Дидактические материалы к разделу «Прямые на плоскости»

Сведения из теории.

1) Уравнение прямой, проходящей через точку М

0

(х

0

;у

0

) параллельно

направляющему вектору а(а

1

; а

2

; а

3

)

каноническое:

=

параметрическое

:

2) Уравнение прямой, проходящей через точку М

0

(х

0

;у

0

) перпендикулярно

нормальному вектору n(А;В)

А(х-х

0

)+В(у-у

0

)=0.

3)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

М

1

(х

1

;у

1

) и

М

2

(х

2

;у

2

):

=

.

Если точки, через которые проходит прямая, лежат на осях координат

А(а;0) и В(0;b), то уравнение имеет вид:

- уравнение прямой в отрезках.

4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y-y

1

= k(x-x

1

).

Если прямая пересекает ось Оу

в точке В(0;b), то уравнение примет вид:

у = kx +b

5) Общее уравнение прямой: Ах + Ву + С = 0

6) Угол между прямыми, заданными общим уравнением:

cоs α =

7) Угол между прямыми, заданными уравнениями с угловыми

коэффициентами:

cоs α =

; tg α =

Пример. Даны точки А(-1;-1) , В(1;3), C(7;1).

- уравнения сторон треугольника АВС:

Для нахождения уравнений сторон треугольника воспользуемся уравнением

=

прямой, проходящей через две заданные точки.

Так как А(-1;-1), В(1;3), то уравнение АВ имеет вид

=

,или

После упрощения у = 2х + 1.

Аналогично находим уравнения сторон ВС и АС.

1

Уравнение ВС:

=

или у = -

х +

.

Уравнение АС:

=

или у =

х -

.

- величина угла наклона прямой АВ к оси абсцисс:

Пусть α – величина угла

наклона прямой АВ к оси

абсцисс, тогда tg α = k

АВ

= 2,

откуда α ≈ 63°.

- величины внутренних

углов треугольника;

Найдем два угла

треугольника по формуле

tg α =

,

tg А =

=

, откуда угол А примерно равен 50°;

tg С =

=

, откуда угол С примерно равен 32°;

тогда В = 180 – 50 – 32 = 98°.

- уравнения высот треугольника:

Для нахождения уравнений высот треугольника воспользуемся уравнением

прямой у - y

1

= k(x - x

1

).

Высота АН есть отрезок прямой, проходящей через точку А

перпендикулярно ВС. Следовательно, уравнение высоты АН есть

у + 1 = k

АН

( х + 1), где k

АН

= -

= 3 ( при вычислении k

АН

использовано

условие перпендикулярности прямых). Поэтому уравнение высоты АН имеет

вид у + 1 = 3( х + 1), или у = 3х + 2.

Аналогично находим уравнения высот ВЕ и СF. Для ВЕ k

ВЕ

=-

= -4,

поэтому уравнение высоты ВЕ есть у - 3 = -4( х - 1) или у = -4х + 7.

Для СF k

СF

=-

= -

, поэтому уравнение высоты СF есть у - 1 = -

( х - 7)

или у = -

х + 4,5.

- координаты точки Р пересечения высот треугольника:

Для нахождения координат точки пересечения высот решим систему

уравнений, составленную из уравнений прямых АН и ВЕ:

получаем х =

, у = 4

.

Итак Р(

;4

).

-

Уравнение медианы АМ:

2

Е

F

Н

Р

α

С

В

А

Найдем координаты точки М – середины стороны ВС.

Х

М

=

= 4; У

М

=

= 2.

воспользуемся уравнением

=

прямой, проходящей через две заданные точки.

=

или у = 0,6х – 0,4.

- уравнение прямой, проходящей через точку Р, параллельно прямой

АС:

Уравнение прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС,

можно записать в виде у - y

1

= k(x - x

1

). k

=

k

АС

– угловой коэффициент прямой

АС. Поэтому искомое уравнение имеет вид у - 4

=

( х -

) или

у =

х + 3

.

Контрольные задания:

Треугольник АВС задан координатами вершин. Найти:

1) уравнения сторон треугольника;

2) величину угла наклона прямой АВ к оси абсцисс;

3) величины внутренних углов треугольника;

4) уравнения высот треугольника;

5) координаты точки Р пересечения высот треугольника;

6) Уравнение медианы АМ;

7) Уравнение прямой, проходящей через точку Р, параллельно прямой АС.

Сделать чертеж.

1 вариант

А(-1;-1) , В(-5;3), C(1;5)

2 вариант

А(-2;-2) , В(4;6), C(6;2)

3 вариант

А(1;2) , В(5;-2), C(7;4)

4 вариант

А(-4;1) , В(-6;-3), C(4;-1)

5 вариант

А(8;2) , В(6;-2), C(2;4),

6 вариант

А(0;-2) , В(-4;4), C(6;6)

7 вариант

А(-3;-2) , В(3;4), C(5;-4)

8 вариант

А(3;1) , В(7;-3), C(5;0)

9 вариант

А(-2;-4) , В(2;2), C(4;-2)

10 вариант

А(-3;1) , В(1;-5), C(3;3;)

8) Определить площадь треугольника ограниченного прямой 5х+8у-40=0

и осями координат.

9) Даны уравнения двух сторон параллелограмма х-4у+11=0 2х+у-5=0 и

3

уравнение одной из его диагоналей х-у-1=0. Найти координаты вершин

этого параллелограмма.

10) При каком значении а

а) прямые 2х-4у+9=0 и ах-2у+9=0 параллельны?

б) прямые 2х-2у-35=0 и х+ау+1=0 перпендикулярны?

Контрольные вопросы:

1) параметрическое и каноническое уравнения прямой;

2) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки;

3) Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно

данному вектору;

4) Общее уравнение прямой;

5) Расположение прямой относительно системы координат в зависимости от

значений А,В,С общего уравнения прямой;

6) Уравнение прямой с угловым коэффициентом;

7) Угол между прямыми, заданными общим уравнением. Условие

параллельности и перпендикулярности двух прямых;

8) Угол между прямыми, заданными уравнениями с угловыми

коэффициентами. Условие параллельности и перпендикулярности

двух прямых;

Содержание отчета:

В тетради напишите название практической работы, цели, решение задач.

Критерии оценки:

«отлично» - выполнены все задания, даны ответы на все вопросы.

«хорошо» - выполнены задания 1-9, даны ответы на все вопросы.

«удовлетворительно» - выполнены задания 1-7, даны ответы на все вопросы.

4