Научить учащихся доказывать теоремы очень ответственная и серьезная задача для учителя. Успех зависит от уровня подготовленности класса и от способностей учащихся. Работа с теоремами отличается от другой работы в изучении математики, тем, что теорема - высказывание, требующее доказательства. В геометрии на доказательстве теорем строится решение любой задачи. Выучить основные теоремы геометрии необходимо для усвоения обязательного школьного минимума. К тому же, в ЕГЭ по математике включена масса задач по геометрии, без решения которых невозможно получить высокий балл за весь тест. Умение быстро выучить
теорему
- залог хорошего уровня знаний по математике. А как правильно это сделать, зависит от учителя! Нужно так построить обучение, чтобы теоремы запоминались быстро и легко, а так же п р и м е н я л и с ь п р и р е ш е н и и з а д а ч . Доказательство теорем способствует формированию умений рассуждать, проводить доказательства, аргументировать высказывания. Развитие способностей анализировать данные, принимать решения и обосновывать свой выбор в наибольшей мере способствует изучение математики. До сих пор не получило должного развития направление в педагогике – в умении преподавать теоремы. Учащиеся, в основном, зазубривают теоремы наизусть, лишь бы отчитаться и большинство из них не понимает смысла и тем более не умеет применять. Теоремы геометрии, как правило, состоят из трех частей. Первая часть - это самостоятельное высказывание. В нем заключается вся суть теоремы. Это какое-либо свойство геометрической фигуры или тела, или каких-либо иных значимых объектов геометрии (точек, прямых, углов). Вторая - это рисунок, объясняющий
теорему
и являющийся визуальным представлением информации, представленной в первой части. Третья - это само доказательство теоремы (обычно, это самая объемная часть). Задача состоит в том, чтобы научить учащихся во всех трех частях, так как без понимания какой либо из них весь смысл теряется. Большинство теорем школьного курса математики в 7 класс е сопровождается доказательствами. Но к доказательству можно обращаться лишь тогда, когда усвоено содержание теоремы, ее формулировка. Поэтому, нужно сначала отработать формулировку теоремы, прежде, чем приступить к доказательству. А потом проводят такие операции: распознают, применима ли теорема к тому или иному объекту, и если да  делают вывод об этом объекте на основании этой теоремы. Именно такими должны быть задания, адекватные формулировке изучаемой теоремы. Сформулировав новую теорему, учитель демонстрирует ученикам набор объектов и задает именно этот вопрос: «К каким из данных объектов относится данная теорема (правило, признак, следствие, лемма и пр.) и что можно о нем сказать на ее основании?». Например, сформулировав теорему о I признаке равенства треугольников, учитель показывает несколько чертежей и просит установить, какой из них иллюстрирует эту теорему и что можно сказать о фигурах на этом чертеже. Ученики устанавливают, что на одном из чертежей изображены два треугольника, у которых равны две стороны соответственно и равен угол между этими сторонами, отсюда следует, что на этом чертеже показана теорема о первом признаке равенства треугольников, и можно на основании этой теоремы сделать вывод о равенстве треугольников. На других же чертежах какие-либо из условий теоремы о I признаке равенства
треугольников нарушены: на одном стороны не равны, на другом углы не равны, на третьем только одна сторона и угол равны. Когда формулировка усвоена, можно приступить к доказательству теоремы. Научить доказывать теоремы нельзя (иначе не было бы недоказанных теорем). А вот знакомить учеников с разными методами доказательства теорем  нужно. И лучшим таким знакомством является показ доказательства. Поэтому надо доказывать теоремы в классе и разбирать эти доказательства с учениками. Прежде, чем приступать к изучению теорем, нужно разобраться с аксиомами. В разных учебниках геометрии по-разному решается вопрос о перечне аксиом, на которых базируется этот курс. Определим лишь методы работы с теми аксиомами, которые формулируются в учебнике по геометрии А.Г.Мерзляк. Математики применяют аксиомы для доказательства теорем и для решения задач. Поэтому учить детей надо именно этому. Сделать так, чтобы все аксиомы было легко выучить и чтобы на них было легко ссылаться. Для этого желательно повесить на стене учебного кабинета таблицу с чертежами ко всем этим аксиомам. Эта таблица занимает целый лист ватмана (А1). На нем располагаются десять прямоугольников. В каждом из них дан номер аксиомы, присвоенный ей в учебнике Погорелова, дан чертеж, иллюстрирующий аксиому, и в углу дан мелким шрифтом текст аксиомы, выписанный из учебника. Копии этой таблицы полезно распечатать для учеников в формате А4. По этой таблице можно вести такую работу. 1. В математических диктантах просить назвать, глядя на таблицу, номер произносимой учителем аксиомы. 2. В математических диктантах просить написать, глядя на таблицу, текст аксиомы, номер которой назван учителем. 3. При анализе ответов на указанные вопросы диктантов зачитывать тексты аксиом по таблице. 4. При необходимости сослаться на аксиому во время решения задач и доказательства теорем требовать записи только ее номера, что делает запись компактной. Преподавание геометрии в школе играет особую роль в умственном воспитании детей. Особое внимание необходимо уделять задачам на построение. Следует считать обязательным требование, чтобы каждый ученик свободно владел алгоритмами решения следующих задач на построение циркулем и линейкой, о которых говорится в Стандарте образования: деление отрезка пополам, построение треугольника по трем сторонам, построение перпендикуляра к прямой, построение биссектрисы, деление отрезка на n равных частей. К этому нужно добавить умение строить угол, равный данному, а также (желательно) построение третьего пропорционального к двум отрезкам и четвертого пропорционального к трем отрезкам. Добиваться этого можно, ставя эти задачи в математические диктанты. Другими словами задача
преподавания теорем сводится в тому, чтобы для начала отработать формулировку теоремы, а потом уже приступать к доказательству. Для того, чтобы усвоить содержание теорем , необходимо пытаться понять смысл теоремы и как можно чаще применять их при решении задач, при доказательстве других теорем. Такая работа, приводит к непроизвольному усвоению их содержания, запоминанию их формулировок. Теоремы бывают разных видов. Совершенно особо выглядят теоремы существования, формулируемые так: «существует объект, имеющий данные свойства: $ хА(х)». Особняком стоят и так называемые теоремы единственности: «существует только один объект, обладающий данным свойством». В большинстве теорем школьного курса математики доказываются те или иные свойства или признаки тех или иных объектов. Строение этих теорем таково: если верно высказывание А(х), то верно высказывание В(х) ( " х Î М(А(х) Þ В(х)). Например, теорема о вертикальных углах может быть прочтена таким образом: для любых двух углов, если верно, что эти углы вертикальные, то верно, что эти углы равны. В теоремах можно выделить три части: разъяснительную часть ( " х Î М), показывающую, на каком множестве рассматривается теорема; условие А(х), показывающее, что известно об объекте х; заключение В(х), показывающее, что требуется доказать. Если А Þ В, то А называется достаточным свойством для В, а В – необходимым свойством для А. Если у теоремы поменять местами условие и заключение, сохраняя разъяснительную часть, то получится обратная теорема. Именно, для теоремы " х Î М(А(х) Þ В(х)) обратной является теорема " х Î М(В(х) Þ А(х)). Например, для теоремы о накрест лежащих углах: (В любом треугольнике АВС) (если угол А прямой, то АС 2 + АВ 2 = ВС 2 ) – обратная теорема выглядит так: (В любом треугольнике АВС) (если АС 2 + АВ 2 = ВС 2 , то угол А прямой).  Если у теоремы заменить условие и заключение их отрицаниями, сохраняя разъяснительную часть, то получится противоположная теорема. Именно, для теоремы " х Î М (А(х) Þ В(х)) противоположной является теорема " х Î М( ù А(х) Þù В(х)). Например, для теоремы о накрест лежащих углах: (Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.  противоположная теорема выглядит так: (Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.)  Бывает, что исходная теорема А Þ В верна, а обратная и противоположная теоремы не верны.

Теорема.

Диагонали прямоугольника равны между собой.
Всякий шаг доказательства состоит из трех частей: 1) разъяснение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится этот шаг доказательства; это основание шага доказательства называется посылкой или аргументом; 2) условие, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или к ранее полученным следствиям; 3) заключение применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям. В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать. Покажем процесс доказательства на примере такой теоремы: «Диагонали прямоугольника равны». В э т о й т е о р е м е н а м д а н п р о и з в о л ь н ы й ( л ю б о й ) прямоугольник, Для того чтобы легче было рассуждать в процессе доказательства, поступают следующим образом. Начертим вполне определенный прямоугольник ABCD, но при доказательстве не будем использовать какие-либо частные особенности этого прямоугольника (например, что его сторона АВ примерно в 2 раза больше стороны AD и т. д.). Поэтому наши рассуждения относительно этого определенного прямоугольника будут верны и для любого другого прямоугольника, т. е. они будут иметь общий характер для всех прямоугольников. Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим полученные треугольники ABC и ABD. У этих треугольников углы ABC и BAD равны как прямые, катет АВ — общий, а катеты ВС и AD равны как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно, эти треугольники равны. Отсюда следует, что стороны АС и BD также равны, что и требовалось доказать.
Что значит доказать теорему, что такое доказательство?
Доказательство в широком смысле — это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений. Доказательство математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности чисто дедуктивным способом (от латинского слова дедукция — выведение), т. е. выведением новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.
Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам. Самое трудное в доказательстве — это найти последовательность разъяснений , применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам в конечном итоге можно получить нужное следствие — доказываемое положение. Какими правилами нужно руководствоваться при поиске этой последовательности? Вот некоторые правила, которые полезно помнить: 1. Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме , их определениями или признаками. Например, в рассмотренной выше теореме шла речь о прямоугольнике, и мы для доказательства использовали определение прямоугольника. 2. Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности. Так, например, доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм» — можно разделить на две части: сначала доказать, что одна пара противоположных сторон данного четырехугольника параллельна, а затем доказать, что и вторая пара противоположных сторон также параллельна. Так следует поступать всегда, когда есть возможность доказываемое утверждение разбить на несколько частей более простых утверждений. 3. В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условиям. Изучая теоремы, нужно не просто запоминать их доказательство, а каждый раз думать и устанавливать, какими методами они доказываются, какими эвристическими правилами руководствовались при нахождении этих доказательств, как догадались (додумались) до этих доказательств. В ряде случаев для доказательства теорем используется особый прием, называемый «доказательством от противного» Сущность этого приема заключается в том, что предполагают несправедливость (ложность) заключения данной теоремы и доказывают, что такое предположение приводит к противоречию с условием или с ранее доказанными теоремами или аксиомами. А так как любое утверждение может быть либо верным, либо неверным (ничего другого быть не может), то полученное противоречие показывает, что допущение о ложности заключения теоремы неверно и, следовательно, заключение верно, тем самым теорема доказана. Приведем пример. Теорема. Две прямые, порознь параллельные третьей, параллельны между собой.
Д а н о : а | | с , b | | с . Доказать: а||b. Докажем эту теорему методом от противного. Допустим, что заключение теомы неверно, т. е. прямая а непараллельна прямой b. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. А так как по условию каждая из этих прямых параллельна прямой с, то получается, что через точку М проведены две прямые а и b, параллельные одной и той же прямой с. А мы знаем по аксиоме параллельности, что через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Пришли к противоречию с аксиомой. Это показывает, что наше предположение о непараллельности прямых а и b неверно, следовательно, а||b, что и требовалось доказать. Таким образом, доказательство от противного некоторой теоремы состоит в том, что мы делаем допущение о неверности заключения теоремы. Затем делаем ряд логических умозаключений на основе этого допущения, в результате которых приходим к явно нелепому положению (к противоречию с условием или ранее доказанными теоремами, аксиомами). Далее рассуждаем так: если бы наше предположение было бы верным, то мы могли бы прийти лишь к верному выводу, а так как мы пришли к неверному выводу, то это означает, что наше предположение было ложным, следовательно, тем самым мы убедились, что заключение теоремы верно. Заметим, что если в результате рассуждений мы не получили бы нелепости (противоречия), то это еще не означало бы, что предположение верно. Иными словами, если исходить из верности (справедливости) заключения теоремы и из этого предположения получить верное (очевидное) следствие, то это еще не значит, что предположение верно: может случиться, что исходная теорема как раз неверна. Таким образом, доказательство – это последовательность действий, в результате которого вы получите неоспоримое утверждение. Наибольшую трудность при доказательстве теоремы представляет нахождение именно той последовательности логических рассуждений, которые приведут к поиску того, что требовалось доказать. Разбейте теорему на части и, доказывая, каждую часть по отдельности, в итоге вы придете к искомому результату. Полезно овладеть навыком «доказательства от противного», в ряде случаев именно таким способом проще всего доказать теорему. Т.е. начните доказательство со слов «предположим обратное», и постепенно докажите, почему этого не может быть. Закончите доказательство словами «следовательно, первоначальное утверждение верно. Теорема доказана».