (предметно, графически, с
помощью таблиц, формул и т.д.). Это и есть переход от словесного моделирования к другим формам моделирования. Представление ситуации в предметно-практической деятельности с помощью зарисовок – один из видов семантического анализа текстовой задачи и одновременно моделирование описанного процесса таким образом. Краткая запись условия задачи с помощью таблиц, схем, формул есть также анализ условия задачи и одновременно фиксация его с помощью моделей других форм. Понятно, что сюжетная задача – это задача-описание, а описание можно представить по-разному – с помощью любого типа модели, где необходимо зафиксировать цель, данные и связь между ними. Модели также являются эффективным средством поиска решения задачи. Тем более, что в процессе решения приходится переходить от одной формы записи к другой. Не всякая запись будет моделью задачи. Для построения модели, для ее дальнейшего преобразования необходимо выделить в задаче цель, данные величины, все отношения, чтобы с опорой на эту модель можно было продолжить анализ, позволяющий продвигаться в решении и искать оптимальные пути решения. Рассмотрим, например, такую задачу. На лекциях в четырех аудиториях присутствуют 870 студентов, причем в первой аудитории на 60 студентов больше, чем во второй, во второй – на 20 студентов меньше, чем в третьей, а в третьей – на 50 меньше, чем в четвертой. Сколько студентов в каждой аудитории? Если мы представим текст задачи в такой форме ,
то это будет краткая запись условия задачи. Но для того, чтобы решить данную задачу, эту матричную форму записи мы должны преобразовать, устанавливая отношения между величинами, не нарушая указанных связей, но с других позиций, направленных на достижение цели. Тогда это могут быть такие записи: Пользуясь теперь одной из таких записей, можно решить задачу. Если ребенок в состоянии сделать все четыре записи (а это показывает, насколько он владеет действием моделирования), то у него есть возможность выбора более рационального способа решения. Кроме того, ученик может представлять краткую запись условия в другой форме. Например,
Таким образом, у ученика есть выбор между типами моделей. А если посмотреть на первую схему, то она позволяет записать уравнение для решения таким образом: х х 4 + 150 = 870 Составленное по этой текстовой задаче уравнение есть тоже задача, которая решается путем преобразования моделей: х х 4 = 870 – 150 х х 4 = 720 х = 720 : 4 х = 180
Контроль, пожалуй, тоже легче осуществлять, опираясь на разные виды моделирования. Только на одном этом примере видно, что, решая текстовые задачи, мы работаем над формированием действия моделирования, и наоборот, чем лучше ребенок овладевает действием моделирования, тем легче ему решать задачи. Процесс решения сюжетных задач сложен. Если его рассматривать с точки зрения психолога, то нужно установить: из каких мыслительных операций состоит процесс решения, как школьник осуществляет анализ, планирует решение, контролирует себя, как он разбирается в связях между величинами и т.п. Если этот процесс рассматривать с математической точки зрения, то важно, на какие понятия ребенку опираться, чтобы рассмотреть все отношения; какие математические операции следует произвести, чтобы ответить на вопросы задачи; в каком порядке выстроить свою структуру действий по достижению цели; что выбрать за основание своих действий. Если на этот процесс смотреть с позиции педагога, то следует выяснить, каковы те приемы обучения, которые формируют у детей умение решать текстовые задачи. С позиции субъекта учебной деятельности необходимо знать, какие у него есть средства, чтобы справиться с решением задачи, найти конечный результат. Таким мощным средством является действие моделирования, которым школьник овладевает в процессе обучения, нарабатывая его как способ или даже метод продвижения в системе понятий.
Общая схема учебной деятельности моделирования.
( «Математика. Моделирование в решении задач. 9-11 классы » «Учитель»2009 г., М.А.Куканов) Согласно теории деятельности А. Н. Леонтьева, выделяются её структурные элементы: 1) мотивационно-ориентировочная, 2) операционно-содержательная, 3) рефлексивно-оценочная компоненты. В учебной математической деятельности моделирования в свете вышесказанного они получают следующее конкретное содержание:

Мотивационно-

ориентировочная

компонента

Операционно-

содержательная

компонента

Рефлексивно-оценочная

компонента
Мотивация, основанная на познавательном интересе. Реальная или внутри-математическая проблема, которая требует разрешения. Актуализация необходимых знаний, методов и приёмов. Постановка задачи. Определение объекта, подлежащего моделированию. Выявление элементов, свойств и связей объекта. Выбор вида описанной модели. Переформулировка описанной модели на математический язык. Выбор метода или алгоритма решения внутримодельной математической задачи. Интерпретация решения на исходном языке. Анализ и оценка использованной модели. Анализ и оценка методов и алгоритмов решения математической внутримодельной задачи. Рефлексия и обобщение исходной модели.
Таким образом метод моделирования является основным

как

при

обучении школьников решению сюжетных задач,

так и при обучении

преобразованию задачных ситуаций, примеры таких преобразований будут

рассмотрены дальше.


1.3.5. Классификация задачных ситуаций

1. По форме предъявления информации:
1) в виде текста; 2) в виде рисунка; 3) в виде графика; 4) в виде таблицы; 5) комбинированная (сочетание нескольких форм).
2.По сюжету:
1) на движение; 2) на покупки; 3) на работу; 4) на площадь и т. д.
3.По методу разрешения:
1) практические; 2) арифметические; 3) алгебраические; 4) графические;
5)
геометрические;
6)
комбинированные.
4. По уровню проблемности в разрешении задачной ситуации:
1) алгоритмическая (воспроизведение изученного способа); 2) продуктивная (использование известного способа в новых ситуациях, привлечение знаний из других областей); 3) творческая (использование эвристик). Классификация является условной.

1.4. Выводы по главе I:
Глава I была посвящена изучению теоретических основ метода математического моделирования. Ознакомившись с учебно-методической литературой, мы выделили основные понятия и определения модели и метода математического моделирования. Рассмотрели моделирование как метод научного познания. Выявили проблему обучения учащихся данному методу. Выявили структуру решения сюжетных задач и проблему преобразования задачной ситуации методом математического моделирования. Разработали классификацию задачных ситуаций по форме предъявления информации, по сюжету, по методу разрешения и по уровню проблемности в разрешении задачной ситуации. Мы пришли к выводу, что обучение школьников методу математического моделирования просто необходимо, так как оно формирует творческую личность, способную логически мыслить, находить решения в различных проблемных ситуациях, способную систематизировать и накапливать знания, способную к саморазвитию и самокоррекции Работа над задачными ситуациями методом математического моделирования приводит к тому, что школьник учится не пасовать перед различными проблемами, а стремится их разрешить, тем самым мы имеем дело с творческой личностью, всегда способной к поиску. Таким образом метод моделирования является основным как при обуче- нии школьников решению сюжетных задач, так и при обучении преобразова- нию задачных ситуаций, примеры таких преобразований будут рассмотрены дальше.

Глава II. Методика обучения преобразованию задачной ситуации на уроках

математики

2.1. Методика работы с задачной ситуацией в 5-6 классе

2.1.1. Подготовительная работа в 5-6 классах.

В 5-6 классах ведётся подготовительная работа:
Прежде чем начать работу непосредственно с задачными ситуациями, необходимо сначала учить работать с обычными сюжетными задачами из курса математики. Актуализируется понятие задачи, выделяется условие, требования, объекты, количественные и качественные характеристики объектов.
Задача 1
.
В школьном математическом кружке занимаются 18 учеников. В

танцевальном кружке на 12 учеников больше, чем в математическом, а в

спортивном кружке на 5 учеников меньше, чем в танцевальном. Сколько

учеников в спортивном кружке?

Условие

Требование
В математическом кружке занимаются 18 учеников. В танцевальном кружке на 12 учеников больше, чем в математическом, в спортивном кружке на 5 учеников меньше, чем в танцевальном Сколько учеников в спортивном кружке?
Объекты
: ученики, посещающие танцевальный кружок, ученики, посещающие математический кружок, ученики, посещающие спортивный кружок.
Количественные

характеристики

объектов

Каче ственные

ха р а к т е р и с т и к и

объектов
18 , на 12 больше, на 5 меньше ученики, посещающие танцевальный кружок, посещающие математический кружок, посещающие спортивный кружок Нужно вести работу по формированию умений учащихся устанавливать
связи в процессе работы над задачей, содержащей разную форму представления информации. В этом деле поможет
метод моделирования.
Работа с моделью позволяет ученикам яснее увидеть зависимости между данными и искомыми величинами и оценить задачу в целом, а учителю – продемонстрировать разные варианты решения и, сравнив их, обобщить теоретические знания. В 5-6 классах при анализе условия задачи, как правило, используются разные виды
краткой записи или готовые схемы
, а создание модели задачи самими учениками используется крайне редко. На этом этапе для каждого ученика главное – понять задачу, т.е. уяснить о чём в ней идёт речь, что известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомыми величинами и т. п. Для этого нужно применять
метод моделирования
ситуации, отражённой в задаче. Что же понимается под моделированием задачи? В широком смысле слова моделирование – это замена действий с реальными предметами действиями с их образами, моделями, макетами, а также чертежами, схемами и т.п.
Предметное и графическое моделирование математической ситуации
при решении текстовых задач давно применяется в школьной практике, но без должной системы, что объясняется неверным пониманием роли наглядности в обучении и развитии учащихся. До сих пор многие учителя неправильно полагают, что наглядность обязательно должна быть только на начальном этапе обучения, а с развитием у детей абстрактного мышления она теряет своё значение. Между тем наглядность, особенно «графическая», необходима на протяжении обучения как важное средство развития более сложных форм конкретного мышления и формирования представлений о математических понятиях. Как отмечает Л.Ш.Левенберг,
рисунки, схемы и чертежи
не только помогают учащимся в сознательном выяснении скрытых зависимостей между
величинами, но и побуждают детей активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задачи, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умениями применять их. [Математика в школе №5, 2008 г., статья И.И.Целищева, С.А.Зайцева «Моделирование при обучении решению текстовых задач»] Так, в 5 классе, впервые анализируя условие
задачи 1,
его кратко записывают примерно в таком виде: В мат. кр. – 18 уч. В танц. кр. - ?, на 12 уч. больше чем в мат. кр. В спорт. кр. - ?, на 5 уч. меньше, чем в танц. кр. Такая запись при первичном анализе условия задачи нерациональна, так как не раскрывает наглядно зависимости между данными и искомыми величинами и помогает в выборе действия. Мы предлагаем учащимся модель: 18 чел. В мат. кр. ׀

׀____________________ ? на12 чел. больше

В танц. кр. ׀_____________________׀_______________________׀ ? На 5 чел. мен. В спорт. кр. ׀

___׀________________

׀__________________ ?
Подобная модель даёт наглядное представление об отношениях между

данными и искомыми.
Анализируя условие, дети выясняют, что в танцевальном кружке учащихся на 12 больше, чем в математическом, т.е. их столько же да ещё 12. Поэтому второй отрезок большей длины. А так как в спортивном кружке учащихся на 5 меньше, чем в танцевальном, т.е. их столько же, но без 5, то и отрезок, изображающий условно численность учащихся в спортивном кружке, должен
быть короче отрезка, обозначающего численность учащихся в танцевальном кружке. Далее, анализируя построенную схему, дети самостоятельно записывают решение задачи. Решение: 1) 18+12=30(уч.) 2) 30 – 5 =25(уч.). Можно предложить учащимся найти и другой способ решения, рассмотрев более внимательно ту же
модель
. Опираясь на
графическую

схему,
дети выясняют: в спортивном кружке учащихся больше, чем в математическом, определяют, на сколько больше (12 – 5 = 7 уч.), а затем уже отвечают на поставленный вопрос (18 + 7 = 25 уч.).
Задача 2. В три магазина привезли 3840 кг масла. После того как первый

магазин продал 568 кг масла, второй 624 кг и третий 401 кг, масла осталось

во всех магазинах поровну. Сколько килограммов масла получил каждый

магазин?
Как можно смоделировать задачу 2? В процессе её разбора (совместно с детьми) мы получаем такие схематические чертежи: 3840 кг Продали 568 кг Остаток - ? Продали 624 кг Остаток - ? Продали 401 кг Остаток - ?
Привезли Осталось Продали ? 568 кг 1-й магазин - ? |________|_________________| ? 634 кг| 3840 кг 2-й магазин - ? | ________| _______________________| ? 401 кг 3-й магазин - ? | ________| ________________|
Графическая модель
задачи позволяет предупредить ошибки в решении. Она также создаёт предпосылки для активной мыслительной деятельности в поисках разных способов решения одной и той же задачи. Заметим, что такой поиск способствует развитию у школьников вариативности мышления. Решение:
1 способ 1) 568+624=1192 (кг) 2) 1192+401=1593 (кг) 3) 3840 – 1593=2247 (кг) 4) 2247
:
3=749 (кг) 5) 749+568=1317 (кг) 6) 749+624=1373 (кг) 7) 749+401=1150 (кг) 2 способ 1) 3840 – 1593= 3272 (кг) 2) 3272 – 624= 2648 (кг) 3) 2648 – 401=2247 (кг) 4) 2247
:
3=749 (кг) 5) 749+568=1317 (кг) 6) 749+624=1373 (кг) 7) 749+401=1150 (кг)
Моделирование при решении задачи мы использовали и в 6 классе.
Опишем, как это происходило на примере задачи 3.
Задача 3.

Три группы учащихся очищали каток от снега. Первая группа

очистила

7/12

катка,

вторая

–

2/3

того,

что

осталось,

а

третья

–

остальные 250 м

2

. Вычислите площадь катка.
По предложению детей каток решили изобразить в виде прямоугольника. Стали обсуждать, какие размеры прямоугольника лучше взять. В результате пришли к выводу, что длину удобно взять 12 см ( число, кратное 12), а ширину - 6 см ( число, кратное 3). На
схематическом

чертеже
отметили данные (получилась схема, показанная на рисунке), выяснили, что будем определять. Модель котка: 1 группа 7/12 2 группа 2/3 остатка 3 группа 250 м 2 Выполняя эту
модель
, мы предупредили ошибки, связанные с тем, что некоторые учащиеся не обратили внимание на то, что вторая группа детей очистила 2/3 не всего катка, а той части, которая осталась после того, как поработала 1 группа.
Отмечалась высокая активность, большинство учащихся справились с решением самостоятельно и предложили несколько его способов, которые нашли, анализируя
схематический чертёж.
Решив задачу разными способами, мы одновременно повторили ранее изученный в 6 классе материал (действия с дробями, нахождение дроби от числа). Решение: 1 способ 1) 1- 7/12=5/12 2) 5/12·2/3=5/18 3) 5/12 – 5/18=5/36 4) 250 : 5/36=1800 (м 2 ) 2 способ 1) 1- 7/12=5/12 2) 5/12·2/3=5/18 3) 7/12+5/18=31/36 4) 1 – 31/36=5/36 5) 250 : 5/36=1800 (м 2 ) Как известно, существуют разные способы проверки решения текстовой задачи. Среди них решение задачи различными способами и установление соответствия между полученными в ответе числами и данными числами. Наши наблюдения показывают, что в 5-6 классах решение задачи, как правило, не проверяют, или понимают под проверкой нечто иное, например прочтение решения задачи для всего класса или сверку с записью решения на доске. Мы считаем, что проверить правильность решения поможет графическая модель задачи. Такую модель можно использовать и для проведения исследования: она помогает выявить условия, при которых задача имеет ( или не имеет ) решения, найти число решений, выяснить, как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин, и т. д. Очень важно, чтобы школьники не потеряли интерес к решению задач.
Умение представлять задачу в разных формах предъявления поддерживает

этот интерес, особенно любят дети рисовать.
Так пускай они
рисуют

задачу.
В процессе рисования задачи у уч-ся вырабатывается привычка сосредотачиваться, мыслить самостоятельно, развивается внимание, стремление к знаниям. Увлекшись, они не замечают, что учатся: познают, запоминают новое, ориентируются в необычных ситуациях, пополняют запас представлений, понятий, развивают фантазию. Процесс решения задач
становится интересным и занимательным, а самое главное — поддерживает и усиливает к учебному предмету. ( Н. Иванова, «Рисуя, решать задачи» , статья, «Математика» №41,2004г.)
Пример предъявления задач в виде рисунков по учебнику «Математика 5»

М.Я. Виленкина:



2.1.2. Преобразование задач на движение посредством моделирования в 5

кл.
Перед тем как предложить уч-ся задачу, учитель вывешивает на доске плакат, на котором слева изображён пейзаж, а справа — стрелки, назначение которых предстоит разобрать в классе. В плакате проделана прорезь, в неё вставляется бумажная модель катера. Фактически моделей две, на одной дым отклоняется вправо, на другой — влево. Учащимся надо дать время, чтобы освоиться с моделями и таблицей. Поэтому учитель сначала задаёт совсем простые вопросы:  Что изображено на картине?  Куда плывёт катер?  В какую сторону течёт река? Затем вопросы усложняются:  какую модель нужно вставить в прорезь таблицы, чтобы катер двигался в том же направлении, в каком течёт река? В противоположном направлении?  Чья скорость обычно больше, катера или реки?  Какая из стрелок, чёрная или серая обозначает скорость течения реки? Скорость катера в стоячей воде?  Какое расположение стрелок соответствует движению катера по течению, (против течения)? Вывод:  если катер движется по течению реки, то его скорость равна собственной скорости катера, увеличенной на скорость течения реки;
 если катер движется против течения реки, то его скорость равна собственной скорости катера, уменьшенной на скорость течения реки. Чтобы актуализировать знания уч-ся можно предложить заполнить несложную таблицу: 1 2 3 4 Собственная скорость катера (км/ч) 30 36 22 Скорость течения реки (км/ч) 2 3 3 Скорость катера по течению (км/ч) 40 42 Скорость катера против течения (км/ч) 19 Учащиеся сами формулируют вопросы к данным задачным ситуациям. Затем целесообразно рассмотреть более сложную задачу:
1.Скорость катера при движении по течению реки равна 40 км/ч, а

при движении против течения она составляет 34 км/ч. Какова скорость

течения реки?
Решение задачи демонстрируется стрелками в таблице. Учащиеся воспроизводят их в своих тетрадях и схематически показывают, что скорость катера, идущего по течению реки, больше скорости катера, движущегося против течения, на удвоенную скорость течения реки. Таким образом, решение записывается в 2 действия: (40-34):2=3(км/ч) — скорость течения реки. К следующему занятию целесообразно подготовить новый плакат(рис.3), с озером, на нем нужно сделать такие же прорези для моделей катера. По рисунку ребята разбирают следующую задачу:
2. Катер спустился вниз по реке к озеру. При этом за 2 часа он прошёл

60 км. По озеру он двигался 3 ч со скоростью 28 км/ч, а потом поднялся по

другой реке, которая впадает в то же озеро, за 4 ч. узнайте путь, который

прошёл

катер

за

всё

время

движения,

считая

скорости

течения

рек

одинаковыми.
В этой задаче учащимся придется столкнуться со всеми тремя изученными ситуациями — движение по течению, движение в стоячей воде и движение против течения.
С помощью подобной модели школьники учатся преобразованию задачи, так как можно всячески менять направление катеров, ставить вопросы, менять данные.
(журнал математика в школе , статья Л.И. Моторина

«Задачи на движение в 5 классе»)

2.1.3. Обучение преобразованию сюжетных задач, используя задачи ЕГЭ в

5-6 кл.
Задания В1 в ЭГЭ 2010 года вполне могут решать учащиеся 5 класса. Эти задачи можно использовать и для обучения школьников преобразованию задач.
Рассмотрим некоторые задания В1 и покажем методику работы с ними.
Задания В1:

1. Урок в начальной школе длится 35 минут. Все перемены, кроме третьей,

длятся 10 минут, а третья перемена — 20 минут. Уроки начинаются в

8.30.

Когда

заканчивается

пятый

урок?

В

ответе

запишите

часы

и

минуты, разделив их точкой.
(Математика ЕГЭ, типовые тестовые задания,2010г, Под ред. А.Л.Семёнова, И.В. Ященко )
Рассмотрим задачу 1.
Представим задачу в образной форме.

Можно предложить уч-ся нарисовать часы, и ответ будет очевиден. Нужно мысленно передвигать минутную стрелку, но не забывать и про часовую. 12 9 3
6
Можно привести такое
решение:

1)
35*5=175(мин)- 5 уроков
2)
10+10+20+10=50 — все перемены
3)
175+50=225(мин)=3ч.45мин-продолжительность уроков и перемен вместе.
4)
8ч 30мин+3ч 45мин=11ч 75мин=12ч 15мин.
Ответ:
Пятый урок заканчивается в 12ч 15 мин. Необходимо повторить с учащимися перевод минут в часы и наоборот. Обратить внимание на то, что перемен всего 4, а не 5. После решения данной задачи, можно используя данную модель составлять и решать другие задачи.
2. В летнем лагере на каждого участника полагается 50 г сахара в день. В


лагере 163 человека. Какого наименьшего количества килограммовых пачек

сахара достаточно на неделю?

Рассмотрим задачу 2.
- Представьте задачу в удобной для вас форме предъявления.
1)
Рисунок

50 г на одного ребёнка в день

163 ч. 1 кг ? Сколько килограммовых пачек сахара надо на 7 дней?
2)
Таблица Количество человек Количество сахара (гр.) Количество дней Количество пачек по 1 кг. 1 50 1 - 163 ? 7 ?
-Выделите объкты в задаче.
1. Дети, 2. Сахар. 3. Дни -Выделите
количественные
характеристики объектов: (Дети — 1ч., 163ч.; сахар — 50гр, 1 кг.; дни — 1д., 7д.) -Выделите
качественные
характеристики объектов: (Дети — отдыхают в лагере; потребляют сахар).
Решение:

1)
50·163=8150(г) — сахара потребуется на 1 день
2)
8150·7=57 050(г) — сахара потребуется на 7 дней. 57 075 г = 57кг 50 г. это значит потребуется 57 пачек по 1кг и ещё 50г .
Ответ:
58 пачек по 1кг достаточно на неделю. - Давайте изменим количественные характеристики. Получили аналогичную
задачу:
В летнем лагере на каждого участника полагается 50 г сахара в день. В

лагере 215 человека. Какого наименьшего количеств пачек сахара по 2кг

достаточно на 5 дней?

Решение:
1) 50·215=10750(г) — на 1 день 2) 10750·5=53750(г) — на 5 дней 3) 53750:2000=26( 1750 — ост.)
Ответ:
27 пачек по 2кг потребуется. - А теперь давайте изменим качественные характеристики объекта «дети» и изменим вопрос в задаче. Например, получили такую задачу:
1. В летнем лагере на каждого участника полагается 50 г сахара в день. В

лагере 163 человека. Во время смены, группа детей из 10 человек уехала на

экскурсию на 4 дня. Какого наименьшего количества килограммовых пачек

сахара

достаточно

на

неделю? Сколько

пачек

сахара

надо

убрать

из

рациона на время экскурсии? Сколько пачек останется?

Решение:
1) 50·163=8150(г) — сахара потребуется на 1 день 2) 8150·7=57 050(г) — сахара потребуется на 7 дней. 57 075 г = 57кг 50 г. это значит потребуется 57 пачек по 1кг и ещё 50г, 58 пачек. 3) 10·50=500(г) — в день на 10 человек 4) 500·4= 2000(г)=2(кг) — на 4 дня 5) 58-2=56(п)
Ответ:
2 пачки по 1кг надо убрать из рациона, 56 пачек останется. Или такую задачу, посложней:
2.В летнем лагере на каждого участника полагается 50 г сахара в день. В

лагере

163

человека. Пятерым детям нельзя есть много сладкого, долю

сахара

им

уменьшили

на

20г

в

день.

Какого

наименьшего

количества

килограммовых пачек сахара достаточно на неделю?

Решение:

1) 50-20=30(г) — норма для детей, которым нельзя много сахара 2) 30·5=150(г) — на 5 детей в день 3) 150·7=1050(г) — на 7 дней на 5 детей 4) 163-5=158(д) — с нормой 50г в день 5) 158·50·7=55300(г) — на 7 дней на 158 детей 6) 55300+1050=56 350(г)
Ответ:
57 пачек сахара достаточно. Задачи 4 и 5 на проценты. Их тоже можно разобрать в 5-6 классах.
4.

Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 руб. стоимость

билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого.

Группа состоит из 15 школьников и 2-х взрослых. Сколько стоят билеты на

всю группу?

5.

Билет на электричку стоит 40 руб. Ожидается повышение цены на

10%. сколько билетов можно будет купить на 300 руб.?
5 класс 6 класс Решение задачи №4 50% - это половина, поэтому: 1) 720:2=360(руб) 2) 360·15= 5400(руб) 3) 720·2=1440(руб) 4) 5400+1440=6840(руб) Ответ: 6840 руб. 50%=0,5 1) 720·0,5=360(руб) 2) 360·15= 5400(руб) 3) 720·2=1440(руб) 4) 5400+1440=6840(руб Ответ: 6840 руб. Решение задачи №5 После изучения действий с десятичными дробями. 1) 40:100·10=4(руб) 2) 40+4=44(руб) 3) 300:44=6 (ост 36) Ответ: 6 билетов Найти проценты от числа 10%=0,1 1) 40·0,1=49(руб) 2) 40+4=44(руб) 3) 300:44(ост 36) Ответ: 6 билетов Преобразование задач Представьте задачу в виде рисунка; измените количественные характеристики; измените вопрос задачи Представьте задачу в виде рисунка; измените количественные характеристики; измените качественные характеристики объекта; измените вопрос задачи

2.1.4. Основные положения методики и приёмы работы с текстовой задачей

в 5-6кл:

1.Учащимся надо дать возможность понять ситуацию, описываемую в

задаче, осознать и запомнить её содержание. Для этого следует


обязательно поработать с текстом задачи, т. е.
 прочитать вслух формулировку,  выяснить понимание терминов и оборотов речи,  при необходимости пересказать условие,  выделить объекты реальной действительности в задаче,  выделить качественные и количественные характеристики данных объектов,  придумать способ представления условия в виде рисунка, схемы или модели.
2.Важно добиться, чтобы учащиеся поняли ход рассуждения и научились

преобразовывать задачу. Для этого надо:
- в качестве опоры для рассуждений использовать рисунок, графическую иллюстрацию условия, реальные действия с величинами, - прибегнуть при необходимости к переформулировке условия задачи, - научить ставить вопросы и давать развёрнутые ответы, - научить менять количественные и качественные характеристики объектов задачи, - научить ставить вопросы к преобразованной задаче и решать её, - при рассмотрении нового вида задач обязательно записать полное решение хотя бы одной из них, чтобы учащиеся могли воспользоваться им в качестве образца.
3.Овладев приёмом преобразования задачи, учащийся может выбрать

любой удобный для себя способ решения. Надо поощрять активное участие

каждого ученика в процессе решения и преобразования задачи.

Приёмы работы над задачей в 5-6 кл.

1. Приём работы с условием задачи.
1) Прочитайте условие задачи. 2) Определите о каком процессе идёт речь в задаче. 3) Выделите объекты реальной действительности в задаче (подчеркните красным карандашом).
4) Выделите количественные характеристики объектов (подчеркните синим карандашом); выделите качественные характеристики объектов ( подчеркните зелёным карандашом). 5) Представь условие задачи как тебе удобно.
2. Приём преобразования задачи на основе преобразования

количественных характеристик.
1) – 4) – то же, что и в предыдущем примере. 5) Измените количественные характеристики (одну или несколько). 6) Сформулируйте новую задачу. 7) Как бы ты назвал такую задачу? Примени способ решения к такого типа задаче.
3.

Приём преобразования задачи на основе преобразования

качественных характеристик.
1) – 4) – то же, что и в предыдущем примере. 5) Измените качественные характеристики (одну или несколько). 6) Сформулируйте новую задачу. 7) Как бы ты назвал такую задачу?(переконструированная).Примени способ решения к такого типа задаче.
2.2. Методика работы с задачной ситуацией в
7-8
классе

2.2.1.Ознакомление с задачными ситуациями в 7 классе
После того, как учащиеся научились хорошо решать задачи в 5-6 классах, можно ввести в 7 классе понятие задачной ситуации. Для этого надо заинтересовать детей, привлечь различные методы введения нового понятия,
актуализировать необходимые знания, вспомнить понятия: задача, условие, вопрос, объекты, количественные характеристики, каче ственные характеристики. Можно начать с беседы, о том, как часто в нашей жизни встречаются ситуации, когда нужно прибегнуть к математическим расчетам. - Какие ситуации в жизни встречаются когда нужна математика? Дети отвечают: 1) покупки в магазине; 2) ремонт квартиры (например, надо подсчитать сколько рулонов обоев понадобится для оклейки комнаты, для этого вычисляют площадь стен) 3) ситуации на время, скорость, расстояние, и другие примеры.
Вывод:
очень часто в жизни возникают ситуации, которые связаны с математикой, назовём их задачными ситуациями. Далее вводится понятие:
Задачная

ситуация –

это

описание

жизненной

ситуации,

содержащей

объекты реальной действительности, обладающие

количественными и

качественными

характеристиками,

представленной

в

различной

форме

предъявления

и

требующая

постановки

вопроса

и

её

преобразования

и

разрешения.
Приведем пример
задачной ситуации:

Дорога в школу лежит через реку Бирюса. Чтобы добраться до школы,

Гриша должен 15 минут идти до места переправы, 10 минут плыть на

катере через реку и еще 10 минут идти до школы. А его одноклассник Рома

живет на одном берегу со школой, и затрачивает 15 минут на дорогу.
Учитель: -Как вы думаете, будет ли это описание задачной ситуацией?(если да, то почему, если нет, то почему?) -Есть ли жизненный сюжет?(да) -Есть объекты? (Гриша, Рома)
-Обладают ли данные объекты количественными и качественными характеристиками? Какими? (количественные — 10 минут, 15 минут, 10минут, 15 минут; качественные — идёт пешком, плывёт на катере) Следует разъяснить учащимся новые понятия: Свойство (характеристика) считается
количественным
, если объекты, обладающие этим свойством, различаются между собой по этому свойству. Свойство (характеристика) считается
качественным
, если все объекты, обладающие этим свойством, не различаются между собой по этому свойству» (Л.М.Фридман).
Количественные
характеристики связаны с
количеством
, числом. А
качественные
характеристики от слова «
качество
», т.е объекты могут обладать какими-либо качествами — цвет, характер , действие, которые различны между собой.  Можно ли эту задачную ситуацию преобразовать? Как?(да) Каждая з.с. требует преобразования и разрешения. То есть в з.с. Можно всячески менять сюжет; менять количественные характеристики объектов; менять качественные характеристики объектов; ставить разные вопросы.  Какой вопрос к задаче можно поставить? ( например: В какое время надо выйти из дома каждому мальчику, чтобы встретиться за 10 минут до занятий, если урок начинается в 9 часов утра.)  Приведите примеры задачных ситуаций, приведите примеры жизненных ситуаций, не являющихся задачными ситуациями. Задачные ситуации могут быть представлены в разных формах предъявления информации, т.е. Могут быть в виде рисунка, текста, графика, таблицы т.д. К данной з.с. можно попросить учащихся нарисовать карту маршрута от дома до школы. Школа 15мин
Школа 10мин 10мин р. Бирюса 15мин Или изобразить часы: Время Гриши Время Ромы После того, как ввели понятие задачной ситуации и показали , как можно её преобразовывать, надо привести ещё примеры различных задачных ситуаций, при этом поощрять учащихся всячески принимать участие в преобразовании з.с. привлекать личный опыт детей.
Примеры преобразования задачной ситуации.
1. Какие вопросы можно поставить к задаче? - На сколько минут Рома быстрее Гриши придёт в школу? - Успеет ли Рома к уроку, если встретит Гришу у пристани? 2. Поменяйте количественные характеристики.
Пусть время Гриши – 10 мин, 15 мин, 13 мин. А время Ромы 10 мин. Ответьте на те же вопросы к задаче. 3. Поменяйте качественные характеристики объектов. Получим задачные ситуации: 1) Катер задержался у берега, поджидая учителя, на 5 мин. Ответьте на те же вопросы. 2) Рома дошёл до школы, но вернулся домой за учебником. На сколько минут он опоздает в школу, если вышел в 8.35? И другие задачные ситуации. После постановки вопросов, з.с. превращается в одну или несколько математических задач, которые нужно решить. При этом методы решения могут быть самыми разными, по всему курсу математики и связаны с другими предметами. Субъективная характеристика з.с. зависит от опыта ребёнка, который включает: -знания предметных областей, в том числе математические знания; -учебные умения; -интеллектуальные умения, связанные с качествами мышления; -жизненные представления, которые отражают то привычное, с чем сталкивался ребёнок в жизни.
2.2.2. Преобразование задачной ситуации на задачах ЕГЭ.
В школьных учебниках не изучаются задачные ситуации и их преобразование. Задач, представленных в разной форме предъявления информации очень мало. Задания ЕГЭ 2010 года включают в себя достаточное количество задач с практическим содержанием. Это хороший материал для
обучения школьников преобразованию задачных ситуаций, обучению умению составлять модель задачной ситуации.
Возьмём задачу ЕГЭ В5
, представленную в виде схемы движения 3-х видов транспорта:
1.На рисунке показана схема дорог между городами А, В, С, Д и Е вдоль этих

дорог (в км). Электричка, грузовик и автобус одновременно выезжают из

города А в город Е разными путями. Электричка идёт по железной дороге

через В, грузовик должен проехать через С, а автобус едет только через Д,

не заезжая в С. Средняя скорость электрички 44 км/ч, грузовика — 40 км/ч,

а автобуса - 55 км/ч. Сколько минут было в пути транспортное средство,

которое прибыло в Е раньше других?
B 12 10 E A C 6 7 7 D 15 По данной схеме можно учить уч-ся составлять различные задачные ситуации, ставить разные вопросы, разрешать получившиеся задачи. Можно менять виды транспорта, их маршрут, скорость и др. Представим в виде таблицы: Средняя скорость (км/ч) Расстояние (км) Время(мин) Электричка 44 Через В: 12+10 ?
Грузовик 40 Через С: 7+7+6 ? Автобус 55 Через Д(не заезжая в С): 7+15 ? Сколько минут было в пути транспортное средство, которое прибыло в Е раньше других? Решение:
1)
(12+10):44=0,5ч=30(мин)
2)
(7+7+6):40=0,5ч=30(мин)
3)
(7+15):55=0,4ч=24(мин) (60:10·4=24) Ответ: 24мин находился в пути автобус.
Задача с практическим содержанием В5.

2. Поставщик газа может заключить договор на транзит своего газа до

клиента через любой из трёх газопроводов: Северный, Центральный или

Западный. Длина Северного газопровода равна 380 км., длина Центрального

— 400 км., а длина Западного — 280 км. Транспортировка 1000 кубометров

газа

на

100

км.

по

Северному

газопроводу

стоит

10

долларов,

по

Центральному

—

8,5

долларов,

по

Западному

—

11

долларов.

Сколько

долларов придётся заплатить за самый выгодный транзит 1,5 миллионов

кубометров газа?
Рассмотрим задачу 3.
1 этап. Работа над условием.
 О чём речь в задаче?  Какова длина газопроводов?  Какова стоимость транзита? Как вы понимаете слово «транзит»?  Что нужно найти в задаче? Составим краткую запись в форме таблицы или рисунка: Название газопровода Длина(км) Стоимость транспортировки 1000 куб.м. на 100км
($) Северный 380 10 1,5 млн куб .м. Газа. ? - самый выгодный транзит. Центральный 400 8,5 Западный 280 11
2 этап. Поиск решения .
Можно провести синтетическим методом.
3 этап: Решение.
Узнаем сначала сколько стоит транзит по каждому газопроводу 1000 куб.м газа. Вспомним задачи на пропорциональное деление. 1) Если за 100км — 10$, то то за 10 км — 1$ (100:10=10); 2) если на 100 км — 8,5$, то на 400 км — 4·8,5=34$; 3)если на 100 км — 11$, то на 200 км — 22$, а на 80км — 8, 8$ (11:100·80=8,8), на 280 км -30,8$.
Решение:
1)380:10 =38($) - на 380 км 2) 8,5·4=34($) - на 400 км 3)11:100=0,11($) - на 1 км 4)0,11·280=30,8($) - на 280 км. 5) 1500000:1000=1500(раз) - 6) 30,8·1500=46200($)
Ответ:46200$-самый выгодный транзит.
Работа по преобразованию задачи:
Учить

работать с задачной ситуацией, представленной в виде графика

можно на примере задач В2 в ЕГЭ.
Одно из требований, проверяемых заданиями экзаменационной работы
-
описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. В заданиях В2 даны задачные ситуации представленные в форме графика. Эти задания направлены на выявление умения учащихся считывать информацию в
разной форме предъявления и интерпретировать её.
Задания В2:

1. На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении

трёх суток, начиная с 0 часов 2 марта. На оси абсцисс отмечается время

суток

в

часах,

на

оси

ординат

—

значение

температуры

в

градусах.

Найдите по графику наибольшую температуру воздуха 3 марта.

2.На рисунке изображён график среднесуточной температуры в г. Саратове

в период с 6 по 12 октября 1969 года. На оси абсцисс откладываются числа,

на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Определите по графику,

какого числа из указанного периода средняя температура была наименьшей.


В задаче 1
надо знать: а) Время суток: начало суток — 0:00, конец суток 24:00 или 0:00. Также надо знать название осей: Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат. б) Знать как найти шаг шкалы времени: первое деление 0:00, второе деление 6:00, значит (0+6):2=3ч, т.е третье деление 3ч, шаг шкалы равен 3.
Решение:
Определим, где находится на оси абсцисс 3 марта, от0:00 до 0:00 — 2марта, следующий промежуток от 0:00 до 0:00 — 3 марта. Определим наибольшую точку графика на этом промежутке и посмотрим какому числу она соответствует на оси ординат.
Ответ:
3,5 0 С.
Работа по преобразованию задачной ситуации:
1. По этому же графику составьте другие вопросы и ответьте на них.  Какая наибольшая температура была 2 марта, 4 марта?(5 0 С, 3,6 0 С)  Какая наименьшая температура была 2-го, 3-го и 4-го марта? (-1,5 0 С, -1,3 0 С, -2,5 0 С)  Какого числа и в какое время температура была 2 0 С? (2 марта — в 3ч и 15ч; 3 марта — в 6ч и 15ч; 4 марта — в 4ч и 18ч) 2. Измените некоторые характеристики объектов задачи и составьте новые вопросы.  Измените шаг шкалы на оси ординат, на оси абсцисс. И др.
Задание

2
не должно вызвать затруднений у учащихся. Надо найти наименьшую точку графика и найти её значение по оси абсцисс.
Ответ:
9.
Примеры задач В5 ЕГЭ по которым можно работать над преобразование

задачной ситуации.

1. Строительная фирма планирует приобрести 73 кубометра пеноблоков у

одного из трёх поставщиков. Сколько рублей придётся заплатить за самую

дешёвую

покупку

с

доставкой?

Цены

и

условия

доставки

приведены

в


таблице.
Поставщик Стоимость пеноблоков (руб. за куб. м.) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия А 2850 4600 Б 3200 4300 При заказе на сумму более 150000 руб. доставка бесплатно В 2900 4500 При заказе на сумму более 200 000 руб. доставка бесплатно 2. Для изготовления книжных полок требуется заказать 60 одинаковых стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла равна 0,15 кв. м. В таблице приведены цены на стекло и на резку стёкол. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ? Фирма Стоимость стекла (руб. за 1 кв. м.) Резка стекла (руб. за одно стекло) А 90 15 Б 80 20 В 140 Бесплатно
3. Двое решают, как им обойдётся дешевле доехать из Москвы в Санкт-

Петербург — на поезде или в автомобиле. Билет на поезд стоит 540 рублей

на одного человека. Автомобиль расходует 6 литров бензина на 100 км.

пути, расстояние по шоссе равно 700 км., а цена бензина равна 18 рублям за

литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на

двоих?


2.2.4. Составление базовых задачных ситуаций и их преобразование в

8 классе.



В 8 классе
уч-ся готовы к более кропотливой работе по составлению задачных ситуаций их преобразованию и разрешению.
Функция учителя
состоит в том, чтобы формировать умения наблюдать за окружающей действительностью, собирать и анализировать интересующую нас информацию; обучать школьников наиболее рациональным способам решения задач, систематизировать и наглядно представлять собранную к решению информацию. Сюжетные задачные ситуации реализуют одну из важнейших функций математики — обучение моделированию. Успех зависит от того, умеют ли
учащиеся работать с информацией представленной различными способами: словесным, образным, символьным. В процессе работы над задачной ситуацией у учащихся появляется необходимость переходить от одного способа кодирования информации к другому, т. е. Интерпретировать информацию. Рисуя задачу, учащиеся абстрагируют объект, что помогает им перейти к математической модели. Меняя количественные и каче ственные характеристики, школьники сами могут составлять задачи. Работу можно организовать
в группах
. Например, учитель делит класс на 3 группы и даёт задание найти материал для задачной ситуации по темам:
1-я группа
— ремонт в квартире;
2-я группа
— бюджет семьи;
3-я группа
— моё хобби Каждый уч-ся
1-й группы
должен узнать: во-первых, размеры своей комнаты (длину, ширину, высоту), размеры окна и двери; во-вторых, узнать цены на обои, клей, кисти, краску. Учащиеся
2-й группы
собирают информацию о доходах и расходах своей семьи, необходимые потребности и затраты каждого члена семьи. Для этого необходимо привлечь родителей, понаблюдать и проанализировать затраты семьи в течении определённого промежутка времени.
Третья группа
собирает информацию о том какие виды деятельности интересуют ребят, информацию о своём хобби. Темы можно брать и другие в зависимости от желания и фантазии детей, хорошо если тематика будет близка к жизни ребят, их интересам.
Работу каждой группы можно организовать по плану:

1.Сбор информации.

2.Составление задачных ситуаций в разной форме предъявления.

3.Формулирование вопросов к задачным ситуациям.

4.Разрешение задачных ситуаций, используя метод моделирования.

5.Преобразование

задачных

ситуаций,

при

изменении

количественных

и


качественных характеристик объектов.


Рассмотрим работу 1-й группы школьников.
Сбор информации:
1) Размеры комнаты: Длина(м) Ширина(м) Высота(м) 4,5 3 2,5 2) Размеры окна и двери: Длина(м) Ширина(м) Окно 1,5 1,2 Дверь 2 0,75 3) Цены на материалы для ремонта: Наименование товара Магазин «Настя», цена Магазин «Мила», цена Обои «Мечта» 70 руб. 75 руб. Обои «Розы» 86 руб. 80 руб. Обои «Волны» 105 руб. 102 руб. Кисть узкая 60 руб. 55 руб. Кисть широкая 70 руб. 75 руб. Краска половая «Поле» 220 руб. - 2 кг. 230 руб. Краска белая «Рубин» 250 руб. -2 кг. 240 руб. Клей «Момент» 40 руб. 48 руб. Клей «Универ» 50 руб. 40 руб.
Составление задачных ситуаций:
Первая задачная ситуация в представлена в образной форме предъявления
информации, то есть в виде рисунка. 2,5 м 3 м 4,5 м Вопросы составляют сами учащиеся.
Сформулируем вопросы:
Найдите площадь поверхности стен, которые нужно оклеить обоями? Какова площадь окна? Какова площадь двери? И др.
Решение:
Найдем сначала площадь всех стен не учитывая дверь и окно.
1)
(2,5·3)·2+(2,5·4,5)·2=14+22,5=36,5(кв.м)
2)
2·0,75=1,5(кв.м) — площадь двери
3)
1,2·1,5=1,8(кв.м) — площадь окна
4)
36, 5-(1,5+1,8)=33,2(кв.м)
Ответ:
Площадь стен, которые нужно оклеить обоями 33,2 кв.м. Для второй задачной ситуации возьмём таблицу 3.
Вопросы:
Сколько рулонов обоев и других материалов понадобится для ремонта комнаты? Сколько нужно потратить денежных средств, чтобы ремонт обошёлся как можно дешевле? Хватит ли на ремонт комнаты 1000 рублей?
Решение:
Рассчитаем количество рулонов обоев, если рулон имеет размеры 10м х 0,70м.
1)
0,70·10=7(кв.м) — в 1 рулоне

2)
33,2:7=4, 74... - приблизительное количество рулонов
Ответ:
Нужно купить 5 рулонов обоев. Для ремонта также понадобится клей для обоев; 2 кисти — для покраски окна , двери и полов; краска половая, краска белая. Выберем материалы с наименьшими затратами, тогда:
1)
55+70+220+240+40=625(руб)- стоимость материалов
2)
5·70=350(руб) — стоимость обоев
3)
625+350=975(руб)
Ответ
:На ремонт комнаты нужно 975 рублей. Выделенных средств хватит.
Работа по преобразованию задачных ситуаций:

1) Изменение количественных характеристик:
Измените размеры комнаты; добавьте ещё одно окно; используйте другие материалы и т. д. Например: 1) Изменим размеры комнаты: Длина(м) Ширина(м) Высота(м) 5 4 3 2) Изменим размеры окна и двери: Длина(м) Ширина(м) Окно 3 2 Дверь 2 1
Решение:
1) (5·3)·2+(4·3)·2=54(м 2 ) — площадь стен, не учитывая окна и двери 2) 2·1=1(м 2 ) — площадь двери 3) 2·3=6(м 2 ) — площадь окна 4) 54-(1+6)=47(м 2 ) — площадь стен, которые надо оклеить 5) 47:7= 6,71...т. е.
Ответ:
7 рулонов .
2)Изменение качественных характеристик:
Измените форму комнаты ( квадрат, трапеция, ромб, круг и др.); измените
цвет( ширину, длину) обоев; наклейте в комнату фотообои и т. п.
Например:

Изменим форму комнаты — полукруг радиуса 3м, и ответим на первый

вопрос первоначальной задачи, тогда решение будет таким:
1) L=2πR, (2·3,14·3):2=9,42(м) — длина половины окружности 2) 9,42·2,5+9·2,5=23,55+22,5=46,05(м 2 ) — площадь стен
3)
46,05-(1,5+1,8)=42,75(м 2 ) — площадь стен без окна и двери
4)
42,75:7=6,107... т. е. 7 рулонов обоев надо купить.
Ответ:
7 рулонов 9м Можно ставить другие вопросы. Например поставим вопрос к последней задаче:
Сколько потребуется половой краски для покраски полов в комнате,

если на 10м

2

уходит 2кг краски?

Решение:
1) Найдем площадь пола: S=πR 2 :2; 3,14·3 2 :2=14,13(м 2 ) 2) Найдём сколько краски приходится на 1м 2 : 2000: 10=200(г) 3) 200·14,13=2826=2кг 826г
Ответ:
потребуется 2кг 826г половой краски.
Рассмотрим работу 2-й группы.
Школьники собрали информацию о бюджете своей семьи:

1) Бюджет семьи Кристины
. Состав семьи: папа, мама, Кристина.
Доходы в месяц:
Зарплата папы – 6000руб Зарплата мамы – 10000руб Детское пособие – 246руб Доход от домашнего хозяйства – 130 руб.
Расходы семьи в месяц:
Питание – 5000руб Электричество – 300руб Дрова – в год 4 машины по 4500руб Обучение мамы в академии – 2 сессии в год по 15000руб Расходы на корма – 600руб в год
2) Бюджет семьи Антона
. Состав семьи: мама, бабушка, дедушка, Антон, сестра Алина.
Доходы в месяц:
Зарплата мамы – 9000руб. Пенсия бабушки – 4500руб Детское пособие –738руб Пособие по безработице деда – 1700руб Алименты – 2000руб Доход от домашнего хозяйства – 10000руб в год
Расходы семьи в месяц:
На продукты питания – 7000руб Электричество – 250руб Коммунальные услуги – 4000руб Питание детей в школе – 200руб Обучение Антона в спортивной школе – 500руб Обучение Алины в художественной школе – 450руб Кредит в банке – 2000руб
Расходы на хозяйство – 550руб
Составление задачных ситуаций, постановка вопросов, разрешение

задачных ситуаций, преобразование задачных ситуаций.
Например можно задать такие вопросы: - Подсчитайте доход и расход семьи в месяц, на сколько доход превышает расход или наоборот? - Сколько в процентах составляют доходы и расходы семей? - Представьте распределение расхода и дохода в виде диаграммы, графика, рисунка. - Подсчитайте, сколько денег приходится на каждого члена семьи в месяц?
Преобразование задачных ситуаций:
Учить детей менять количественные и качественные характеристики. Например,
как изменится семейный бюджет, если мама закончит учёбу;

или папа перейдёт на другую работу;

или дедушка пойдёт на пенсию и другие ситуации.

Рассмотрим работу 3-й группы.
Информация на тему «моё хобби».
Хобби Вани – рыбалка.
Название рыбы Цена за 1 кг (руб) Хариус 100 Окунь 50 Налим 150 Сорога 50 Елец 50 Лещ 100 Рыболовные снасти: Название Стоимость (руб) Леска 150 Удочка 200 Крючки 50 Сеть 300 Блесна 15 Мушка 25
Наживка 30 Вопрос: -
Сколько кг рыбы и какой надо поймать, чтобы окупить стоимость

снастей?
Задачная ситуация и вопрос:
- Окунь попадается на удочку в 60% поклёвки. Ваня просидел с удочкой 2

часа. За это время клевало 28 раз. Сколько денег выручит он за проданную

рыбу?
И другие ситуации и вопросы.
Хобби Ольги – бисероплетение.
Информация: Название Вес упаковки(г) Цена за 1упаковку Бисер круглый 30 50 Бисер рубленный 30 64 Стразы круглые 10 20 Стразы звёзды 10 20 Стразы бабочки 10 20 Иглы 20 52 Леска 30 78 Нитки 20 35 По данной таблице составьте задачные ситуации; поставьте вопросы к каждой задачной ситуации; решите получившиеся задачи.

2.2.5. Основные положения методики и приёмы преобразования задачной

ситуации в 7-8 кл.

Задачи:
 Учить ставить цели и планировать деятельность по их достижению.  Учить добывать нужную информацию, используя доступные источники (справочники, учебники, словари, СМИ), передавать ее.  Совершенствовать навыки работы в команде, учить высказывать и аргументировано отстаивать своё мнение.  Вносить посильный вклад в достижение общего результата.  Обучать брать на себя ответственность при руководстве мини-группой.  Прививать навыки самостоятельной творческой работы.  Учить грамотно использовать в речи математические термины.  Учить применять математические знания и умения в реальных ситуациях.  Прививать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.
Результативность:
 Дети используют знания, умения и навыки, полученные на уроках математики, в практической деятельности.  Формируются навыки, позволяющие продолжить обучение в техникуме, ПТУ или профильном классе.  Дети осваивают коммуникативный, аналитический, проектировочный, творческий типы деятельности.  Учащиеся овладевают математическими знаниями, умениями и навыками разного уровня сложности: от минимальных, соответствующих обязательным результатам обучения, до повышенных, позволяющих
продолжить обучение в математическом, физическом классах, а также в классах с углубленным изучением информатики  У учащихся формируется представление о математике как о предмете, где каждому есть возможность выразиться.  Приобретается навык работы со справочной литературой, проводятся необходимые измерения, подбираются доступные приборы, анализируются полученные результаты. У учащихся формируется представление о математике как о предмете, где каждому есть возможность выразиться.  Учащиеся адекватно оценивают деятельность одноклассников.  Изменяется поведение детей в коллективе: они начинают прислушиваться к мнению других, без боязни высказывают свое собственное мнение.
Приемы работы с задачной ситуацией в 7 классе.
1) Прочитайте задачную ситуацию. 2) Определите о каком процессе идёт речь в задачной ситуации. 3) Выделите объекты реальной действительности (подчеркните красным карандашом). 4) Выделите количественные характеристики объектов (подчеркните синим карандашом); выделите качественные характеристики объектов ( подчеркните зелёным карандашом). 5) Поставьте вопрос к задачной ситуации не меняя объекты и их характеристики. 6) Измените либо объекты, либо их характеристики, либо процесс и поставьте вопросы к задачным ситуациям. 7) Решите получившиеся задачи.
Приемы работы с задачной ситуацией в 8 классе.

1. Приём, направленный на формирование планировать свою учебную де-

ятельность по сбору информации, необходимой для составления задачных

ситуаций.
1) Определите тему в которой вы будете работать. 2) Определите цель своей деятельности. 3) Укажите какой процесс вам необходимо описать.
4) Подберите объекты, участвующие в этом процессе. 5) Определите качественные и количественные характеристики необходимые вам для данного процесса. 6) Составьте таблицу либо типа «объект – объект», либо «объект – свойство». 7) Используя данные таблицы, составь задачную ситуацию. 8) Поставь разные вопросы к сформулированной тобой задаче.
2. Приём работы в группе.
1) РАБОТА В ГРУППАХ В ТЕХНИКЕ «ЗИГЗАГ»:
Работа в группах первого состава:
Участники составляют 4 группы по 4 человека в каждой. Каждая группа полу- чает свою информацию для изучения.
Работа в группах второго состава:
Формируются новые 4 группы по 4 человека, в состав которых входят по одно- му участнику из каждой группы первого состава. Во вновь образованных груп- пах каждый участник рассказывает свой объем материала, в результате чего все участники семинара владеют необходимой учебной информацией. Причем каж- дый участник выступает как в роли активного транслятора знания, так и в роли пассивного участника. 2) ГРУППОВАЯ ФОРМА РАБОТЫ
Каковы признаки групповой работы?
Не любое совместное выполнение на уроке задание группой учащихся класса можно назвать групповой формой организации работы. Это происходит, если выполняются следующие условия: - на данном уроке класс делится на группы для решения конкретных учебных задач, в идеале – учащиеся сами распределяются по группам в зависимости от своих симпатий и поставленной перед ними задачи; - состав группы не может быть неизменным, он должен быть таким, чтобы с максимальной эффективностью для коллектива могли реализоваться учебные возможности каждого члена группы; - каждая группа получает задание или выбирает его самостоятельно из числа
заданий, предложенных учителем, и выполняет его сообща под руководством коллективно выбранного лидера группы; - учитывается и оценивается вклад в выполнение задания каждого члена груп- пы.
Каковы «плюсы» групповой работы?
Безусловно, такая форма активизации потенциала класса имеет ряд достоинств. Во-первых, повышается учебная и познавательная мотивация учеников. Во-вто- рых снижается уровень тревожности, страха оказаться неуспешным, некомпе- тентным в решении каких-то задач. В-третьих, в группе выше обучаемость, эф- фективность усвоения и актуализации знаний. При совместном выполнении за- дания происходит взаимообучение, поскольку каждый ученик вносит свою леп- ту в общую работу. Именно групповая работа способствует улучшению психо- логического климата в классе, развитию толерантности, умению вести диалог и аргументировать свою точку зрения.
Каковы минусы и трудности организации групповой работы на уроке?
Часто учащиеся объединяются в группы по принципу «сильный-слабый». При таком объединении не выигрывает ни тот ни другой: слабый большей частью получает знания, которыми делится с ним сильный. Нередко более слабый уче- ник просто не решается высказать своё мнение, полагаясь на то, что более успешный в учёбе одноклассник лучше знает, как решить стоящую перед ними задачу. Поэтому объединение партнёров с разным интеллектуальным уровнем целесообразно только в редких случаях и требует определённой организации – надо так организовать совместную деятельность таких партнёров, чтобы она вынуждала работать всех. Например, это произойдёт, если результат оценива- ется по тому, насколько активны были все ученики. Либо задание для группы даётся таким образом, что каждый получает свой «участок работы» и достичь результата можно только при условии, что каждый выполнит свой фрагмент об- щего задания. Ещё один способ максимально активизировать всех учеников в группе: вначале предложить решить задачу самостоятельно, затем обсудить в группе каждое индивидуальное решение (не вынося критических оценок) и в
конце выработать одно решение от группы.
Как распределить учащихся по группам?
Величина групп может варьироваться от 3 до 6 человек. Состав группы должен зависеть от содержания и характера предстоящей работы. При этом не менее половины должны составлять ученики, способные успешно заниматься само- стоятельной работой. Группы формируются в зависимости от уровня обученно- сти, внеурочной информированности по данному предмету, совместимости уча- щихся, - это позволит им взаимно дополнять и компенсировать достоинства и недостатки друг друга. Не следует объединять в одну группу негативно на- строенных друг к другу учащихся. Как организовать работу группы? Организовать группы и раздать им задания недостаточно для того, чтобы была организована групповая работа. Если у учащихся нет опыта групповой работы, учитель должен чётко сформули- ровать задания для каждой группы, план и этапы работы. Со временем они должны научиться делать это самостоятельно. Если кроме этого учитель ещё оговаривает задания для каждого члена группы, тогда от результатов выполне- ния каждого будет зависеть успех всей группы. Для каждой группы можно подобрать задания разного уровня сложности или предложить одну задачу для всех групп. Чтобы создать ситуацию успеха и повысить мотивацию, начинать групповую работу лучше с опорой на те умения и знания, которые есть у уча- щихся. Важно обозначить правила работы в группе и определить систему оценок: будет ли оцениваться вклад каждого ученика либо результат работы группы в целом; по каким показателям будет производиться оценка и т.д. например, Например, учитель (или наблюдатели от класса) могут отслеживать и оценивать то, как участники слушают друг друга, помогают друг другу, вместе решают возникшую проблему. Можно включить некоторый элемент соревнования меж- ду группами. Также необходимо оговорить, что процесс выполнения задания в группе должен осуществляться на основе обмена мнениями, оценками.

2.3. Методика работы с задачной ситуацией в 9 классе.


В 9 классе помимо работы по преобразованию более сложных сюжетных задач и задачных ситуаций, нужно показать учащимся
контекстные
задачи и приёмы работы с ними.[ Репкин В.В. Учитель в системе развивающего обучения. // Раз- вивающее обучение: проблемы становления учителя. Сборник научно-методических матери- алов. Томск: "Пеленг", 2003. С.8. ] Что может и должна представлять собою контекстная задача, чтобы выполнить свое основное назначение? Как бесконечно разнообразны и неповторимы жизненные ситуации, так же бесконечно разнообразными могут быть контекстные задачи. Однако для того, чтобы контекстная задача была принята учениками и обеспечила их включение в деятельность, она должна отвечать следующим
требованиям:

1.

Контекстная

задача

должна

опираться

на

реально

имеющийся

у

учащихся жизненный опыт
, представления, знания (в том числе житейские, донаучные), взгляды, мнения, предпочтения и т.д. Опора на личностный опыт важна, по меньшей мере, по двум причинам. Во-первых, это вызывает положительную эмоциональную реакцию: человека всегда подкупает, когда кто- то интересуется его точкой зрения, знаниями, интересами, вкусами и т.д. Во- вторых, актуализация личностного опыта необходима для того, чтобы в процессе приобретения нового знания ученик мог осуществить ревизию своего прежнего опыта и в случае необходимости - его реконструкцию (Дж. Дьюи). Это позволит преодолеть формализм знаний, который проистекает, по Л.С. Выготскому, из несовпадения, разрыва между устойчивыми житейскими
представлениями и новыми научными понятиями.
2. Контекстная задача отличается принципиальной неопределенностью и

открытостью.
Она не имеет эталона «правильности», напротив, предполагает множество (нередко - бесконечное множество) вариантов ответов и решений. Выполняя такое задание, невозможно ошибиться, дать неверный ответ. Это устраняет возможность появления внутреннего препятствия: страха перед неудачей, боязни сделать ошибку - и делает задание нетрудным для учащихся, хотя уровень сложности его может быть разным.
3.

Контекстная

задача

нестандартна,

оригинальна,

иногда

даже

парадоксальна по содержанию.
Эта ее особенность обеспечивает мощный эффект новизны, вызывает интерес, интригует.
4. Контекстная задача - это задача-«ловушка», в ней в неявном, свернутом

виде заключена проблема, которая соответствует основной идее учебного

занятия,

его

сверхзадаче.
Включаясь в процесс ее решения, ученики неизбежно выйдут на учебную проблему, которая, вырастая из контекста предыдущей деятельности, становится личностно значимой. Ее решение становится смыслообразующим мотивом дальнейшей, собственно учебной, деятельности. В силу указанной специфики контекстная задача становится эффектив- ным мотиватором учебно-познавательной деятельности учащихся. Организация встречи с проблемой благодаря использованию контекстной задачи позволяет реализовать принцип субъектности участников образовательного процесса. Осознание возникшей проблемы побуждает учащихся к самостоятельной поста- новке целей и задач учебно-познавательной деятельности, планированию ее этапов и последовательной реализации намеченного плана. Точно так же ученик сохраняет субъектную позицию и на этапе контроля и оценки результатов дея- тельности, ибо, зная цели своей деятельности и имея представление об ожидае- мом, желательном ее результате, он способен сам оценить качество и процесса
деятельности, и ее продукта. ( интернет: [1] Репкин В.В. Учитель в системе раз- вивающего обучения. // Развивающее обучение: проблемы становления учителя. Сборник научно-методических материалов. Томск: "Пеленг", 2003. С.8. )
Задача №1. (м
атематика в школе №6,2008г. )
Некоторые виды бактерий вредны для человека. Обычно, если на 1г

пищи приходится более 10 млн бактерий, то возникает риск отравиться. В

10ч утра 1г пищи содержал 10000 бактерий. Каждые 30 мин каждая бакте-

рия делится на 2 бактерии. Через какое наименьшее количество часов эта

пища станет опасной для человека?
Эта задача близка к контекстным задачам: имеется некоторый избыточ- ный материал, однако надо чтобы задача содержала большее количество излиш- ней информации.
Основные умения, которыми должны овладеть учащиеся в результате реа-

лизации методики


5-6 классы
1 Уметь представлять задачу в разной форме 2. Уметь выделять объекты и их характеристики 3. Выполнять несложное преобразование задач 4. Решать новые получившиеся задачи (классификация по форме предъявления.
7-8 классы
1.Уметь собирать и выделять нужную информацию из окружающей действительности и дру- гих источников 2. Систематизировать и наглядно представлять собранную информацию 3. Выделять задачные ситуации и разрешать их (классификация по фор- ме и по сюжету)
9 класс
1.Уметь преобразовывать более сложные задачные ситуации 2 Уметь переносить способы действий в нестандартную ситуацию 3. Применять умения в творческих заданиях (контекстные задачи, проекты) (классификация по мето- ду разрешения и по уровню проблемности)


Эксперимент.
Эксперимент осуществлялся в МОУ Новотрёминская СОШ, Тайшетского района в 8 классе. В опытной проверке участвовало 10 учащихся, которые посещали занятия по собственному желанию. Цель эксперимента состояла в подтверждении выдвинутой гипотезы, что если вести работу по обучению учащихся преобразованию задачных ситуаций и разрешению их методом математического моделирование, то это повысит уровень умения преобразовывать задачную ситуацию. Экспериментальное исследование осуществлялось в три этапа: констатирующий, обучающий и контрольный. Констатирующий этап осуществлялся в 2 этапа. На первом этапе проводилась проверочная работа №1, на втором – анкетирование №1. Н а обучающем этапе происходило обучение преобразованию задачной ситуации по разработанной методике. Н а контрольном этапе осуществлялась качественная и количественная оценка результатов обучения, в связи с чем была проведена проверочная работа №2.
1. Констатирующий этап.

Целью
данного этапа являлось определение уровня подготовки учащихся по данной теме. Для реализации данного этапа учащимся была предложена проверочная работа №1, состоящая из задачи В1, взятой из сборника ЕГЭ и заданий к ней. Задания даны на выявление умения представлять задачу в другой форме предъявления; выделять объекты задачи, их качественные и количественные характеристики; изменять количественные и качественные характеристики объектов задачи; изменять вопрос задачи; решать получившиеся задачи.

Содержание проверочной работы №1.

1.

Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды.

Каждая

спасательная

шлюпка

может

вместить

70

человек.

Какое

наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае

необходимости

в них можно было разместить всех пассажиров и всех

членов команды?
Задания к задаче:
1)
Представьте задачу в другой удобной для вас форме предъявления;
2)
выделите объекты задачи;
3)
выделите количественные характеристики объектов задачи;
4)
выделите их качественные характеристики;
5)
измените количественные характеристики объектов задачи;
6)
измените качественные характеристики задачи;
7)
измените вопрос задачи;
8)
решите первоначальную задачу;
9)
решите изменённую задачу. Кроме того, после проверочной работы учащимся была предложена анкета №1. Форма ответов на вопросы анкеты свободная.
Анкета №1.

1.
Вызывает ли у вас трудность задача с большим текстом информации?
2.
Интересны ли вам задачи возникающие в повседневной жизни?
3.
Хотели бы вы научиться преобразовывать задачу из одной формы в другую с целью её решения?
4.
Хотели бы вы узнать больше о преобразовании задачи?
5.
Хотели бы вы научиться преобразовывать задачу, используя метод математического моделирования?
6.
Считаете ли вы нужным научиться преобразовывать задачу?

Результаты проверочной работы №1.
В написании проверочной работы участвовало 10 школьников 8 класса. Учащимся предлагалось решить задачу и выполнить к ней задания. Учитывалось количество учащихся, которые справились с данным заданием. Результаты работы получились следующие ( см таблицу №1).
Таблица №1.

№ задания

Количество уч-ся, выполнивших

задание
1 Представьте задачу в другой удобной для вас форме предъявления 4 2 Выделите объекты задачи 5 3 Выделите количественные характеристики объектов задачи 4 4 Выделите их качественные характеристики 1 5 Измените количественные характеристики объектов задачи 5 6 Измените качественные характеристики задачи 1 7 Измените вопрос задачи 6 8 Решили первоначальную задачу 9 9 Решили изменённую задачу 4
Данные представленной таблицы мы отразили в диаграмме №1:
Где вертикальная ось — количество учащихся, выполнивших задание. Горизонтальная ось — номера заданий. №1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1)решите получившиеся задачи.
Из показаний данной диаграммы видно, что из учеников, писавших работу, половина учеников не справились с заданиями №2 и №5, и меньше половины с заданиями №1,№3,№4, №6,№9. Наибольшую трудность вызвали задания №4 и №6. Задания № 7 и №8 выполнили большинство учащихся.
Анализ анкетирования №1 представлен на диаграмме №2:
На вертикальной оси — количество учеников , ответивших положительно.
Вывод:
по результатам проверочной работы №1 было выявлено, что учащиеся затрудняются при выполнении заданий на преобразование задач. Решение и преобразование предложенной задачи осуществляется ими на интуитивном уровне, поэтому лишь некоторые учащиеся справились с предложенными заданиями. Анализ анкет показал, что учащиеся интересуются задачами, возникающими в повседневной жизни, хотят научиться преобразовывать задачу и разрешать её методом моделирования. Таким образом, по результатам анкеты №1, мы сделали вывод о сформированности мотивации учащихся к обучению Вопросы анкеты 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
преобразованию задачных ситуаций.
2. Обучающий этап.

Цель

этапа
: Обучить учащихся приёмам преобразования задач и задачных ситуаций, по разработанной методике. Обучающий этап осуществлялся на занятиях в соответствии с разработанной методикой обучения учащихся пребразованию задачных ситуаций, которая описана в главе второй.
3. Контрольный этап.

Целью
контрольного этапа являлась проверка эффективности разработанной методики обучения преобразованию задачной ситуации, которая описана во второй главе. Для реализации данного этапа нами была проведена проверочная работа №2. Содержание проверочной работы №2. Учащимся предлагается выполнить задания по преобразованию задачных ситуаций №1 и №2.
Задачная ситуация №1
( на основе задачи ЕГЭ -В5, без вопроса).
Для

изготовления

книжных

полок

требуется

заказать

60

одинаковых

стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла равна 0,15 кв. м.
В таблице приведены цены на стекло и на резку стёкол. Фирма Стоимость стекла (руб. за 1 кв. м.) Резка стекла (руб. за одно стекло) А 90 15 Б 80 20 В 140 Бесплатно Задания :  Поставьте вопрос к задачной ситуации;  выделите объекты получившейся задачи;  выделите количественные характеристики объектов задачи;  выделите их качественные характеристики;  измените качественные характеристики объектов задачи;  решите первоначальную задачу;
 решите изменённую задачу.
Задачная ситуация №2

Двое решают, как им обойдётся дешевле доехать из Москвы в Санкт-

Петербург — на поезде или в автомобиле. Билет на поезд стоит 540 рублей

на одного человека. Автомобиль расходует 6 литров бензина на 100 км.

пути, расстояние по шоссе равно 700 км., а цена бензина равна 18 рублям за

литр.
Задание: Поставьте 2 вопроса к данной задачной ситуации. Представьте задачу в другой удобной для вас форме предъявления. Решите получившиеся задачи. Результаты проверочной работы №2 отражены в таблице: ФИО ученика Постано вка вопроса Выделен ие объектов Колич-ые хар-ки Кач-ые хар-ки Изменение кач-х харак-к Решена первонач-я задача Решена изменённая задача 1 В.Надя + + + + + + + 2. О.Аня + + + - - + - 3. Т.Женя + - - - - + - 4.Т. Лёня + + + + + + + 5. Р. Влад + + + + + + - 6. М.Яна + + + + + + + 7.Б. Коля + + + + + - + 8.К. Оля + + + - - + + 9.П.Юля + + + + + + + 10.А.Юра - + + - - + - Знак «+» - ученик справился с заданием; Знак « -» - ученик не справился с заданием. Для того, чтобы оценить качество усвоения знаний, полученных в результате обучения умению преобразования задачной ситуации нами были выделены умения, необходимые для написания контрольной работы. Обработка результатов осуществлялась в соответствии с технологией
предложенной В.П. Беспалько.
К

усв

=

Р

/N

, где К – коэффициент качества усвоения,
Р – число правильно выполненных заданий, N – общее число заданий, которое необходимо выполнить. Нами был подсчитан коэффициент качества по каждому ученику.Результаты отражены в таблице:
Фамилия Имя

ученика

Коэффициент качества

усвоения

Уровни усвоения
1 В.Надя 1 Высокий , К > 0,75 2. О.Аня 0,57 Низкий, К < 0,75 3. Т.Женя 0,29 Низкий, К < 0,75 4.Т. Лёня 1 Высокий, К > 0,75 5. Р. Влад 0,86 Высокий, К > 0,75 6. М.Яна 1 Высокий, К > 0,75 7.Б. Коля 0,86 Высокий, К > 0,75 8.К. Оля 0,71 Высокий, К > 0,75 9.П.Юля 1 Высокий, К > 0,75 10.А.Юра 0,43 Низкий, К < 0,75 Средний уровень: 0,75 < К < 0,85 Далее нами был подсчитан средний коэффициент качества усвоения по следу- ющей формуле: К=(0,75*3+0,85*3+1*4)/10=(2,25+2,55+4)/10=0, 88
0,88

>

0,85 — соответствует высокому уровню усвоения материала.

Вывод:
На основании количественного выражения среднего коэффициен- та качества усвоения метода преобразования задачной ситуации, большинством учащихся группы, равного 0,88 и соответствующего высо- кому уровню, мы сделали вывод, что разработанная методика позволяет обучить учащихся умению преобразовывать задачную ситуацию. Таким образом, проведённая обработка экспериментальных данных, доказывает выдвинутую гипотезу.

Выводы по главе 2:
Во второй главе мы рассмотрели методику преобразования задачной ситуации в 5-9 классах. Описали, какую работу надо вести на подготовительном этапе в 5-6 классах, как учить школьников преобразованию задач на материалах ЕГЭ, как преобразовывать задачу методом моделирования. Также рассмотрели методику ознакомления с задачной ситуацией в 7 классе и методику составления базовых задачных ситуаций в 8 классе, где большую роль играл метод групповой работы школьников. Конкретно методику работы в 9 классе мы не рассматривали, но дали общие положения методики и выводы работы на этом этапе в данной
возрастной группе. Была описана апробация и сделан вывод о эффективности применения данной методики в 5-9 классах. Описаны также основные положения и приёмы методики преобразования задачной ситуации в каждой возрастной группе. Следует сделать вывод, что в процессе работы над задачными ситуациями учащиеся упражняются в самостоятельном составлении и решении задач. А это способствует не только лучшему осознанию особенностей структуры и хода решения задач различных видов, но и развитию творческой самостоятельности детей, расширению их кругозора, усилению связи обучения с жизнью. Отдельный пункт был посвящён разрешению задачных ситуаций методом математического моделирования. Были рассмотрены задачные ситуации, сюжет которых взят из повседневной жизни. Почти все задачи затрагивают разные стороны нашей жизни, что очень актуально. В силу большой практической значимости данные задачные ситуации вызывают интерес и повышают уровень умения школьников разрешать задачные ситуации и решать сюжетные задачи. Рассмотренные ранее знако-символические средства позволяют создать модель структуры задачи, включающую объекты, величины, числовые значения (данные и искомые), соответствующие им, а также фиксировать или выводить действия, необходимые для ответа на вопрос задачи. При разрешении данных задачных ситуаций используются графические модели, табличные, знаково- символические, графы. Интерпретация с помощью модели словесно заданного текста, позволяет перевести сюжетный текст на математический язык и увидеть структуру математических отношений, скрытую в тексте. Таким образом, в силу большой практической значимости, данные задачные ситуации вызывают интерес и повышают уровень умения школьников разрешать задачные ситуации и решать сюжетные задачи.

Заключение
Метод моделирования заслуживает особенного внимания, поскольку он играет всё большую роль во многих областях современной науки и техники. Моделирование в сочетании с современной вычислительной техникой даёт в руки учёных качественно новые методы исследования и управления процессами как естественными, так и порождёнными деятельностью человека. Его широкое использование по существу необходимо для успешного развития наук. Оно приводит к необходимости подготовки специалистов нового типа, владеющих не только своей специальностью, но и методами моделирования, умеющих их творчески использовать. Умение разрешать задачные ситуации методом моделирования является важным фактором при качественной подготовке школьников к реальной жизни. Учащиеся приобретают навыки, которые пригодятся им в течение всей жизни, в каких бы отраслях народного хозяйства они не работали: самостоятельность суждений, умение концентрироваться, постоянно обогащать собственный запас знаний, обладать многосторонним взглядом на возникающие проблемы, просто уметь целенаправленно и вдумчиво работать.
Библиографический список
1 . Философская энциклопедия под редакцией Ф. В. Константинова (М.: «Советская энциклопедия». Т.3., 1964 с.481)
]
2. Математическая энциклопедия //под ред. И. М. Виноградова.- М.: «Советская энциклопедия», 1982.- Т. 3. с. 574 статья А. Н. Тихонова] 3. Г. И. Рузавин Математизация научного знания.- М.: Мысль, 1984. 4. К. Е. Морозов. Математическое моделирование в научном познании.- М.: Мысль, 1969. 5. Н. Г. Салмина. Знак и символ в обучении. М.: Издательство Московского
университета, 1988. 6. В. А. Штофф, Гносеологические проблемы моделирования: автореферат на соискание учёной степени доктора философских наук. - Ленинград, 1964, 7. Фридман 8. Г. В. Дорофеев, Е. А. Седова « Процентные вычисления»( М.: «Дрофа», 2003 9. В.Н.Студенецкая, Л.С.Сагателова.- « Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов» (Волгоград,2007 г.) 10. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике.(Просвещение, 1995 г) 11. Учебно- методическая газета «Математика»-№ 18,19,20, 2006 г. 12. В. Г. Болтянский, Ю. В Сидоров. Лекции и задачи по элементарной математике.- М.: Наука,1971г. 13 А.Г.Цыпкин, А.И.Пинский. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы, М: Наука, 1989 г. 14. Л.Д.Кудрявцев. Современная математика и её преподавание.- М: Наука, 1985 15. А.Б.Горстко , Познакомьтесь с матеатическим моделированием.-М: Знание,1991 г. 16. В.В. Давыдов, Теория развивающего обучения, М: 1996 г. 17. Верньё Ж. Ребёнок, математика, реальность. М: Институт психологии РАН, 1998 г. 18. И Володарская, Н. Салмина- Моделирование и его роль в решении задач. Статья, «Математика» №18, 2006 г. 2 глава с44.[ мат в шк №6,2008 г, статья «Проверка компетентности выпускников …»Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская, стр19-23] −с45[24, с.40] (24,Результаты российских учащихся в международном исследовании ПИЗА – 2000 [Текст] / под общ. ред. Г. С. Ковалевой – М. : Центр ОКО ИОСО РАО. НФПК, 2004.) с 5 0 ( «Математика. Моделирование в решении задач. 9-11 классы » «Учитель»2009 г., М.А.Куканов)
с 5 6 [Математика в школе №5, 2008 г., статья И.И.Целищева, С.А.Зайцева «Моделирование при обучении решению текстовых задач»] с 60 ( Н. Иванова, «Рисуя, решать задачи» , статья, «Математика» №41,2004г.)

Приложения.

2.3 . 1 . Задачные

ситуации,

разрешаемые

с

помощью

задач

на

проценты


Вокруг нас в жизни можно обнаружить множество ситуаций, из которых можно составить задачные ситуации и задачи. Нужно учить детей создавать задачную ситуацию посредством самостоятельного наблюдения окружающей действительности, поиска информации. Важно не только уметь увидеть задачную ситуацию, но и научиться составить по ней задачу, правильно подобрать условие и требование. Проблема научить учащихся разрешать задачные ситуации, используя метод математического моделирования. Остановимся на задачных ситуациях, решаемых с помощью задач на проценты. Понимание процентов и умение производить процентные расчёты в настоящее время необходимо каждому человеку. Однако практика показывает, что очень и очень многие окончившие школу не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процентов, как доли от некоторой заданной величины.
Задачная ситуация №1.
Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 13%. Добавим вопрос: Какую сумму может получить через год человек, вложивший в этот банк 320 тыс. рублей? Разрешение задачной ситуации: Через год банк должен начислить на счёт вкладчика 13% от суммы 320 тыс. рублей т.е. 0,13* 320=41,6 тыс. руб., так что на счёте будет находиться 320+ 41,6= 361,6 тыс. руб. Эту задачу можно решить и по другому. Положив в банк некоторую сумму,
вкладчик получает 13% от неё, а поскольку сама сумма составляет 100 %, то через год на счёте оказывается 113% от этой суммы. Поэтому при внесении вкладчиком 320 тыс. руб. в конце года на его счёте окажется 1,13*320=361,6 тыс. руб. Составим математическую модель в виде формулы. Если в банк, дающий р % в год, вложена сумма S рублей, то мы получим, что проценты составят(р/100)*S руб., а всего на счёте вкладчика будет S+ (р*S)/100, или (1+р/S)*S рублей.
Задачная ситуация № 2.
Объявление в газете: Офисная мебель более 40 модификаций. Стулья От 30 у.е. Столы От 78 у.е. Шкафы От 135 у.е. Стеллажи От 150 у.е. Для оптовых покупателей скидка 10%. Вопрос: Вычислите минимальную сумму, в которую оптовику обойдётся комплект мебели из 6 стульев, 6 столов, 1 шкафа и 3 стеллажей? Комплекты мебели могут быть различными. Остаётся решить данную задачу.
Задачная ситуация № 3.
В городе Иркутске ежегодный налог за участки земли под индивидуальными гаражами в пределах нормы (0,0015 га) установлен в размере 3 % от ставки земельного налога. Налог на часть площади сверх нормы, устанавливается в размере 15% от ставки земельного налога, а налог на часть площади свыше двойной нормы – по полной ставке земельного налога. Ставка ежегодного земельного налога составляет 328 руб/га. После того как учащиеся нашли данную информацию, т.е. задачную ситуацию, нужно так поставить вопрос, чтобы получилась задача. На помощь и тут приходит метод математического моделирования. Моделью будет служить чертёж или схема гаража. Изобразим чертежи нескольких гаражей:
Вопрос: Какова будет величина ежегодного налога за изображённые участки земли под индивидуальными гаражами? Решение: № S гаража Норма на (0,0015га) Итог 1 20*25=500 м =0,05 га *328 руб. = 16,4 руб. 2 (120+100)*0,5*60= 6600м =0,66га *328 руб. = 216,48 руб. 3 0,5*300*400=60000м =6га *328 руб. = 1968 руб. 4 10000*3,14=31400м =3,14га *328 руб. = 1029,92 руб.
Задачная ситуация №4.
В магазине «Золушка» цены сначала были повышены на 10%, а потом снижены на 15%.А в магазине «Алёнушка» цены сначала были снижены на 15%, а потом повышены на 10%. Добавим вопрос или требование: Сравните цены в этих магазинах после указанных изменений, если до этого они были одинаковыми.
Решение:
«Золушка»: 1) 100+100*0,1=110% 2) 110-110*0,15=93,5%
«Алёнушка»: 1) 100-100*0,15=85% 2) 85+85*0,1=93,5%
Ответ:
Цены в магазинах после изменений остались одинаковыми.
Задачная ситуация №5:
Банк выплачивает вкладчикам 25% годовых. Вопрос: Какую сумму следует положить в банк, чтобы по истечении года получить 1 млн. рублей?
Решение:
По условию годовой доход на вклад составит 25%, так что через год на счёте вкладчика станет 125% от внесённой суммы. Другими словами она увеличится в 1,25 раза. Поэтому в банк следует внести 1000000:1,25=800000 (руб.) Можно рассуждать и другим образом. S(р.)- внесённая сумма S – 100% 1000000(р.) – 125% S=(1000000*100)/125=800000(р.)
Задачная ситуация №6:
Данные из отчёта по успеваемости на начало учебного года: В 10-х классах учится 100 человек. Успеваемость составляет 85%.
Вопрос:
Сколько процентов составит успеваемость в случае, если: а) придут ещё 10 двоечников; б) придут ещё 10 отличников.
Решение:
а) 85/110=0,77=77% -успеваемость, если придут двоечники; б)95/110=0,86=86% -успеваемость, если придут отличники.
Задачная ситуация №7

З
анятия ребёнка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося
ежемесячно 250 руб. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Вопрос: Сколько придётся заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю? Решение: Так как 4% от 250 р. составляют 10 р.,то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на день, тоим придётся заплатить 250+10=260 (р.), на неделю 250+10*7=320 (р.) Ответ: 320 р.

2.3.2. Уроки для уч-ся 9 класса на тему : «Социальная арифметика»
Каждому человеку приходится бывать в финансовых учреждениях, и нередко можно наблюдать, что большая часть посетителей банков не в состоянии самостоятельно заполнить даже самые простые бланки, не разбирается в элементарных вопросах экономики. Поскольку экономическая культура имеет большое значение для человека в повседневной жизни, формировать её необходимо уже в школьном возрасте. Дан большой объём информации, в том числе лишней. По этому материалу можно вести работу по составлению различных задачных ситуаций, их преобразованию и разрешению с помощью задач на проценты. Вырабатывается умение выделять нужную информацию. Страхование и его виды. Математические понятия Используемые экономические понятия Номера задач Сложные проценты Процентное отношение Стоимость страховой премии 1-3
Основные экономические понятия.
Свои дома, владения, машины, жизнь и отдых можно защитить с помощью страхования. Суть страхования заключается в том, что пострадавшему частично оплачиваются понесённые убытки. Оплата за страхование называется премией, и обычно она производится ежегодно.  Страхование жилья. Большинство людей страхуют свои дома на случай разрушения во время пожара, наводнения или грабежа. Страховые компании делят всю страну на районы с меньшей или большей степенью риска, основываясь на вероятность наступления страхового случая. В таблице приведённой ниже, указаны премии, выплачиваемые страховыми компаниями в четырёх районах страны N. Район Здания (за 1000 ф.) Имущество (за 1000 ф.) А 2,1 6,4 В 2,25 6,8 С 2,3 7,4 D 2,6 8,7
 Страхование автомобиля. Закон требует от автовладельца страхования от повреждений, наносимых автомобилям других людей или их имуществу, а также от травм. Существует три вида автострахования: 1. Третья группа покрывает убытки или повреждения , наносимые автомобилям других людей или их имуществу, принесённые вашим автомобилем. Это минимальная страховка, которую требует закон, она также самая дешёвая. 2. Вторая группа: огонь и кража. Эта страховка также покрывает повреждения, нанесенные вашему автомобилю в аварии, независимо от того, виновны вы или нет. Эта страховка самая дорогая. 3. Стоимость автострахования зависит: – от возраста автомобиля и навыков вождения водителя; - от вида выбранного страхования; - модели автомобиля; - района проживания водителя (город или сельская местность); - используется ли автомобиль для бизнеса; - период времени, в течение которого с водителем ничего не происходило (часто упоминается как бонус «без происшествий»). 3. Страхование жизни. Большинство людей страхуют жизнь для того, чтобы оказать финансовую помощь своим иждивенцам. Стоимость страхования жизни зависит: - от суммы на которую человек страхует свою жизнь; - возраста человека; - пола человека; - курит человек или нет. В таблице, приведённой ниже, указаны месячные премии за страхование жизни людей различного возраста на сумму 1000 ф. в стране N. Возраст (лет) 20 25 30 35 40 45 50
Ежемесячная премия (за 1000 ф.) 1,4 1,5 1,84 2,1 2,3 2,5 2,75 Это означает, что человек в возрасте 40 лет, который хочет получить страховку в размере 60 000 ф., должен платить 2,3·60, то есть138 ф. в месяц. Человек в возрасте 20 лет, который хочет получить страховку в размере 30 000 ф., должен ежемесячно выплачивать агентству премию в размере 1,4·30, то есть 42ф.
Примеры разрешения задачных ситуаций:

Пример 1.
Используя таблицу, приведённую выше, вычислите премию за страхование здания на сумму 95000 ф. и его содержимого на сумму15000 ф., если дом расположен в районе С.
Решение:
1) 2,3·95000=218500ф. – премия за здание. 2) 7,4·15000=111000ф. – премия за имущество. 3) 218500+11000=329500ф. – общая сумма за страхование дома.
Пример

2.
Страховая компания «АВС» оценивает всеобъемлющее страхование автомобиля «Toyota Corolla» в 640ф. Если водитель моложе 25 лет, они прибавляют по 10% за каждый год до 25 лет.
а)
Денису 20 лет. Посчитайте страховую премию на его автомобиль.
б)
Марине 25 лет и у неё есть бонус «без происшествий», равный 35%. Посчитайте страховую премию за всеобъемлющую страховку.
Решение:
а) Денису на 5 лет меньше 25, поэтому он должен заплатить 5·10%, то есть 50% от основной премии: 50% от640ф. составляют 320ф., тогда страховая премия будет равна 320+ 640=960ф. б) У Марины есть бонус, равный 35% от 640ф.: 640·0,35=224ф. Страховая премия будет равна 640-224=416ф.
Задачи, связанные с повседневной жизнью:

1.Смирновы застраховали свой дом на 76000ф. и его содержимое – на 150000ф. Тариф на здание равен 2,45ф. за каждые 1000ф. Тариф на содержимое равен 72ф. за каждые 100ф. Подсчитайте их общую премию. 2.Васильев владеет заводом в промышленной зоне. Стоимость здания равна 28600ф., а его содержимого – 37000ф. вычислите стоимость страховой премии, которую он получит, если тариф равен3,4ф.на здания и 11,3ф. за каждые 1000ф. на содержимое. 3.Используя таблицу, вычислите премию за страхование здания на сумму 95000ф. и его содержимого на сумму 15000ф., если дом расположен в район

Рег. №___________
Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Восточно-Сибирская Государственная Академия Образования»

Факультет математики, физики и информатики

Кафедра математики и методики обучения математике

Специальность:
032100 - «математика»
Квалификация:
учитель математики
Форма обучения:
заочная
Куркина Татьяна Валерьевна

Методика обучения преобразованию задачной ситуации методом

моделирования на уроках математики в 5-9 классах

Дипломная работа

Научный руководитель:
Быстрова Наталья Васильевна канд. пед. наук, доцент
Рецензент:
Бычкова Ольга Ива- новна канд. пед. наук, доцент Работа допущена к защите________ Заведующий кафедрой___________ Защищена на «__________________» «___» декабря 2009 г.
Иркутск 2009