Технология обучения, формирования графической культуры учащихся в

курсе основной школы

Главная задача педагога-математика – сделать «свой» непростой

предмет как можно более осмысленным, понятным для каждого ребёнка,

повысить мотивацию к его изучению.

Учителя хорошо знают трудности, возникающие при введении новой

темы, не связанной логически с предыдущими. Учащиеся путаются в

определениях, затрудняются в их применении, хотя, на первый взгляд, они

достаточно просты. Но самое неприятное обнаруживается спустя некоторое

время после, казалось бы, наконец, пройденной и усвоенной темы: она

напрочь забыта. Так случается с материалом, который, выбиваясь из

логического ряда остальных тем, не связан с предыдущими и его знание

требуется для усвоения последующего материала. Всё сказанное относится и

к теме: «Функции и графики». Если верить исследованиям, проведённым в г.

Москве с учащимися 6 класса, ошибки по построению (нахождению) точек

на координатной плоскости допустили 30% учащихся.

Для того, чтобы изучение данной темы сделать доступной и

увлекательной, нужно вызвать к ней интерес, удивление, предложить формы

работы,

незаметно

вовлекающие

всех

учащихся

в

полезную,

целенаправленную деятельность, в процессе которой они приобретают

необходимые знания, умения, навыки. Я услышал - я забыл, я увидел - я

знаю, я сделал - я умею!

Интерес – один из важных инструментов, побуждающих учащихся к

более глубокому познанию учебного предмета, развивающий остроту мысли,

и другие свойства личности: терпение и силу воли, способность сравнивать

сложившие ситуации и другие. Всем известно, если предмет преподаётся в

атмосфере, дружелюбия, взаимопонимания и увлечённости, то у предмета

больше вероятность быть изученным полнее.

Игра – спутник человеческой жизни от колыбели до глубокой старости.

Большую часть информации о мире ребёнок получает до 5 лет жизни через

игры. Хорошие игры воспитывают личность ребёнка, вырабатывают чувства

товарищества при игре командой, вырабатывают силу воли к сопротивлению,

с помощью игровых моментов можно учиться. Поэтому многие учителя

используют возможности игр на уроках, особенно в начальной школе и

основной школе.

Возвращаясь к теме: «Функции и графики» заметим, что дело не в

сложности материала, а в отсутствии предварительной подготовки учащихся

к восприятию данной информации, так называемой пропедевтике. Если

учитель ведёт математический кружок с учащимися 5 класса по курсу

«Наглядная геометрия», уже теперь у него есть возможность начинать

подготовку учащихся к восприятию темы 6 класса: «Координаты на

плоскости». Так как учащиеся 5 класса знакомы лишь с положительными

числами, можно заменить координатную плоскость координатным углом и,

после освоения координатного угла, можно открыть «секреты» координатной

плоскости. В книге Ерганжиевой «Наглядная геометрия» подробно описана

игра «Морской бой», где координаты - обычные числа. Дети охотно

осваивают эту игру, а потом предлагают ее друзьям и в семьях. Можно пойти

дальше

и

рассказать

детям,

что

иногда

нужно

скрыть

содержание

информации от посторонних глаз (противника). Цифры и буквы позволяют

это сделать безупречно. Умело зашифрованную информацию не сможет

расшифровать даже «многоэтажный» компьютер, сколько бы времени он не

работал над расшифровкой и дать им образец шифровки по книге или какой-

либо другой. И теперь на вопрос «Имеет ли значение порядок, в котором

записаны числа парами (3,1); (4, 1); (1,3)?», ученики не только скажут «да»

или «нет», но и докажут своё утверждение. Пара чисел определяет «ряд» в

кинотеатре и «место» в ряду этого кинотеатра.

Ребята с большим интересом, осваивают уроки «Тайнописи». Они

интересны для них и вызывают желание научиться этим «секретам»

0

1

2

3

4

5

7

8

9

1

гор

дя

но

друг

2

ну

ло

при

одол

3

ша

ку

во

зав

вые

4

на

хо

ня

ку

5

ли

жи

од

У

те

6

лы

те

жу

в

тра

7

пи

ди

ми

15

перь

у

ры

8

ча

мне

их

па

9

бе

па

две

сов

ме

твой

(1,1)-гор, (1,5)- дя, (1,7)-но, (1,9)-друг, (2,1) -ну, и т д. Ежедневно

цифры по вертикали и горизонтали изменяются. И это изменение известно

только тем, кто изменяет их перестановку. Самые сложные варианты

засекречивание по одинаковой книге, которая есть у того, кто хочет спросить

и у того, кто хочет ему ответить. Вся шифровка производится в цифрах:

страница, строка, слово и т.д.

При передаче цифры объединяют в группы по 5 в каждой группе, в

условном месте- группа: число, время. Кроме цифр в таблице могут

находится наклейки рисунков, которые что-то обозначают (рукопожатие - к

встрече).

После знакомства с решёткой, детям можно дать понять, что тайнопись

близко соприкасается с математикой. (Смотрите Я. И. Перельман «Живая

математика» страница 63). На следующих занятиях усложняют задания

рекомендуют детям составить фигурки- рисунки, которые закодированы

парами цифр.

Заданиями на дом могут служить: подготовить дома 2 листа. На одном

– изображение фигурки, на втором – запись её кода в парах цифр. Попросить

домашних: сестёр, братьев, взрослых, по коду восстановить изображение,

закодированное в классе. Проверив работу, поставить за неё оценку,

принести её в класс. Это задание очень нравится ребятам, так как дети этого

возраста охотно занимаются «учительской деятельностью», объясняя и

проверяя работу, они сами лучше понимают материал и запоминают его,

После этого провести 20-25 самостоятельную работу по передаче

изображений (простейший пример; можно усложнить)

А (2,5); В (5,7); С (6,2);

Каждый

учащийся

должен,

что-нибудь

изобразить на рис и закодировать, передать

товарищу для раскодирования (Работа в парах)

Можно подготовить работу.

Рисуем по

координатам.

Для

этого

учитель

подбирает

координаты рисунков и даёт на расшифровку

учащимся.

Но, пожалуй, лучший вариант введения координат состоит в том,

чтобы учащиеся вводимое понятие «придумали сами» используя свою

фантазию

и

воображение,

учитель

должен

организовать

творческую

деятельность

учащихся

на

уроке,

создав

перед

изучением

темы

познавательный мотив, что очень важно для учащихся данного возраста.

Поэтому, лучше не сразу показывать ребятам, как принято обозначать точки

парами чисел, а описать ситуацию, приводящую к введению обозначения

точек парами чисел. Не стоит забывать, что каждая точки имеет лишь одну

пару чисел, определяющую её суверенитет. Это подтвердится и в географии.

каждая точка Земли имеет свою координату. Это можно подтвердить

рисунком.

В городе всего 16 домов, 4 улицы, 4 проспекта (см. рис). Жители этого

города, посылая друг другу письма, вместо адреса пишут на конверте пару

чисел (а, б). В этой паре на первом месте указывают номер улицы, на втором

- номер проспекта, где стоит дом. Например, адрес почты (1, 4), а адрес дома,

отмеченного крестиком - (2, 2). В какие дома должен разнести почтальон

письма, если на конверте указаны адреса: (3;2), (2; 3), (4; 1), (3;1), (1; 3), (4;

4). Вызванные к доске учащиеся указывают нужные дома. Имеет ли значение

порядок, в котором записаны числа в адресе. Ответ обосновать. После того,

как ситуация будет освоена, задать вопрос: «Как использовать опыт жителей

города для обозначения точек плоскости»?

В 6 классе, познакомившись с числовым лучом, найдутся ребята,

которые сами нарисуют два взаимно перпендикулярных числовых луча и

«придумают» координатный угол. Поэтому, лучший способ усвоить что-то -

открыть самому.

Тему «Координатная плоскость» можно ввести иначе: подготовить

заранее фонограмму оркестра к выступлению в театре, парты в кабинете

разместить как ряды в театре с номерами, на стульях – номер места.

Учащиеся со звонком заходят в кабинет (тихо звучит фонограмма звука

оркестра перед спектаклем), получают по 2 билета с указанным № ряда, №

места. Учитель сообщает, что они сейчас попали в зрительный зал

драматического театра. В первом билете по указанным номерам ряда и

номерам мест учащиеся должны найти «зрителей», а по данным второго

билета найти свой ряд и сесть на свои места (учащиеся выполняют). Ребята

разбиты на группы по 2-3человека. В своей группе ответить на вопрос: в

какой последовательности нужно находить место в театре? (выслушивание

ответов: учащиеся дают оценку расположения «зрителей)». После чего

вводится понятие «координата», система «координат»

Учитель говорит о

том, что у каждого на столе лежит план улицы в городе. Дома раскрашены в

свой

цвет,

с

номерами.

Каждому

определить

местоположение

дома

(называется цвет, а учащийся называет улицу и номер дома). Следующее

задание: на листочках с кораблями (игра «Морской бой», где корабли тоже

раскрашены в цвета), определить местоположение корабля. Обсуждение с

указанием верных и неверных ответов. Раскрывая тему урока таким образом,

учитель осмысленно связывает его с реальными жизненными ситуациями,

налицо мотивация учения и формирование моральных норм, а также

формируется

положительная

самооценка,

познавательный

интерес

к

математике, математическая компетенция, умение работать в группе, вести

диалог, принимать общее решение.

Я придумала для заключительного урока по теме: «Координатная

плоскость» сказку. Здесь я привожу её содержание, а сам урок разработан

отдельно.

Урок-сказка

по теме «Координатная плоскость», 6 класс

Ход урока:

1.

Учитель:

- Ребята, вы любите сказки? Очень хорошо! Сегодня мы проведём урок-

сказку на заключительном уроке по теме: «Координатная плоскость». Конец

этой сказки будет счастливым, если все будете точными и аккуратными в

своих ответах, т.к. малейшая невнимательность и небрежность ведет к

ошибкам, которые можно не сразу обнаружить, а обнаружив, придётся

переделывать.

В сказке 5 заданий, каждая из которых будет оцениваться либо мной,

либо товарищем по парте. Для выставления оценок каждый из вас получит

лист самооценки

Лист самооценки:

Ф. И., учащегося

№ задания

Оценка

Тест (10 баллов)

№1 (5 баллов)

№2 (5 баллов)

№3 (2 балла)

№4 (5 баллов)

№5 (3 балла)

Итоговая оценка

Итак, в некотором царстве, в тридевятом государстве жил-был царь и

был у него сын Иван-царевич. Перед смертью позвал отец сына и сказал:

- Есть у тебя наречённая жена - Марья-краса, золотая коса. Она за

морем живёт, там, где солнышко встаёт. Произнёс он эти слова и умер.

И остался Иван-царевич один-одинёшенек, и в доме, и в царстве.

Много ли мало ли времени проходит, решает царевич отыскать свою

суженую. Только у кого он не спрашивал, никто не знает, где живёт Марья-

краса. Отправился Иван-царевич в путь. Идёт два дня, три, а на четвёртый

дошёл до колодца. За колодцем видит он клетку, в клетке стена, а из стены

слышен голос.

- Добрый молодец, освободи меня из клетки.

-Хорошо, а как?

- Видишь клетку с решётками?

- Да!

- Ответ зашифрован парами чисел (см. рис.). Заменишь каждую пару

чисел буквой и прочитаешь тогда, как освободишь меня.

Ряд 1

Ряд 2

Ряд 3

Ряд 4

Ряд 5

Ряд 6

Ряд 7

Ряд 8

Ряд 9

Ряд 10

Ряд 11

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Х

Ч

В

Ш

Ь

Э

К

Ю

У

Н

З

Б

Ы Й

Е

Т

И О

А

Д

Ъ

Р

Я

Л

Ц

0

(Затем оцениваются ответы 1 задания. Учащиеся сами заносят оценки в

оценочные листы)

Иван-царевич сделал всё, как велено. Из клетки вылетел Змей и

спрашивает:

- Ну, говори своё заветное желание.

I

(4:3); (3:1); (1:2); (4:2); (1:0); (1:1);

( Н ); ( А ); ( Б ); ( Е ); ( Р ); ( И );

II

(2:4); (2:1); (4:1); (2:2);

( В ); ( О ); (Д ); ( Ы );

III

(1:1); (0:1)

( И ); ( З );

IV

(1:3); (2:1); (3:0); (2:1); (4:1); (4:0); (3:1);

( К ); ( О ); ( Л ); ( О ); ( Д ); ( Ц ); ( А );

V

(1:1);

( И );

VI

(2:4); (2:2); (3:0); (4:2); (3:2);

( В ); ( Ы ); ( Л ); ( Е ); ( Й );

VII

(4:3); (3:1);

( Н ); ( А );

VIII

(1:3); (3:0); (4:2); (0:1); (1:3); (3:3).

( К ); ( Л ); ( Е ); ( Т ); ( К ); ( У ).

И стал царевич спрашивать его про Марью-красу.

- Знаю, знаю, забрал её мой брат, старший Змей, у которого вместо

сердца стрела. Если эту стрелу достать и поломать, он умрёт. Я тебе в этом

помогу, ведь это он меня заколдовал. Но не все ещё чары колдовские сняты с

меня. А как их снять знает один зверь лесной. Помоги царевич. Если сумеешь

по этим волшебным числам правильно нарисовать рисунок, я буду знать, кто

мне поможет. Исцелюсь и буду верой и правдой служить тебе.

- Ребята, давайте попробуем угадать, кого же по координатам

изобразил царевич.

(Все учащиеся получают карточки-задания. Один работает у доски,

остальные парами в тетрадях изображают.)

Задание для работы на доске:

1)

(-3:12), (-3:18), (0:15), (3:18), (3:12), (9:6), (9:3), (9:-3), (0:-3), (2:-1),

(2:3), (-2:7), (0:9), (-3:12).

2)

(9:-3), (11:-1), (16:-1), (14:-3), (9:-3).

3)

Точки (2:14) и (-2:14).

У всех получается один и тот же рисунок, хотя координаты разные,

т.к., рисунки получены в результате параллельного переноса.

Ряд 1

Ряд 2

Ряд 3

Ряд 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

x

y

Образцы карточек;

1)

(-5:-8), (-3:-6), (-3:-2), (-7:2), (-5:4), (-8:7), (-8:13), (-5:10), (-2:13), (_2:7), (4:1),

(4:-8), (-5:-8)

2)

(4:-8), (6-6), (11:-6), (9:-8).

3)

Точки (-3:9) и (-7:9).

1)

(2:-7), (4:-5), (4:-1), (0:3), (2:5), (-1:8), (-1:14), (2:10), (5:14), (5:8), (11:2), (11:-

7), (2:-7).

2)

(11:-7), (13:-5), (18:-5), (16:-7), (11:-7).

3)

Точки (0:10) и (4;10).

Ряд 1

Ряд 2

Ряд 3

Ряд 4

Ряд 5

Ряд 6

Ряд 7

Ряд 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

Т.к. ученики работают парами, то они ставят оценку за задание № 2

друг другу.

Понял Змей, что спасти его может только кот. Отыскали они его в

дремучем лесу. Не пришлось его долго упрашивать: кот был добрый и

мудрый. Выпил Змей приготовленное снадобье и свалились с него чары

колдовские. Совсем стемнело в лесу. Не отпускает кот гостей в дорогу,

уговаривает их остаться до утра. Но царевич торопится. Тогда кот остановил

их и говорит:

-В 12 часов ночи будет хорошо видно созвездие Овна.

- Если вы отыщите его правильно среди других знаков зодиака, он и

укажет вам дорогу к Марье.

Справка: овен - зодиакальное созвездие видно с территории нашей

страны в конце лета, осенью и зимой. Человек, рождённый под этим знаком

зодиака с 21 марта по 20 апреля задорен, честолюбив и упрям. Плохо

поддаётся чужой воле. Сильная воля не знает предела, деятельный ум

толкает вперёд. Кстати, под этим знаком рождён математик Рене Декарт

(портрет на стене). В древности люди сильно увлекались астрологией – это

учение о влиянии небесных тел на земные объекты, в том числе и на

человека, хотя некоторые считают её лженаукой. Однако во всем мире

астрология

наряду

с

генетикой,

социологией

является

равноценным

источником, из которого черпает необходимые знания педагогика. Звезды

говорят, что каждый ребенок рождается талантливым. И теперь вы должны

свои знания и умения проявить при выполнении практического задания с

элементами творчества. У вас на столах лежат листочки с изображением

координатной

плоскости,

рядом

указаны

координаты

точек.

После

построения точек по указанным координатам вам необходимо соединить их

отрезками в указанной последовательности.

1) (-1:2), (1:4), (3:8) – соединить

2) (1:4), (10:6), (13:5)- соединить.

3) Точки 3:10), (5:9), (14:4).

(Задание выполняется в тетради).

Построенное изображение будет являться моделью рассматриваемого

созвездия – Овна.

Ряд 1

Ряд 2

Ряд 3

Ряд 4

Ряд 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

x

y

Хорошо освещает и указывает дорогу Овен. Сел Иван-царевич Змею на

шею, и они полетели. Летели, летели, наконец, прилетели к большому замку.

Змей приземлился, а царевич слез с него, ноги размял. Змей и говорит

Ивану:

-Слушай меня внимательно. У ворот замка выставлена стража. (К

магнитной доске крепится магнитами таблица с координатной плоскостью и

на неё устанавливаются магнитные точки - это «стража». Чтобы её убрать,

надо правильно назвать координаты отмеченных точек. Если координаты

будут названы правильно, то цель поражается (точки убираются). Давайте

поможем царевичу (указкой показывается точка. Кто-либо из ребят должен

назвать её координаты.

Кто согласен с ответом, поднимает зелёную

карточку, а кто нет – красную. Цель считается поражённой, если все

учащиеся дают правильный ответ и точка снимается с доски, если хотя бы

один ученик не согласен с координатами наводчика, точка остаётся на доске

до выяснения. (В для оценочном листе учащиеся ставят себе знак «+», если

координата точки названа верно и «-», если неверно.

Ряд 1

Ряд 2

Ряд 3

Ряд 4

Ряд 5

Ряд 6

Ряд 7

Ряд 8

Ряд 9

Ряд 10

Ряд 11

Ряд 12

Ряд 13

Ряд 14

Ряд 15

Ряд 16

Ряд 17

Ряд 18

Ряд 19

Ряд 20

Ряд 21

Ряд 22

Ряд 23

Ряд 24

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y

Вся стража перебита. После этого Иван-царевич и Змей вошли в замок.

Змей, у которого вместо сердца стрела, в этот момент спал. Иван-царевич

подкрался к нему, вытащил у него стрелу и отдал её брату - другому Змею. И

только он это сделал, как оба Змея пропали, а перед царевичем появилась

Марья-Краса. Пришлось Ивану взять из конюшни Змея, самого лучшего

скакуна.

Ребята, если вы правильно назовёте координаты точек, из которых

построена лошадь, то царевич и Марья беспрепятственно возвращаются

домой. (Вывешивается таблица).

По этой таблице ребята называют координаты отмеченных точек.

Привёз Иван-царевич Марью в своё царство-государство, сыграли они

свадьбу, и стали жить – поживать, добра наживать.

А Иван-царевич так с тех пор полюбил математику, что в свободное

время играл в математические игры, решал задачи, приводя ум в порядок.

Подведение итогов работы.

Выставление оценок.

Т. к. тема «Координатная плоскость» одна из последних в 6 классе, и

может быть не очень отработана, да за забыта в какой-ко степени, то

накануне изучения темы «Функции» в 7 классе, нужно обязательно провести

корректировку по этому вопросу. Я предлагаю один из вариантов карточек.

Координатная плоскость

Задания

1.

Назовите абсциссу точки А (2;3).

1(а).

Назовите абсциссу точки В (4;5).

1(б). Назовите абсциссу точки С (6;7).

_________________________________________________________________1

2.

Назовите ординату точки D (-8;-9).

2(а). Назовите ординату точки E (-10;-11).

2(б). Назовите ординату точки F (-12;-13).

_________________________________________________________________2

3.

Даны точки А (-5;-2), В(3;0), С(7;1). Какая точка расположена выше

оси абсцисс?

3(а). Даны точки D (0;0), E (-9;2), F (8;4). Какая точка расположена

ниже оси абсцисс?

3(б). Даны точки L (-1;-1), M (-1;1) N (1;-1), K (1;1). Какая точка

расположена выше оси абсцисс?

_________________________________________________________________3

4.

Определите координаты точки Z, изображённой на координатной

плоскости.

4(а). Определите координаты точки T, изображённой на координатной

плоскости.

4(б). Определите координаты точки G, изображённой на координатной

плоскости.

_________________________________________________________________4

Ряд 1

Ряд 2

Ряд 3

-2

-1

1

2

-2

-1

1

2

x

y

T

G

Z

0

5. Изобразите на координатной плоскости точку Р (2;3).

5(а). Изобразите на координатной плоскости точку R (-3;2).

5 (б). Изобразите на координатной плоскости точку S (-2;-2).

x

y

1

1

0

Решения с подсказками

Задание 1. Назовите абсциссу точки

А (2;3).

Решение.

Абсциссой точки на

___________________________

плоскости называют первое число в паре

чисел,

являющихся

координатами___________ на плоскости.

Первое число в координатах точки _ -

число 2.

Значит,

_____

точки

А

(2;3)

–

число__.

Задание 2(а). Назовите ординату

точки E (-10;-11).

Решение. Ординатой ________ на

координатной ____________________

называют __________________

в

паре

чисел,

являющихся

координатами точки на плоскости.

Второе

число

в

координатах

точки_ - число -__.

Значит, ______ точки Е (__;__) –

число__.

Задание

1(а).

Назовите

абсциссу

точки В (4;5).

Решение.

Абсциссой точки на

_____________________________

плоскости

называют

_____________________ в паре чисел,

являющихся

__________________________ точки на

плоскости.

Первое ____________ в координатах

точки В - число __.

Значит, абсцисса точки В (_;_) –

число__.

Задание 3. Даны точки А (-5;-2),

В(3;0),

С(7;1).

Какая

точка

расположена выше оси абсцисс?

Решение. У точки, расположенной

выше

оси

абсцисс,

ордината

положительное число.

Среди данных точек

_________________

положительная; отрицательная

ордината имеется у точки С.

Значит,

_______

оси

абсцисс

расположена точка __.

Задание 2. Назовите ординату

точки D (-8;-9).

Решение. Ординатой точки

на

____________________________

плоскости

называют

второе

________________

в

паре

чисел,

являющихся

координатами

точки

на

________________.

Второе число в координатах точки

_ - число -9.

Значит,

________________

точки

D(_;_) – число__.

Задание 3(а).

Даны точки D

(0;0), E (-9;2), F (8;4). Какая точка

расположена ниже оси абсцисс?

Решение.

У точки, расположенной

ниже

оси

абсцисс,

ордината

-

_________________

число.

положительная; отрицательная

Среди данных точек

_________________

положительная; отрицательная

ордината имеется у точки __.

Значит,

_______

оси

абсцисс

расположена точка __.

Технология раскрытия темы: «Свойства функций»

Как я уже отмечала выше, что учителю математики надо вырабатывать

методику, которая намного улучшает усвоение материала учениками и

развивает в них внимательность, гибкость ума, следствием чего является

высокая активность учащихся на уроках.

Приведу пример технологии раскрытия темы «Возрастание и убывание

функции», создавая проблемные ситуации.

На доске чертится координатная плоскость и на ней произвольная

прямая y=f(x).

Функция f(x) на [a:b] определена. В точке (a:f(а)) изображается

самолёт.

Вопросы ученикам:

-Где самолёт поднимается?

-Где самолёт опускается?

-Где самолёт пересекает ось 0x? И т.д.

Они с удовольствием пишут на доске:

[a:h), (m:b), (n:m), x=x1, x2, x3.

Конечно, элементы механики приходится переводить в числовую

форму, т.е. Время- аргумент, траектория- график функции, высота полёта-

значение функции. Далее можно решать примеры на закрепление т.к. новую

тему учащиеся раскрыли сами. В конце урока прямо в центре доски,

привлекая внимание учащихся, записывается тема: «Возрастание и убывание

функции». При этом надо поблагодарить «маленьких учителей», которые

активно помогали раскрытию темы и выставить им оценки.

Участники этого урока бывают довольны собой, у них появляется

уверенность в себе.

Пример 2.

Рассмотрим функцию

y=f(x) и определим, где f(x)>0, f(x)<0, D(f), E(f).

Введём учеников в мир фантазий. Допустим: мы - исследователи суши и

подводного пространства океанов (можно рассказать о скалолазах и

подводниках). Задаём вопросы:

-Как называется высочайшая горная вершина и какова её высота? [г.

Джомолунгма (Эверест) – 8848м. над уровнем моря].

- Назовите наибольшую глубину океанов и т.д. [Марианский желоб –

11022м. ниже уровня моря].

Рассматривая ось 0x как уровень моря, центр координатной плоскости

как точку береговой суши, прошу ученика сделать чертёж.

Осталось в этом примере сказать, что на рисунке – это график функции

f(x).

y=f(x) > 0 – профиль рельефа суши.

y=f(x) < 0 – профиль рельефа дна.

y=f(х)= 0 берег, y1=f(a) – Эверест:

D(f)=

[a:b], E(f)=

f(а)

[f(а), f(b)].

В качестве примера модно брать аналоги из механики.

Пример 3.

Для темы из примера 2 выполняю рисунок 1 и говорю, что ось 0x-

уровень моря. В начале графика силуэт ракеты. График – траектория полёта

ракеты в воздухе и в воде. Ставлю перед учащимися вопросы:

- Где ракета летит в воздухе?

- Где ракета летит под водой?

- В какой точке ракета достигает максимальной высоты?

- В какой точке ракета погружается на максимальную глубину?

- Показать точки выхода из воды и входа в воду и т.д.

Ученики

определяют

требуемые

интервалы.

Предоставляю

им

возможность самим сформировать тему. Результат – уйма названий, много

вариантов.

Учитель

должен

выбрать

наиболее

соответствующую

формулировку.

Такие проблемные ситуации можно создавать практически на каждом

уроке математики и успешно справляться с ними. Естественно учитель

всегда должен знать новинки соответствующей литературы специальной

периодической печати. Получая знания в области математики, ученики

должны осознавать, что эти знания не самоцель, а мощный фактор в

познании окружающего мира.

Изображение на графике основных особенностей математических функций (свойства

функций).

В курсе основной школы на формирование теоретических знаний и

практических умений отрицательно влияет отсутствие схемы исследования

функций, и, особенно, подготовка к восприятию материала в связи с

изучением функций. Хотя уже в 7 классе, при изучении функции y=k : x, в

частности y= 1: x, школьники встречаются с понятием горизонтальных и

горизонтальных асимптот, но в их сознании не закрепляются сигнальные

термины, связанные с этими новыми понятиями. Аналогичная ситуация

складывается при знакомстве с функцией y=x

2

,

которая при x=0 имеет

минимум, а её график касается оси Оx.

Считаю, что первичное знакомство с функциями и их графиками вполне

возможно на интуитивном уровне уже в 7 классе. По сути дела, можно вести

предварительную подготовку (пропедевтику) уже тогда. Важно развивать

чувство интуиции при введении функций и их графиков. А это требует от

учителя осознания важности этой работы, хотя часов на такую работу в 7

классе не предусмотрено. Следует, всякий раз, обращать внимание на форму

записи функции, и на примерах показывать, как зависит поведение точки

графика от формулы. y=x, y=2x, y=1/2x, (угол наклона графика), y=kx+b при k

большем нуля, и при k, меньшем нуля, при b, большем нуля, и при b,

меньшем нуля (расположение графиков в разных квадрантах, (1 и 3, 2 и 4).

Невозможность формализации использования при этом понятий не должна

служить препятствием для их введения и разъяснения на интуинтивном

уровне.

Общедидактическая сущность высказанных соображений такова: чем раньше

учащиеся уловят связь между формой записи функций и их графиками, тем

легче и осознанней они будут использовать эти знания на практических

работах (пользуясь интуицией).

Очень кратко основной перечень терминов графически можно толковать так:

непрерывность-

«сплошность»,

неразрывность

кривой,

изображающей

график, возможность начертания её графика без отрыва карандаша от бумаги;

возрастание -подъём точки, движущейся по графику слева направо;

убывание — спуск точки, движущейся по графику слева направо;

постоянство функции — параллельность графика оси Оx;

выпуклость вверх — любая дуга графика лежит выше стягивающей её

хорды;

выпуклость вниз -любая дуга графика лежит ниже стягивающей её хорды;

знакопостоянство функции — расположение графика функции выше (ниже)

оси абсцисс;

чётность функции — симметричность графика функции относительно оси

ординат;

нечётность функции — симметричность графика функции относительно

начала координат;

ограниченность сверху (снизу) — расположение графика функции всюду

ниже (выше) некоторой прямой;

асимптота

— прямая,

к которой неограниченно приближается точка

графика, движущаяся по графику, неограниченно удаляясь от начала

координат;

вертикальная асимптота — прямая

x=c, при этом график уходит

неограниченно вверх или вниз;

горизонтальная асимптота — прямая y=a;

наклонная асимптота — прямая y=kx+b, к которой график неограниченно

приближается при x→ +∞ (правая асимптота), или x → - ∞ (левая асимптота);

точка максимума — абсцисса вершины графика, точка, в которой

возрастание функции сменяется убыванием её;

точка минимума — абсцисса, «дно впадины» на графике точка, в которой

функция определена и её убывание сменяется на возрастание;

нули функции — точки, в которых график касается или пересекает ось Оx.

Учет основных особенностей функции (область определения, нули, смена

знаков,

точки

«бесконечного

разрыва»,

наличие

вертикальных

и

горизонтальных асимптот) позволяет достаточно точно строить графики

почти всех функций, встречающихся в школьном курсе. Пренебрежение

этими элементарными и очень полезными средствами (и одностороннее

выпячивание производной в 10- 11 кл как основного средства исследования

функций) приводит к формализму в знаниях учащихся, к отсутствию у них

интуитивного видения графика по формуле, задающей функцию. Наверное,

лучше применять производную для уточнения формы графика, эскиз

которого

получен

предварительно

на

основе

анализа

функции

элементарными средствами.

Имея в арсенале учителя не один, а несколько учебников, важно

ориентироваться в них. Мне, например, нравится, что в учебниках А.

Мордковича должное внимание уделяется теме «Функции и графики», вернее

ведущей линией программы А. Мордковича является функционально-

графическая. И этому уделяется там особое и всестороннее внимание.

В 7-х 8-х классах изучается материал о наибольшем значении функции на

заданном промежутке, рассматривается вопрос о функциях, ограниченных

сверху и снизу, о выпуклостях, о возрастании и убывании функций, о

непрерывности, о нулях функции, о монотонности. Эти упражнения

предусматривают элементы опережающего обучения.

Все теоретические знания учащихся по теме «Функции и графики» удобно

обобщить, используя таблицу (см. Приложение)

О функциональной пропедевтике

Её нужно вводить, начиная с 5 класса. Просто пропедевтика понятия

сводятся к раскрытию его содержания без введения соответствующего

термина и формального определения. Она осуществляется в ходе изучения

программного материала, когда учащиеся встречают объекты, которые

принадлежат объёму этого понятия. Для пропедевтики понятия функции в 5-

6 классах есть необходимые условия.

При рассмотрении примеров функции разъясняется и закрепляется

правильное использование терминов «соответствует», «соответствующий».

Наиболее широкие возможности выполнения работы по намеченному

плану представляются в связи с рассмотрением таблиц, которыми заданы

конкретные функции.

1.

Рассмотрим, например, таблицу к упражнению из учебника «Математика –

5» .

В таблице указан список учеников и их рост.

№ п/п

Фамилия

Рост в см.

1.

Аксенов

124

2.

Борисов

135

3.

Володина

127

4.

Гришин

123

5.

Демина

136

6.

Петров

141

По

этой

таблице

учитель

может

провести

с

учащимися

дополнительную работу.

Вопрос: - Укажите рост, соответствующий Гришину.

Ответ:- Гришину соответствует рост в 123 см.

2.

Пусть в упражнении требуется записать формулу зависимости пути от

времени: «Из города вышел автобус со скоростью км/ч. На каком расстоянии

s от города будет автобус через х часов?

К этому упражнению целесообразно дать дополнительные задания.

1). Составьте таблицу значения s при

X = 1; 2; 3; 4.

2). Найдите, какому значению s соответствует значение x=2?

3). Выясните, каждому ли значению x=1;2;3;4 соответствует только одно

значение

S= 50; 100; 150; 200?

3.

На уроках математики в 5 и 6 классах учащимся часто приходится

изображать

числа точками числовой прямой или луча, а пара чисел – точками

координатной

плоскости.

Эти

упражнения

легко

дополнить

пропедевтическим заданием, в котором

от учащихся потребуется сделать следующее:

а) рассмотреть конечное множество чисел (пар чисел) и множество точек

числовой примой или луча (множество точек координатной плоскости);

б) для заданных чисел (пар чисел), взятых из первого множества указать

соответствующие

точки

числовой

прямой

или

луча

(координатной

плоскости);

в) выяснить, сколько точек соответствует каждому данному числу или паре

чисел.

После этого можно сформулировать общее утверждение: каждому числу

соответствует единственная точка числовой прямой или луча, а каждой паре

чисел-единственная точка координатной плоскости,

4.

Функциональную пропедевтику можно проводить на примерах бинарной

операции: [Бинарная операция на множестве М есть отображение множества

М×М в множество М. По этому примеру бинарной операции являются

примерами функций] сложения и умножения, возведения в степень,

нахождения наибольшего или наименьшего из двух чисел, наибольшего

общего делителя или наименьшего общего кратного двух чисел из множества

№ и т.д.

Так, рассматривая в 5 классе сложение натуральных чисел, полезно обращать

внимание учащихся на то обстоятельство, что данной паре натуральных

чисел (например, 5 и 3) соответствует единственное натуральное число (8).

Аналогичные рассуждения для других троек натуральных чисел приводят к

общему утверждения: любой паре натуральных чисел а и в соответствует

только одно натуральное число с такое, что а+b=с.

Рассмотренные примеры функций встречаются на уроках математики в 5-6

классах настолько часто, что использование только части этих примеров

позволяет приводить систематическую работу по пропедевтике понятия

функции. Если данная работа в 5-6 классах будет иметь место, тогда

построение определения общего понятия функции в 7 классе может служить

некоторым итогом, а не первым этапом в работе по формированию этого

важного математического понятия.

Продолжая вопрос о функциональной пропедевтике нельзя обойти стороной

практические работы.

Ведь они являются одной из форм обучения

математике учащихся, способствующей развитию и воспитанию ценных

графических, вычислительных навыков и умений. При этом немаловажное

значение имеет выработка практических навыков владения чертёжными и

измерительными инструментами и приборами.

В каждом классе с 5-9 в течении года можно провести 10-13 таких работ (на

число меняется в зависимости от класса). Как правило работа состоит из трёх

вариантов:

I

– упрощённый, II

– для большинства ребят, вариант III повышенной

трудности. Задание разной степени дают возможность индивидуализировать

работу, сделать её посильной для всех учеников.

Например, в 6 классе одна из работ по обобщающему повторению тем

«Перемещение точек по координатной прямой», «Координатная плоскость»

была предложена на дом. Подготовительная работа к ней проводилась через

систему домашних заданий и устных упражнений на уроках. Приведу

некоторые из них.

Практическая работа

Вариант № 1.

Ряд 1

Ряд 2

Ряд 3

Ряд 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

A

C

P

0

M

K

N

1.

Дан рисунок.

а) назовите координаты точек А, Р, С.

б) отметьте точку, симметричную точке А; Р; О; С относительно оси

OY. Каковы их координаты?

в) назови точки, расположенные выше оси ОХ; левее оси ОY; на оси

ОX; на оси ОY

Вариант 2.

Ряд 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

A

C

0

B

1.

Постройте отрезок АВ по координатам его концов А(-1; 6), В(3; -

2). Найдите координаты точки пересечения отрезка АВ с осью Ох.

2.

Запишите

координаты

вершин

АВС.

Постройте

точку,

симметричную точке В относительно оси ОY.

Вариант 3.

1.

Постройте четырёхугольник MNKP по координатам его вершин: М

(-5; 3), H (

-3; 1), К (1; 5), Р (7; -1).

2.

Найдите координаты точки пересечения отрезка КР с прямой ОX.

3.

Постройте отрезок ДЕ по координатам его концов Д (1;5), Е (4; -2).

Постройте отрезок, симметричный отрезку ДЕ относительно

начала координат. Назовите координаты концов построенного

отрезка.

В курсе алгебры большое значение имеют практические работы

(графические).

В 7 классе можно выделить 6 вопросов, по которым провожу

практические работы (4 из них домашние):

«График прямой пропорциональности»

«Алгебраические выражения»

«График линейной функции»

«График функции у=х²»

«График функции у=х³»

«График уравнения с двумя переменными»

А ещё в 5 классе тема: «Буквенные выражения» даёт большие

возможности, для функциональной пропедевтики особенно важны в этом

отношении задачи, содержание буквенные выражения, а также упражнения

по нахождению числовых значений, буквенных выражений, содержащих

одну букву.

Так,

например,

после

выполнения

очередного

упражнения

для

выражения вида 2а+1, при

а = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 составляли таблицу и сопровождали

графической

иллюстрацией,

состоящей

из

перпендикулярных

к

оси

вертикальных отрезков, равных значению выражения

Т.к. учащиеся 5 класса знакомы лишь с числовым лучом, то на нём

отмечали

выбранные

значения

буквы

и

из

каждой

такой

точки,

перпендикулярно к оси (объяснить, что такое перпендикулярные прямые,

что линии клеток вертикальные и горизонтальные всегда перпендикулярны)

проводили отрезок, равный значению выражения.

а

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2а+

1

1

3

5

7

9

11

13

15

17

1

9

21

(Выполнять после знакомства с десятичными дробями)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y

Затем выясняем, (после 5-6 таких заданий), что если бы вертикальные

отрезки были построены не только для указанных, но и всевозможных

значений буквы а между числами 0 и 10, то множество их концов образовало

бы некоторую линию, характеризующую изменение значения выражения при

изменении значения буквы а в пределах от 0 до 10. Проведя через концы

построенных отрезков плавную линию, ограниченную точками А и В,

предлагаю

учащимся

убедиться

в

том,

что

конец

любого

отрезка,

соответствующего значению а, (взятого из промежутка от 0 до 10, лежит на

проведённой линии. Можно поставить учащимся вопрос о графическом

изображении выражения по всей числовой оси.

В 7 классе при изучении самой первой темы: «Алгебраические

выражения», т.е. задолго до темы «Линейная функция», уже можно строить

графики

зависимости

значения

какого-либо

выражения

от

значения

входящей в него буквы.

Например, построить график зависимости значения выражения - 3/2

х+1 от х

х

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

- 3/2

х+1

10

7

4

1

-2

-5

-8

-11

-13

Составив таблицу значений, строили точки с координатами (-6;10), (-

4;7), (-2;4) и т.д. Затем построенные точки, построенные точки соединяли

непрерывно плавной линией (прямой) и получали график.

Выясняли, что в этом случае построенная линия позволяет находить

приближённое значение выражения для некоторых промежуточных значений

буквы х, сравнивая их с результатами, полученными непосредственным

вычислением. Далее можно предложить установить, как будут располагаться

точки графика, а, следовательно, и сама прямая, если величине х давать

«неограниченно возрастающие» положительные значения 10, 100, 1000... и

«неограниченно убывающие» значения х=-10, -50, -100, и т. д. (термины

выделенных выражений уметь объяснять).

Затем переходим к построению температурных

графиков.

Ознакомление

с

ними

можно

начать

с

построения кривой нагревания по экспериментально

полученным данным. Для этого в класс приносим

укреплённый на штативе тонкостенный стеклянный

сосуд со 100 г. воды, лабораторный термометр со шкалой

от 0 до 100

⁰

С, спиртовку и секундомер. Объяснив

содержимое и технику эксперимента, задать учащимся

несколько

вопросов

с

целью

заинтересовать

их

результатами этой работы (вопросы были записаны на

доске).

Через сколько секунд закипит вода в сосуде?

На сколько градусов за каждую минуту будет повышаться температура

воды в сосуде?

На одинаковое ли число градусов будет повышаться температура воды

в первые и последние минуты опыта?

Затем к доске вызывались трое учащихся. Один из них, пользуясь

секундомером, отсчитывал время (минуты), второй следил за показателями

термометра и через каждую минуту объявлял очередную температуру.

Третий заносил эти данные в заранее начерченную на доске таблицу.

Измерение проводилось около 6-7 минут, пока не закипала вода. Остальные

учащиеся записывали данные измерений:

Время в

минутах

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Температура

в градусах

18

33

47

60

72

83

91

97

100

Ознакомившись с таблицей, учащиеся отвечали на поставленные в

начале

работы

вопросы.

Затем

зависимость,

выражаемую

таблицей,

изображали графически.

С помощью учащихся выясняли вопрос о непрерывности графика

(график имеет вид сплошной линии, т.к. измерение температуры идёт

непрерывно).

Температура в градусах.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

x

y

Время в минутах.

Затем в беседе с классом вскрывали физический смысл непрерывности

и плавности построенного графика, а также причины его отклонения от

прямой линии

Вопросы (или задания) по графику:

1) Покажите отрезок горизонтальной оси, изображающий шесть минут.

2) Покажите отрезок, изображающий шестую минуту.

3) Определите, на сколько градусов возросла температура за первые

четыре первые минуты, за одну четвертую часть минуты.

В порядке домашнего задания учащимся поручалось

построить температурные графики остывающего тела – кривые охлаждения.

Работа

проводилась

во

внеурочное

время

в

кабинете

физики

под

наблюдением учителя. Для выполнения работы класс разбивается на три

группы. В каждой группе работа проходит примерно следующим образом:

учитель наливал в тонкий стакан определённое количество кипятка, а

учащиеся с помощью лабораторного термометра мерили его температуру

через каждые 5 минут в течении часа. Результаты измерений и время

записывали.

Счёт

времени

вели

с

момента

первого

измерения.

По

полученным данным строили график изменения температуры воды в

крупном масштабе (для демонстраций). Все обязанности между членами

группы распределяли таким образом, что построение графика велось по мере

поступления результатов измерения. Первая группа составляла график при

остывании 100 г воды в классе, вторая – при остывании 200 г. воды также в

классе, а третья – при остывании 200 г воды на улице, в зимних условиях.

Все графики строились в одном масштабе.

Ряд 1

10

20

30

40

50

60

70

80

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

x

y

Время в минутах.

t

0

C

График остывания 100г. воды

(при комнатной температуре).

На следующем занятии проводили чтение этих графиков. По графику

задавались следующие вопросы:

Какую температуру имела остывающая в комнате вода через 25 минут

после начала опыта; через 55 минут?

Через сколько минут после начала опыта вода остыла до 50

⁰

С?

На сколько градусов остыла вода за первые 10 минут, вторые, третьи?

Когда вода остывала быстрее: в начале или в конце?

При

рассмотрении

кривой

охлаждения,

отражающий

процесс

остывания 200 г. воды в комнате, задавала вопрос:

Сколько минут нужно ждать, пока налитый в стакан кипяток остынет

настолько, что его можно будет пить (обычно чай пьют при температуре

60

⁰

С)?

Сопоставляя все три графика, выясняли, в каком случае температура

падала быстрее: в помещении или на улице, у малого или большого

количества воды. Вскрывался и физический смысл непрерывности и

плавности построенного графика, а также причины его отклонения от прямой

линии.

Или

вот

ещё

пример

несложной

практической

работы

экспериментально

настроенного

графика:

зависимость

высоты

уровня

жидкости в сосуде от объёма жидкости. Для этого приносим на урок графин,

мензурку и линейку с делениями. Налив в графин 100 см3 воды,

определяем линейкой высоту её уровня, затем наливая ещё 100 см3, вновь

определяем высоту и т.д. Результаты записываем в таблицу и затем по этим

данным строим график.

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

5

10

15

20

25

30

35

40

x

y

0

А

В

С

Vcм

3

Уровень

воды в сантиметрах.

Работа по графику:

На какой высоте будет уровень жидкости в сосуде, если в него налить

350см3 воды?

Сколько воды надо налить в сосуд, чтобы уровень воды установился на

высоте 13 см?

На сколько сантиметров поднялся уровень воды в сосуде после пятого

вливания; девятого?

Почему на участке АВ кривая идёт более полого, чем на участках ОА и

ВС?

Почему на участке ВС кривая пошла круто вверх?

Дома учащиеся составляли аналогичные графики, используя различные

графины,

а

так

же

цилиндрические

сосуды

(с

целью

получения

прямолинейного графика).

Проверяя на следующем уроке домашнее задание, обращаю внимание

на то, что при некотором навыке можно по графику восстановить в общих

чертах вид самого сосуда. И по графику одной из домашних работ

схематически делаю рисунок. На ребят это производит большое впечатление,

у них появляется желание тоже научиться читать графики.

«Чтение» графиков начинали с элементарных упражнений на

равномерное движение.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

x

y

А

В

t(мин)

0

А - Пешеход

В - Велосипедист

Какой путь прошёл пешеход?

Какой путь проделал велосипедист?

Кто из них проделал больший путь?

Кто из них потратил больше времени на передвижение?

С какой скоростью двигался пешеход, велосипедист?

Можно ли по приведённому графику найти направление движения и

форму пути?

Можно ли по графику установить, одной или разными дорогами они

двигались?

Как

отразилась

на

взаимном

расположении

графиков

различие

скорости пешехода и велосипедиста?

Как показывает практика, работу по построению и чтению графиков

следует распределить по многим урокам и проводить преимущественно в

форме 3-5 минутных упражнений.

График функции как носитель информации.

Графики функций являются особым языком, на котором можно

выражать различные мысли. Например, с помощью графика функции, «на

графическом языке можно написать такую фразу: «Я всё лето был в Москве»,

а можно на этот язык перевести даже басню Крылова. Поэтому не изучая

конкретных функций, а только познакомившись с понятием графика

функции, ребята могут уже писать сочинения.

Примеры сочинений:

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

На рыбалке.

S, км

t, час

На озеро мы отправились вдвоём с товарищем за долго до восхода

солнца. Путь был неблизким. Озеро находилось в 5км. от нашего села.

За час довольно быстрой ходьбы мы, наконец, добрались до места

рыбалки. Самый лучший клёв на заре. И нам повезло, в течении трёх часов

нам сопутствовала удача, мы имели неплохой улов. Собрав снасти и

пойманную рыбу, довольные, мы направились домой.

Через час неторопливой ходьбы, пройдя 2 километра, мой товарищ

оступился и подвернул ногу так, что мы не смогли сразу продолжать путь. И

только через час, сделав тугую повязку на ногу, мы снова смогли идти

дальше. Оставшиеся три километра, мы преодолели за четыре часа.

Надолго мне запомнилась мне эта рыбалка

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Соревнование скалалазов.

S, км

t, час

В одном из горных районов проходило соревнование по

скалолазанию.

Скалолаз, победивший в соревновании, первые три километра прошёл

за один час. Это довольно хороший результат. Затем он отдыхал на выступе

скалы 30 минут и следующие два километра одолел только за два часа, т.к.,

подъём оказался крутым.

На вершине горы он отдохнул, подождав своих товарищей, и обратно

они спустились за один час, т.к., это сделать было значительно легче.

КАРТОЧКИ-ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАБОТЫ С ГРАФИКАМИ

Изучив тему «Линейная функция», учащиеся должны уметь по графику

функции определять значения k и b, указывать формулу данной функции:

они должны также без построения графика определить, каким (острым или

тупым) является угол наклона графика к оси 0x, показывать примерное

расположение графика функции, заданного формулой. Эти умения заметно

развиваются при работе учащихся со специальными карточками.

Пример одной из них:

График №1, 2. График №3, 4.

Ряд 1

Ряд 2

-3

-2

-1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

График №5, 6. График №7, 8.

Ряд 1

Ряд 2

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

1.

y=-2x+1

2.

y=-0,5x-1,5

3.

y=4,8x+2,4

4.

y=-3x-1

5.

y=0,2x-3

6.

y=4x+1

7.

y=0,6x+2

8.

y=-2,5х+0.8

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

Такие карточки с успехом можно использовать на уроках алгебры в 7-9

классах.

Учитывая, что у линейной функции, записанной в виде y = kx + b два

варианта значения b ≠ 0 (b > 0, b < 0) и четыре варианта k (k ≥ 1, 0 <k< 1, k ≤ -

1, -1< k < 0), можно изобразить на одной карточке 8 различных графиков, а

под ними записать 8 формул, каждая из которых соответствует какому-либо

из графиков. Учащиеся получают разные карточки, но задание у всех одно и

то же. Требуется установить взаимно однозначное соответствие между

графиками функций их аналитическими выражениями.

Для этого учащиеся заполняют пустые клетки таблицы, указанной

внизу карточки (см. рис.) Под каждой римской цифрой, обозначающей одну

из восьми формул, надо записать арабской цифрой номер соответствующего

графика. В таблице получается восьмизначное число, которое составляет код

карточки. Код данной карточки 37258641. Зная коды всех карточек, учитель

может уже на уроке проверить работы учащихся и тут же объявить оценки.

Такая быстрая проверка даёт большой эффект. Аналогичные задания можно

давать при изучении таких функций как y=

k

x

, y=

(

x

+

n

)

2

+

m

и многих других.

Чтобы приготовленная карточка служила долго, нужно обернуть её

плёнкой. Учащиеся, выполняя рассуждения устно, лишь заполняют таблицу

шариковой ручкой. После окончания работы эти записи легко убрать, т.к.

паста быстро стирается с плёнки ваткой, смоченной одеколоном. Вовсе не

обязательно для каждого составлять новый набор функций, достаточно

пронумеровать графики по-другому. Такие же задания можно выполнять на

компьютере, если их хватает на всех учащихся или провести диагностику

знаний у некоторых учащихся.

Задания на установление соответствия графиков функций формулам их

задающих, можно проводить с помощью математического лото. Если

соответствие установлено верно, то «пазлы» выстраивают рисунок верно. С

каким нетерпением они ожидают этого момента. Далее я привожу образец

одного из таких лото. Это две страницы одного листа. Он бывает разрезан по

указанным линиям и все это хранится в конверте(ах). Там же на отдельном

листе хранится схема сборки. Детям такой вид работы очень нравится.

Далее привожу ещё некоторые виды работ с графиками.

Творческое задание

Игра

1. Как называется первая координата точки? (Абсцисса).

2. Является ли графиком функции отрезок, параллельный оси абсцисс? (Да).

3. В каких четвертях абсцисса и ордината имеют одинаковые знаки? (I, III).

4. Какое общее свойство есть у всех точек на оси ординат? (Абсцисса равна

нулю).

5. Является ли графиком функции ось ординат? (Нет).

6. Какая ось является осью независимых переменных? (Ось абсцисс).

7. Каким общим свойством обладают точки, находящиеся слева от оси

абсцисс? (Абсцисса всегда равна нулю).

8. Обязательно ли равны единичные отрезки на координатных осях? (Нет).

9. Принадлежит ли положительная полуось ОX осей координат к какой -

нибудь четверти? (Ни к какой).

10. Одна из пары чисел, задающих положение точки на плоскости

(Координата).

11. Линия на координатной плоскости, изображающая какую - нибудь

зависимость. (График).

12. Послушайте внимательно отрывок из поэмы Некрасова «Кому на Руси

жить хорошо» и назовите координаты поляночки:

… Идите по лесу.

Против столба тринадцатого

Прямохонько версту:

Придете на поляночку,

Стоят на той поляночке

Две старые сосны.

(«Тринадцатого» и «версту» - координаты поляночки).

13. Что представляет собой множество точек, у которых первая координата

ноль?

14. Что представляет собой множество точек, у которых вторая координата -

2?

15. Кто ввел в математику термин «функция»? (Рене Декарт. 1596 - 1658)

Лабораторно — практическая работа «Квадратичная функция и её

график»

1.

Определите вид графика.

2.

Найдите координаты вершины параболы.

3.

Найдите значение функции в нескольких точках.

4.

Постройте график функции и укажите:

а) область определения;

б) множество значений;

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

г) промежутки возрастания и убывания; наибольшее и наименьшее значение

функции.

Вариант 1. y = x -2x - 3

Вариант 2. y = x + 2x

Вариант 3. y = - x + 4x - 3

Вариант 4. y = - x – 2x + 8

Вариант 5. y = 2x - 4x

Вариант 6. y = 1/2x + x

Вариант 7. y = x – 6x + 7

Вариант 8. y = (x – 1)(x – 8)

5.

Найдите графически (приближенно) абсциссы точек пересечения

вашего графика со следующим графиком (смотри соответствующий

вариант).

Вариант 1. y = 2/x

Вариант 2. y = x

Вариант 3. y = 2/x

Вариант 4. y = x

Вариант 5. y = 1/x

Вариант 6. y = - 1/x

Вариант 7. y = x

Вариант 8. y = x