ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА

открытого урока алгебры и начал анализа в 11 классе на тему

«Экономические задачи»

Учитель Межлумян К.И.

Цели урока (планируемые результаты):

Предметные:

Обобщить и систематизировать знания о методах решения задач на сложные проценты, совершенствовать умения по решению задач,

связанных с кредитами в рамках подготовки к ЕГЭ на профильном уровне.

Метапредметные:

Регулятивные. Формировать:



умение самостоятельно ставить и формулировать для себя новые задачи познавательной деятельности, развивать мотивы и интересы

своей познавательной деятельности;



умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и

познавательных задач;



умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения

результата, определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия в соответствии с

изменяющейся ситуацией;



умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения;



владение основами самоконтроля, самооценки, принятия решений и осуществления осознанного выбора в учебной и познавательной

деятельности.

Познавательные. Формировать:



умение устанавливать причинно-следственные связи строить умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать

выводы;



умения применять схему аналитического метода поиска решения поставленной задачи;



умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения познавательных задач.

Коммуникативные: развивать

умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность со сверстниками, работать

индивидуально и в группе, аргументировать своё мнение, учитывать мнения других и вести дискуссию, развивать навыки грамотной

аргументированной речи.

Личностные:

Формировать готовность и способность обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;

формировать целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки на основе

развития представлений о

математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать реальные процессы и явления, решать практические задачи.

№

п/п

Структура урока

(содержание и виды

учебной работы)

Деятельность учителя: вопросы, задания, комментарии,

выводы.

Характеристика

деятельности

учащихся

Планируемые

результаты

Предметные

Метапредметные

(универсальные учебные

действия)

1

2

3

4

5

6

1. Актуализация знаний.

1.1.

Мобилизующее

начало урока.

Сообщение учителя о том, что на этом уроке будет

продолжено изучение основных типов экономических задач.

Все мы в последнее время часто слышим о том, как люди

попадают в сложные, почти безвыходные ситуации, из-за

неумения оценить последствия денежного займа на тех или

иных условиях. Наряду с этим, многие затрудняются в выборе

наиболее выгодных условий банковских вкладов Поэтому

каждому очень важно понимать и уметь провести простейшие

подсчеты для оценки ситуаций, связанных с вкладами и

кредитами. Основой таких подсчетов являются

математические методы решения задач, связанных со

сложными процентами. Такие задачи и будут темой

сегодняшнего урока.

Целью урока является систематизация и обобщение знаний о

методах решения экономических задач из раздела «Кредиты».

совершенствование умений по решению таких задач. Кроме

того, эта работа также будет направлена на подготовку к

выполнению заданий № 17, предлагаемых на ЕГЭ

профильного уровня, которые оцениваются достаточно

высоко, в 3 балла.

Фронтальная:

настраиваются на работу,

получают ориентировку в

предстоящей работе на

уроке.

Развитие

представлений о

математике как о

науке, позволяющей

на основе

построения

математических

моделей процессов

и отношений

реальной

действительности и

применения к ним

математических

методов решать в

частности

экономические

задачи.

Формирование

мировоззрения,

соответствующего

современному уровню

развития науки и

общественной практики.

Ориентировка в

предстоящей учебной

деятельности, подготовка к

принятию учебных задач.

1.2

Беседа (опрос) об

известных типах

экономических задач

Беседа об общих закономерностях и особенностях отдельных

типов экономических задач на кредиты

Общие закономерности:

1) общая сумма выплат по кредиту за весь срок складывается

из суммы, взятой в кредит и суммы начисленных за весь срок

процентов;

2) если долг по кредиту должен уменьшаться равномерно (на

одну и ту же сумму ежемесячно (ежегодно)), тогда

ежемесячные выплаты должны быть различными

(дифференцированными) и состоять из этой суммы и

начисленных на остаток процентов, которые уменьшаются в

зависимости от уменьшения долга;

3) если по кредиту ежемесячно выплачивается одна и та же

сумма, то долг уменьшается неравномерно и по истечению

срока равен нулю.

Основные типы задач:

Фронтальная: отвечают на

вопросы, формулируют

известные типы задач,

правила, для нахождения

процентов от числа,

определение

арифметической и

геометрической

прогрессии, формулы для

нахождения суммы n

первых членов

арифметической

прогрессии и

геометрической

прогрессии

Актуализация и

систематизация

опорных знаний об

экономических

задачах.

Формирование навыков:



познавательной

деятельности,

применения

различных методов

познания;



познавательной

рефлексии как осознания

границ своего знания и

незнания, новых

познавательных задач и

средств их достижения.

(в презентации рассматривается пример четырех основных

типов:задач (№1 из карточек).

1 тип –

Нахождение срока кредита при условии погашения

кредита заданными равными платежами (не более какой-то

заданной суммы.

Особенности решения:

1)

прикидка: сколько месяцев (лет) будет выплачиваться

сумма, взятая в кредит (для этого сумму кредита делят на

сумму ежемесячных (ежегодных) платежей, в соответствии с

условием задачи);

2)

замечают, что ежемесячные выплаты процентов на

остаток каждый месяц уменьшаются

3)

сравнивают самую большую сумму процентов на остаток,

выплачиваемую в первый месяц (год), умноженную на число

месяцев (лет) полученное в прикидке с ежемесячной заданной

суммой;

- если она меньше, то к числу, полученному в прикидке,

прибавляют 1,

- если больше, то считают, проценты, начисляемые каждый

месяц, находят их сумму и считают, какой потребуется срок

для выплаты этой суммы сверх числа, полученного по

прикидке;

2 тип – Погашение кредита заданными равными платежами за

указанный срок (сумма может быть задана, может быть не

задана)

Особенности:

1)

выразить ежемесячное уменьшение долга в зависимости

от начисляемых процентов и уплачиваемой суммы и

составить уравнение (математическую модель) в общем виде,

учитывающее условие, при котором долг будет равен 0 через

указанный срок (может пригодиться формула для нахождения

суммы n первых членов геометрической прогрессии);

2)

выразить неизвестную величину в общем виде

3)

провести вычисления, подставляя известные значения

(десятичные дроби удобнее заменить обыкновенными,

которые можно сокращать);

3 тип – Остаток долга по заданной таблице

Особенности:

1)

используется правило: сумма всех выплат за период

кредитования равна сумме кредита и ежемесячно

начисляемых процентов на остаток долга, указанный в

таблице;

2)

составляется и решается уравнение или неравенство,

связывающее данные и искомые величины;

3)

если моделью является неравенство, выбирают

наибольшее (или наименьшее) целое решение

соответствующее условию задачи.

4 тип – Равномерное уменьшение долга по сравнению с

предыдущим периодом

Особенности:

1)

определить сумму, на

которую долг ежемесячно уменьшается, для этого сумму (или

соответствующую часть суммы), взятую в кредит, делят на

количество месяцев (лет) , в течении которых долг должен

уменьшаться равномерно;

2)

заметить, что для того, чтобы ежемесячно долг

уменьшался на одну и ту же сумму ежемесячные выплаты

должны состоять из этой суммы и процентов на остаток

предыдущего месяца;

3)

составить уравнение, учитывающее, что общая сумма

выплат равна сумме, взятой в кредит и всех начисленных

процентов;

в общем виде выразить из уравнения неизвестную величину и

подставить известные значения (лучше использовать

обыкновенные дроби, которые можно сокращать), при

решении уравнения может пригодиться формула для

нахождения суммы n первых членов арифметической

прогрессии).

1.3.

Подведение итога

первого этапа урока,

постановка задач на

следующий этап.

Итак, мы рассмотрели основные типы задач и особенности их

решения. Важно, чтобы каждый из вас разобрался в решении и

умел самостоятельно решать задачи каждого типа. Это и будет

задачей следующего этапа нашей работы. Эта работа будет

организована по знакомой вам схеме: сначала, работая в

группах вместе вам нужно овладеть способом решения одного

из типов задач, затем, работая в парах, помочь товарищам в

овладении этими умениями.

Фронтальная:

Осознают задачи и

особенности организации

следующего вида работы.

Познавательная рефлексия,

осознание границ своего

знания и незнания, новых

познавательных задач и

средств их достижения.

2.Формирование новых знаний и способов действий

2.1

Инструктаж об

организации работы в

группах.

Совершенствовать умения в решении экономических задач,

будем работая в группах. Каждый из вас получил карточку.

Все ученики с одинаковыми номерами карточек садятся за

один стол, у каждого из вас за столом одинаковые задания.

Задачу №1 (до черты) вы решали дома. Сверьте результаты,

обсудите ход выполнения заданий, исправьте при

необходимости ошибки, получите ответы на возникшие

вопросы.

Когда научились решать задачу 1 части, приступайте к задаче

Фронтальная:

Получают инструктаж об

организации работы в

группах.

Ориентировка в

предстоящей учебной

деятельности, подготовка к

выполнению учебных задач.

2 (под чертой). Эту задачу решайте самостоятельно, а затем

сверьте ответы с товарищами. В итоге вы должны не только

научиться решать задачи 1 и 2 своей карточки, но и быть

готовыми объяснить своему товарищу, как решать эти задачи.

Когда вы закончите работу над своей карточкой, поднимете

руку. На эту работу отводится 10-13 минут. Если кто-то

справился со 2 задачей раньше остальных, то решайте задачу 3

(со звёздочкой).

2.2.

Самостоятельная

групповая работа над

задачами одного из

типов.

Учитель наблюдает за работой групп, помогает разрешать

возникающий вопросы, контролирует правильность

полученных группой решений.

Групповая и

индивидуальная:

обсуждают в группах и

оформляют результаты

решения задачи №1,

самостоятельно решают

задачу № 2, затем сверяют

результаты решения этой

задачи, обсуждают в

группе возможные

подходы к ее решению,

высказывают свои

предложения, исправляют

возможные ошибки,

отвечают на возникающие

вопросы.

Овладение

способом решения

одного из типов

«банковских» задач,

подготовка к

взаимообучению.

Формирование способности

и готовности к

самостоятельному поиску

методов решения

практических задач,

применения

различных методов

познания;

умения ясно, логично и

точно излагать свою точку

зрения, использовать

адекватные языковые

средства, умения

продуктивно общаться и

взаимодействовать в

процессе совместной

деятельности, учитывать

позиции других участников

деятельности, эффективно

разрешать конфликты.

2.3.

Инструктаж об

организации работы в

парах сменного

состава.

Каждый из вас готов научить товарища решать задачи своей

карточки. Теперь создадим новые группы. За один стол

садятся ученики с карточками одинакового цвета. Теперь за

столом у вас карточки с разными заданиями. Будем работать в

парах сменного состава. 1-ый ученик объясняет 2-ому ученику

1 задачу своей карточки, по своим записям в тетради. Затем 2-

ой ученик объясняет 1-ому 1 задачу (до черты) своей карточки,

по решению в своей тетради. Далее 1-ый и 2-ой ученики

решают самостоятельно 2 задачу (под чертой) новой карточки

и сверяют свои решения. Если ты решил 2 задачу новой

карточки раньше своего товарища, то решай 3 задачу (со

звёздочкой). Точно также работают 3-ий и 4-ый ученики.

Затем меняемся парами: 1-ый ученик работает с 3-им, 2-ой с 4-

ым. Аналогично проработав новые карточки, снова меняемся

парами: 1-ый ученик работает с 4-ым, 2-ой с 3-им и работаем с

Фронтальная:

Получают инструктаж об

организации работы в

парах сменного состава.

Ориентировка в

предстоящей учебной

деятельности, подготовка к

выполнению учебных задач.

последней карточкой. Для удобства выбора пары используйте

лист учета

По окончании этой работы у каждого из вас будут решены и

разобраны все 4 типа заданий. На эту работу отводится 20

минут. Чтобы подвести итог этой работы на следующем уроке

будет дана самостоятельная работа с заданиями аналогичными

этим.

2.2

Коллективная

самостоятельная

работа в парах

сменного состава по

взаимообучению

решению основных

типов экономических

задач на сложные

проценты.

Учитель наблюдает за работой пар, при необходимости

включается в диалог, не нарушая режима общения;

не мешая классу, направляет работу отдельных учащихся и

класса в целом, помогает наиболее слабым учащимся.

Пары сменного состава:

объясняют друг другу

способ решения основных

типов задач,

самостоятельно решают

задачи нового типа,

проверяют правильность

решения, отвечают на

вопросы, помогают

преодолеть трудности.

Овладение

способами решения

всех основных

типов «банковских»

задач.

Формирование способности

и готовности к

самостоятельному поиску

методов решения

практических задач,

применения

различных методов

познания;

умения ясно, логично и

точно излагать свою точку

зрения, использовать

адекватные языковые

средства, умения

продуктивно общаться и

взаимодействовать в

процессе совместной

деятельности, учитывать

позиции других участников

деятельности, эффективно

разрешать конфликты.

III. Контроль и рефлексия результатов учебной деятельности и способов ее осуществления

3.1.

Подведение итога

урока.

Подведём итог. Сегодня на уроке мы совершенствовали

умения в решении экономических задач. Наша цель состояла в

том, чтобы каждый из вас овладел способами решения

четырех основных типов задач. Оценим, насколько нам

удалось достичь этой цели.

Поднимите руки, кто из вас хорошо усвоил способ решения

всех 4 задач?

Теперь те, кто хорошо усвоил способ решения 2-3 задач?

Одной из четырех задач?

Кто не понял, как решается ни одна из рассмотренных задач?

Задачи этого типа традиционно вызывают затруднения.

Важнейшим условием успеха в их решении является

внимательный анализ условия задачи, в результате которого

необходимо уяснить для себя особенности именно этой

задачи, понять, как происходит погашение кредита, из чего

Фронтальная: отвечают

на вопросы анализируют

результаты и способы

осуществления учебной

деятельности на уроке,

формулируют выводы о

результатах выполнения

познавательных задач.

Приобретение опыта

рефлексии собственной

познавательной

деятельности.

Умение оценивать

правильность выполнения

учебной задачи,

собственные возможности её

решения, владение основами

самоконтроля, самооценки.

складываются ежемесячные выплаты, с какой

закономерностью уменьшается долг.

Думаю, что наша сегодняшняя работа была полезна каждому

из вас, несмотря на оставшиеся трудности. Этому

способствовал и способ организации этой работы. Работая в

парах, каждый из вас был и учителем и учеником. На вас

лежала серьёзная ответственность: научить своего

одноклассника решать задачу, а для этого надо сначала самому

хорошо разобраться в решении задачи.

Психолого-педагогическими исследованиями установлено, что

высший уровень усвоения (до 90%) обеспечивается при

обучении других, имейте это ввиду.

Понравилось быть в роли учителя? Если да – поступайте в

педагогический.

3.2.

Постановка

домашнего задания.

Дома вы примените полученные на уроке умения для решения

задач, в которых требуется не только уметь применить

известный способ, но и учесть особенности ситуации,

описанной в задаче.

Сегодня мы рассмотрели не все типы задач. На следующих

уроках мы продолжим знакомиться с задачами на «вклады» и

«оптимальный выбор» .

Ориентировка в дальнейшей

учебной деятельности,

следующих учебных задач.

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Карточка № 1

Задача №1.

1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего

месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платеж, На

какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей?

_____________________________________________________________________________________________________________________________

Задача №2

1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего

месяца банк начисляет 3% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), затем Андрей Владимирович переводит в банк платеж.

На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс.

рублей?

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Задача №3*

В июле 2016 года взят кредит в размере 4.2 млн рублей. Условия возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4.2 млн рублей;

– суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если долг выплачен полностью и общая сумма выплат составила 6.1 млн рублей.

арточка № 2.

Задача №1.

31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого

следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 10%), затем Михаил переводит е банк

2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

___________________________________________________________________________________________________________________________

Задача №2.

31 декаоря 2014 года Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого

следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12%), затем Сергей переводит в банк

3512320 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами ( то есть за три года)?

______________________________________________________________________________________________________________________________

Задача №3*

31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого

следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк

платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить

долг за 2 равных платежа?

Карточка № 3.

Задача №1.

15-го января тонируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца:

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга:

- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Дата

15.01

15.02

15.03

15.04

15.05

15.06

15.07

Долг (в млн

рублей)

1

0,6

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Задача №2

В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на S млн. рублей, где S – целое число, на четыре года. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Год

2019

2020

2021

2022

2023

Долг (в млн рублей)

S

0,8 S

0,5 S

0,1 S

0

Найдите наибольшее значение S, чтобы общая сумма выплат была меньше 50 млн рублей.

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Задача №3*

В июле 2016 года планируется взятъ кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы

- каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год

Июль 2016

Июль 2017

Июль 2018

Июль 2019

Долг (в тыс.

рублей)

S

0,7 S

0,4 S

0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Карточка № 4.

Задача №1.

15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на пятый месяц кредитования нужно выплатить 57,5 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока

кредитования?

__________________________________________________________________________________________________________________________

Задача №2.

15-го января планируется взять кредит в банке на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы,

взятой в кредит?

______________________________________________________________________________________________________________________________

Задача №3*

15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысячи рублей?

Домашнее задание тем, кто уже усвоил решение основных типов – решить задачи №3 из карточек.

Домашнее задание для тех у кого еще есть трудности:

№1

1 января 2015 года Иван Сергеевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк

начисляет 2% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Иван Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное

количество месяцев Иван Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 тыс. рублей? Ответ 6

№2

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года

банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть

сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Ответ 2 928 200

№3

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев.

Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению с концом

предыдущего месяца, где r – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии

со следующей таблицей:

Дата

15.01

15.02

15.03

15.04

15.05

15.06

15.07

Долг (в млн рублей)

1

0,6

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять

менее 1,25 млн рублей. Ответ 9

№4

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Ответ 600 000

Зам. директора

Павлиашвили И.Г.