Автор: Рычкова Ирина Викторовна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МКОУ"Павловская СОШ"
Населённый пункт: п. Павловский
Наименование материала: конспект урока
Тема: Решение показательные и логарифмических уравнений и неравенств
Раздел: среднее образование
Учитель: Рычкова И.В.
Урок в 11 классе.
Тема урока: Урок обобщающего повторения по теме: «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств».
Цели урока: 1. Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме: «Показательная и логарифмическая функция».
2. Закрепление навыков решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
3. Развитие грамотной устной и письменной математической речи учащихся.
4. Совершенствование вычислительных навыков учащихся.
Ход урока
1.
Организационный момент: сообщение темы урока, его цели.
2.
Устная работа.
3.
Ошибки, допущенные в контрольной работе.
4.
Решение у доски.
5.
Решение уравнений, решаемых нестандартно.
6.
Домашнее задание.
7.
Итог урока.
Вид доски и тетради учащихся
Показательные
Логарифмические
уравнения
неравенства
уравнения
неравенства
1. Сведение уравнения к виду
а
f(х)
=а
g(х)
1. Решить уравнение 2
2х-4
=64.
Решение: 2
2х-4
=2
6
2х-4=6
х=5.
Ответ: 5.
2. Решите уравнение
х
х
х
3
8
3
2
,
0
5
2
.
Решение:
х
х
х
3
8
3
2
,
0
5
2
х
х
х
3
8
1
3
5
5
2
8
3
3
5
5
2
х
х
х
х
2
- 3х=3х - 8
х
2
– 6х+8=0
х
1
=2; х
2
=4.
Ответ: 2; 4.
1. Сведение уравнения к виду
а>1
0<а<1
а
f(х)
>а
g(х)
f(х)>g(х)
f(х)<g(х)
а
f(х)
<а
g(х)
f(х)<g(х)
f(х)>g(х)
1. Решить неравенство 3
2х-8
<243.
Решение: 3
2х-8
<243
3
2х-8
<3
5
Т.к функция у=3
t
монотонно
возрастает (3>1), то
2х-8<5
х<6,5
Ответ:(-∞;6.5).
2. Укажите наибольшее целое число,
удовлетворяющее неравенству
0,4
2х+6
>0,4
х-1
.
Т.к функция у=0,4
t
монотонно
убывает (0<0,4<1), то
2х+6<х-1
х<-7.
Ответ:-8.
1. Уравнение lоg
а
f(х)= lоg
а
g(х)
равносильно системе
.
,
0
,
0
x
g
x
f
x
g
x
f
(одно из неравенств можно не
рассматривать – избыточное
условие)
1. Решить уравнение lоg
4
(7х+8)=3.
Решение: lоg
4
(7х+8)=3.
по определению логарифма: 7х + 8 =
4
3
, 4
3
>0,то 7х +8 = 64
х =8.
Ответ: 8.
2. Решить уравнение
lg(х+3) + lg(х-3)= lg(2х-1).
Решение: lg(х+3) + lg(х-3)= lg(2х-1)
ОДЗ:
0
3
,
0
3
x
x
;
3
,
3
x
х
; х>3.
Используем свойство суммы
логарифмов: lg((х+3)(х-3))= lg(2х-1)
lg(х
2
-9)= lg(2х-1)
х
2
- 9= 2х -1
х
2
– 2х – 8 =0
х
1
=4, х
2
= - 2
ОДЗ
1. Сведение уравнения к виду
а>1
0<а<1
lоg
а
f(х)>
lоg
а
g(х)
.
,
0
,
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
,
0
,
0
lоg
а
f(х)<
lоg
а
g(х)
x
g
x
f
x
g
x
f
,
0
,
0
x
g
x
f
x
g
x
f
,
0
,
0
1. Решить неравенство
lоg
5
(2х – 4)>lоg
5
(14 – х).
Решение: ОДЗ:
0
14
,
0
4
2
х
x
;
14
,
2
х
x
;
х<14.Т.к функция у=lоg
5
t монотонно
возрастает (5>1), то 2х – 4 > 4 – х
х > 6.Учитывая ОДЗ, 6<х<14.
Ответ: (6; 14).
2. Решить неравенство
1
3
log
log
4
1
4
1
x
x
.
Решение: ОДЗ:
0
3
,
0
х
x
; х>3.
Используем свойство суммы
Ответ: 4.
логарифмов:
4
log
3
log
4
1
2
4
1
x
x
Т.к функция у=
4
1
log
убывает (0<
4
1
<1), то х
2
– 3х < 4, х
2
– 3х – 4<0,
-1<х<0 и 3<х<4иОДЗ. Ответ: (3; 4).
2. Метод введения новой
переменной
1. Решить уравнение 4
х
+ 2·2
х
-24=0
Решение: 4
х
= 2·2
х
-24=0
Т.к,
х
х
х
2
2
2
2
4
,то
х
2
2
+ 2·2
х
-24=0
Пусть 2
х
=у, у>0,тогда
у
2
+ 2у – 24 = 0
у
1
=4, у
2
= -6.
2
х
= 4 2
х
= -6
2
х
= 2
2
нет корней
х = 2
Ответ: 2.
2. Найти рациональный корень
уравнения 5·5
2х
- 13·15
х
+6·3
2х
=0.
Решение:5·5
2х
- 13·15
х
+6·3
2х
=0
Разделим на 3
2х
, тогда
0
6
3
5
23
3
5
5
2
х
х
Пусть
х
3
5
=у, у>0,тогда
5у
2
- 13у + 6 = 0
у
1
=
5
3
, у
2
= 2.
5
3
3
5
х
2
3
5
х
х = -1 х =
2
log
3
5
условию
Ответ: -1.
2. Метод введения новой
переменной
1. Решить неравенство 2
2х+1
-5·2
х
+2≤0
Решение: 2
2х+1
-5·2
х
+2≤0
2·
х
2
2
- 5·2
х
+2≤0.
Пусть 2
х
=у, у>0,тогда
2у
2
- 5у + 2 ≤ 0.
у
1
=
2
1
, у
2
= 2.
0
2
2
1
2
у
у
2
2
1
у
2
2
2
1
х
Т.к функция у=2
t
монотонно
возрастает (2>1), то
1
1
2
2
2
х
1
1
х
.
Ответ:
1
;
1
2. Метод введения новой
переменной
1. Решить уравнение
3lоg
2
27
х+5lоg
27
х -2=0.
Решение: 3lоg
2
27
х+5lоg
27
х -2=0
Пусть lоg
27
х=у, тогда
3у
2
+ 5у - 2 = 0.
у
1
=
3
1
, у
2
= -2.
lоg
27
х =
3
1
lоg
27
х = -2
х
1
=
3
27
х
2
= 27
-2
х
1
= 3 х
2 =
729
1
Ответ: 3;
729
1
.
2. Решите уравнение: х
3+lg
= 10 000.
Решение: х
3+lg
= 10 000
lg х
3+lg
= lg10 000
(3 + lg х)lgх = lg10 000
3lgх + lg
2
х = 4
Пусть lgх=у, тогда
у
2
+ 3у - 4 = 0.
у
1
=-4, у
2
= 1.
lg
2
х = -4 lg
2
х = 1
х
1
= 0,0001 х
2
= 10.
Ответ: 0,0001; 10.
2. Метод введения новой
переменной
1. Решить неравенство
lоg
2
2
х - 5lоg
2
х + 4<0.
Решение: lоg
2
2
х - 5lоg
2
х + 4<0
Пусть lоg
2
х=у, тогда
у
2
- 5у + 4 < 0.
у
1
=1, у
2
= 4.
0
4
1
у
у
4
1
у
4
log
1
2
x
Т.к функция у=lоg
2
t монотонно
возрастает (2>1), то
16
log
log
2
log
2
2
2
x
16
2
x
.
Ответ:
16
;
2
2. Устная работа
Верно ли, что показательная
функция:
а) определенна на всём множестве
действительных чисел?
б) является чётной?
в) принимает значение, равное 1?
г) имеет экстремумы?
д) принимает значение от - ∞ до +∞?
Верно ли, что логарифмическая функция:
а) принимает значение, равное 0?
б) определена на множестве положительных чисел?
в) является нечётной?
г) имеет наибольшее(наименьшее) значение?
д) принимает только неотрицательные значения?
3. Найди свои ошибки.
№1. Решить уравнение
4
log
3
log
log
2
2
2
x
x
.
Решение: ОДЗ: х>3
4
log
3
log
2
2
x
x
4
3
2
x
7
2
x
5
,
3
x
Ответ: 3,5.
№2. Решить неравенство
1
log
1
2
log
2
1
2
1
x
x
.
Решение: ОДЗ:
.
2
1
;
1
2
1
x
x
x
1
1
2
x
x
2
x
Ответ:
.
;
2
№3. Решить неравенство
x
x
5
log
log
3
2
3
.
x
x
5
2
0
5
x
x
Ответ:
;
5
0
;
4. Решение других уравнений.
5. Домашнее задание: учебник №523(в, г), №524(в,г)