Конспект урока

« Применение производной к исследованию функции»

Учебник

«Алгебра

и

нача ла

ана лиза».

Учеб.

для

1 0 - 11 к л .

общеобразовательных учреждений /Ш.Алимов и др./

Тип урока: урок открытия нового знания.

Цель: создать условия для формирования у студентов умения с помощью

производной исследовать функцию на монотонность и экстремумы

Задачи:

1.

Учиться решать задачи на применение производной к исследованию

функций на монотонность и экстремумы.

2.

Развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать

выводы по результатам собственной деятельности; развивать такие качества

личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление,

алгоритмическая культура, интуиция, критичность.

3.

Воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать

и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с

неопределённостью и сложностью.

Методы: деятельностный, проблемно-поисковый, самостоятельной работы.

Формы организации деятельности: индивидуальная работа, работа в парах,

фронтальная работа.

План урока:

1. Организационный момент (мотивирование к учебной деятельности)

2. Актуализация опорных знаний

3. Создание проблемной ситуации

4. Открытие нового знания

5. Первичное закрепление.

6. Самостоятельная работа

7. Подведение итогов. Рефлексия.Задание на дом.

Ход урока

1.Мотивирование к учебной деятельности (организационный момент).

Цель: подготовить учащихся к работе на уроке.

Личностные

УУД: осмысление

внутренней

позиции

ученика

на

уровне

положительного отношения к уроку;

Регулятивные УУД: самореализация и организация своего рабочего места.

2. Актуализация опорных знаний.

Цель: подготовить учащихся к восприятию нового материала

Регулятивные УУД: учатся работать по предложенному учителем плану;

Личностные УУД : осознание своих эмоций, интереса к изучению математики;

Познавательные УУД: актуализация изученных способов действий, развитие

мыслительных операций;

Проверка осуществляется фронтально с использованием интерактивной доски.

Вспомним некоторые свойства функции:

Что называется областью определения функции?

Что называется множеством значения функции?

Какая функция называется возрастающей?

Какая функция называется убывающей?

Что такое точки экстремума (экстремумы функции)?

По графику функции определите

основные свойства функции:

- Д(у);

- Е(у);

- промежутки возрастания;

- промежутки убывания;

- промежутки знакопостоянства;

- точки экстремума;

- экстремумы функции

Назовите способы задания функции

Какой самый наглядный?

Как построить график?

3. Создание проблемной ситуации.

Цель: подведение учащихся к формулированию темы и постановке задач урока.

Регулятивные УУД:

умение принимать цель урока и следовать ей в учебной

деятельности.

Коммуникативные УУД: планирование учебного сотрудничества с учителем и

сверстниками, контроль, коррекция, оценка действий партнера;

Учитель: Всегда ли возможен данный способ построения графика функции?

Зададим

в

системе

координат

две

точки

произвольного

графика

функции.

Попробуйте

показать,

как

может

выглядеть

график

функции

между

этими

точками.

Сделайте вывод.

:

У ч и т е л ь :

Э т о т

способ

построения

графика

подойдет,

если

функция

элементарная,

и

нам

заранее известно, как примерно выглядит ее график. В случае если функция

сложная можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими

точками трудно предугадать. Как нам выполнить это задание? Выяснить, как

ведет себя функция, помогает ее производная. Сформулируйте цель нашего

сегодняшнего урока. Узнать какие есть правила для определения поведения

функции на числовом промежутке.

Учащиеся формулируют тему и цель урока:

Составить (создать, разработать) правило (алгоритм), с помощью которого

можно исследовать функции на монотонность и экстремумы с помощью

производной.

4. Открытие нового знания.

Цель: организовать и направить к цели познавательную деятельность

учащихся.

Познавательные УУД: самостоятельное выделение и формулирование

познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации,

структурирование знаний.

Коммуникативные УУД: оформление своих мыслей согласно заданным

рамкам обсуждения, аргументация своих суждений.

Регулятивные УУД: осмысление выделенных учителем ориентиров действия в

новом учебном плане.

Учитель: Между характером монотонности функции и знаком её производной

есть определенная связь. Попробуем установить эту связь.

После того, как ученики высказали свои гипотезы, формулируется достаточный

признак возрастания и убывания функции, необходимое и достаточное условия

существования экстремума.

Сформулировать алгоритм исследования функции на монотонность и

экстремумы, расставив предложения в нужном порядке.

Схема исследования графика функции.

1. Найти

область

определения

функции.

(Указать

множество

значений

переменной х, при которых данная функция определена).

2. Исследовать функцию на четность. (Выяснить, симметрична ли область

определения функции относительно начала координат и найти y = f(-x).

Если f(-x)

=

f(x),

то

функция

четная,

если y

f(-x)

=

-f(x),

то

функция

нечетная).

3. Найти нули функции. (Точки пересечения с осями координат).

4. Исследовать

функцию

на

монотонность.

(Если f

’(x)

>

0,

то

функция

возрастает, если f ’(x) < 0, то функция убывает).

5. Записать

точки

экстремума

и

экстремумы

функции.

(Найти

значение

функции в точках экстремума).

6. Дополнительные точки.

7. Построение графика.

5.Первичное закрепление

Цель: установить усвоили или нет учащиеся связь между фактами, содержание

новых понятий, закономерностей, устранение обнаруженных проблем

Познавательные УУД: умение следовать образцу и правилу.

Регулятивные УУД: проявление самостоятельности и инициативности в

разных видах деятельности.

Коммуникативные УУД: оформление своих мыслей согласно заданным

рамкам обсуждения, аргументация своих суждений.

5. Найдем критические точки:

f

'

(

x

)=

0

, т.е. 6х-3х

2

=0, х=0 или х=2.

Отмечаем

эти

точки

0

и

2

на

числовой

прямой,

и

определяем

знак

производной в каждом промежутке.

I. (-1) 6(-1)-3(-1)

2

=-6-3=-9<0

II. (1) 6*1-3*1

2

=3>0

III. (3)

6*3-3*3

2

=-9<0

Значит,

в

промежутках

(

−∞

; 0

)

и

(

2;

+∞

)

функция убывает и (0;2) –

функция возрастает.

х=0 - точка минимума, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим у

min

=0.

х=2 – точка максимума, т.к. производная меняет знак с плюса на минус.

Вычислим у

max

=4.

1.

Составляем таблицу для внесения всех данных

x

(

−∞

; 0

)

0

(0;2)

2

(

2;

+∞

)

f

'

(

x

)

-

0

+

2

-

f(x)

0

4

Задача 1

Пусть дана функция:

f

(

x

)=

3 x

2

−

x

3

.

Решение:

1.

D(f)=R, т.к. f -многочлен.

2.

В ы я с н я е м ,

я в л я е т с я

л и

ф у н к ц и я f

ч е т н о й

и л и

н е ч е т н о й .

f

(−

x

)=

3

(−

x

)

2

−(−

x

)

3

=

3 x

2

+

x

3

- функция не является ни четной, ни нечетной.

3.

Функция непериодическая.

Находим точки пересечения графика с осями координат:

а) с осью ОХ: у=0 получаем точки (0;0), (3;0)

б) с осью ОУ: х=0 получаем точки (0;0)

4.

Найдем производную функции:

f

'

(

x

)=(

3 x

2

−

x

3

)

'

=

6 x

−

3 x

2

min

max

7. Строим график функции

Задача 2. Пусть дана функция f(x)=x

3

.

Найти интервалы выпуклости вверх и вниз, точку перегиба.

1.

Найдем

f

'

(

x

)

= 3х

2

2.

Найдем вторую производную

f

' '

(

x

)=

6 x

3.

Найдем критические точки второго рода: 6х=0, х=0.

Определяем знак второй производной в каждом промежутке.

I. (-1) 6(-1)=-6<0 для всех х <0

f

' '

(

x

)<

0

.

Значит, функция выпукла вверх в этом промежутке.

II. (1) 6*1=6>0 для всех х>0

f

' '

(

x

)>

0

.

Значит, функция выпукла вниз (вогнута).

х=0

–

точка

перегиба,

т.к.

функция

меняет

в

этой

точке

направление

выпуклости.

Бывают случаи, когда кривая в одной части выпукла, а в другой – вогнута.

Например, синусоида.

6.Самостоятельная работа.

Цель: проверить на сколько обучающиеся усвоили новый материал

Регулятивные УУД: проявление самостоятельности и инициативности в

разных видах деятельности.

ПознавательныеУУД: понимание смысла задания, возможность применить

первоначальные способы поиска информации.

Задача 1варианта.

Найти интервалы выпуклости и точку перегиба, если f(x)= х

4

-6х

2

+4.

Правильность

решения

определяется

при

помощи

взаимопроверки

с

демонстрацией решений и ответов на доске.

2.

Подведение итогов. Рефлексия учебной деятельности.

Цель: оценить учащимися свою деятельность и деятельность своих товарищей

на урок

Личностные УУД: оценивание разного вида деятельности на уроке.

РегулятивныеУУД: формирование умения адекватно оценивать свою

деятельность и деятельность своих товарищей.

Продолжите предложения:

1)Точка Х

0

называется точкой максимума функции, если …

2)Точка Х

0

называется точкой минимума функции, если …

3) Если функция возрастает, то производная ….

4) Если функция убывает, то производная …..

5) В точках экстремумов производная равна …

Домашнее задание: № 915 (а,б), № 918 (а,б), № 920 (а,б)

Задача 2 варианта. На рисунке изображен график производной функции,

определенной

на

интервале

(-2;

12).

Найдите

промежутки

убывания

функции. В ответ укажите длину наибольшего из них.