VIII республиканский конкурс молодых исследователей

«Ступень в науку»

Направление:

Математика

Название работы

«Обратные тригонометрические функции»

Автор работы:

Чибиров Руслан

Учебное заведение, класс:

МОУ СОШ №30 11класс

Научный руководитель:

Караева Сильва Андреевна,

учитель высшей категории, победитель национального конкурса

«Образование»

2018-2019

г.Владикавказ

Регистрационная карата участника

Чибиров Руслан Рамазович

22.08.2001г

362000

11 класс

ул.

Кубалова 18

тел. 89289346205

Информация о работе

Направление:

Математика

Название:

«Обратные тригонометрические функции»

Информация о научном руководителе работы

Караева Сильва Андреевна

МОУ СОШ№ 30, учитель математики

учитель высшей категории

362000

тел. 89188255100

Содержание

I. Обратные тригонометрические функции

•

функция arcsin и свойства функции

•

функция arccos и свойства функции

•

функция arctg и ее свойства

•

функция arcctg и ее свойства

II. Тригонометрические операции над аркфункциями

•

сводка формул

•

преобразования посредством выведения формул

III. Соотношения между аркфункциями

•

соотношения 1-го и 2-го рода

•

формулы преобразования одних аркфункций в другие

•

примеры преобразования

IV. Формулы сложения

•

примеры

•

образцы преобразований аркфункций

Обратные тригонометрические функции

Чибиров Руслан 11 класс МОУ СОШ № 30 г. Владикавказ

Научный руководитель: Караева Сильва Андреевна

За последнее время довольно часто встречаются задания, связанные с

обратными

тригонометрическими

функциями,

в

том

числе

в

КИМах

по

математике в ЕГЭ. В школьном курсе недостаточно рассматривается данная

тема,

что

затрудняет

решение

заданий,

содержащие

обратные

тригонометрические функции.

В моей работе я исследовала обратные тригонометрические функции

arcsin x, arccosx, arctg x, arcctg x и их свойства, а также ввела понятие arcsec x

и arccosec x. На конкретных примерах показаны соотношения первого рода

между

аркфункциями

2

arccos

arcsin







x

x

и

соотношения

второго

рода









sin

arcsin



;

показаны

преобразования

одних

аркфункций

в

другие,

например, выражение arctg x через arcsin x или arccos x через arctg x и другие

соотношения.

Приведена

сводка

формул,

получающихся

в

результате

выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями и

доказательства справедливости этих формул, показаны образцы выполнения

различных преобразований посредством выше перечисленных соотношений.

Исследованы

функции

типа

,

1

x

arcctg

arctgx

y





,

arcsin

1

arcsin

2

x

x

y







2

2

1

arccos

1

1

arcsin

x

x

x

y









. Рассмотрены формулы сложения для суммы или

разности

двух

(или

нескольких)

аркфункций

через

какую-либо

данную

аркфункцию.

На

конкретных

примерах

показано

использование

данных

формул.

Обратные тригонометрические функции

Пеpвым aвтopoм, кoтopый иcпoльзoвaл cпециaльные cимвoлы для oбpaтных

тpигoнoметpичеcких функций был, Беpнулли. В 1729 и в1736 гoдaх он пиcaл as и at

cooтветcтвеннo вмеcтo arcsin и arctg. Сoвpеменные oбoзнaчения arcsin x и arctg x

пoявляютcя в 1772 в тpудaх Шеpфеpa и Лaгpaнжa.

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) —

математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К

обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:



аркси́

нус (обозначение: arcsin)



аркко́

синус (обозначение: arccos)



аркта́

нгенс (обозначение: arctg;)



арккота́

нгенс (обозначение: arcctg;)



арксе́

канс (обозначение: arcsec)



арккосе́

канс (обозначение: arccosec;)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия

соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от

лат. arc — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной

тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или

углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку.

Функция arcsin

График функции

.

arcsin x

y



Арксинусом числа a называется такое значение угла

x

,

для которого

.

1

,

2

2

,

sin











a

x

a

x





Функция

x

y

arcsin



непрерывна и ограничена на всей

своей числовой прямой. Функция

x

y

arcsin



является

строго возрастающей.







x

x



arcsin

sin

при

1

1







x

,







y

y



sin

arcsin

при

2

2











y

,











1

;

1

arcsin





x

D

(область определения),























2

;

2

arcsin





x

E

(область значений).

Свойства функции arcsin







x

x

arcsin

arcsin







(функция является

нечётной).



0

arcsin



x

при

1

0





x

.



0

arcsin



x

при

0



x

.



0

arcsin



x

при

0

1







x

.





















,

1

arccos

,

1

arccos

arcsin

2

2

x

x

x

0

1

1

0











x

x





x

arcsin

arctg

2

1

x

x































x

x

arcctg

x

x

arcctg

x

2

2

1

1

arcsin

0

1

1

0











x

x

Получение функции arcsin

Дана функция

x

y

sin



. На всей своей области определения она является кусочно-

монотонной, и, значит, обратное соответствие

x

y

arcsin



функцией не является. Поэтому

мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения

области значений —















2

;

2





. Так как для функции

x

y

sin



на интервале















2

;

2





каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом

отрезке существует обратная функция

x

y

arcsin



, график которой симметричен графику

функции

x

y

sin



на отрезке















2

;

2





относительно прямой

x

y



.

Функция arccos

График функции

x

y

arccos



.

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x,

для которого

m

x



cos

,

1

,

0







m

x



.

Функция

x

y

cos



непрерывна и ограничена на всей своей

числовой прямой. Функция

x

y

arccos



является строго

убывающей.



cos(arccosx) = x при

1

1







x



arccos(cosy) = y при







y

0



D(arccosx) = [ − 1;1], (область определения),



E(arccosx) = [0;π]. (область значений).

Свойства функции arccos







x

x

arccos

arccos









(функция центрально-

симметрична относительно точки













2

;

0



).



0

arccos



x

при

1

1







x

.



0

arccos



x

при

1



x





















,

1

arcsin

,

1

arcsin

arccos

2

2

x

x

x



0

1

1

0











x

x

























,

1

,

1

arccos

2

2

x

x

arctg

x

x

arctg

x



0

1

1

0











x

x



2

1

arcsin

2

arccos

x

x







2

1

arccos

2

arccos

x

x







x

x

arctg

x







1

1

2

arccos

Получение функции arccos

Дана функция

x

y

cos



. На всей своей области определения она является кусочно-

монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arccosx функцией не является. Поэтому

мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения —

[0;π]. На этом отрезке y = cosx строго монотонно убывает и принимает все свои значения

только один раз, а значит, на отрезке [0;π] существует обратная функция

x

y

arccos



,

график которой симметричен графику y = cosx на отрезке [0;π] относительно прямой y = x.

Функция arctg

График функции

arctgx

y



.

Арктангенсом числа m

называется такое значение угла

x, для которого

m

tgx



,

2

2











x

.

Функция

arctgx

y



непрерывна

и ограничена на всей своей

числовой прямой. Функция

arctgx

y



является строго возрастающей.







x

arctgx

tg



при

R

x



,







y

tgy

arctg



при

2

2











y

,



















;

arctgx

D























2

;

2





arctgx

E

Свойства функции arctg



2

1

arcsin

x

x

arctgx







x

x

arctg

arctgx

1

1

2

2







Получение функции arctg

Дана функция

tgx

y



. На всей своей области определения она является кусочно-

монотонной, и, значит, обратное соответствие

arctgx

y



функцией не является. Поэтому

рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения

только один раз —















2

;

2





. На этом отрезке

tgx

y



строго монотонно возрастает и

принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале















2

;

2





существует обратная

arctgx

y



, график которой симметричен графику

tgx

y



на отрезке















2

;

2





относительно прямой y = x.

Функция arcctg

График функции y=arcctg x

Арккотангенсом числа m называется

такое значение угла x, для которого

,

m

ctgx



.

0







x

Функция

arcctgx

y



непрерывна и ограничена на

всей своей числовой прямой. Функция

arcctgx

y



является строго убывающей.







x

arcctgx

ctg



при

R

x



,







y

ctgy

arcctg



при







y

0

,



















;

arcctgx

D

,













;

0



arcctgx

E

.

Свойства функции arcctg







arcctgx

x

arcctg









(график функции центрально-симметричен относительно

точки













2

;

0



).



0



arcctgx

при любых x.

























,

1

1

arcsin

,

1

1

arcsin

2

2

x

x

arcctgx



0

0





x

x

Получение функции arcctg

Дана функция

ctgx

y



. На всей своей области определения она является кусочно-

монотонной, и, значит, обратное соответствие

arcctgx

y



функцией не является. Поэтому

рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения

только один раз —







;

0

. На этом отрезке

ctgx

y



строго возрастает и принимает все

свои значения только один раз, следовательно, на интервале







;

0

существует обратная

функция

arcctgx

y



, график которой симметричен графику

ctgx

y



на отрезке







;

0

относительно прямой y = x. График симметричен к арктангенсу

Функция arcsec

arcsec(x) =













x

1

arccos

Функция arccosec

arccosec(x) =













x

1

arcsin

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические

функции

от

одного

и

того

же

аргумента

выражаются

алгебраически

одна

через

другую,

поэтому

в

результате

выполнения

какой-либо

тригонометрической

операции

над

любой

из

аркфункций

получается

алгебраическое

выражение.

В силу определения аркфункций:

sin (arcsin(x)) = x ,

cos (arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1])

tg (arctg(x)) = x ,

ctg (arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x)

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x

и

y=sin (arcsin(x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших

тригонометрических операций над аркфункциями.

Аргумент

функция

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arcctg(x)

x

y

0

x

y

0

1

-1

sin

sin(arcsin(x))=x

2

1

x



2

1

x

x



2

1

1

x



cos

2

1

)

cos(arcsin

x

x





x

2

1

1

x



2

1

x

x



tg

2

1

x

x



x

x

2

1



x

x

1

ctg

x

x

2

1



2

1

x

x



x

1

x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи

рассуждений, приведенных ниже:

1.

т.к. cos

2

x + sin

2

x = 1 и



= arcsin(x)





2

sin

1

cos















2

2

1

arcsin

sin

1

)

cos(arcsin

x

x

x













Перед радикалом

)

1

(

2

x



следует взять знак “+”, т.к. дуга

x

arcsin





принадлежит правой полуокружности (замкнутой)

2

2













, на которой косинус

неотрицательный.

Значит, имеем

2

1

)

cos(arcsin

x

x





2.

Из тождества





ctg

tg

1



, где

arcctgx





следует:

x

arcctgx

ctg

arcсtgx

tg

1

)

(

1

)

(





3.

Имеем

2

1

)

cos(arcsin

)

sin(arcsin

)

(arcsin

x

x

x

x

x

tg







4.

2

2

1

)

(arccos

cos

1

)

sin(arccos

x

x

x









Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством

выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение

)

arcsin

2

sin(

x

Решение: Применяем формулу







cos

sin

2

2

sin



, имеем:

2

1

2

)

cos(arccos

)

sin(arcsin

2

)

arcsin

2

sin(

x

x

x

x

x







Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

1

2

)

(arcsin

sin

)

(arccos

cos

)

arccos

2

cos(

2

2

2









x

x

x

x

2

2

1

2

)

(

1

)

(

2

)

2

(

x

x

arctgx

tg

arctgx

tg

arctgx

tg









Пример №3. Пользуясь ...

2

2

1

1

)

sin(arcsin

)

cos(arcsin

)

cos(arcsin

)

sin(arcsin

)

arcsin

sin(arcsin

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x















Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

2

2

1

1

)

arccos

cos(arccos

y

x

xy

y

x











xy

y

x

y

x











2

2

1

1

)

arcsin

sin(arccos

2

2

1

1

)

arcsin

sin(arcsin

x

y

y

x

y

x











xy

y

x

arctgy

arctgx

tg









1

)

(

xy

y

x

arctgy

arctgx

tg









1

)

(

xy

y

x

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x

tg























2

2

2

2

1

1

1

1

)

arcsin

cos(arcsin

)

arcsin

sin(arcsin

)

arcsin

(arcsin

Пример №5. Положив в формулах







2

1

2

2

sin

tg

tg





,

и







2

2

1

1

2

cos

tg

tg







arctgx





, получим:

2

1

2

)

2

sin(

x

x

arctgx





,

2

2

1

1

)

2

cos(

x

x

arctgx







Пример №6. Преобразуем

)

arccos

2

1

cos(

x

Положив в формуле

2

cos

1

2

cos











,

x

arccos





Получим:

2

1

)

arccos

2

1

cos(

x

x





Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга

x

arccos

2

1

принадлежит I четверти, а потому

левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из

зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

2

arccos

arcsin







x

x

2







arcctgx

arctgx

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из

соотношений

между

значениями

тригонометрических

функций

от

одного

и

того

же

аргумента.

Посредством

соотношений

2-го

рода

производятся

преобразования

одной

аркфункции в другую (но от различных аргументов).

x

y

1

-1

arcsin(x)

arccos(x)

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же

полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга



, заключенная в интервале















2

;

2





.

Данная

дуга

может

быть

представлена

как

в

виде

арксинуса,

так

и

в

виде

арктангенса. В самом деле, дуга

)

arcsin(sin



имеет синус, равный



sin

и заключена, так

же как и



, в интервале















2

;

2





, следовательно

)

arcsin(sin







Аналогично можно дугу



представить в виде арктангенса:

)

(





tg

arctg



А

если

бы

дуга



была заключена в интервале







;

0

, то она могла бы быть

представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

)

(

)

arccos(cos







ctg

arcctg





Так, например:

1

2

2

arcsin

4

arctg







)

2

3

(

)

2

1

arcsin(

6











arctg



Аналогично:

)

1

(

)

2

2

arccos(

4

3









arcctg



Формулы

преобразования

одних

аркфункций

в

другие,

значения

которых

содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

1.

Выражение

x

arcsin

через арктангенс.

Пусть

x

y

arcsin



, тогда

2

1

)

(arcsin

x

x

x

tg





Дуга

2

1

x

x

arctg



, по определению арктангенса, имеет тангенс, равный

2

1

x

x



и

расположена в интервале















2

;

2





.

Дуга

x

arcsin

имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале















2

;

2





.

Следовательно,

2

1

arcsin

x

x

arctg

x





(1)

(в интервале ( -1 : 1 )

2.

Выражение

arctgx

через арксинус.

Т.к.

2

1

)

sin(

x

x

arctgx





,

то

2

1

arcsin

x

x

arctgx





(2)

в интервале

)

;

(





3.

В ы р а ж е н и е

а р к ко с и н у с а

ч е р е з

а р к ко т а н г е н с .

И з

р а в е н с т в а

2

1

)

(arccos

x

x

x

ctg





следует тождество

2

1

arccos

x

x

arcctg

x





(3)

Случай

№2.

Рассмотрим

две

аркфункции,

значения

которых

выбираются

в

различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и

т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции)

положителен,

то

соответственно

аркфункция

(дуга),

заключенная

в

первой

четверти,

может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

3

3

1

2

3

arccos

2

1

arcsin

6

arcctg

arctg











Поэтому

каждая

из

аркфункций

от

положительного

аргумента

может

быть

выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо

промежутку от

2





до 0, либо промежутку от

2



до



и не может быть представлена в

виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга

3

2

)

2

1

arccos(







не может быть значением арксинуса. В этом

случае

2

3

arcsin

3

3

2

















Формулы

преобразования

одних

аркфункций

в

другие,

значения

которых

выбираются в различных полуокружностях.

4.

Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть

x

y

arcsin



,

если

1

0





x

,

т о

2

0







y

.

Дуга

имеет

косинус,

равный

2

1

x



, а поэтому

2

1

arccos

arcsin

x

x





При

0

1







x

это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

0

arcsin

2







x



, а для функции

2

1

arccos

x



имеем:

2

1

arccos

0

2









x

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень

2

1

x



, т.е. число

неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

x>0

x<0

При отрицательных значениях x имеем x<0, а при положительных x>0, и

2

1

arccos

)

arcsin(

arcsin

x

x

x













2

1

x



2

1

x



2

1

arccos

arcsin

x

x





2

1

arccos

arcsin

x

x





Таким образом, имеем окончательно:





























0

1

,

1

arccos

,

1

0

,

1

arccos

arcsin

2

2

x

если

x

x

если

x

x

(4)

График функции

2

1

arccos

x



Область

определения

есть

сегмент

[-1;1];

согласно

равенству

(4),

закон

соответствия можно выразить следующим образом:























0

1

,

arcsin

1

0

,

arcsin

1

arccos

2

x

если

x

x

если

x

x

5.

Аналогично установим, что при

1

0





x

имеем:

2

1

arcsin

arccos

x

x





, если же

0

1







x

, то

2

1

arcsin

)

arccos(

arccos

x

x

x

















Таким образом:





























0

1

,

1

arcsin

1

0

,

1

arcsin

arccos

2

2

x

если

x

x

если

x

x



(5)

6.

Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

2

1

1

)

cos(

x

arctgx





при

0



x

имеем:

2

1

1

arccos

x

arctgx





Если же х<0, то

2

1

1

arccos

)

(

x

x

arctg

arctgx













Итак,



























0

,

1

1

arccos

0

,

1

1

arccos

2

2

еслиX

x

еслиX

x

arctgx

(6)

-1

1

0

7.

Выражение арккосинуса через арктангенс. Если

1

0





x

, то

x

x

arctg

x

2

1

arccos





При

0

1







x

имеем:

x

x

arctg

x

x

arctg

x

x

2

2

1

1

)

arccos(

arccos



























Итак,

































0

1

,

1

1

0

,

1

arccos

2

2

x

если

x

x

arctg

x

если

x

x

arctg

x



(7)

8.

Выражение арктангенса через арккотангенс.























0

,

1

0

,

1

еслиX

x

arcctg

еслиX

x

arcctg

arctgx



(8)

При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

)

1

(

1

)

(

x

arcctg

x

arcctg

x

arctg

arctgx





















.

9.

Выражение арксинуса через арккотангенс.

































0

1

,

1

1

0

,

1

arcsin

2

2

x

если

x

x

arcctg

x

если

x

x

arcctg

x



(9)

10. Выражение арккотангенса через арксинус.



























0

,

1

1

arcsin

0

,

1

1

arcsin

2

2

еслиX

x

еслиX

x

arcctgx



(10)

11. Выражение арккотангенса через арктангенс.























0

,

1

0

,

1

еслиX

x

arctg

еслиX

x

arctg

arcctgx



(11)

Примеры:

Пример №1. Исследовать функцию

x

arcctg

arctgx

y

1





Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения

х=0 (при х=0, второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8)

получим:















0

,

0

,

0

еслиX

еслиX

y



На чертеже изображен график

данной функции

Пример №2. Исследовать функцию

x

x

y

arcsin

1

arcsin







Решение: Первое слагаемое определено для значений

1

0





x

, второе – для тех же

значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к.

1

1

0







x

, то получаем

x

x

x

arccos

)

1

(

1

arccos

1

arcsin











,

откуда:

2

arcsin

arccos

arcsin

1

arcsin















x

x

x

x

y

на сегменте [0;1]

Пример №3. Исследовать функцию

2

2

1

arccos

1

1

arcsin

x

x

x

y









Решение:

Выражения,

стоящие

под

знаками

аркфункций

не

превосходят

по

абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х.

Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

2

2

2

2

2

2

2

1

arccos

1

arccos

1

1

1

arccos

1

1

1

arccos

1

1

arcsin

x

x

x

x

x

x

x







































Приняв во внимание равенство





arccos



arccos

, если

0









arccos



, если

0





получим:

x

arcctg

arctgx

y

1





X

Y





0





















0

,

1

arccos

2

0

,

0

2

еслиX

x

x

еслиX

y



В ы п о л н е н и е

о б р а т н ы х

т р и г о н о м е т р и ч е с к и х

о п е р а ц и й

н а д

тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

)

(

),

(

),

arccos(cos

),

arcsin(sin

ctgx

arcctg

tgx

arctg

x

x

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком

промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из

данных выражений:

)

arcsin(sin x

y



Согласно

определению

арксинуса, y

–

есть

дуга

правой

полуокружности

(замкнутая), синус которой равен sin x;

x

y

sin

sin



и

2

2











y

Областью определения функции

)

arcsin(sin x

служит интервал











x

, так как

при

всех

действительных

значениях х

значение

промежуточного

аргумента

x

u

sin



содержится на сегменте

1

1







u

. При произвольном действительном х

значение y (в

общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при

6





x

имеем:

x

y









6

2

1

arcsin

)

6

arcsin(sin





но при

6

5





x

x

y









6

2

1

arcsin

)

6

5

arcsin(sin





В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с

периодом



2

, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте















2

3

;

2





величиной



2

.

Если

значение х

принадлежит

сегменту















2

;

2





т о

x

y



,

на

этом

сегменте

график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если

значение х

принадлежит

сегменту













2

3

;

2





, то в этом случае дуга

x





принадлежит сегменту















2

;

2





; и, так как

x

x

sin

)

sin(







, то имеем

x

y







;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией

x

y







. Если

значение х принадлежит сегменту













2

5

;

2

3





, то, пользуясь периодичностью или путем

непосредственной проверки, получим:



2





x

y

Если значение х принадлежит сегменту

















2

;

2

3





, то

x

y









Если значение х принадлежит сегменту

















2

3

;

2

5





, то



2





x

y

Вообще, если

k

x

k









2

2

2

2











, то

k

x

y



2





и если

k

x

k









2

2

3

2

2









, то





k

x

y





2







График

функции

)

arcsin(sin x

y



представлен на рисунке. Это ломаная линия с

бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

Рассмотрим функцию

)

arccos(cos x

y



Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где







y

0

Областью определения данной функции является множество всех действительных

чисел; функция периодическая, с периодом, равным



2

. Если значение x принадлежит

сегменту







;

0

,

т о y

= x.

Если х

принадлежит

сегменту









2

;

,

то

дуга

x





2

принадлежит сегменту







;

0

и

x

x

cos

)

2

cos(







, поэтому:

x

x







2

)

arccos(cos

Следовательно, на сегменте









2

;

имеем

x

y







2

Если х принадлежит сегменту









3

;

2

, то



2





x

y

Если х принадлежит сегменту









4

;

3

, то

x

y







4

Вообще, если





)

1

2

(

2







k

x

k

, то

k

x

y



2





Если же

k

x

k





2

)

1

2

(







, то

k

x

y









Графиком функции

)

arccos(cos x

y



является ломаная линия

1



1

X

Y

)

arcsin(sin x

y



-1

1

0

Х

Y

)

arccos(cos x

y



Формулы сложения

Формулы

сложения

дают

выражения

для

суммы

или

разности

двух

(или

нескольких)

аркфункций

через

какую-либо

данную

аркфункцию.

Пусть

дана

сумма

аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. В

соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной

аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут

получаться

различные

формулы,

в

зависимости

от

промежутка,

в

котором

берется

значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

2

1

arcsin

3

1

arcsin







Решение: эта сумма является суммой двух дуг



и



, где

3

1

arcsin





;

2

1

arcsin





В

данном

случае

4







(т.к.

2

2

3

1



,

а

следовательно,

4

3

1

arcsin





), а также

4

6











, поэтому

2







.

Вычислив синус дуги



, получим:

6

2

2

3

3

1

1

2

1

2

3

3

1

sin

2















Т.к. сумма



заключена на сегменте















2

;

2





, то

6

2

2

3

arcsin







Пример №2. Представить дугу



, рассмотренную в предыдущем примере, в виде

арктангенса. Имеем:

)

1

6

2

3

2

2

(

)

1

6

2

6

2

6

2

3

2

2

(

)

6

2

1

6

2

6

2

3

2

2

(

)

6

2

1

1

2

2

1

3

1

(

)

2

2

3

3

1

3

2

2

1

1

2

2

3

3

1

3

2

2

1

(

)

)

3

1

(

1

3

1

)

2

1

(

1

2

1

1

)

3

1

(

1

3

1

)

2

1

(

1

2

1

(

)

3

1

(arcsin

)

2

1

(arcsin

1

)

3

1

(arcsin

)

2

1

(arcsin

2

2

2

2



































































tg

tg

tg

tg

tg

tg

tg

tg

tg

tg

tg



Откуда

1

6

2

2

2

3

2

1

arcsin

3

1

arcsin











arctg



Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму

2

1

arctg

arctg







Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга



оканчивается во

второй четверти, т.к.

4

1





arctg

, а

4

2





arctg

. Вычисляем

3

2

1

2

1













tg

В

рассматриваемом

примере

)

3

(





arctg



,

так

как

дуги



и

)

3

(



arctg

заключены в различных интервалах,











2

, а

0

)

3

(

2









arctg



В данном случае

3

)

3

(

arctg

arctg

















Пример №4. Представить дугу



, рассмотренную в предыдущем примере, в виде

арккосинуса.

Решение: имеем

10

1

10

2

10

1

5

2

2

1

5

1

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

)

2

sin(

)

1

sin(

)

2

cos(

)

1

cos(

)

2

1

cos(

cos

2

2

2

2















































arctg

arctg

arctg

arctg

arctg

arctg



Обе

дуги



и

)

10

1

arccos(



расположены в верхней полуокружности и имеют

одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:

)

10

1

arccos(







Так

как

суммы

и

разности

любых

аркфункций

можно

выражать

при

помощи

произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения.

Однако

все

эти

формулы

выводятся

при

помощи

однотипных

рассуждений.

Ниже

в

качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно

получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть



и



– две дуги, заключенные в промежутке от 0 до

2



(первая четверть):

2

0









, и

2

0









Сумма







заключена в верхней полуокружности













0

, следовательно, ее

можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале,

т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

)

sin

sin

cos

arccos(cos

))

(

arccos(cos



























;

















ctg

ctg

ctg

ctg

arcctg

ctg

arcctg















1

)]

(

[

Разность







заключена в правой полуокружности:

2

2

















Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде

арктангенса:

)

sin

cos

cos

arcsin(sin

))

(

arcsin(sin



























;

















tg

tg

tg

tg

arctg

tg

arctg















1

))

(

(

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в

интервале













2

;

0



то

сумму

двух

аркфункций

от

положительных

аргументов

можно

представить

в

виде

арккосинуса,

а

также

в

виде

арккотангенса,

а

разность

двух

аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а

также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

1.

Преобразуем в арккосинус

y

x

arcsin

arcsin



, где

1

0





x

и

1

0





y

Имеем:

xy

y

x

y

x











2

2

1

1

)

arcsin

cos(arcsin

Откуда

)

1

1

arccos(

arcsin

arcsin

2

2

xy

y

x

y

x











2.

Аналогично

)

1

1

arcsin(

arcsin

arcsin

2

2

x

y

y

x

y

x











, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

2

2

2

2

1

1

1

1

arccos

arccos

y

x

xy

y

x

x

y

arctg

y

x

















, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

)

1

1

arccos(

arccos

arccos

2

2

y

x

xy

y

x











)

1

1

1

arccos(

2

2

y

x

xy

arctgy

arctgx











2

2

1

1

arcsin

arcsin

y

x

y

x

arctgy

x











Вывод

Реферат помог мне научиться решать задания, содержащие обратные

тригонометрические функции.

Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы,

но и из разных сборников задач по математике.

Этот материал может быть интересен и полезен выпускникам школ и

абитуриентам технических вузов.

Список литературы

«Алгебра и начала анализа» С.М. Никольский

Журнал «КВАНТ»

Журнал «Математика в школе»

Сборник задач по математике под редакцией М.И. Сканави

Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович

3000 конкурсных задач по Математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин