Ефимьева Н.В.,

учитель математики МБОО «Лицей села Верхний Мамон»

село Верхний Мамон, Воронежской области

Технологическая карта урока по учебному предмету «Алгебра» в 7 классе на тему «Положение графика линейной

функции в зависимости от k и b»

Тип урока:

Урок-исследование

.

Авторы УМК:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.

Цели урока:

Образовательная: рассмотреть разные случаи взаимного расположения графиков линейных функций;

научить распознавать взаимное расположение графиков линейных функций в зависимости от

коэффициентов; создать условия для восприятия, осмысления и понимания взаимного расположения

графиков в прямоугольной системе координат с помощью программы

«

Advanced Grapher».

развивающая: создавать условия для развития умения строить график линейной функции, определять по

графику вид функции и знак углового коэффициента линейной функции; развивать умение обобщать,

анализировать, делать выводы; развивать математическое мышление, воображение, память, правильную

математическую речь; способствовать формированию навыков коллективной работы.

воспитывающая: формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности

обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;

сотрудничестве со сверстниками.

Планируемые

результаты обучения:

Личностные: умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи;

понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию.

Метапредметные: регулятивные: умение видеть математическую задачу в контексте проблемной

ситуации, в других дисциплинах, окружающей жизни.

познавательные: осознанное владение логическими действиями определения понятий, обобщения,

установления аналогий, классификации на основе самостоятельного выбора оснований и критериев,

установления родовидовых связей; умение устанавливать причинно-следственные связи, строить

логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и выводы;

умение создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для

решения учебных и познавательных задач; формирование и развитие учебной и общепользовательской

компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ-

компетентности);

коммуникативные: умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на

решение задач

исследовательского характера,

воспитывать любовь к математике, коллективизм,

уважение друг к другу, умение слушать, самостоятельность мышления.

Предметные: могут анализировать поведение графиков линейных функции в зависимости от

коэффициентов k и b ; строить графики линейных функций, используя программу Advanced Grapher».

Ожидаемые результаты:

Знать и уметь: определять коэффициенты линейной функции, по коэффициентам линейной функции

определять взаимное расположение графиков линейных функций

Оборудование:

компьютер, интерактивная доска, проектор

Этапы урока

Задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность

учащихся

УУД

1.

Организационный

момент

Создать благоприятный

психологический

настрой на работу

Приветствие, проверка подготовленности

к учебному занятию, организация

внимания детей.

Учитель: Здравствуйте, рада видеть вас.

Проверьте все ли у вас готово к уроку.

Сегодня мы будем продолжать

«знакомиться» с линейной функцией, но

прежде вспомним, что нам уже известно

о ней.

Включаются в

деловой ритм

урока.

Личностные:

самоопределение.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные:

планирование учебного

сотрудничества с учителем и

сверстниками.

2. Актуализация

знаний

Актуализация опорных

знаний и способов

действий.

Учитель: Ребята, посмотрите на доску и

давайте выполним следующее задания

Задание №1. Разбейте функции,

заданные формулами на группы:

Вспоминают

определение

линейной

функции,

Коммуникативные:

планирование учебного

сотрудничества с учителем и

сверстником.

y=2x+3; y=

x; y=-4x+5; y=6; y=-12;

y=7x; y=-x.



Являются ли данные функции

линейными?



Сформулируйте определение

линейной функции.



Что явилось основанием

классификации функций



Что является графиком линейной

функции?



Как будет расположена прямая в

координатной плоскости, если b=0?

k=0?

расположение

графика

линейной

функции.

По окончании

работы должны

появиться

следующие

группы:

I группа:

y=2x+3; y=-

4x+5.

II группа: y=

x;

y=-x; y=7x.

III группа: y=6;

y=-12.

Познавательные: логические -

анализ объектов с целью

выделения признаков.

3.Целеполагание и

мотивация

Обеспечение

мотивации учения

детьми, принятие ими

целей урока.

А если возьмем линейную функцию, в

которой k, b отличны от нуля. Будут ли

влиять значение k и b на положение

графика линейной функции?

Итак, мы с вами сделали предположение,

что коэффициенты k и b влияют на

расположение графиков линейных

функций.

Эпиграф нашего урока не случаен, он

часто цитируется как комментарий к

какому - либо научному открытию,

исследованию. Так как мы с вами

выдвинули гипотезу – предположение,

требующее доказательство, то нам

необходимо провести исследование,

чтобы подтвердить или опровергнуть

Выдвигают

предположения,

как

коэффициенты k

и b влияют на

расположение

графиков

линейных

функций.

Ставят цели

урока: выявить

зависимость

положения

графика

линейной

функции от

Коммуникативные:

выражение

своих

мыслей,

аргументация своего мнения,

у ч ё т

р а з н ы х

м н е н и й

учащихся

Познавательные:

самостоятельное выделение-

формулирование

познавательной цели;

логические - формулирование

проблемы.

наше утверждение.

Для этого мы выполним

исследовательскую работу: «Положение

графика линейной функции в

зависимости от k и b ».

Что будет являться целью этой работы?

Кроме того, сегодня на уроке вы

познакомитесь с программой Эдвенст

Графер «Advanced Grapher», научитесь

строить в ней графики линейных

функций.

значений k и b.

4. Применение

знаний и умений в

новой ситуации

Ознакомление с

инструкцией для

работы в программе

«Advanced Grapher»,

выполнение заданий

Организует исследовательскую работу

учащихся.

Исследование 1.

Расположение графика функции у = kx+b

в координатной плоскости.

Задание №1. Расположение графика

функции у = kx + b, в координатной

плоскости.

Постройте в одной системе координат

графики функций

а) y = 2x + 3, б) у = - 2х + 5, с

помощью программы «Advanced

Grapher»

Используя построенные графики,

ответьте на вопросы:

в каких координатных четвертях

расположены графики?

(при k > 0, график функции расположен

в I и III четверти, при к < 0, график

Работают в

группах.

Находят ответы

на поставленные

вопросы с

помощью

графиков,

построенных в

программе

«Advanced

Grapher».Делают

выводы

Регулятивные: планирование

своей деятельности для

решения поставленной

задачи.

Познавательные: извлекают

необходимую информацию.

Коммуникативные:

договариваются о совместной

деятельности, приходят к

общему решению, в том

числе в ситуации

столкновения интересов

функции расположен во II и IV четверти)

что показывает число b в формуле

линейной функции?

(ординату точки пересечения графика с

осью Оу)

Вывод:

Коэффициент k характеризует угол,

который образует график линейной

функции с положительным направлением

оси Ох.

при k > 0, график функции расположен

в I и III четверти, при к < 0, график

функции расположен во II и IV четверти

Число b в формуле линейной функции –

это ордината точки пересечения графика

с осью Оу.

Исследование 2.

От чего зависит угловой коэффициент.

Задание 2:

Используя построенные

графики обратите, внимание на угол

наклона графиков функций к оси Ох.

Каков угол наклона к оси Ох, когда k > 0?

(острый)

Каков угол наклона к оси Ох, когда k < 0?

(тупой)

От чего зависит угловой коэффициент?

(от числа к)

Вывод:

Число k называют угловым

коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент зависит от числа к.

На уроках геометрии мы рассматривали

различные случаи взаимного

расположения прямых. Давайте их

вспомним.

Прямые параллельны

Прямые пересекаются

Прямые совпадают ( частный случай

параллельности)

Перпендикулярные прямые (частный

случай пересечения прямых)

Исследование 3.

Влияние коэффициентов k и b на

взаимное расположение графиков

линейных функций.

Задание 3:

Постройте в одной системе

координат графики функций

а) у = 2х + 4, б) у =

2х, в) у = 2х – 6.

Используя полученные результаты,

ответьте на следующие вопросы:

1. Чему равны коэффициенты

предложенных вам функций?

2. Как расположены графики функций,

если коэффициенты при х одинаковы?

3. Чему равны ординаты пересечения

графиков функций с осью Оу?

Проверим свою гипотезу:

Задайте формулой линейную функцию,

график которой параллелен данным

прямым и постройте её.

И так мы с вами убедились

Сделайте вывод.

Если угловые коэффициенты функций

при х одинаковы, то графики функций

параллельны.

Задание 4:

Постройте в одной системе координат

графики функций

а) у = -2х + 4, б) у = х +

4, в) у = 4

Используя полученные результаты,

ответьте на следующие вопросы:

1. Как расположены графики функций,

если коэффициенты при х разные?

2. Влияет ли число b на взаимное

расположение графика функций?

Проверим свою гипотезу:

Задайте формулой линейную функцию,

график которой пересекается с данными

прямыми в этой же точке и постройте.

И так мы с вами убедились

Сделайте вывод.

Вывод:

Если угловые коэффициенты при х

различны, а значение b одинаковое, то

графики линейных функций

пересекаются в одной точке (0;b).

Задание 5:

Постройте в одной системе

координат графики функций

а) у = 3х – 2, б) у = -4х + 2, в) у = 2х.

Используя полученные результаты,

ответьте на следующие вопросы:

1. Каковы коэффициенты при х?

2. Что известно про числа b?

3. Каково взаимное расположение

графиков?

Сделайте вывод.

Вывод:

Графики линейных функций не

пересекаются в одной точке и не

параллельны.

Задание 6: (проблемная ситуация)

Постройте графики функции у = х – 3 и

функции, задаваемой уравнением 2у +х

= 2х +у – 3. Что мы скажем формулу

второй функции? (её надо привести к

виду у=kx+b)

Преобразуем 2у + х = 2х + у – 3

у = х - 3

Вывод:

Если угловые коэффициенты k и

величины b прямых одинаковы, то эти

прямые совпадают.

Задание 7: Постройте прямые y = -2x и y

= 0,5x+3. Какие это прямые?

А теперь внимательно посмотрите на

уравнения перпендикулярных прямых и

попробуйте ответить на вопрос

При каком условии две прямые взаимно

перпендикулярны?

y = 0,5x+3 y = -5x+ 3 y = 3x-1

y = -2x y = 0,2x+1 y =

-1/3+3

1. Первая подсказка:

Обратите внимание на угловые

коэффициенты:

0,5 и -2 -5 и 0,2 3 и -1/3

2.Вторая подсказка:

Умножьте угловые коэффициенты:

0,5 *(-2)= -1 - 5*0,2= -1

3* (-1/3)= -1

Сделайте вывод

Две прямые перпендикулярны, если

произведение их угловых коэффициентов

равно -1.

5. Контроль

усвоения,

обсуждение

допущенных

ошибок и их

коррекция.

Посмотреть уровень

усвоения данной темы

при выполнении

поставленных задач.

Учитель: Оформим результат наших

исследований в виде таблицы и обобщим

На что влияет угловой коэффициент ?

число b ?

Задание на интерактивной доске:

соотнесите алгебраическое условие и

геометрический вывод.

Анализируют

свою работу,

выражают свои

затруднения.

Регулятивные: контроль,

коррекция, выделение и

осознание того, что уже

усвоено и что еще подлежит

усвоению, осознание качества

и уровня усвоения;

Личностные:

самоопределение.

7. Подведение

итогов урока

(рефлексия).

Дать качественную

оценку работы класса и

оценить свою работу.

Учитель: Ребята, подумайте,

проанализируйте, достигли ли мы

поставленных в начале урока целей

Все ли возможные комбинации

коэффициентов мы рассмотрели?

Подтвердилась ли выдвинутая нами

гипотеза?

Мы наглядно увидели как значения к и b

влияют на расположение графиков

функции.

Познакомились с программой, в которой

можно строить графики линейных

функции. Научились в ней работать.

Эти знания пригодятся нам в

дальнейшем. Узнали много нового и

интересного.

Материал, который мы изучили в ходе

занятия, мы обобщили и оформили в виде

исследовательской работы.

Оценивают

собственную

деятельность.

Регулятивные: оценка-

осознание уровня и качества

усвоения; контроль

Мы провели исследование,

математически рассмотрев все

возможные варианты сравнения

коэффициентов, это говорит о

доказанности выдвинутой гипотезы и о

практическом применении полученных

знаний.

А теперь выберите одно предложение и

продолжите его.

-Сегодня на уроке мне понравилось…

-Сегодня на уроке я повторил…

-Сегодня на уроке я закрепил…

-Сегодня на уроке я поставил себе

оценку …

-У меня вызвали затруднения и требуют

повторения…

-Мне ещё следовало бы поработать…

Спасибо большое за урок! Вы сегодня

молодцы!!!

Дополнительный

материал к уроку

Задание на интерактивной доске: соотнесите алгебраическое условие и геометрический вывод.

Линейные

функции

Алгебраическое

условие

Геометрический вывод

y = к

1

х+b

1

y = к

2

х+b

2

к

1

= к

2

, b

1

≠ b

2

Прямые параллельны

к

1

= к

2,

b

1

= b

2

Прямые совпадают

к

1

≠ к

2,

b

1

= b

2

Прямые пересекаются в

одной точке

к

1

≠ к

2,

b

1

≠ b

2

Прямые пересекаются

к

1

. к

2= -1

Прямые

перпендикулярны

Дополнительный

материал к уроку

Инструкционная карта для обучающихся

Исследование по теме: «Положение графика линейной функции в зависимости от k и b ».

Инструкционная карта

Для этого чтобы построить график линейной функции в программе «Advanced Grapher» необходимо:

1.

Открыть программу «Advanced Grapher». Ярлык программы находится на рабочем столе.

2.

Выполнить команды: График/Добавить график. Появится диалоговое окно «Добавить график».

Перейти на английский язык.

В строке Формула ввести формулу графика функции, который нужно построить.

В соответствующих строках можно выбрать нужный цвет и толщину линии.

Нажмите ОК.

После выполнения всех этих действий в окне «Список графиков» появится описание того графика, который вы

построили.

3.

Для построения следующего графика необходимо повторить шаги пункта 2.

4.

Для того, чтобы удалить построенный график, выполните команду Удалить график (значок X в строке меню).

Исследование 1.

Расположение графика функции у = kx+b в координатной плоскости.

Задание №1. Постройте в одной системе координат графики функций

а) y = 2x + 3, б) у = - 2х + 5, с помощью программы «Advanced Grapher»

Ответьте на вопросы:

1.

В каких координатных четвертях расположены графики

2.

Что показывает число b в формуле линейной функции?

Исследование 2.

От чего зависит угловой коэффициент.

Задание №2. Используя построенные графики обратите, внимание на угол наклона графиков функций к оси Ох.

1.

Каков угол наклона к оси Ох, когда k > 0?

2.

Каков угол наклона к оси Ох, когда k < 0?

3.

От чего зависит угловой коэффициент?

Исследование 3.

Влияние коэффициентов k и b на взаимное расположение графиков линейных функций.

Задание №3. Постройте в одной системе координат графики функций

а) у = 2х + 4, б) у = 2х, в) у = 2х – 6.

Вопросы:

1. Чему равны коэффициенты предложенных вам функций?

2. Как расположены графики функций, если коэффициенты при х одинаковы?

3. Чему равны ординаты пересечения графиков функций с осью Оу?

4. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен данным прямым и постройте её.

Задание №4. Постройте в одной системе координат графики функций

а) у = -2х + 4, б) у = х + 4, в) у = 4

Вопросы:

1. Как расположены графики функций, если коэффициенты при х разные?

2. Влияет ли число b на взаимное расположение графика функций?

3. Задайте формулой линейную функцию, график которой пересекается с данными прямыми в этой же точке и

постройте.

Задание №5. Постройте в одной системе координат графики функций

а) у = 3х – 2, б) у = -4х + 2, в) у = 2х.

Вопросы:

1.

Каковы коэффициенты при х?

2.

Что известно про числа b?

3.

Каково взаимное расположение графиков?

Задание №6. Постройте графики функции у = х – 3 и функции, задаваемой уравнением 2у +х = 2х +у – 3.

Задание №7. Постройте прямые y = -2x и y = 0,5x+3.

При каком условии две прямые взаимно перпендикулярны?

y = 0,5x+3 y = -5x+ 3 y = 3x-1

y = -2x y = 0,2x+1 y = -1/3+3 .

Результаты исследования «Положение графика линейной функции в зависимости от k и b»

Линейные

функции

Алгебраическое условие

Геометрический вывод

y = k

1

х+b

1

y = k

2

х+b

2

y = k

3

х+b

3