Самарский колледж строительства и предпринимательства (филиал)

ФГБОУ ВО Национальный исследовательский

«Московский государственный строительный университет»

Методические рекомендации

по проведению учебного занятия

на тему

«Комплексные числа»

Автор: преподаватель 1 категории Буркина Дилара Дамировна

Самара 2019

1

Оглавление

Краткая история развития чисел.................................................................................... 3

Алгебраическая форма комплексного числа.................................................................5

Степени числа i................................................................................................................6

Решение квадратных уравнений.................................................................................... 7

Геометрическое изображение комплексных чисел.......................................................7

Модуль и аргумент комплексного числа....................................................................... 7

Тригонометрическая форма комплексного числа.........................................................8

Решение задач................................................................................................................ 10

Практическое занятие «Комплексные числа».............................................................11

Вариант 1.....................................................................................................................11

Вариант 2.....................................................................................................................12

2

«Бог создал натуральные числа,

всё остальное – дело рук человеческих»

Немецкий математик Леопольд Кронекер (1823-1891)

Мы имеем дело с числами с самого раннего детства и на протяжении всей жизни,

независимо от рода деятельности. Но что такое число и какие же бывают числа? Число –

основополагающий термин в математике. С первобытных времен числа казались людям чем-то

таинственным и магическим, ведь любой предмет можно было увидеть и потрогать, а число

потрогать нельзя, но тем не менее числа реально существуют. Пифагорейцы считали, что числа – это

математические абстракции, которые руководят миром, что любую закономерность можно

выразить с помощью чисел, что числа устанавливают порядок в мире.

Каждый раз с открытием новых чисел, им приписывались такие свойства как

сверхъестественность, мистичность, нереальность. На протяжении многих веков, с самого начала

развития человечества, люди подчинялись числам, подчиняя их себе.

Краткая история развития чисел

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные

ч и с л а . Натуральные

числа (от лат. naturalis

—

е сте ственный) — числа,

возникающие естественным образом при счёте.

Называемые

теперь

натуральными,

эти

числа

появились

в

глубокой

древности,

они

возникли

из

практических

нужд

человека,

когда

возникла

потребность в счете предметов. На ранних ступенях развития общества люди не

умели

считать,

они

отличали

совокупности

двух

и

трёх

предметов,

а

если

предметов было больше, то люди говорили «много». Расширение запаса чисел на

первых порах происходило медленно. Число «семь» долгое время считалось очень

большим. Затем пределом счёта было число «сорок», оно означало неопределённо

большое

количество.

Далее

это

же

значение

приобрело

число

«сто».

Число

«десять тысяч» в старину называли «тьмой». Постепенно количество натуральных

чисел увеличивалось и было установлено, что это множество бесконечно.

Одновременно

с

натуральными

числами

широко

применялись

дроби,

которые

возникли

из

потребности

оперировать

частями

целого.

При

разделе

добычи и при измерении величин у людей возникла необходимость использовать

«ломаные числа» - обыкновенные дроби, которые применялись в практических

расчетах уже во 2 веке до н.э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Настоящее

обозначение дробей и действия над ними впервые были изложены учеными из

мусульманских стран в 9 веке. Десятичные дроби появились значительно позже, в

14-15 веках, в Средней Азии.

Запас натуральных и дробных чисел вполне достаточен, чтобы производить

практические измерения, но для теории измерений этого запаса мало. Открытие,

сделанное одним из пифагорейцев во 2 веке до н.э., перевернуло представление о

числе.

Он

доказал,

что

диагональ

квадрата

несоизмерима

со

стороной

этого

квадрата, так как, чтобы вычислить длину диагонали квадрата со стороной 1 м,

нужно решить уравнение х

2

=2. Никакое натуральное число и никакая дробь не

3

может удовлетворить этому уравнению. Значит, либо нужно довольствоваться

неточным значением, либо ввести новые числа, которые являлись бы корнями

таких уравнений. После длительной борьбы этих двух точек зрения победила

вторая. Считается, что именно это открытие положило начало теоретической

математики

(до

этого

математика

носила

лишь

практический

характер).

Так

возникли иррациональные числа – числа, которые нельзя представить в виде

обыкновенных дробей (дословный перевод термина «иррациональное число» - не

имеющее отношения). В противоположность таким числам термин «рациональное

число» стала носить обыкновенная дробь, которая является отношением. Прошла

не

одна

сотня

лет,

как

математики

смогли

установить

способ

записи

иррационального числа в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Следующим

важным

этапом

в

развитии

понятия

числа

было

введение

отрицательных чисел, которые появились позже обыкновенных дробей. Первые

упоминания об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во 2-

1

веках

до

н.э. Далее,

в 5-6 веках

отрицательные

числа

очень

широко

использовались в Индии, с ними производили вычисления и они не казались

необычными. Положительные числа тогда толковались как имущество и прибыль,

а отрицательные – как долг и убыток. А в Китае относились к отрицательным

числам с осторожностью, лишний раз старались их не применять. Вычитание из

числа

3

числа

5

долгое

время

считалось

не

просто

невозможным,

но

и

бессмысленным.

Так и в Европе, отрицательные числа не признавали очень долго и считали

их «мнимыми» и «абсурдными». Считали, что 0 – это пустота, а ничего нет

меньше пустоты. И если при вычислении все же получалось отрицательное число,

считалось, что решения нет. Первым в Европе отрицательные числа рассмотрел

Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в 13 веке. Многие выдающиеся математики

первое время отказывались вводить их в употребление или вводили с большой

неохотой. Даже Декарт в 17 веке называл сначала отрицательные числа «ложными

числами», но потом предложил откладывать их на числовой прямой слева от нуля.

Число

0

стали

трактовать

как

границу

между

«истинными»

и

«ложными»

числами, которые вместе с нулем стали составлять множество целых чисел.

Сформировалось

и

множество

действительных

(вещественных)

чисел,

которое включало в себя рациональные и иррациональные числа.

С

течением

времени

возникла

необходимость

расширить

множество

действительных чисел. Это связано прежде всего с решением практических задач,

а именно с решением квадратных уравнений. Ведь даже такое простое квадратное

уравнение как х

2

+1=0 не имеет корней во множестве действительных чисел, так

как

для

его

решения

надо

выполнить

невозможную

операцию

-

извлечь

квадратный

корень

из

-1,

а

такого

действительного

числа

как

√

−

1

не

существует.

О

таких

числах,

как

√

−

1 ,

√

−

2

и

т.д.

заговорили

ещё

в

16

веке

и

называли их «нереальными». Итальянские математики 16-го века Кардано и

Бомбелли, решая квадратное уравнение х

2

+1=0 ввели в рассмотрение символ

4

√

−

1

.Символ «i» предложил Леонард Эйлер

в 1777 году, взявший для этого

первую

букву

латинского

слова imaginarium,

что

означает

«мнимый»,

«воображаемый».

Ч и с л о i=

√

−

1

называется

мнимой

единицей,

это

число,

которое не является действительным числом. Долгое время учёные не могли

признать

мнимые

числа.

Природа

таких

чисел

не

была

разгадана

и

к

ним

относились как к какому-то сверхъестественному явлению в математике. Если уж

к отрицательным числам

(-1, -2, -3, …) до 17 века относились недоверчиво и называли их «ложными», то

можно

себе

представить,

как

относились

к

мнимым

числам

(

√

−

1

,

√

−

2 ,

√

−

3

), ведь уже в 8 веке было установлено, что квадратный корень из

положительного числа существует, а из отрицательного – нет.

Таким

образом,

множество

действительных

чисел

было

расширено

до

такого

множества,

в

котором

извлекались

корни

четной

степени

из

отрицательных

чисел.

Это

множество

называется

множеством

комплексных

чисел (от лат. complexus – совокупность, сочетание).

Основные числовые множества и отношения между ними можно выразить с

помощью математических символов так:

N – множество натуральных чисел,

Z– множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел,

I – множество иррациональных чисел,

R – множество действительных чисел,

С – множество комплексных чисел.

N

⊂

Z

⊂

Q

⊂

R

⊂

С, I

⊂

R, Q

∪

I = R, Q ∩ I =

∅

Каждый раз новые числа воспринимались как нечто необычное, мнимое и

даже мистическое. Люди испытывали страх перед новыми числами, старались их

не использовать или свести их применение к минимуму. Какие только термины не

придумывали люди новым числам: «ложные», «нереальные», «мнимые», «тьма».

Но в то же время ученых пленило непреодолимое желание исследовать новые

числа, узнать больше о них, подчинить их себе… И люди подчиняли себе числа и

одновременно

подчинялись

им

сами:

так

было

сначала

с

«тьмой»,

затем

с

иррациональными

числами,

с

отрицательными

числами,

а

потом

и

с

комплексными.

Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексным числом z в алгебраической форме называется выражение

следующего вида: z = x + yi, где x, y- действительные числа.

5

i— это мнимая единица, определяемая равенством i

2

= –1.

Число x —действительная часть комплексного числа z;

выражение yi —мнимая часть комплексного числа z;

z

= х - yi— комплексно сопряженное число числу z;

-z = - х - yi— противоположное число числу z;

0 = 0 + 0i— комплексный ноль;

Примеры.

1)

z = -2 +7i, x = -2, y = 7,

z

= -2 - 7i, -z= 2 – 7i;

если x ≠ 0 и y≠ 0, то число называется комплексным;

2)

z = 5 + 0i = 5, x = 5, y = 0 ,

z

= 5 – 0i = 5, -z= –5 – 0i = –5

если y = 0, то z = x — действительное число;

3)

z = 0 - 3i = -3i, x = 0, y = -3,

z

= 0 + 3i = +3i, -z = –0 + 3i = 3i

если x = 0, то z = yi — мнимое число.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Над комплексными числами можно выполнять все те же арифметические

действия, что и над действительными числами: складывать, вычитать, умножать,

делить, возводить в степень и извлекать корень. Особенностью комплексных

чисел является то, что их невозможно сравнить.

При

сложении

(вычитании)

комплексных

чисел

складываются

(вычитаются) их действительные и мнимые части.

Примеры.

1) (1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i;

2) (1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i.

При сложении комплексно сопряжённых чисел получается действительное

число.

Пример.(1 + 2i) + (1 – 2i) = 1 + 2i + 1 - 2i = 1 + 1 = 2.

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по

правилу

алгебраического

умножения

двучлена

на

двучлен

с

последующей

заменой i

2

= -1 и приведением подобных по действительным и мнимым частям

слагаемым.

Примеры.

1)

(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i

2

= 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i;

2)

(2 + i)

2

= 2

2

+ 4i + i

2

= 3 + 4i.

При

умножении

комплексно

сопряжённых

чисел

получ а е т с я

действительное число.

Пример. (1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 4

2

i

2

= 1 + 16 = 17;

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель

дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

Пример.

6

1

−

i

4

−

3i

=

(

1

−

i

)

(

4

+

3 i

)

(

4

−

3 i

)

(

4

+

3 i

)

=

4

+

3 i

−

4 i

−

3 i

2

4

2

−

3

2

i

2

=

7

−

i

25

=

7

25

−

i

1

25

Степени числа i

i

0

= 1 i

4

= 1 … i

4n

= 1

i

1

= i i

5

= i … i

4n+1

= i

i

2

= -1 i

6

= -1 … i

4n+2

= -1

i

3

= -i i

7

= -i … i

4n+3

= -i

Пример. Вычислитьi

123

= i

4*30+3

= -i.

Решение квадратных уравнений

Благодаря символу i=

√

−

1

стало возможным извлекать квадратные корни

из

отрицательных

чисел,

а

значит

и

решать

квадратные

уравнения

с

отрицательным дискриминантом.

Пример.

√

−

36

=

√

36

⋅(−

1

)=

√

36

⋅

√

−

1

=

6 i

х

2

+

2 х

+

10

=

0

D

=

2

2

−

4

⋅

10

=−

36

х

1

=

−

2

+

√

−

36

2

=

−

2

+

6 i

2

=−

1

+

3i

x

2

=

−

2

−

√

−

36

2

=

−

2

−

6 i

2

=−

1

−

3 i

Таким образом, во множестве комплексных чисел решается любое квадратное уравнение.

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если D=0, то уравнение

имеет один действительный корень, если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных

корней, но имеет два комплексно-сопряжённых корня.

Геометрическое изображение комплексных чисел

Каждому комплексному числу соответствует единственная точка на координатной

плоскости. Плоскость, служащая для изображения комплексных чисел, называется комплексной

плоскостью, ось ОХ называется действительной осью, ось ОУ - мнимой осью.

z = x+yi

→

A (x; y)

Пример. z

1

= -2 + 3i

→

A (-2; 3)

7

z

2

= 4 –i

→

B (4; -1)

z

3

= 2i

→

C (0; 2)

z

4

= -5

→

D (-5; 0)

Изобразив

в

комплексной

плоскости

точки,

соответствующие

этим

комплексным числам, можно увидеть, насколько множество С шире множества R,

ведь действительные числа занимают во всей комплексной плоскости только

действительную ось ОХ, а комплексные числа – всю плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа

Комплексное число z изображается точкой (x, y) на комплексной плоскости

или радиус-вектором этой точки.

Модулем

комплексного

числа

называется неотрицательное действительное число

Геометрически модуль комплексного числа — это

длина

вектора,

изображающего

число z,

или

полярный радиус точки (x, y).

Аргумент

комплексного

числа

z

—

это

угол

между

положительным

направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это полярный

угол точки (x, y)).

Обозначение

, причем

, или

.

Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула

причем, при определении угла

по его тангенсу обязательно нужно

учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z:

Тригонометрическая форма комплексного числа

Для того, чтобы возводить комплексные числа в степень и извлекать корни

из комплексных чисел, нужно их представить в тригонометрической форме.

Так как геометрически очевидно, что

и

, то

8

Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа z;

запись z = r(cosφ + i sinφ) называется тригонометрической формой комплексного

числа z.

Пример. Представить комплексное число в тригонометрической форме и

изобразить его в комплексной плоскости.

1)

z = 1 + i ,

,

,

,

2)

,

,

,

,

Умножение комплексных чисел тригонометрической форме

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть

при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули

перемножаются, а аргументы складываются.

Пример:

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а

аргументы вычитаются:

Пример:

.

9

Возведение комплексного числа в натуральную степень

Возведение в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической

форме:

В результате получается формула Муавра:

то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль

возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример: Вычислить (1 + i)

10

При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень

в тригонометрической форме могут получаться значения углов

за пределами

одного полного оборота. Но их всегда можно свести к углам или

сбрасыванием

целого

числа

полных

оборотов

по

свойствам

периодичности

функций

и

.

Решение задач

1.

Даны два комплексных числа: z

1

= -3-4i, z

2

= 2-5i .

Вычислить z

1

+ z

2

, z

1

- z

2

, z

1

· z

2

, z

1

/ z

2

, z

1

2

+ z

2

2

, z

1

·

z

2

2.

Решить квадратные уравнения и изобразить в комплексной плоскости точки,

соответствующие корням этих уравнений.

А) 8х

2

–4 х + 13 = 0,

Б) х

2

+ 6х + 10 = 0,

В) 2х

2

- 2х + 5 = 0,

Г) 5х

2

+ 80 = 0.

3.

Дано комплексное число z = -3 +5i. Найти z +

z

, z -

z

, z ∙

z

, z /

z

10

4.

Дано комплексное число z = -2 + i. Найти z

2

, z

3

, z

4

.

5.

Даны два комплексных числа: z

1

=

1

2

−

3

i, z

2

= 2 +

1

3

i . Найти

z

1

z

2

.

6.

Вычислить i

1234

, i

735

7.

Представить комплексное число в тригонометрической форме и изобразить

его в комплексной плоскости: z = -1 + i, z

1

= 2, z

2

= - 2, z

3

= 2i, z

4

= -2i

,

,

,

,

,

;

8.

Дано комплексное число z

= 3 - 3i. Представить его в тригонометрической

форме и вычислить z

7

, z

10

.

9.

Найти значение выражения

z

2

+

1

z

−

1

при z = 2 + i.

10.Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа

1+i и 1-i.

11.Вычислить значение выражения

i

+

i

57

−

i

3

.

12.Найти частное комплексных чисел 3+i и -3+i.

13.Найти координаты точки М, изображающей комплексное число

11

z

=

5 i

−

2

3i

+

1

+

i

+

8 i

−

3

2

−

i

.

14.Решить уравнение

x

2

+

ix

+

6

=

0

.

Практическое занятие «Комплексные числа»

Вариант 1

1.

Даны два комплексных числа: z

1

= -4+2i, z

2

= 1-3i

Перечертить в тетрадь и заполнить таблицу.

z

1

+ z

2

z

1

- z

2

z

1

· z

2

z

1

/ z

2

z

1

2

+ z

2

2

z

1

·

z

2

2.

Дано комплексное число z = 3-2i. Найти z

2

и z

3

.

3.

Решить квадратные уравнения и изобразить в комплексной плоскости

точки, соответствующие корням этих уравнений.

А) 2х

2

– х – 3 = 0, Б) х

2

+ 4х + 8 = 0, В) 4х

2

+ 36 = 0.

4.

Для комплексного числа

z

=

i

4

−

3

указать противоположное и

сопряжённое и изобразить эти числа в комплексной плоскости.

5.

Вычислить i

345

, i

126

.

6.

Вычислить значение выражения

(

1

+

i

1

−

i

)

166

.

7.

Вычислить значение выражения

1

+

3 i

−

2

+

i

∙

(

−

2i

)

+

3

.

Вариант 2

1.

Даны два комплексных числа: z

1

= 2-3i, z

2

= -3+i .

Перечертить в тетрадь и заполнить таблицу.

z

1

+ z

2

z

1

- z

2

z

1

· z

2

z

1

/ z

2

z

1

2

+ z

2

2

z

1

·

z

2

12

2.

Дано комплексное число z = 2-3i. Найти z

2

и z

3

.

3.

Решить квадратные уравнения и изобразить в комплексной плоскости

точки, соответствующие корням этих уравнений.

А) 3х

2

+ 2х – 1 = 0, Б) х

2

- 8х + 32 = 0, В) 9х

2

+ 36 = 0.

4.

Для комплексного числа

z

=−

2i

3

−

1

указать противоположное и

сопряжённое и изобразить эти числа в комплексной плоскости.

5.

Вычислить i

267

, i

182

.

6.

Вычислить значение выражения

(

1

−

i

1

+

i

)

242

.

7.

Вычислить значение выражения

−

1

+

2i

3

−

i

∙

(

−

3 i

)

+

2

.

13