Название статьи всероссийского уровня:

«Виды рациональных выражений»

Аннотация:

В данной статье рассмотрено решение уравнений по теореме Виета

Ключевые слова:

Теорема Виета, квадратное уравнение

Выполнила:

Шмакова Татьяна Вячеславовна

ГБОУ СОШ №250 Кировского района

Санкт-Петербург

2019г.

Теорема Виета

Для начала сформулируем саму теорему: Пусть у нас есть

приведённое квадратное уравнение вида x^2+b*x + c = 0. Допустим,

это уравнение содержит корни x1 и x2. Тогда по теореме следующие

утверждения допустимы:

1) Сумма корней x1 и x2 будет равняться отрицательному значению

коэффициента b.

X1+X2 = - b ;

2) Произведение этих самых корней будет давать нам коэффициент c .

X1*X2 = c ;

Но что же такое приведённое уравнение

Приведённым квадратным уравнением называется квадратное

уравнение, коэффициент старшей степени, которой равен единицы,

т.е. это уравнение вида x^2 + b*x + c = 0. (а уравнение a*x^2 + b*x + c

= 0 неприведенное). Другими словами, чтобы привести уравнение к

приведённому виду, мы должны разделить это уравнение на

коэффициент при старшей степени (a). Задача привести данное

уравнение к приведённому виду:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Поделим каждое уравнение на коэффициент старшей степени,

получим :

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Как можно увидеть из примеров, даже уравнения содержащие дроби,

можно привести к приведённому виду.

Использование теоремы Виета

Дальше мы должны воспользоваться теоремой Виета на практике, для

этого нужно решить несколько квадратных уравнений без применения

основной формулы:

X^2 5*x + 6 = 0

⇒

x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

получаем корни: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0

⇒

x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

в результате получаем корни: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0

⇒

x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

получаем корни : x1 = −1; x2 = −4.

Значение теоремы Виета

Теорема Виета позволяет нам решить любое квадратное приведённое

уравнение практически за секунды. На первый взгляд это кажется

достаточно сложной задачей, но после 5 10 уравнений, можно

научиться видеть корни сразу.

Из приведённых примеров, и пользуясь теоремой, видно как можно

значительно упростить решение квадратных уравнений, ведь

используя эту теорему, можно решить квадратное уравнение

практически без сложных расчётов и вычисления дискриминанта, а

как известно чем меньше расчётов, тем сложнее допустить ошибку,

что немаловажно.

Во всех примерах мы использовали это правило, опираясь на два

важных предположения:

- приведённое уравнение, т.е. коэффициент при старшей степени равен

единицы (это условие легко избежать. Можно использовать

неприведенный вид уравнения, тогда будут допустимы следующие

утверждения x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, но обычно сложнее решать :))

- когда уравнение будет иметь два различных корня. Мы предполагаем

что неравенство верно и дискриминант строго больше нуля.

Поэтому, мы можем составить общий алгоритм решения по теореме

Виета.

Общий алгоритм решения по теореме Виета

- Приводим квадратное уравнение к приведённому виду, если

уравнение дано нам в неприведённом виде. Когда коэффициенты в

квадратном уравнении, которое раньше мы представили как

приведённое, получились дробными( не десятичными ), то в этом

случае следует решать наше уравнение через дискриминант.

Также бывают случаи когда возврат к начальному уравнению

позволяет нам работать с “удобными” числами.

- В случае когда коэффициенты уравнения являются целыми, следует

решать уравнение по теореме Виета.

Примечание : Если в течении нескольких секунд, нам не удаётся найти

корни по теореме Виета, то следует решать через дискриминант, это

зачастую бывает быстрее.