С.А.Караева

МБОУ СОШ №30, г. Владикавказ

Учитель математики

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

DIOPHANTINE EQUATION`S

Keywords: Diophantine equations and systems of

equations, natural numbers, arithmetic, linear and

nonlinear equations, whole solution.

2017г.

Оглавление

1 Введение

2 Биография

3 Определение диофантовых уравнений

4 Принцип невозможности решения уравнений в целых числах

5 Линейные уравнения

6 Линейные системы

7 Нелинейные уравнения

8 Нелинейные системы

9 Заключение

1 Введение

В данной работе рассматриваются линейные и нелинейные Диофантовы уравнения

и системы, а также приводящие к ним задачи.

2 Биография Диофанта Александрийского

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не

известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в

той же области. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет

полтысячелетия. Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это

знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира. Но

наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть

книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих

книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и

алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам

из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась

результатом многочисленных исследований, которые остались нам совершенно не

известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её

методов и результатов.

«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых

снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми

пояснениями. Поэтому с первого взгляда, кажется, что она не является

теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи

тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго

продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не

формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

3 Определение диофантовых уравнений

Диофантовыми называют уравнения и системы с целыми коэффициентами,

имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений. Система

становится неопределенной, и у нее находят целые (реже рациональные) решения.

Линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными ах+by=c (где a, b, c –

целые, a, b – взаимно простые числа), очевидно, имеет бесконечно много решений:

x=x

0

-bk, y=y

0

+ak, где(x

0

, y

0

)-любое решение, k - целое число.

Бесконечное множество решений могут иметь также уравнения второй и третей

степени. Уравнения более высоких степей, как правило, могут иметь лишь

конечное число решений.

4 Принцип невозможности решения уравнений в целых числах

1 Если коэффициенты при неизвестных неопределенные уравнения имеют общий

множитель которого не имеет свободный член то уравнение не может иметь целого

решения.

2 Принцип невозможности решения уравнения в натуральных числах

Пусть в уравнении ах+bx=с a и b>0, c<0 тогда при всяких натуральных значениях х

и у л.ч.>0, и.ч.<0.

-

a(x-x

0

)+b(y-y

0

)=0

a(x-x

0

)=- b(y-y

0

)

т.к. а и b взаимно простые, то (y-y

0

) кратно( –a) и (x-x

0

) кратно (b), т.е. (x-x

0

)=bk и

(y-y

0

)=-ak.

X=x

0

+bk

Y=y

0

-ak.

Принцип невыполняемости.

5 Линейные уравнения

Задача. Пятиклассник расставляет игрушечных солдатиков по 10 в шеренгу. В

последней шеренге не хватило трех солдатиков. Он стал ставить в шеренгу по 12

солдатиков – 7 осталось. затем он уложил их в коробки по 100 штук – третья

коробка оказалась неполной. Сколько всего солдатиков у школьника?

Решение:

Пусть с-число солдатиков

х - количество полных шеренг по 10

у - по 12

Тогда:

с=10х+7=12у+7

10х=12у

5х=6у

х=6к

у=5к

с=60к+7

200<c<300

к=1, с=60*1+7=67<200

к=2, с=60*2+7=128Б200

к=3, с=187<200

к=4,с=247>200; 247<300

к=5, с=307>300

Проверка.

Если к=4, то

x=6*4=24

y=5*4=20

c=10*24+7=247

6 Линейные системы

Задача. Юра написал три различных натуральных числа. Сложил большее со

средним - получилось 1996, а когда из среднего вычел меньшее, то получил 996.

Назовите меньшее число?

0<а<b<c

Из (2) b=996+a (3)

Из (1) c=b+(c-b)

Складываем уравнения (1) и (2) получим 2b+c-a=1996+996

2B=1996+996+a-c

Используя условие(3) получаем 2b=1996+b-(b+(c-b))=1996+b-b-c+b=1996-c+b

Т.к. c-b>0,то b<998 и используя условие (3) b>996. Следовательно, b=997.

a=b-996=1;c=1996-b=999.

Ответ: a=1;b=997;c=999.

7 Нелинейные уравнения

Задача. Решите уравнение x

2

+2xy+5y=0 в целых числах.

D=4y

2

-4*1*5y=4y

2

-20y=4y(y-5)

Уравнение имеет корни, если D>0, т.е. x

1,2

=

Корень из D извлекается при у=0;5;9;-4.

1) y=0; x

2

+2xy+5y=0; x

2

=0;x=0. (0;0)

2)y=5; x

2

+2xy+5y=0; x

2

+2*5*x+5*5=0;x

2

+10x+25;x=-5.(-5;5).

3)y=9; x

2

+2xy+5y=0;x

2

+2*9x+5*9=0;x

2

+18x+45=0;x

1

=-3;x

2

=-15.(-3;9) и (-15;9).

4)y=-4; x

2

+2xy+5y=0;x

2

-8x-20=0;x

1

=-2 и x

2

=10. (10;-4) и (-2;-4)

Ответ: (0;0);(-5;5);(-3;9);(-15;9);(10;-4);(-2;-4).

8 Нелинейные системы

Задача. Решить в целых числах

-

x

2

-x+y-y

2

=48

(x-y)*(x+y)-(x-y)=48

(x-y)*(x+y-1)=48

+

2x-1=49,26,19,16,14.(при целых х.)

2x-1=49;x=25(целое)

2x-1=26;x=27/2(нецелое)

2x-1=19;x=10(целое)

2x-1=16;x=17/2(нецелое)

2x-1=14;x=15/2(нецелое)

x=25; 10.

y=25-1=24;y=10-1=9.

Ответ: (25;24);(10;9).

9 Заключение. Диофантовы уравнения и системы часто встречаются в

олимпиадных работах, не редко в заданиях для поступления в ВУЗы (хотя сейчас в

заданиях ЕГЭ я их не встречала). Я постаралася рассмотреть классические задачи,

предлагаемые на олимпиадах.

Цель данной работы - помочь учителям и учащимся, которые интересуются

дополнительным материалом. Можно их рассмотреть на элективных курсах или

при подготовке к олимпиаде.

Литература

1.

Васильев Н.Б., Егоров А.А. Задачи всесоюзных математических олимпиад

1988.

2.

Леман А.А. Сборник задач московских математических олимпиад 1965.

3.

Васильев Н.Б. Заочные математические олимпиады 1986.

4.

Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах 1952.

5.

Лурье М.В. Александров Б.И. Задачи на составление уравнений 1976.