ПРОЦЕНТЫ НА ВСЕ СЛУЧАИ ЖИЗНИ

Данная статья посвящена одной из важнейших и многим непонятной

теме в математике «Проценты». Я попытаюсь раскрыть её, придерживаясь

принципа

–

от

простейших

понятий

и

задач

к

заданиям

повышенной

сложности.

В рамках общеобразовательных учреждений «Процентам» уделяется

несправедливо мало учебного времени и, следовательно, уровень знаний,

необходимых

для

приобретения

умений,

навыков

для

свободного

оперирования ими на уроках математики, физики, химии и просто в быту

оказывается недостаточным.

Тема «Процентные исчисления» является универсальной в том смысле,

что

она

связывает

между

собой

многие

точные

и

естественные

науки,

бытовые и производственные сферы жизни.

Понятие «проценты» вошло в нашу жизнь не только с уроками в

основной

и

средней

школах

и

с

проведением

сложных

научно-

исследовательских работ, не только с приготовлением солений и варений, и

выпечкой

кондитерских

изделий,

оно

буквально

преследует

нас

в

пору

утверждения

рыночных

отношений

в

экономике,

в

пору

банкротств

и

инфляций. Проценты творят чудеса. Умело оперируя ими, бедный может

стать богатым в одночасье. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель

сегодня обоснованно требует процент торговой скидки на приобретённый

товар. Вкладчик денежных сбережений учится жить на проценты, размещая

финансы в прибыльное дело. И в повседневной жизни «проценты» помогают

при

расчёте

банковской

сделки,

рентабельности

бизнеса,

коммерческого

предложения.

Что такое проценты, как выразить число в процентах

Некоторые дроби чаще других встречаются в повседневной жизни, и

потому

они

получили

особые

названия:

половина

(

1

2

),

треть

(

1

3

),

четверть

(

1

4

)

и

1

100

-

процент.

На

практике

дробные

числа

часто

приходится

сравнивать,

и

делать

это

удобно,

когда

они

выражены

в

одинаковых долях – только в третьих, только в четвёртых, только в десятых…

Самыми удобными оказались сотые доли. Которые и называют процентами

(

от

латинских

слов pro

centum

–

«

за

сто»).

Отсюда

и определение:

процентом называется дробь

1

100

или 0,01.

Обозначают процент знаком %. Интересна его история происхождения:

В

1685

в

Париже

была

напечатана

книга

-

руководство

по

коммерческой

арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал 010.Первый нуль

чуть-чуть

приподняли,

второй

чуть-чуть

опустили,

единицу

чуть-чуть

наклонили и получился этот знак %. После этой ошибки многие математики

также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно

он получил всеобщее признание.

Проценты

–

это

числа,

представляющие

собой

частные

случаи

десятичных дробей. Любое неотрицательное число можно

в ы р а з и т ь

десятичной дробью, значит, и в процентах. Рассудим так: единица содержит

сто сотых долей, то есть 100%. Каждое число можно представить в виде

произведения единицы на это число, а значит, выразить его в процентах:

3 = 1× 3= 100% × 3 = 300%

2,5= 1 ×2,5 =100% ×2,5=250%

0,43 = 1 ×0,43 = 100% ×0,43=43%

1,354 = 1 × 1,354 = 100% ×1,354 = 135,4%

Вывод:

чтобы

выразить

число

в

процентах,

необходимо

это

число

умножить на 100 и поставить знак %.

Удобно сначала выразить число в виде десятичной дроби, а затем перенести

запятую на два знака вправо и поставить знак %.

Примеры: 7 = 7,00 = 700%;

5

10

= 0,5 = 0,50 = 50% ;

1

8

= 0,125 =

12,5%

Как выразить проценты в виде десятичной дроби

Если

всякое

неотрицательное

число

можно

представить

в

виде

процентов,

то

возможна

и

обратная

задача:

выразить

проценты

в

виде

десятичной дроби.

Например: 6% означает 6 сотых долей и записывается так: 6% =

6

100

= 0,06; 27% =

27

100

= 0,27 ; 900% =

900

100

= 9

Вывод: чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, необходимо

их число разделить на 100.

Это правило можно сформулировать и так: чтобы выразить проценты в

виде десятичной дроби ,достаточно в их числе перенести запятую на два

знака влево.

Например: 400% = 4; 86,3% = 0,863; 9% = 0,09

Нахождение процентов от данного числа

Задача. При остывании хлеб теряет до 4% своей массы в результате

испарения воды. Сколько килограммов воды испарится при остывании 12 т

выпеченного хлеба?

Решение

В задаче требуется найти указанную часть ( 4%)от известной величины

( 12 тонн). Эту задачу можно решить способом

приведения

к

ед и н и ц е .

Основное значение величины - 12 т. Её можно принять за условную единицу.

А условная единица и есть 100%.

Значит, краткое условие задачи можно записать так:

12 000 кг составляют 100%

Х кг - 4 %,

З а Х принята

искомая

масса

воды.

Вычислим,

какая

масса

воды

приходится на 1%. Поскольку на 100% приходится 12000 кг, то на 1% будет

приходиться масса в 100 раз меньше, то есть 12000 : 100 = 120 (кг). Значит на

4% будет приходиться в 4 раза больше, то есть 120 × 4 = 480 (кг).

Следовательно: при остывании 12т хлеба испарится 480 кг воды.

Эту задачу можно решить и другим способом:

Представим 4% в виде десятичной дроби 0,04 и решим задачу на

нахождении дроби от числа, а такие задачи решаются умножением числа на

эту дробь, то есть 12000 × 0,04 = 120 × 4 = 480 (кг)

Вывод: чтобы найти проценты от числа, надо проценты выразить

дробью и умножить число на эту дробь.

Нахождение числа по его процентам

Задача. Ромашка при сушке теряет 84% своей массы. Сколько надо

взять свежей ромашки, чтобы получить 32 кг сухой ромашки?

Решение

32 кг сухой ромашки составляет 16%

( 100% - 84%) от некоторой

массы свежей ромашки, которую примем за Х кг. Будем считать, что Х кг

составляют 100%. Запишем краткое условие задачи так:

32 кг составляют 16 %

Х кг - 100%

Решим эту задачу способом приведения к единице. Определим, какая

масса ромашки приходится на 1%. Поскольку на 16% приходится 32 кг, то на

1% будет приходиться в 16 раз меньше, то есть 32 : 16 = 2(кг). Далее, если на

1% приходится масса в 2 кг, то на 100% будет приходиться в 100 раз больше,

то есть 2 × 100 = 200 (кг).

Следовательно: для получения 32 кг сухой ромашки надо взять 200 кг

свежей.

Эту задачу можно решить и другим способом:

Представим 16% в виде десятичной дроби 0,16; то получим задачу

на нахождение числа по значению его дроби. А такие задачи решаются

делением, то есть другой способ решения:

1)

16% = 0,16 2) 32 : 0,16 = 3200 : 16 = 200 (кг)

Вывод: чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить

проценты в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь.

Процентное отношение двух чисел

Задача. Надо вспахать участок поля в 500 гектаров. В первый день

вспахали

150

гектаров.

Сколько

процентов

составляет

вспаханный

участок от всего участка?

Решение

Чтобы

ответить

на

вопрос

задачи,

надо

найти

отношение

(частное)вспаханной части участка ко всей площади участка и выразить

это отношение в процентах:

150

500

=

3

10

= 0,3 =30%

Вывод: чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо найти

отношение этих чисел и умножить на 100%

Задачи на процентное содержание сплавов

Задача. В сплав магния и алюминия, содержащий 22 кг алюминия,

добавили

15

кг

магния,

после

чего

содержание

магния

в

сплаве

повысилось на 33%. Сколько весил сплав первоначально?

Решение

Х кг – магния содержалось в сплаве первоначально;

(Х+22) кг – масса первоначального сплава;

х

х

+

22

× 100% - процентное содержание магния в первоначальном

сплаве;

х

+

15

х

+

22

+

15

× 100% - процентное содержание магния во втором сплаве;

Составим уравнение:

х

+

15

х

+

22

+

15

-

х

х

+

22

=

0,33 ( х> 0)

Решая уравнение, в результате получаем х = 3, значит первоначальная

масса сплава составляет 25 кг.

Ответ: 25 килограммов.

Задачи на совместную работу

Задача. Одной машинистке на перепечатку рукописи требуется на 12 ч

больше,

чем

другой.

Если

25%

рукописи

перепечатает

первая

машинистка, а затем к ней присоединится вторая, то на перепечатку

рукописи им понадобится 35 ч. Считая от момента начала работы

первой машинистки. За сколько часов могла бы перепечатать рукопись

каждая машинистка , работая отдельно?

Решение

Пусть на перепечатку рукописи первой машинистке требуется Х часов,

тогда второй потребуется (Х – 12) ч. На перепечатку 25% (или

1

4

)

рукописи

первая

машинистка

затратит

Х

4

ч . Определим, сколько

времени потребуется двум машинисткам на перепечатку оставшихся

7 5 %

и л и

(

3

4

¿

рукописи.

Первая

машинистка

за

один

час

перепечатывает

1

Х

часть

рукописи,

а

вторая

–

(

1

Х

−

12

)часть

рукописи.

Тогда

работая

вместе

они

за

час

перепечатают

1

Х

¿

+

1

Х

−

12

¿

часть

рукописи.

А

на

перепечатку

75%

рукописи

потребуется :

3

4

:

1

Х

¿

+

1

Х

−

12

¿

ч; то есть

3

4

× (

Х

(

Х

−

12

)

Х

−

12

+

Х

¿=¿

3 Х

(

Х

−

12

)

4

(

2 Х

−

12

)

ч

, отсюда получаем уравнение:

Х

4

+

3 Х

(

Х

−

12

)

4

(

2 Х

−

12

)

= 35

Решая это уравнение

, найдём Х

1

= 60 и Х

2

= 5,4 ;

Х

2

=

5,4– не удовлетворяет условию задачи, т.к. время работы второй

машинистки будет выражаться отрицательным числом.

Если первой машинистки требуется 60 часов, то второй 60 – 12 = 48(ч)

Ответ: 60 часов и 48 часов.

Что значит жить на проценты

Сегодня

многие

учреждения

предлагают

потребителям

сберегательные услуги, которые выглядят как заманчивая альтернатива

«чулку».Если у вас есть сбережения, то непременно приходится решать

вопрос – куда вложить деньги, как их сохранить или приумножить.

Можно выбрать:

- стратегию ликвидности – деньги вкладываются так, чтобы можно

было получить их обратно в случае необходимости;

- стратегию доходности- деньги вкладываются с целью спасения их от

инфляции и получения дохода от них. С точки зрения «процентов» для

нас представляет интерес стратегия доходности.

Доходность

Надо

с

настороженностью

и

пониманием

относиться

к

многочисленным

рекламным

объявлениям,

обещающим

большие

проценты на вклад, которые, к сожалению, не всегда корректны. А всё

дело в том, что процент можно считать по-разному.

Принято различать простые и сложные проценты.

Предположим, вы положили в банк 100 000 рублей с условием, что на

ваш вклад будет начисляться ежемесячно10%, которые вы сможете

получить все сразу в конце года. Если банк начисляет каждый месяц по

10 000 рублей, то речь идёт о простых процентах. Если банк за первый

месяц начислил 10 000 рублей, за второй- 11000 рублей

( 10% от

110000

рублей

-

суммы

первоначального

вклада

и

процентов

за

предыдущие месяцы), за третий-12100 и т.д., то речь идёт о сложных

процентах.

Формула расчёта сложных процентов выглядит так:

( 1 + Х)

12

– 1 = Y (1) и

12

√

1

+

Y

- 1 = Х (2)

где

Х

–

величина

месячных

процентов

(в

десятичной

форме,

т.е.

величина

процентов,

поделённая

на

100), Y

–

величина

годовых

процентов (в десятичной форме).

Задача. Банк

обещает

выплатить

10%

на

сумму

вклада

ежемесячно.

Сколько

процентов

за

год

реально

может

получить

вкладчик?

Решение

Сумма вклада будет составлять после:

1 месяца ( 1000 + 1000×0,1)рублей = 1000×1,1 = 1100 рублей

2 месяцев ( 1100 + 1100×0,1)рублей = 1000 × (1,1)

12

= 1210 рублей

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 месяцев 1000 ×(1,1)

12

= 3138,4 рубля

Вклад ежемесячно увеличивается в 1,1раза.Следовательно, за 12

месяцев он увеличится в (1,1)

12

= 3,1384раза, что составляет пророст

вклада на 214% или по формуле (2):

( 1 + 0,1)

12

– 1 = 2,14; где Х = 0,1 и Y = 2˒14

Ответ: 214%

Литература:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Алгебра – 8,- М: Просвещение,-

2017

Мерзляк А.Г. Система обучения математике в 5-6 классах;

Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка,- М.; Просвещение.- 1988

Шарыгин И.Ф. Решение задач.- М.; Просвещение – 1994

Петрова

И.Н . Учебное

пособие

для

учащихся,

абитуриентов

и

учителей.- Юж.- Урал, кн.изд-во, 1996,- 128 с.-(Практикум)