РАЗНЫЕ УРОВНИ ОБОБЩЕННОСТИ ПРИЗНАКА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ

ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ И

ТЕОРЕМЫ О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

Тема «Перпендикулярность в пространстве» - интереснейшая тема курса

стереометрии, изучение перпендикулярности в

пространстве важно не только само по себе, как одно из основных

отношений, определяющее взаимосвязь элементов многогранников, но и для

определения углов и расстояний, вычисления площадей поверхностей и

объемов многогранников и фигур вращения. Но традиционное строгое

научное изложение этой темы в учебных пособиях привело к утрате интереса

учащихся к ней. В связи с этим учащиеся плохо владеют данным понятием

при решении стереометрических задач: не могут доказать

перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и

плоскости. Введение ФГОС в систему школьного образования является

хорошей возможностью изменить формальный подход в изучении темы на

подходы, активизирующие учебную деятельность учащихся. Изменение как

внешних форм (изменение структуры плана-конспекта), так и внутренних

должно заставить каждого учителя пересмотреть устоявшиеся и не всегда

эффективные методы введения понятия «перпендикулярность в

пространстве».

Признак перпендикулярности прямой и плоскости и теорема о трех

перпендикулярах - фундаментальное теоретическое ядро стереометрии.

Теоремы должны знать все учащиеся. Но на базовом уровне решать задачи на

узнавание и проговаривание формулировки, применять их для нахождения

элементов в правильных пирамидах, призмах . А на углубленном уровне -

через систему задач доходить до решения задач профильного уровня ЕГЭ.

Большую помощь в этом случае мы получили от Ковалевой Галины

Ивановны, подготовившую сборник « Задачи по готовым чертежам для 10-11

класса» и диск.

У Погорелова А.В. определение прямой, перпендикулярной плоскости

з в у ч и т

т а к : прямая,

пересекающая

плоскость,

называется

перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой

прямой,

которая

лежит

в

данной

плоскости

и

проходит

через

точку

пересечения. Это определение, на мой взгляд, избыточно и требует работы

по

его

усовершенствованию.

Во-первых,

прямая

перпендикулярная

плоскости пересекает эту плоскость. Данное предложение можно доказать с

учащимися методом от противного. Во-вторых, применение понятия угла

между скрещивающимися прямыми позволяет отказаться от условия, чтобы

прямые, лежащие в плоскости, проходили через точку пересечения данной

прямой и плоскости. Но Погорелов А.В. угол между скрещивающимися

прямыми рассматривает только в конце 10 класса.

О р г а н и з о в ат ь

р а б о т у

у ч а щ и хс я

п о

о т к р ы т и ю

п р и з н а к а

перпендикулярности

прямой

и

плоскости

можно,

реализуя

идею,

что

непосредственное применение определения мало пригодно для обоснования

перпендикулярности

прямой

и

плоскости,

в

силу

бесконечности

прямых

лежащих в плоскости. Необходим признак, позволяющий свести решение

этого вопроса к выполнению конечного числа проверок. Сколько прямых в

плоскости необходимо взять, чтобы из их перпендикулярности к данной

прямой, сделать вывод о перпендикулярности прямой и плоскости?

Начнем рассмотрение с наиболее простого случая: пусть прямая а

перпендикулярна одной

прямой b, лежащей в плоскости. Контпример

показывает, что одной прямой недостаточно. Возьмем две прямые.

a

⊥

b

,

a

⊥

c

,

b

∈

α

,

c

∈

α

, не следует, что

a

⊥

α

. Контр пример, когда прямые

b

и с параллельны.

А

если прямые b

и с пересекаются? После такой

работы учащиеся сами формулируют признак перпендикулярности прямой и

плоскости. Формулировка указанного признака в учебнике Погорелова А.В.

так же содержит условие, чтобы прямые, лежащие в плоскости, проходили

через точку пересечения данной прямой и плоскости.

Атанасян

Л.С.

рассматривает

угол

между

прямыми

после

изучения

параллельности, что позволяет ему дать следующее определение: прямая

называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к

любой

прямой,

лежащей

в

этой

плоскости. Формулировка

признака

перпендикулярности прямой и плоскости так же лаконична и доказательство

содержит

случай,

когда

прямая а

не

проходит

через

точку

пересечения

прямых b и с.

Логика изложения материала нарушается у Атанасяна Л.С. когда он

формулирует

теорему

о

трех

перпендикулярах: прямая,

проведенная

в

плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции

на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Обратная

теорема

так

же

требует,

чтобы прямая

проходила

через

основание

наклонной.

Поэтому

решение

задач,

где прямая

не

проходит

через

основание наклонной, вызывает у учащихся затруднение.

Следует

отметить,

что

Погорелов

А.В.

все-таки

выходит на

второй

уровень обобщенности. Так в пункте 160 (§18) рассматривается задача №

33:

докажите,

что

любая

прямая

на

плоскости,

перпендикулярная

проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И

обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она

перпендикулярна

и

проекции

наклонной.

Но

это

задача!

Такое

расположение

материала

оставляет

одну

из

главных

теорем

курса

незамеченной. Задача разбирается с целью показать, как можно использовать

понятие угла между скрещивающимися прямыми, то есть служит средством

для усвоения другого материала. Теорема о трех перпендикулярах в такой

формулировке не отрабатывается на задачах. Остается открытым вопрос:

будет ли вообще учитель рассматривать эту задачу или возьмет другую? Все

зависит от методической подготовки нас, учителей, от осознания им

важности и удобства использования теоремы о трех перпендикулярах на

втором уровне обобщенности.

Выгодно в этом плане отличается учебник Потоскуева Е.В., Звавича

Л.И.

Одна из формулировок теоремы о трех перпендикулярах звучит так:

наклонная к плоскости тогда и только тогда перпендикулярна прямой,

лежащей в этой плоскости, когда проекции наклонной перпендикулярна

данной прямой.

Учащиеся с удовольствием используют эту теорему при решении задач.

Например,

задача: найдите

угол

м е ж д у

д и а г о н а л ь ю

к у б а

и

н е п е р е с е к а ю щ е й с я

с

н е й

д и а г о н а л ь ю

б о к о в о й

г р а н и,

становится для них устной.

DC

1

–

проекция B

1

D на плоскость

DD

1

C

1

C,

DC

1

⊥

D

1

C

как диагонали

к в а д р а т а .

С л е д о в а т е л ь н о ,

DB

1

⊥

D

1

C

.

Более того, акцентируется внимание учащихся на то, что теорема о трех

перпендикулярах

позволяет

построить

проекцию

наклонной

к

плоскости,

не

опуская

на

эту

плоскость

перпендикуляра,

если

в

плоскости дана прямая, перпендикулярная наклонной. В этом случае

достаточно через основание наклонной провести в плоскости прямую,

перпендикулярную

данной

прямой.

Этот

прием

так

же

вызывает

восхищение у учащихся простотой своего применения.

C1

B1

A

B

C

D

D1

A1