Автор: Рагулина Инна Павловна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: ГБОУ Школа 285 им. В.А. Молодцова
Населённый пункт: Москва
Наименование материала: Теоретический материал и методические разработки к урокам алгебры в 8 классе.
Тема: Квадратные корни.
Раздел: среднее образование
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ.
Теоретический материал и практические задания для
проведения уроков и факультативных занятий по данной
теме в 8 классе.
Учебно-воспитательная цель:
Обеспечить усвоение и закрепление, с учетом межпредметных связей, следующих основных понятий:
иррациональных и действительных чисел, арифметического квадратного корня. Сформировать умение
выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Развивать умение выделять
главное, сравнивать и обобщать изучаемые факты, логически излагать мысли. Развивать
самостоятельность школьников, умение преодолевать трудности. Продолжить формирование навыков
самоконтроля.
Математические сведения могут применяться
умело и с пользой только в том случае, если они
усвоены творчески, так, что учащийся видит сам,
как можно было прийти к ним самостоятельно.
А. Н. Колмогоров.
1
ВСТУПЛЕНИЕ.
ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
История иррациональных чисел началась с удивительного открытия пифагорейцев еще в VI в.
до н.э. Началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали
квадрата со стороной 1?
Диагональ разбивает квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она
выполняет роль гипотенузы. По теореме Пифагора длина диагонали квадрата
равна
2
1
1
2
2
. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е.
такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует.
Следовательно, отношение их длин – число
2
-нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m
и n.
Как доказать, что число
2
иррационально? (Современное доказательство.)
Предположим, что существует рациональное число m / n, такое, что m/n=
2
. Дробь m/n
несократимая. Тогда m=
2
n. Возведем обе части равенства в квадрат. Получим, m
2
=2n
2
.
Отсюда заключаем, что m-четное число, т.е. m=2k. Поэтому m
2
= 4k
2
.
Следовательно, 4k
2
=2n
2
, т.е. n
2
= 2k
2
.
Получаем, что n также четное число, а этого быть не может, т. к. дробь m/n несократима.
Наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного
2
, не существует.
Вернемся к ученикам Пифагора. Открыв новый математический объект, они пришли в полное
замешательство. Они считали, что в основе всеобщей гармонии мира должны лежать целые числа и их
отношения. Других чисел они не знали. И вдруг эта гармония рушится!
О пережитом учениками Пифагора смятении свидетельствуют древние легенды. Они держали свое
открытие в секрете. Однако Гиппас из Метапонта открыл людям «ужасную» тайну существования
несоизмеримых величин, и Небо покарало его: он утонул в море во время шторма.
Понятия «рациональный» и «иррациональный» использовал уже Платон в диалоге «Государство»,
рассуждая о соизмеримости диагонали квадрата и его стороны.
Встречаются они и в книге «Начал» Евклида.
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ.
Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.
Неотрицательный квадратный корень из числа получил специальное название – арифметический
квадратный корень.
Определение. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число,
квадрат которого равен а.
в
а
, если выполняются два условия
2
а
=
,
в
0
в
.
Для арифметического квадратного корня из
а
принято обозначение:
а
. Знак
называют
знаком квадратного корня или знаком радикала ( от латинского слова radix – корень).
Историческая справка. ( Как появился знак корня.)
На протяжении нескольких веков математики вслед за Леонардо Пизанским квадратный корень
обозначали знаком
( сокращение от слова radix ). Постепенно
превратилось в строчную букву
r. В книге по алгебре Кристофа Рудольфа (1525г.) вместо r используется значок √. А горизонтальную
черту над выражением под радикалом ввел в 1637 г. Рене Декарт.
ЧАСТЬ 1.
ВЫЧИСЛЕНИЕ И ОЦЕНКА ЗНАЧЕНИЙ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ.
1).Историческая справка.
2
К извлечению квадратного корня еще в древние времена приводили задачи практического характера
(например, выделение квадратного участка земли заданной площади, решение задач, приводящих к
квадратным уравнениям).
Так, в китайской математической рукописи, написанной во II в до н. э. по еще более древним
источникам, уже имеется описание способа нахождения квадратных корней.
Извлечение квадратного корня (например, при решении квадратных уравнений) встречается и в
сочинении знаменитого среднеазиатского математика аль-Хорезми.
Интересен способ, по которому ученые Вавилона (более 4000 лет назад) находили приближенное
значение квадратного корня из любого натурального числа.
Правило, применявшееся в Вавилоне, таково: чтобы извлечь квадратный корень из натурального
числа c, его разлагают на сумму
2
а
+
в
(число
а
должно быть наибольшим таким, что
2
а
< c).
Тогда квадратный корень из с приближенно вычисляют по формуле
b
a
c
2
≈
а
в
а
2
.
Например,
3
25
28
≈ 5+
5
2
3
=5,3.
Т.к. 5,3
2
=28,09, то приближенный корень получен с достаточно большой точностью.
Если правую часть равенства
в
а
2
≈
а
в
а
2
возведем в квадрат, то получим: (
а
в
в
а
а
в
а
2
)
2
2
2
.
Таким образом, квадрат найденного приближенного значения корня отличается от подкоренного числа
на величину
2
2
4а
в
. Отсюда следует, что найденный по данной формуле корень будет тем точнее, чем
меньше число
b
по сравнению с
a
.
Грекам был известен вавилонский метод приближенного нахождения квадратного корня.
Например, у Герона Александрийского (ок.I в.) написано
16
144
160
≈12+
3
2
12
12
2
16
.
2).Современный способ нахождения приближенных значений арифметического квадратного
корня.
Данный прием основан на следующей теореме.
Если
0
b
a
, то
b
a
.
Доказательство.
Пусть
b
a
.Возможны два варианта.
1.
b
a
. Тогда
,
)
(
)
(
2
2
b
a
т.е.
b
a
, что противоречит условию. Значит,
b
a
.
2.
b
a
. Т.к.
0
,
0
b
a
, то по следствию из теоремы о почленном умножении неравенств, обе части
которых являются положительными числами получаем, что
2
2
)
(
)
(
b
a
, т.е.
b
a
, что также
противоречит условию. Значит, сделанное предположение неверно и
b
a
, что и требовалось
доказать.
Используя данную теорему, можно вычислять приближенные значения корня с одним, с двумя и т.д.
знаками после запятой.
Рассмотрим на примере
2
.
Сначала найдем два последовательных натуральных числа, между которыми заключен
2
.
Т.к. 1 и 2 – приближенные значения
2
с точностью до 1, соответственно с недостатком и с избытком.
Далее необходимо последовательно возводить в квадрат числа 1,1; 1,2; … ; 1,9 до тех пор, пока не
получим число, большее 2: 1,1
.
25
,
2
5
,
1
;
96
,
1
4
,
1
;
69
,
1
3
,
1
;
44
,
1
2
,
1
;
21
,
1
2
2
2
2
2
Значит, 1,4
2
2
5
,
1
2
, т.е. 1,4<
.
5
,
1
2
Числа 1,4 и1,5 – приближенные значения
2
с точностью до
0,1, соответственно с недостатком и с избытком.
Далее необходимо возводить в квадрат числа 1,41; 1,42; …; 1,49, пока не встретится число, большее 2.
1,41
,
0164
,
2
42
,
1
9881
,
1
2
2
u
т.е. 1,41
.
42
,
1
2
41
,
1
,
42
,
1
2
2
2
1,41 u 1,42 – приближенные значения
2
с точностью до 0,01.
Продолжая тот же процесс, найдем, что 1,414
.
002225
,
2
415
,
1
,
999396
,
1
2
2
Т.е. 1,414
.
415
,
1
2
414
,
1
,
415
,
1
2
2
2
Далее 1,4142<
2
<1,4143, 1,41421<
2
<1,41422 и т.д. Т.е.
2
=1,41421… .
3
В практических расчетах для нахождения приближенного значения арифметического квадратного корня
применяют специальные таблицы и микрокалькулятор.
Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, то можно воспользоваться способом
уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.
Теорема. Если
a
- положительное число и
1
x
приближенное значение для
а
по избытку, то
1
х
а
-
приближенное значение для
а
по недостатку.
Доказательство.
По условию
a
x
1
. Значит,
.
1
,
2
1
2
1
x
a
a
x
Но
.
)
(
2
1
2
1
2
2
1
x
a
a
x
a
x
a
Т.к.
,
1
2
1
x
a
то
.
2
1
a
x
a
a
Значит,
a
x
a
2
1
)
(
и
1
x
a
- приближенное значение
a
по недостатку. Аналогично доказывается, что
если
1
x
- приближенное значение для
a
по недостатку, то
1
x
a
- приближенное значение
a
по избытку.
Т.к.
1
x
и
1
x
a
являются приближенными значениями для
a
по избытку и недостатку, то в качестве
лучшего приближения для
a
удобно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т. е. число
).
(
2
1
1
1
2
x
a
x
x
Для получения более точного значения для
a
, надо взять среднее арифметическое
чисел
2
x
и
2
x
a
, т.е. число
),
(
2
1
2
2
3
x
a
x
x
и т.д.. Приближения ведут до тех пор, пока два полученных
значения
n
x
и
1
n
x
не совпадут в пределах заданной точности.
Например. Найдем приближенное значение для
2
с точностью до 0,0001.
Решение. Пусть
.
1
1
x
Тогда,
.
4142
,
1
)
4166
,
1
2
4166
,
1
(
2
1
,
4166
,
1
)
5
,
1
2
5
,
1
(
2
1
,
5
,
1
)
1
2
1
(
2
1
4
3
2
x
x
x
Значит, с точностью до 0,0001 имеем
.
4142
,
1
2
Практические задания на оценку и вычисление значений квадратных корней.
1.Расположите в порядке возрастания числа: 6;
35
;
.
0
;
3
;
7
,
1
;
47
Ответ: -
.
47
;
6
;
35
;
0
;
7
,
1
;
3
2.Расположите в порядке убывания:
.
5
,
1
;
3
1
2
;
3
,
5
;
0
;
6
1
5
;
3
,
2
Ответ:
.
3
1
2
;
3
,
2
;
5
,
1
;
0
;
6
1
5
;
3
,
5
3.Вычислите значение корня, используя формулу
:
2
2
a
b
a
b
a
c
а).
130
; б).
940
; в).
1700
.
Ответ: a).
.
82
19
41
).
;
3
2
30
).
;
22
9
11
в
б
4.Не используя калькулятор, найдите первую цифру после запятой в десятичной записи
следующих чисел:
.
26
;
130
;
13
;
70
Ответ: 3; 6; 4; 0.
5.Найдите приближенное значение с точностью до 0,0001 для числа:
.
7
;
5
;
3
Ответ: 1,7320; 2,2360; 2,6457.
ЧАСТЬ 2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ.
Арифметическим квадратным корнем из числа
a
называется неотрицательное число, квадрат которого
равен
a
.
4
Равенство
b
a
верно, если выполняется два условия: 1).
0
b
и 2).
.
2
a
b
Из определения арифметического квадратного корня следует, что если
a
имеет смысл, то
a
a
2
)
(
и
.
2
a
a
Докажем , что
.
2
a
a
Если
0
a
,то из определения арифметического квадратного корня следует, что
.
2
a
a
Если же
0
a
, то
0
a
. Значит,
,
2
a
a
т.к.
0
a
и
.
)
(
2
2
a
a
Т. е.
a
a
2
, если
,
0
2
a
a
u
a
если
0
a
, т. е.
.
2
a
a
Разберем примеры различных заданий на применение определения арифметического квадратного
корня.
Пример1.. Найдите значение выражения: а).2
;
25
,
0
1
,
0
25
,
12
б).
;
)
5
(
2
в).
.
69
,
1
Решение.
а).Из определения арифметического квадратного корня следует, что
,
5
,
3
25
,
12
т.к. 0,5>0 и
,
5
,
0
25
,
0
;
25
,
12
5
,
3
2
т.к. 0,5>0 и
.
25
,
0
5
,
0
2
Значит,
.
95
,
6
05
,
0
7
5
,
0
1
,
0
5
,
3
2
б).
,
5
)
5
(
2
т.к.
.
5
5
)
5
(
2
в).Данное выражение не имеет смысла, т.к. квадрат любого числа является неотрицательным числом.
Ответ: а). 6,95; б). 5; в). не имеет смысла.
Пример2. При каких
x
имеет смысл выражение: а).
;
4
3
x
x
б).
;
2
1
2
x
x
x
в).
?
1
1
3
x
x
x
Решение.
а).Выражение
4
x
определено, если
,
0
4
x
т.е.
.
4
x
Но, т.к.
4
x
является знаменателем, то
данное выражение определено, если x>4.
б).Выражение
x
определено при
,
0
x
а выражение
2
x
при
,
0
2
x
т.е.
.
2
x
Значит, при
0
x
определены оба корня. При таких x имеем:
,
0
2
0
x
u
x
поэтому
знаменатель при
0
x
не обращается в нуль, значит, данное выражение имеет смысл при
.
0
x
в).Используя определение арифметического квадратного корня и учитывая, что знаменатель дроби не
должен быть равен нулю, получим:
;
0
1
,
0
,
0
1
3
x
x
x
;
1
,
0
,
3
1
x
x
x
.
1
,
3
1
x
x
.
;
1
1
;
3
1
x
Ответ: а).
;
;
4
б).
;
;
0
в).
.
;
1
1
;
3
1
Пример3. Решите уравнение: 1).
.
0
)
5
)(
4
).(
5
;
2
7
3
).
4
;
6
6
5
).
3
;
0
8
).
2
;
0
3
x
x
x
x
x
x
Решение.
1).Арифметический квадратный корень
x
определен при
,
0
x
при этом
.
0
x
.
3
;
0
3
x
x
Данное уравнение корней не имеет.
2).
.
8
,
0
8
x
x
Из определения арифметического квадратного корня следует, что
.
64
,
8
)
(
2
2
x
x
3).
.
6
6
5
x
Возведем обе неотрицательные части данного уравнения в квадрат. Получим:
5
.
6
,
30
5
,
36
6
5
,
6
)
6
5
(
2
2
x
x
x
x
4).
.
2
7
3
x
Уравнение не имеет смысла, т.к. арифметический квадратный корень из неотрицательного числа – число
неотрицательное, а число -2<0.
5).
.
0
)
5
)(
4
(
x
x
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при
этом имеет смысл. Данное уравнение равносильно системе:
;
0
;
0
5
,
0
4
x
x
x
;
0
;
5
,
4
x
x
x
;
0
;
25
,
4
x
x
x
.
25
x
Ответ: 1).Корней нет; 2).64; 3).6; 4).корней нет; 5).25.
Пример4. Упростите выражение: 1).
.
)
5
7
(
)
5
1
(
).
2
;
)
3
7
(
2
2
2
Решение.
1).Т.к.
a
a
2
, то
3
7
)
3
7
(
2
. Определим знак числа
.
3
7
Числа 7 и
3
- положительные.
Рассмотрим их квадраты: 7
.
3
)
3
(
,
49
2
2
Т.к. 49>3, то
3
49
, т.е. 7>
3
,
поэтому
.
3
7
3
7
2).
.
5
7
5
1
)
5
7
(
)
5
1
(
2
2
Число
5
1
, т.к.
.
5
1
5
5
,
1
1
2
2
u
Поэтому
,
0
5
1
т.е.
.
1
5
5
1
Число
,
5
7
т.к.
.
5
49
5
)
5
(
,
49
7
2
2
u
Поэтому
0
5
7
, т.е.
.
5
7
5
7
Окончательно получаем:
.
8
5
2
5
7
1
5
)
5
7
(
1
5
5
7
5
1
Ответ: 1).
;
3
7
2).
.
8
5
2
Практические задания для самостоятельной работы на применение определения
арифметического квадратного корня.
1. Вычислите:
а).
;
)
4
(
)
3
,
0
(
)
2
(
;
5
3
;
)
13
(
;
7
;
)
2
(
5
,
3
;
57
3
1
;
)
12
,
1
(
;
3
,
15
2
4
6
4
6
4
4
2
2
2
2
б).
;
21
,
1
)
7
(
;
)
5
(
;
)
64
(
;
256
;
36
49
;
25
11
;
625
2
4
2
в)
.
2500
2
,
0
)
2
1
5
(
4
35
37
14
1
;
900
3
,
0
)
2
1
5
(
4
15
17
2
1
;
2500
56
,
2
04
,
0
:
144
2
2
2
2
2
2
От
вет: а).15,3; 1,12; 19; -7; 49; 169; 675; -2,88; б).5; 4; 1; 2; 8; 5; 5,9; в). -20; 17;
7
6
12
.
2..Упростите выражение:
;
)
2
5
(
)
4
5
(
)
5
;
)
7
2
(
)
7
5
(
)
4
;
)
6
5
(
)
3
;
)
5
6
(
)
2
;
)
6
5
(
)
1
2
2
2
2
2
2
2
.
)
2
7
(
)
7
1
(
)
6
2
2
Ответ:
.
1
)
6
;
5
2
6
)
5
;
3
)
4
;
5
6
)
3
;
5
6
)
2
;
6
5
)
1
3. Найдите множество значений х, при которых имеет смысл выражение:
а).
;
1
,
0
3
6
4
,
0
x
x
x
б).
;
3
4
,
0
1
7
,
1
x
x
x
в).
;
2
,
1
2
,
7
18
6
2
x
x
x
г).
;
2
4
8
,
3
2
,
34
x
x
д).
;
5
x
x
е).
;
6
x
ж).
;
)
1
(
2
x
з).
.
1
3
2
9
1
2
x
x
Ответ:
.
3
).
;
1
).
);
;
0
(
)
0
;
).(
;
0
).
];
9
;
8
(
)
8
;
4
).[
);
6
;
3
).[
);
;
0
).(
];
15
1
;
30
1
).[
з
ж
е
д
г
в
б
a
6
4. Решите уравнение:
1).
;
0
)
5
)(
1
).(
4
;
0
)
8
)(
3
).(
3
;
0
)
4
)(
3
).(
2
;
0
)
2
)(
5
(
x
x
x
x
x
x
x
x
.
).
14
;
).
13
;
3
3
4
).
12
;
1
1
2
1
2
).
11
;
3
4
15
).
10
;
7
28
).
9
;
2
4
7
).
8
;
0
4
7
).
7
;
0
5
4
1
).
6
;
0
)
4
2
)(
5
)(
1
).(
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ответ: 1). 5; 4; 2).16; 3).8; 4). -1; 5).5; 6).корней нет; 7).
;
7
4
8).
;
7
1
1
9).16; 10).21;
11).
;
2
1
12).22; 13).0; 1; 14).0.
ЧАСТЬ 3.
СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ.
Теорема 1. Если
,
0
0
b
u
a
то
.
b
a
ab
(доказана в школьном учебнике)
Теорема 2. Если
,
0
0
b
u
a
то
.
b
a
b
a
(доказана в учебнике)
Теорема 3. Для любого
.
2
a
a
a
(доказано выше)
Рассмотрим примеры на использование свойств арифметического квадратного корня.
Пример1. Найдите значение выражения:
.
4
16
).
5
;
384
457
76
149
).
4
;
192
75
).
3
;
49
11
5
).
2
;
175
35
5
).
1
4
3
2
2
2
2
Решение.
5
2
2
2
2
2
2
4
2
4
3
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
16
)
4
(
16
16
4
16
16
4
16
).
5
;
29
15
841
225
841
73
225
73
)
384
457
)(
384
457
(
)
76
149
)(
76
149
(
384
457
76
149
).
4
;
8
5
64
25
192
75
192
75
).
3
;
7
2
2
7
16
49
256
49
11
5
).
2
;
175
175
175
175
35
5
).
1
или
.
4
)
4
(
4
4
)
4
(
4
16
5
2
5
10
4
3
2
4
3
Пример2. Вынесите множитель из под знака корня:
,
)
(
21
).
3
;
).
2
;
)
5
3
(
)
11
7
(
).
1
2
11
4
5
3
xy
b
a
если
.
0
xy
Решение.
.
)
5
3
(
)
11
7
(
)
5
3
(
11
7
)
5
3
(
)
5
3
(
)
11
7
(
)
11
7
(
)
5
3
(
)
11
7
(
).
1
2
4
2
5
3
Число
,
11
7
т.к.
.
11
7
11
)
11
(
,
7
)
7
(
2
2
u
Поэтому
,
0
11
7
т.е.
.
7
11
11
7
Окончательно получаем:
.
)
5
3
)(
11
7
(
)
5
3
)(
7
11
(
2
2).Т.к.
,
0
4
a
то корень определен, если
,
0
11
b
т. е.
.
0
,
0
11
b
b
.
)
(
)
(
)
(
5
2
5
2
2
5
4
b
b
a
b
b
a
b
b
a
3).
.
21
21
)
(
21
2
xy
xy
xy
Пример3. Внесите множитель под знак корня:
7
.
)
(
1
3
).
3
;
2
1
)
1
2
).(
2
;
3
2
)
37
5
).(
1
3
xy
xy
a
a
Решение.
При решении воспользуемся равенством
.
2
a
a
1). Число
0
37
5
, т.к.
.
37
25
37
)
37
(
,
25
5
2
2
u
Поэтому
.
)
3
2
(
)
5
37
(
3
2
)
5
37
(
3
2
)
37
5
(
2
2). Выражение
a
2
1
определено, если
.
2
1
,
1
2
,
0
2
1
a
a
a
При таких
a
выражение
.
0
1
2
a
Поэтому
.
)
2
1
(
)
2
1
(
)
2
1
(
2
1
)
2
1
(
2
1
)
1
2
(
3
2
a
a
a
a
a
a
a
3). Корень
3
)
(
1
xy
определен, если
.
0
xy
Поэтому
.
9
)
)
(
1
(
)
(
9
)
(
1
)
(
3
)
(
1
3
3
2
3
3
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
Пример4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби
.
5
3
2
1
Решение.
Запишем выражение
5
3
2
в виде суммы двух слагаемых
.
5
3
2
u
Затем домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение
.
5
3
2
Получим:
.
6
2
5
3
2
5
6
2
3
2
5
3
2
)
5
(
)
3
2
(
5
3
2
)
5
)
3
2
)((
5
)
3
2
((
5
3
2
5
)
3
2
(
1
2
2
Теперь домножим числитель и знаменатель полученной дроби на
.
6
Получим:
.
12
30
2
3
3
2
6
6
2
6
)
5
3
2
(
Итак,
.
12
30
2
3
3
2
5
3
2
1
Пример5. Найти наибольшее значение дроби
.
5
5
a
a
Решение.
Т. к.
0
a
, то знаменатель дроби можно представить в виде разности квадратов.
Получим:
.
5
1
)
5
)(
5
(
5
)
5
(
)
(
5
5
5
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
Дробь
5
1
a
принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель является наименьшим,
т.е. при
.
0
a
При
.
5
1
5
1
0
a
a
Значит, наибольшее значение дроби равно
5
1
. Избавляясь от иррациональности в знаменателе дроби
получим:
.
5
5
Ответ:
.
5
5
Пример6. Сравнить выражения:
1).
.
110
3
5
2
3
5
2
).
3
;
8
6
11
3
).
2
;
47
49
17
19
u
u
u
Решение.
8
1). Каждую разность представим в виде дроби со знаменателем 1 и освободимся от иррациональности в
числителе дроби.
Получим:
.
47
49
2
47
49
)
47
49
)(
47
49
(
1
47
49
47
49
;
17
19
2
17
19
)
17
19
)(
17
19
(
1
17
19
17
19
Т.к.
,
47
17
,
49
19
то
.
47
49
17
19
Т. к.
,
47
49
17
19
то
.
47
49
2
17
19
2
Т. е.
.
47
49
17
19
Ответ:
.
47
49
17
19
2). Числа
8
6
11
3
u
- положительные. Рассмотрим квадраты этих чисел.
Имеем:
.
48
2
14
48
2
8
6
)
8
6
(
,
33
2
14
11
33
2
3
)
11
3
(
2
2
Т. к. 48>33, то
.
33
2
48
2
,
33
48
Поэтому
2
2
)
8
6
(
)
11
3
(
и
.
8
6
11
3
Ответ:
.
8
6
11
3
3). Приводим дроби к общему знаменателю, получаем:
.
108
3
6
2
3
12
3
9
25
3
12
)
3
3
5
)(
3
3
5
(
3
6
10
3
6
10
3
3
5
2
3
3
5
2
Т.к. 108 <110, то
,
110
108
поэтому
.
110
3
3
5
2
3
3
5
2
Ответ:
.
110
3
3
5
2
3
3
5
2
Практические задания на использование свойств арифметического квадратного корня.
1.Вычислить:
;
)
2
3
(
;
)
3
2
(
;
)
3
15
(
)
15
3
(
;
)
5
3
(
)
3
5
(
4
2
2
2
2
2
.
)
4
5
2
4
5
2
(
;
)
2
3
(
4
1
)
7
5
1
(
50
;
)
15
7
(
3
1
)
11
2
1
(
32
2
2
2
2
2
Ответ: 30; -540;
;
3
2
18; -157; 9,5;
.
4
5
4
2. Упростить выражение: 1).
;
18
2
3
4
)
3
6
5
,
0
).(
2
;
6
75
,
0
2
3
)
2
3
1
3
4
1
(
.
)
6
,
0
2
7
,
0
5
(
42
,
0
20
).
4
;
8
,
1
4
)
5
,
1
2
,
1
2
).(
3
2
2
Ответ: 1).2; 2).-12; 3).6,3; 4).-19,9.
3. Докажите неравенство:
.
1
6
2
5
).
4
;
7
2
2
2
3
).
3
;
3
2
2
5
).
2
;
19
2
15
6
).
1
Ответ: указание – возвести обе части неравенства в квадрат.
4. Сравнить значения выражений:
;
6
2
3
7
17
;
2
12
3
13
).
1
u
u
;
3
9
2
7
5
3
,
5
6
7
3
2
3
).
2
u
u
.
16
17
17
18
,
10
12
12
14
,
14
15
44
45
).
3
u
u
u
Ответ: 1). < ; > ; 2). < , > ; 3). < , < , < .
Указание: избавиться от иррациональности в числителе.
5. Определите, какие числа являются противоположными, а какие взаимно обратными:
.
3
2
1
2
3
).
4
;
3
4
49
48
7
).
3
;
8
3
2
2
3
).
2
;
2
5
1
5
2
).
1
u
u
u
u
Ответ: 1). противоположные; 2).;3).взаимно обратные; 4).противоположные.
6.Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
9
1).
;
;
3
3
2
2
3
3
;
3
10
3
1
;
5
11
5
11
;
5
3
5
7
;
2
3
3
b
a
x
;
5
3
2
12
,
5
3
2
1
,
5
3
2
1
,
1
3
2
1
,
6
5
1
1
).
2
;
108
48
24
6
3
6
,
80
40
20
10
5
10
,
5
2
3
2
1
,
1
2
3
6
3
2
.
1
1
1
1
,
).
4
2
2
2
2
x
x
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
Ответ:
;
)
(
,
25
6
6
29
,
30
10
3
3
3
,
3
55
8
,
2
5
5
8
,
6
3
).
1
b
a
b
a
x
;
30
2
3
3
2
,
12
30
3
2
2
3
,
12
3
2
2
3
30
,
4
3
2
6
2
,
10
30
5
5
).
2
,
6
5
2
3
5
3
10
2
,
2
1
2
3
6
).
3
указание: упростить знаменатель дроби, предварительно вынося множители из-под
знаков корней
.
3
2
2
,
17
5
2
10
6
.
1
,
).
4
4
2
2
2
x
x
b
b
a
a
7. Найдите наименьшее значение выражения:
.
6
12
3
6
).
2
;
3
2
1
).
1
2
2
x
x
x
x
Ответ: 1). 2 при х=-3; 2).
3
6
при х=2 и х=-2.
8. При каких значениях
a
дробь принимает наибольшее значение:
?
11
2
3
).
2
;
4
3
1
).
1
a
a
a
a
Ответ: 1). при
;
3
a
2). при
.
2
a
9. Упростите выражение:
.
45
27
2
18
3
20
3
12
6
8
9
).
5
);
10
7
3
(
)
10
7
3
(
)
10
7
3
(
)
10
7
3
).(
4
);
2
5
(
)
5
3
2
(
)
5
3
2
).(
3
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
).
2
;
2
2
2
2
2
2
2
).
1
Ответ:
.
2
).
5
;
84
).
4
;
2
6
).
3
;
2
2
4
).
2
;
2
2
4
).
1
10.Докажите равенство:
.
65
9
2
3
19
3
19
65
9
2
).
2
;
2
6
4
2
5
3
5
6
1
).
1
Ответ: 1).указание: привести левую и правую части уравнения к одному виду;
2).воспользоваться основным свойством пропорции.
11.Доказать:
.
1
5
5
4
1
4
3
1
3
2
1
2
1
1
Ответ: указание – избавиться от иррациональности в знаменателях дробей и упростить
полученное выражение.
10
12.Упростить выражение:
.
1
1
3
2
1
2
1
1
).
2
;
100
99
1
3
2
1
2
1
1
).
1
n
n
Ответ:
.
1
).
2
;
9
).
1
n
ЧАСТЬ 4.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВОЙНЫХ РАДИКАЛОВ.
Выражение вида
,
c
b
a
где
c
b
a
,
,
- некоторые числа, называется двойным или сложным
радикалом.
При преобразовании выражений, содержащих двойные радикалы, часто бывает удобно освободиться в
двойном радикале от внешнего радикала.
Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то освободиться от внешнего
радикала можно с помощью тождества
.
2
a
a
Пример1.
Освободиться от внешнего радикала в выражении:
.
3
24
57
).
;
3
4
7
).
b
a
Решение.
а).Представим подкоренное выражение в виде квадрата суммы.
Слагаемое
3
4
рассмотрим как удвоенное произведение чисел
3
2
и 1 или чисел
3
и 2.
Тогда число 7 должно быть равно сумме квадратов этих чисел. Подбором можно найти, что это условие
выполняется для чисел 2 и
3
, т.е.
.
)
3
2
(
3
4
7
2
Значит,
.
3
2
3
2
)
3
2
(
3
4
7
2
б).Попробуем подобрать такие числа
a
и
b
, что
.
)
(
3
24
57
2
b
a
b
a
Если такие числа существуют, то выполняются следующие условия:
.
57
,
3
24
2
2
2
b
a
ab
.
3
4
,
3
;
57
,
3
12
2
2
b
a
b
a
ab
,
3
3
4
3
4
3
)
3
4
3
(
3
24
57
2
т.к.
.
0
3
4
3
Ответ:
.
3
3
4
).
;
3
2
).
b
a
В некоторых случаях удается освободиться от внешнего радикала с помощью формулы двойного
радикала:
,
2
2
2
2
b
a
a
b
a
a
b
a
где
b
a,
некоторые числа, причем
.
0
,
0
,
0
2
b
a
b
a
Докажем это равенство.
При указанных условиях правая часть равенства представляет собой выражение, которое имеет смысл
и принимает неотрицательное значение.
Докажем, что квадрат этого выражения равен
.
b
a
11
.
)
(
2
2
2
2
2
)
2
2
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
a
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
Пример2. Упростить выражение:
.
21
5
Решение.
1способ. Воспользуемся формулой двойного радикала
.
2
2
2
2
b
a
a
b
a
a
b
a
В данном случае
.
4
,
21
,
5
2
b
a
b
a
.
2
3
7
2
3
2
7
2
4
5
2
4
5
21
5
2способ. Представим подкоренное выражение в виде квадрата двучлена.
.
)
2
3
7
(
)
3
7
(
2
1
)
7
3
2
3
7
(
2
1
)
3
7
2
10
(
2
1
)
21
2
10
(
2
1
21
5
2
2
Значит,
,
2
3
7
2
3
7
)
2
3
7
(
21
5
2
т.к.
.
0
3
7
Ответ:
.
2
3
7
Пример3.
Доказать, что при
2
1
a
значение выражения
1
2
1
2
a
a
a
a
не зависит от
.
a
Решение.
Освободимся от внешнего радикала в каждом из двойных радикалов.
.
1
1
)
1
1
(
1
2
;
1
1
1
1
)
1
1
(
1
1
2
)
1
(
1
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Если
,
2
1
a
то
.
0
1
1
a
Значит,
.
1
1
1
1
a
a
Получаем:
.
2
1
1
1
1
1
2
1
2
a
a
a
a
a
a
Пример4. Упростить выражение
.
9
2
2
2
a
a
Решение.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата двучлена.
.
3
3
3
3
)
3
3
(
9
2
2
.
)
3
3
(
)
3
(
)
3
)(
3
(
2
)
3
(
3
)
3
)(
3
(
2
3
)
3
)(
3
(
2
2
9
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Ответ:
.
3
3
a
a
Практические задания для самостоятельного решения.
1.Упростить выражение:
.
3
2
).
;
3
2
4
).
;
2
10
27
).
;
2
12
38
).
;
2
8
18
).
д
г
в
б
а
Ответ:
,
2
1
3
).
;
1
3
).
;
2
5
).
;
2
6
).
;
2
4
).
д
г
в
б
a
указание: умножить и разделить
подкоренное выражение
3
2
на 2.
2..Докажите, что значение выражения является целым числом:
.
3
3
4
7
).
5
;
3
2
3
8
16
).
4
;
5
4
5
8
81
).
3
;
3
2
4
3
).
2
;
2
2
2
3
).
1
Ответ:
1).-1; 2).1; 3).-1; 4).-2; 5).2.
3.Выяснить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом:
.
108
28
60
8
).
9
;
48
2
14
48
2
14
).
8
;
5
20
105
5
8
21
).
7
;
21
14
70
21
4
25
).
6
;
2
4
9
2
4
9
).
5
;
33
2
14
33
2
14
).
4
;
11
2
12
11
2
12
).
3
;
)
11
101
(
)
101
13
(
).
2
;
)
43
6
(
)
43
9
(
).
1
2
2
2
2
Ответ: 1).3; 2).
.
1
3
2
5
).
9
;
2
4
).
8
;
6
).
7
;
9
).
6
;
2
4
).
5
;
3
2
).
4
;
11
2
).
3
;
101
2
14
12
4.Упростите выражение:
.
2
4
9
2
30
13
).
4
;
48
13
5
3
).
3
;
5
12
29
3
5
).
2
;
5
4
9
4
17
).
1
Ответ:
.
5
2
3
).
4
;
2
1
3
).
3
;
1
).
2
;
2
5
).
1
5.Найдите значение выражения:
.
6
4
25
6
6
).
3
;
1
24
7
1
1
24
7
1
).
2
;
)
6
2
5
6
2
5
).(
1
2
.
2
4
6
2
2
4
6
2
4
6
2
2
4
6
).
6
;
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
).
5
;
1
15
4
1
1
15
4
1
).
4
Ответ: 1).12; 2).0; 3).1;
.
2
2
).
6
;
2
).
5
;
3
15
3
).
4
6.Упростите выражение:
;
6
9
)
1
(
2
4
).
2
;
16
8
4
1
).
1
2
4
2
4
a
a
a
a
b
b
b
b
.
4
2
2
).
6
;
)
2
(
2
2
).
5
;
1
2
2
).
4
;
1
2
).
3
2
2
a
a
a
a
a
a
a
Ответ:
.
2
2
).
6
;
2
).
5
;
1
1
).
4
;
1
1
).
3
;
3
2
).
2
;
1
2
).
1
a
a
a
a
a
a
a
a
b
ЧАСТЬ 5.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ.
В школьном курсе познакомились с функцией
x
y
и построили график данной функции.
Зная, как связаны между собой графики функций у=f(x-m)+n и y=f(x), можно получить график
функции
n
m
x
y
из графика функции
x
y
. Это возможно сделать с помощью двух
последовательных параллельных переносов: сдвига вдоль оси Х на m единиц вправо при m>0 или влево
при m<0 и сдвига вдоль оси У на n единиц вверх при n>0 или вниз при n<0.
Рассмотрим примеры построения графиков функций.
Пример1.
Постройте графики функций:
.
)
(
).
7
;
1
2
4
4
).
6
;
1
).
5
;
3
2
).
4
;
1
).
3
;
).
2
;
).
1
2
2
2
2
x
y
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Решение.
1). Из определения арифметического квадратного корня следует, что
.
0
,
,
0
,
2
x
если
x
x
если
x
x
x
2).Данная функция определена при
.
0
.
.
,
0
x
е
т
x
13
Составим таблицу значений функции.
X
0
-1/16
-1/4
-1
-4
-9
Y
0
-1/4
-1/2
-1
-2
-3
Построим график данной функции.
3).Данная функция определена при
.
1
,
0
1
x
x
При х=-1 у=0, при х=3 у=2, при х=8 у=3.
График данной функции получается из графика функции
x
y
сдвигом вдоль оси Х на одну единицу
влево.
4).График данной функции получается из графика функции
x
y
сдвигом вдоль оси Х на 2 единицы
вправо и сдвигом вдоль оси У на 3 единицы вверх.
Данная функция определена при
.
2
,
0
2
x
x
При х=2 у=3, при х=3 у=4, при х=6 у=5, при х=11 у=6.
5).Данная функция определена при всех значениях х.
При
,
1
1
1
x
x
x
поэтому график данной функции совпадает с графиком функции
,
1
x
y
который был построен в 3).
При
.
1
1
1
x
x
x
При этом
.
1
x
y
Заметим, что данная функция в точках, симметричных относительно прямой х=-1, принимает равные
значения. Например, при х=0 и х=-2 значения функции совпадают и равны 1.
При х=3 и х=-5 значения функции также совпадают и равны 2. При х=8 и х=-10 у=3.
Про график данной функции говорят так:
График функции симметричен относительно прямой х=-1.
14
6).Преобразуем выражение, которым задается функция.
.
1
2
)
1
(
)
2
(
1
2
4
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
.
1
2
x
x
y
При x<-1 y=-x+2+x+1=3; при
2
1
x
y=-x+2-x-1=-2x+1; при x>2 y=x-2-x-1=-3.
Получим:
.
2
,
3
,
2
1
,
1
2
,
1
,
3
x
если
x
если
x
x
если
y
7).Данная функция определена при
.
0
x
Для этих значений
.
0
.
.
.
)
(
2
x
при
x
y
е
Т
x
x
Пример2.
Постройте график функции
.
2
,
2
2
,
2
0
,
2
5
3
,
0
,
3
x
если
x
x
если
x
x
если
x
y
Решение.
В предыдущем примере был построен график функции
.
x
y
График функции
x
y
3
получается из графика функции
x
y
сдвигом вдоль оси У на 3
единицы вверх.
Графиком функции
x
y
2
5
3
является прямая, проходящая через точки (0;3) и (2;-2).
15
График данной функции при 0<x<2 совпадает с прямой
.
2
5
3
x
y
График функции
2
2
x
y
при
2
x
получается из графика функции
x
y
путем сдвига вдоль
оси Х на 2 единицы вправо и сдвига вдоль оси У на 2 единицы вниз.
Пример3.
Решить графически уравнение
.
1
2
2
x
Решение.
Рассмотрим функции
.
1
2
2
y
и
x
y
Построим графики данных функций. И найдем координаты точек пересечения графиков данных
функций или покажем, что таких точек нет.
Графиком функции у=1 является прямая , проходящая через точку (0;1) параллельно оси Х.
Для построения графика функции
2
2
x
y
необходимо сначала построить график функции
.
2
2
x
y
А этот график получается из графика функции
x
y
путем сдвига вдоль оси Х на 2
единицы влево и сдвига вдоль оси У на 2 единицы вниз.
Затем часть графика, которая расположена ниже оси Х (т.е. там, где функция принимает отрицательные
значения), отобразим симметрично относительно оси Х.
А(7;1); В(-1;1).
Ответ: -1; 7.
Практические задания на построение графиков функции.
1.Изобразите схематически график функции и укажите, в каких координатных четвертях нет ни одной
точки графика:
.
3
5
).
4
;
4
2
).
3
;
7
).
2
;
5
).
1
x
y
x
y
x
y
x
y
Ответ:
16
2.Постройте график функции. Укажите область определения и область значений данной функции:
.
3
1
).
6
;
2
6
).
5
;
5
3
).
4
;
5
).
3
;
).
2
;
).
1
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Ответ:
D(y)=[0; +∞)
D(y)=(-∞; 0]
E(y)=(- ∞; 0]
E(y)=[0; +∞)
D(y)=(-∞; 5] D(y)=(-∞; 3]
E(y)= [0; +∞) E(y)=[-5;+∞)
D(y)=[-2; +∞) D(y)=(-∞; 3]
E(y)=(-∞; 6] E(y)=(-∞; 1]
17
3.Постройте график функции:
.
0
,
,
0
,
)
(
).
3
;
5
1
,
1
,
1
3
,
2
2
)
(
).
2
;
0
,
,
0
,
1
)
(
).
1
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
если
x
x
если
x
x
f
Ответ:
4.Решите графически уравнение:
;
2
3
).
3
;
2
4
).
2
;
1
2
).
1
x
x
x
x
x
x
.
3
5
2
1
).
6
;
1
3
).
5
;
1
).
4
x
x
x
x
x
x
Ответ: 1).корней нет; 2).0; 3).1; 4).1; 5).-2; 6).1.
5.Построить графики функций:
;
3
4
)
3
(
).
4
;
1
)
1
(
)
2
(
).
3
;
1
)
1
(
).
2
;
8
)
(
).
1
2
2
2
2
2
x
x
x
y
x
x
x
y
x
y
x
x
y
.
1
2
).
8
;
1
2
3
).
7
;
1
1
1
).
6
;
1
1
1
).
5
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
Ответ: указание - предварительно упростить выражения, которыми заданы функции.
1). у=8 при
;
0
x
2).у=2-х при
;
1
x
3).у=х при
;
2
1
x
4).у=2х при
;
0
x
5).у=
;
x
6).у=
x
при
;
;
1
1
;
0
x
7).у=2-
;
x
8).у=
.
1
1
x
ЧАСТЬ 6.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ВКАДРАТНЫЕ КОРНИ.
Покажем на примерах, как можно с помощью тождественных преобразований упрощать выражения,
содержащие квадратные корни. При этом воспользуемся правилами, которые указали в предыдущих
частях.
Пример1.
Упростите выражение
.
2
30
50
7
18
5
Решение.
18
Заметим, что
.
2
35
2
5
7
50
7
2
15
2
3
5
18
5
u
Получим
18
5
.
2
20
2
30
2
35
2
15
2
30
50
7
Ответ:
.
2
20
Пример2.
Упростите выражение
.
3
4
1
a
a
Решение.
.
2
3
2
3
)
2
3
(
4
3
4
)
3
(
3
4
4
3
3
4
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Ответ:
.
2
3
a
Пример3.
Сократить дробь:
.
).
3
;
6
3
3
3
3
).
2
;
7
8
49
64
).
1
b
a
b
b
a
a
xy
y
x
y
x
b
a
b
a
Решение.
.
7
8
7
8
)
7
8
)(
7
8
(
7
8
)
7
(
)
8
(
7
8
49
64
).
1
2
2
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
.
3
3
1
)
3
3
(
3
3
3
3
2
)
3
(
)
3
(
3
3
6
3
3
3
3
).
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
y
x
.
)
)
(
)
)((
(
)
(
)
(
).
3
2
2
3
3
ab
b
a
b
a
b
ab
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
Ответ:
.
).
3
;
3
3
1
).
2
;
7
8
).
1
ab
b
a
y
x
b
a
Пример4.
Докажите тождество
.
1
)
(
m
n
mn
mn
m
n
mn
n
m
Решение.
)
(
)
(
)
(
)
(
).
1
2
2
n
m
m
n
m
n
n
m
nm
m
n
mn
n
m
mn
m
n
mn
n
m
=
;
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
mn
n
m
n
m
mn
n
m
n
m
m
n
mn
n
m
m
n
m
n
m
n
n
m
.
1
).
2
m
n
mn
mn
n
m
Пример5.
Решите уравнение:
.
4
9
6
16
16
4
).
2
;
6
)
12
2
(
3
)
2
6
).(
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
Решение.
1).
.
2
6
,
10
6
5
,
4
6
6
6
4
,
6
3
3
2
6
4
6
4
6
,
6
)
12
2
(
3
)
2
6
(
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Возведем обе неотрицательные части
данного уравнения в квадрат.
.
3
2
,
4
6
x
x
,
4
9
6
16
16
4
).
2
2
2
x
x
x
x
.
4
3
4
2
,
4
)
3
(
)
4
2
(
2
2
x
x
x
x
Найдем значения переменной x, при которых выражения,
19
стоящие под знаком модуля, равны нулю.
2х+4=0, х-3=0,
х=-2. х=3.
Данные точки разбивают числовую прямую на три промежутка.
Найдем знаки выражений, стоящих под знаком модуля, на
каждом из этих промежутков.
.
;
3
3
3
;
2
1
2
;
11
.
3
.
1
.
11
,
4
7
,
3
3
,
11
,
4
3
4
2
,
4
3
4
2
,
4
3
4
2
;
3
).
3
3
;
2
).
2
2
;
).
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ответ:
;
3
2
).
1
2).-11; 1.
Пример6.
Решите систему уравнений
.
9
2
3
2
,
3
2
2
3
3
y
x
y
x
Решение.
Выражение
3
x
определено при
2
,
3
y
а
x
при
.
2
y
Решим данную систему уравнений способом сложения.
Для этого домножим второе уравнение на 2.
;
9
2
3
2
,
3
3
;
9
2
3
2
,
21
3
7
;
18
2
2
3
4
,
3
2
2
3
3
y
x
y
x
x
y
x
y
x
.
11
,
6
;
9
2
,
9
3
;
3
2
,
3
3
y
x
y
x
y
x
Ответ: (6;11).
20
Пример7.
Упростите выражение:
,
1
2
1
)
1
1
1
1
1
1
1
1
).(
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
где 0<x<1;
.
4
2
2
4
4
).
2
2
2
a
a
a
a
a
Решение.
1
2
1
)
)
1
1
)(
1
1
(
)
1
1
)(
1
1
(
)
1
1
)(
1
1
(
)
1
1
)(
1
1
(
).(
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
1
)
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
(
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
1
)
)
1
(
1
1
1
2
)
1
(
1
(
1
2
1
)
)
1
(
1
)
1
(
1
(
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
1
)
1
)(
1
(
1
1
2
1
1
2
1
)
1
1
1
1
2
1
1
(
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
1
1
1
1
1
2
)
1
(
)
1
)(
1
1
(
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
)
2
)(
2
(
2
2
)
2
(
4
2
2
4
4
).
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
2
,
2
,
2
3
2
1
1
;
2
,
2
1
2
1
1
2
1
2
2
a
a
если
a
a
a
a
если
a
a
a
a
a
a
Ответ:
.
2
,
2
,
2
3
;
2
,
2
1
).
2
;
1
).
1
2
a
a
если
a
a
a
если
a
a
x
Практические задания для самостоятельного решения на преобразование выражений,
содержащих квадратные корни.
1.Упростите выражение:
)
).((
1
a
b
b
a
:
);
1
(
:
))
2
(
a
b
a
b
b
a
.
1
)
).(
4
;
2
)
(
:
)
).(
3
;
4
)
2
2
2
2
).(
2
2
2
2
2
2
xy
x
xy
y
x
y
y
x
x
b
a
b
b
a
b
a
b
b
a
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ответ:
.
).
4
;
1
).
3
;
2
2
).
2
;
).
1
x
y
x
b
a
ab
x
x
b
a
a
2.Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящих в него переменных:
;
1
1
1
1
1
1
).
2
;
2
).
1
2
a
a
a
a
a
a
b
a
ab
b
a
a
b
ab
21
;
1
1
)
1
1
1
).(
4
;
16
:
)
).(
3
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
ab
b
a
b
a
b
a
b
a
.
)
3
3
(
:
)
).(
5
2
b
a
b
a
ab
b
a
b
b
a
a
Ответ: 1).2; 2).1; 3).1; 4).-1; 5).
.
9
1
3.Докажите тождество:
;
2
2
).
2
;
2
:
)
).(
1
2
2
2
2
y
xy
y
x
x
y
xy
x
b
a
b
a
b
a
a
a
b
a
a
a
.
8
)
2
4
6
2
2
4
6
2
4
6
2
2
4
6
).(
4
;
4
)
4
1
1
1
1
)(
1
).(
3
2
a
a
a
a
a
a
a
a
4.Упростите выражение:
);
1
(
:
)
1
1
).(
2
);
(
:
).
1
2
2
2
2
2
b
a
b
a
b
a
a
b
a
a
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
);
1
1
1
1
(
:
)
1
1
1
1
).(
3
ab
a
ab
ab
a
ab
a
ab
ab
a
;
9
)
9
9
9
9
).(
5
;
2
2
:
)
).(
4
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
y
y
xy
x
xy
y
xy
x
xy
y
x
).
(
2
1
).
6
b
ab
a
ab
b
a
ab
b
a
ab
a
b
a
Ответ:
.
1
).
6
;
9
4
).
5
;
).
4
;
).
3
;
).
2
;
)
(
4
).
1
2
2
ab
b
a
y
x
ab
b
b
a
a
x
a
5.Решите уравнение:
;
2
1
8
3
2
).
3
;
9
3
5
)
5
3
3
(
).
2
;
2
5
2
)
5
2
(
).
1
x
x
x
x
x
;
12
11
27
3
16
3
3
).
6
;
27
7
15
48
5
3
6
).
5
;
6
1
8
9
2
2
).
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
).
72
5
(
2
7
)
5
2
7
)(
5
2
7
).(
7
x
x
x
x
Ответ:
.
4
,
102
).
7
;
3
1
).
6
;
3
).
5
;
169
2
).
4
;
128
1
).
3
;
3
).
2
;
2
).
1
6.Решите систему уравнений:
.
5
10
,
2
2
2
5
).
3
;
0
2
3
,
5
3
2
).
2
;
2
3
5
,
2
7
2
3
).
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Ответ:
).
6
;
10
).(
3
);
3
;
2
).(
2
);
2
2
;
2
).(
1
7.Решите уравнение:
;
6
16
8
1
2
).
3
;
7
25
10
).
2
;
3
4
4
).
1
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
;
8
49
14
1
2
).
5
;
25
10
7
4
4
).
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
22
.
3
2
16
8
1
6
9
).
6
2
2
x
x
x
x
x
Ответ:
.
0
;
2
1
).
6
;
).
5
;
5
;
2
).
4
;
5
,
4
;
5
,
1
).
3
;
6
).
2
;
5
,
2
).
1
нет
корней
8.Упростите выражение:
.
2
4
1
2
4
1
).
3
;
4
4
4
4
).
2
;
4
)
1
(
1
).
1
2
a
a
a
a
x
x
x
x
a
a
a
a
Ответ:
;
1
0
,
1
;
1
,
1
).
1
a
если
a
a
если
a
;
4
0
,
2
;
4
,
).
2
x
если
x
если
x
.
1
0
,
1
;
1
,
).
3
a
если
a
если
a
ЧАСТЬ 7.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.
К извлечению квадратных корней сводятся многие геометрические задачи. В курсе геометрии
доказывается теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками
)
;
(
)
;
(
2
2
1
1
y
x
N
u
y
x
M
координатной
плоскости можно выразить формулой
.
)
(
)
(
2
1
2
2
1
2
y
y
x
x
MN
Рассмотрим примеры геометрического приложения квадратных корней.
Пример1.
Найти расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева 9м, а длина тени-12м.
Решение.
По теореме Пифагора
,
2
2
CB
AC
AB
).
(
15
225
144
81
12
9
2
2
м
AB
Ответ: расстояние от вершины дерева до конца его тени равно 15м.
Пример2.
Доказать, что треугольник с вершинами
)
7
;
1
(
)
1
;
3
(
),
0
;
0
(
C
u
B
A
прямоугольный.
Решение.
Найдем длины сторон треугольника АВС. Т.е. найдем расстояния между точками А, В и С.
.
50
7
1
;
40
6
2
;
10
1
3
2
2
2
2
2
2
AC
BC
AB
Заметим, что (
.
)
40
(
)
10
(
)
50
2
2
2
Т. е.
.
2
2
2
BC
AB
AC
23
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВС со сторонами
50
,
40
,
10
является
прямоугольным.
Пример3.
Построить отрезок длиной
13
см.
Решение.
Заметим, что
.
2
3
)
13
(
.
.
,
2
3
13
2
2
2
2
2
е
т
Можно рассмотреть прямоугольный треугольник со сторонами 3см и 2см. Тогда, по теореме Пифагора
гипотенуза этого треугольника будет равна
.
13
2
3
2
2
Значит, искомый отрезок длиной
см
13
это гипотенуза прямоугольного треугольника
с катетами 3см и 2см.
Практические задания для самостоятельного решения.
1.Найдите длину проволоки, соединяющей вершины двух столбов, если высота первого столба 6м,
второго столба – 13м, а расстояние между ними равно 24м.
Ответ: 25м.
2.Даны вершины треугольника А(3;2), В(-1;1) и С(11;-6).
Определите длины его сторон.
Ответ:
AB
.
2
8
;
193
;
17
AC
BC
3.Определите ординату точки М, зная, что ее абсцисса равна 7, а расстояние до точки N(-1;5)
равно 10.
Ответ: y=11.
4.Диагональ телевизионного экрана 50 см, а длины его сторон относятся как 3:4.
Чему равны длины сторон экрана?
Ответ: 30см и 40см.
5.Найдите площадь прямоугольника, если длина его стороны равна 56см, а длина диагонали – 65см.
Ответ: 1848
.
2
см
6.Найдите периметр треугольника, вершины которого лежат на графике функции
3
2
x
y
в точках с абсциссами -2; 1; 6.
Ответ: (
5
4
29
13
)см. Указание – предварительно найти ординаты данных точек.
7.С помощью построения найдите приближенное значение:
.
65
).
5
;
34
).
4
;
29
).
3
;
10
).
2
;
5
).
1
Ответ: указание для построения
;
2
5
)
29
).(
3
;
1
3
)
10
).(
2
;
1
2
)
5
).(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
1
8
)
65
).(
5
;
3
5
)
34
).(
4
2
2
2
2
2
2
8.Для вычисления площади треугольника через длины трех его сторон может быть применена формула
Герона ( Герон Александрийский, 1 в н.э.)
,
)
)(
)(
(
c
p
b
p
a
p
p
S
где
c
b
a
,
,
стороны треугольника, а
2
c
b
a
p
его полупериметр.
Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон
:
,
,
c
b
a
1).13см, 20см и 21см;
.
5
3
,
2
).
4
;
7
2
,
3
3
).
3
;
3
17
3
10
,
3
9
).
2
см
u
см
см
см
u
см
см
см
u
см
см
Ответ:
.
6
).
4
;
2
3
3
).
3
;
108
).
2
;
126
).
1
2
2
2
2
см
см
см
cм
24
ЧАСТЬ 8.
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ, СОСТАВЛЕННЫЕ В ТРАДИЦИОННОЙ
ФОРМЕ И В ФОРМЕ ТЕСТОВ.
1.Самостоятельная работа по теме «Определение арифметического квадратного корня».
1в. 2в.
1).Вычислить: 1).Вычислить:
;
9
4
;
2500
1
,
0
;
36
16
2
;
16
9
;
4900
2
,
0
;
81
25
4
;
25
3
49
2
;
01
,
0
10
196
;
81
2
16
4
;
289
04
,
0
100
.
256
24
,
3
10
;
81
64
3
;
3600
3
2
.
89
,
2
10
361
;
100
49
10
;
6400
4
3
2).Вычислить
5
2
x
при х=-2,5. 2).Вычислить
2
4
x
при х=-0,5.
3).При каких значениях переменной имеет смысл выражение
?
1
17
2
x
x
?
5
19
4
x
x
2.Самостоятельная работа по теме «Решение простейших иррациональных уравнений».
1в. 2в.
Решите уравнения:
;
22
11
).
9
;
1
6
5
).
8
;
0
6
5
).
7
;
3
21
).
9
;
2
3
6
).
8
;
0
3
6
).
7
;
0
6
5
).
6
;
0
3
2
1
).
5
;
0
8
3
).
4
;
0
3
6
).
6
;
0
4
3
1
).
5
;
0
9
2
).
4
;
0
5
).
3
;
5
4
).
2
;
7
).
1
;
0
8
).
3
;
3
2
).
2
;
4
).
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
3
5
3
).
11
;
5
4
10
).
10
x
x
.
2
2
2
).
11
;
4
3
12
).
10
x
x
3.Самостоятельная работа по теме «Преобразование выражений, содержащих двойные
радикалы».
1в. 2в.
1).Найдите значение выражения:
.
17
14
66
17
6
26
).
3
.
7
8
23
7
6
16
).
3
;
21
10
46
21
10
46
).
2
;
48
2
14
48
2
14
).
2
;
)
11
3
(
)
11
8
(
).
1
;
)
3
23
(
)
7
23
(
).
1
2
2
2
2
2).Упростите выражение:
;
2
5
1
)
5
2
(
).
1
2
;
2
2
4
8
)
3
2
2
(
).
1
2
.
2
3
4
17
1
)
2
3
17
(
).
2
2
.
5
2
7
3
)
7
5
(
).
2
2
4.Разноуровневая домашняя самостоятельная работа для хорошо подготовленных учеников по
темам «Преобразование выражений, содержащих двойные радикалы» и «Построение графиков
функций».
25
С1.
1).Упростите выражение:
).
;
8
6
).
;
3
2
4
).
в
b
a
.
2
2
1
2
x
x
2).Постройте график функции:
.
2
4
4
).
;
).
2
2
x
x
x
y
b
x
x
y
a
С2.
1).Упростите выражение:
.
1
2
2
).
;
3
2
).
;
8
2
6
8
2
6
).
2
x
в
b
a
2).Постройте график функции:
.
3
9
2
2
).
;
1
)
2
(
)
2
(
).
2
2
2
x
x
x
y
b
x
x
y
a
С3.
1).Упростите выражение:
.
5
2
10
2
8
5
2
10
2
8
).
;
48
13
5
2
6
).
b
a
2).Постройте график функции:
.
1
2
1
2
).
;
1
2
1
2
).
2
2
x
x
x
x
y
b
x
x
x
x
y
a
Контрольная работа.
1).Упростите выражение:
).
5
3
3
6
)(
5
3
3
6
).(
).
3
3
2
7
)(
3
3
2
7
).(
;
)
3
7
2
).(
;
)
2
5
3
).(
;
5
)
80
20
).(
;
10
)
40
90
).(
;
75
4
12
5
3
8
).
;
18
4
8
3
2
7
).
2
2
г
г
в
в
b
b
a
a
2).Сравните числа:
;
3
2
2
3
).
u
a
;
8
3
3
6
).
u
a
.
2
3
4
3
2
6
).
u
b
.
750
5
1
8
15
4
).
u
b
3).Сократите дробь:
;
13
13
13
).
;
1
1
).
b
a
a
a
;
23
23
23
).
;
2
4
).
b
a
a
a
.
3
3
3
2
).
a
a
a
в
.
5
5
2
5
).
a
a
a
в
4).Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
.
5
14
3
).
;
3
13
4
).
;
2
3
8
).
.
3
33
15
).
;
2
14
10
).
;
6
2
3
).
в
b
a
в
b
a
5).Упростите выражение:
;
:
)
).(
b
a
b
b
a
b
a
a
a
;
:
)
).(
x
y
x
y
y
x
y
a
6).Найдите значение выражения:
;
)
2
5
(
)
4
5
(
).
2
2
a
;
)
4
24
(
)
5
24
(
).
2
2
a
.
11
12
47
11
10
36
).
b
.
7
8
23
7
6
16
).
b
Самостоятельные работы в виде тестов.
26
ТЕСТ 1.
Вариант 1.
1.Найдите значение выражения:
.
56
,
2
)
49
,
0
0036
,
0
5
1
(
а).-0,928; б).-1,1008; в).-1,1188; г).-0,11008.
2.Найдите значение выражения:
2
3
b
a
при
.
3
;
6
b
a
а).9; б).15; в).13; г).-9.
3.Найдите значение переменной, при котором верно равенство:
.
13
9
48
k
.
9
4
13
).
;
9
8
4
).
;
9
4
13
).
;
9
8
4
).
г
в
b
a
4.При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
2
36k
?
а).при
;
0
k
б).при
;
0
k
в).при k=0; г). таких нет.
5.Вычислите:
.
)
15
2
(
:
)
24
)
8
5
((
2
2
.
15
7
3
).
;
15
14
2
).
;
44
15
).
;
4
).
г
в
b
a
6.Преобразуйте выражение:
).
7
2
)(
7
2
(
p
p
.
28
).
;
28
).
;
14
).
;
14
).
2
2
2
p
г
p
в
p
b
p
a
7.Какие из точек принадлежат графику функции
x
y
: Е(14;7), К(36;-6), Р(6;36),
С(0,12;0,0144); Д(
3
1
3
;
9
1
11
) ?
а).Е, Р, С; б).К, Р; в).Е, Р, Д; г).Д.
8.Сравните t и p, если t
.
3
,
0
7
,
1
,
1
,
3
)
3
2
(
2
2
2
2
p
а).t<p; б).t>p; в).t=p; г).сравнить нельзя.
Вариант 2.
1.Найдите значение выражения:
).
0324
,
0
3
2
25
,
0
(
:
76
,
5
.
19
6
6
).
;
6
).
;
19
3
63
).
;
6
).
г
в
b
a
2.Найдите значение выражения:
.
19
;
7
5
2
y
x
при
y
x
а).12; б).26; в).10; г).-26.
3.Найдите значение переменной, при котором верно равенство:
.
14
5
13
x
а).36,6; б).41,8; в).-36,6; г).-41,8.
4.При каких значениях переменной имеет смысл выражение
y
13
?
а).при у>0; б).при у
0; в).при у<0; г).при любых.
5.Вычислите:
.
)
6
5
(
)
)
5
8
(
47
(
2
2
а).210; б).-210; в).-40950; г).40950.
6.Преобразуйте выражение:
).
3
5
)(
3
5
(
a
a
.
75
).
;
75
).
;
15
).
;
15
).
2
2
a
г
a
в
a
б
a
a
7.Какие из точек принадлежат графику функции
x
y
: Д(169;-13), Е(-169;-13),
)
5
4
2
;
25
21
7
(
F
,
L(3,6;0,6), M(1,21;1,1) ?
а).Д, F, L; б).F, M; в).E, M; г).L, F, M.
8.Сравните t и k, если
.
4
,
2
)
8
,
5
(
,
)
4
,
2
(
7
,
5
2
2
2
k
t
а).t<k; б).t>k; в).t=k; г).сравнить нельзя.
ТЕСТ 2.
27
Вариант1.
1.Вычислить:
.
36
125
5
.
6
5
1
).
;
5
6
1
).
;
30
1
).
;
6
5
).
г
в
б
a
2.Вычислить:
.
11
47
11
47
а).
6; б).-6; в).6; г).решений нет.
3.Упростите выражение:
.
16
9
9
2
2
a
.
6
1
).
;
6
1
).
;
6
1
).
;
6
1
).
a
г
a
в
a
б
a
a
4.Вычислите:
.
)
2
(
)
3
(
8
6
а).-6; б).-432; в).6; г).432.
5.Решите уравнение:
.
16
)
2
8
(
2
a
а).2; б).-2; -6; в).6; г).решений нет.
6.Найдите значение выражения:
.
49
,
9
y
x
при
x
x
x
y
x
y
x
а).-6; б).2; в).-13; г).23,5.
Вариант 2.
1.Найдите значение выражения:
180
81
45
.
а).2,25; б).-4,5; в).4,5; г).-2,25.
2.Вычислите:
17
8
8
17
.
а).3; б).-3; в).
3
; г).решения нет.
3.Упростите выражение:
289
34
2
а
.
.
2
).
;
2
).
;
2
).
;
2
).
а
г
a
в
а
б
a
a
4.Вычислите:
2
4
)
3
(
)
5
(
.
а).-15; б).75; в).15; г).-75.
5.Решите уравнение:
.
4
)
7
3
(
2
x
а).решений нет; б).3; в).-1
3
2
; г).
.
3
;
3
2
1
6.Найдите значение выражения
x
x
x
y
x
y
x
при x=9, y=49.
а).-7; б).-2; в).-8; г).-13.
ТЕСТ 3.
Вариант 1.
1.Вычислите:
11
11
11
2
22
.
.
2
).
;
11
).
;
11
).
;
2
11
).
г
в
б
a
2.Сократите дробь:
.
4
3
48
х
х
.
9
).
;
12
3
).
;
3
12
).
;
3
12
).
х
г
х
в
х
б
х
а
28
3.Упростите выражение
.
)
4
15
(
)
15
13
(
2
2
.
9
).
;
15
2
17
).
;
17
15
2
).
;
15
15
).
г
в
б
a
4.Представьте в виде степени
.
9
42
49
х
х
.
)
3
7
).(
;
)
7
3
).(
;
)
3
7
).(
;
)
7
3
).(
2
2
2
2
х
г
х
в
х
б
х
а
5.Избавьтесь от иррациональности в знаменателе
.
11
3
10
.
15
11
5
).
;
15
11
5
).
;
11
5
15
).
;
11
10
).
г
в
б
а
6.Найти значение выражения
.
5
,
4
:
)
(
2
b
a
при
b
a
a
b
a
a
ab
a
a
.
5
2
).
;
0
).
;
2
).
;
3
2
).
г
в
б
a
7.Найти значение выражения
.
16
,
9
2
y
x
при
x
y
x
y
x
.
9
7
6
).
;
11
).
;
9
2
7
).
;
1
).
г
в
б
a
Вариант 2.
1.Вычислить
.
11
11
11
55
5
.
5
).
;
5
11
).
;
5
).
;
11
).
г
в
б
a
2.Сократите дробь
.
25
10
25
4
a
a
.
1
4
,
0
).
;
4
,
0
).
;
4
,
0
1
).
;
1
4
,
0
).
a
г
a
в
a
б
a
a
3.Упростите выражение
.
)
5
3
4
(
)
5
3
2
(
2
2
.
3
4
).
;
10
3
6
).
;
3
6
10
).
;
3
2
).
г
в
б
a
4.Представьте в виде степени
.
9
12
4
x
x
.
)
3
2
).(
;
)
3
).(
;
)
3
2
).(
;
)
3
2
).(
2
2
2
2
x
г
x
в
x
б
x
a
5.Избавьтесь от иррациональности в знаменателе
.
5
10
19
.
5
8
,
1
).
;
5
2
,
2
).
;
5
2
,
0
2
).
;
5
2
,
0
2
).
г
в
б
a
6.Найдите значение выражения
.
9
,
4
)
(
2
b
a
при
b
a
ab
b
a
b
a
а).1; б).5; в).-1; г).-5.
7.Найдите значение выражения
.
9
,
16
2
2
g
p
при
g
p
p
g
p
.
7
22
).
;
25
3
).
;
7
6
).
;
25
6
).
г
в
б
a
Контрольная работа.
(В форме теста)
Задания с 1 по 4 – выбрать ответ.
Задания 5 и 6 – с кратким решением и выбором ответа.
Задания 7 и 8 – с полным решением.
Вариант 1.
1.Вычислить:
а).
1
,
0
15
6
10
3
,
0
29
1).9,1; 2).2,9; 3).89,9; 4).8,9.
б).
9
2
324
4
1
6
.
3
2
).
4
;
10
).
3
;
3
2
16
).
2
;
0
).
1
2.Сравните числа
a
и
b
, если
.
15
5
,
10
6
b
a
).
4
;
).
3
;
).
2
;
).
1
b
a
b
a
b
a
нельзя сравнить.
3.Сократить дробь
.
5
25
5
a
a
a
.
1
5
).
4
;
5
1
).
3
;
5
1
).
2
;
5
1
).
1
a
a
a
a
4.Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби
.
3
5
12
.
5
12
).
4
;
5
6
).
3
;
9
5
3
).
2
;
9
5
3
).
1
5.Упростите выражение
.
20
100
1
x
x
.
10
1
).
4
;
1
10
).
3
;
10
1
).
2
;
10
1
).
1
x
x
x
x
6.Найдите решение
)
;
(
0
0
y
x
системы уравнений
;
3
2
,
4
2
y
x
y
x
и вычислите значение суммы
.
0
0
y
x
1).7; 2).5; 3).3; 4).2.
7.Упростите выражение
).
1
)(
4
1
1
1
1
(
x
x
x
x
x
x
x
8.Решите уравнение
.
10
64
16
9
6
2
2
x
x
x
x
Вариант 2.
1.Вычислите:
30
17
2
45
:
20
1
,
0
).
a
1).-2,5; 2).-51,5; 3).-10; 4).0.
2
,
0
4
,
0
5
8
).
б
1).100; 2).91; 3).8,9; 4).4.
2.Сравните числа
a
и
b
, если
.
6
14
,
5
15
b
a
).
4
;
).
3
;
).
2
;
).
1
b
a
b
a
b
a
нельзя сравнить.
3.Сократите дробь
.
10
5
14
7
x
x
x
.
2
1
).
4
;
4
,
1
).
3
;
1
2
).
2
;
7
).
1
x
x
x
x
x
x
4.Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби
.
3
6
6
.
6
6
2
).
4
;
6
6
2
).
3
;
6
2
6
).
2
;
6
6
2
).
1
5.Упростите выражение
.
60
36
25
x
x
.
6
5
).
4
;
6
5
).
3
;
6
_
5
).
2
;
5
6
).
1
x
x
x
x
30
6.Найдите решение
)
;
(
0
0
y
x
системы уравнений
;
7
2
,
1
2
y
x
y
x
и вычислите значение суммы
.
0
0
y
x
1).4; 2).5; 3).7; 4).10.
7.Упростите выражение
).
2
(
)
2
2
2
2
2
2
(
x
x
x
x
x
x
8.Решите уравнение
.
6
4
4
25
10
2
2
x
x
x
x
Практические задания для проведения зачета.
(Задания распределены по трем уровням сложности.)
Уровень А.
1.Укажите, какие из ниже перечисленных чисел являются рациональными, а какие иррациональными:
.
03
,
1
;
50
;
13
;
19
2
);
1
(
3
,
0
2.Расположите числа в порядке возрастания:
.
4
7
;
30
31
;
19
2
;
3
5
;
27
3
3
9
3.Сравните числа:
.
5
7
15
17
).
2
;
253
7
1
129
5
1
).
1
u
u
4.При каких значениях
x
имеет смысл выражение:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
13
7
1
7
).
4
;
10
3
5
).
3
;
3
3
2
).
2
;
1
1
3
).
1
?
5.Докажите, что число
3
2
является корнем уравнения
.
0
1
5
5
2
3
x
x
x
6.Докажите, что
.
21
2
10
)
7
3
(
2
Следует ли из этого, что
21
2
10
7
3
?
7.Докажите, что выражение
5
7
1
5
7
22
7
5
9
равно натуральному числу.
Уровень В.
1.Вынесите множитель из-под знака корня:
;
0
32
).
1
10
3
b
при
b
a
.
)
(
1
).
4
;
)
11
3
(
)
2
2
7
(
).
3
;
0
,
0
8
).
2
3
5
3
3
7
a
b
b
c
при
b
c
2.Внесите множитель под знак корня:
.
5
).
3
;
2
)
13
11
).(
2
;
3
1
)
3
).(
1
5
3
xy
y
x
a
a
3.Решите уравнения:
.
5
11
7
).
4
;
3
1
2
).
3
;
0
10
).
2
;
0
2
).
1
x
x
x
x
4.Сократите дробь:
.
3
3
4
4
).
3
;
2
8
).
2
;
).
1
2
3
3
a
a
x
x
x
b
a
b
a
5.Докажите тождество
.
)
2
(
4
)
2
2
8
2
12
4
2
(
:
16
16
4
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
31
6.Решите систему уравнений
.
8
2
3
4
,
18
2
3
3
2
y
x
y
x
7.Постройте график функции:
.
2
).
2
;
2
)
1
(
).
1
2
2
x
x
x
y
x
y
Уровень С.
1.Упростите:
.
1
1
3
3
1
1
3
3
).
2
;
5
4
9
4
17
).
1
2.Упростите:
;
9
4
5
2
)
5
4
9
(
)
2
5
).(
2
;
112
343
5
,
0
75
,
1
3
63
).
1
2
.
2
12
17
)
3
2
2
).(
4
);
5
2
)(
5
5
11
(
1
2
2
7
5
2
10
1
).
3
3.Упростите выражения:
).
4
1
4
)(
4
1
1
1
1
).(
2
;
2
).
1
a
a
a
a
a
a
a
b
a
ab
b
a
b
b
a
b
a
b
b
a
a
4.Решите уравнение:
;
2
3
)
1
)(
2
7
).(
2
_;
3
1
(
2
4
3
3
).
1
x
x
x
x
x
.
25
30
9
9
12
4
).
3
2
2
x
x
x
x
5.Постройте графики функций:
;
)
1
(
)
3
(
).
4
;
3
2
).
3
;
2
1
).
2
;
).
1
2
2
x
x
y
x
y
x
y
x
y
.
)
1
(
)
1
(
).
5
2
x
x
x
y
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1.Барсуков А.Н. «Алгебра» - Просвещение, 1966.
2.Никольский С.М., Потапов М.К. «Алгебра» - Наука, 1990.
3.Энциклопедия для детей «Математика» - Аванта+, 2000.
4.Макарычев Н.Ю, Миндюк Н.Г., Нешков К.И. «Алгебра. Учебник для 8-ого класса с углубленным
изучением математики» - Мнемозина, 2001.
5.Виленкин Н.Я. «Алгебра 8» - Просвещение, 1997.
6.Звавич Л.И., Рязановский А.Р. «Алгебра 8. Задачник для классов с углубленным изучением
математики» - Мнемозина, 2002.
7.Березин В.Н., Березина Л.Ю., Никольская И.Л. «Сборник задач для факультативных и внеклассных
занятий по математике» - Просвещение, 1985.
8.Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. «Алгебраический тренажер» - М.: Илекса, 2001.
9.Дорофеев Г.В. «Математика 8» - Дрофа, 1991.
10.Дорофеев Г.В., Муравин К.С., Муравин Г.К. «Алгебра 8» - Дрофа, 1991.
11.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Дополнительные главы к школьному учебнику» - Просвещение,
2004.
12.Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. «Сборник задач и контрольных работ по
алгебре для 8 класса» - М.: Илекса, 2001.
13.Безрукова О.Л. «Самостоятельные и контрольные работы для 8 класса» - Волгоград: изд. Учитель,
2003.
32
14.Максимовская М.А., Уединов А.Б., Чулков П.В. «Алгебра 8. Тесты» - М.: Издат-школа 2000, 2001.
15.Денищева Л.О., Глазков ЮА., Краснянская к. А., Кузина Г.П., Семенов П.В. «Учебно-тренировочные
материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика» - М.: Интеллект-Центр, 2003.
33