Итоговое повторение 9 класс

«Вписанные и центральные

углы»

Методическая разработка Т.Е.

Носковой

Учителя математики МБОУ

«Гимназия» г.Чусовой

Углы, связанные с окружностью

Угол с вершиной в центре окружности называется

центральным.

Угол, вершина которого принадлежит окружности,

а стороны пересекают окружность, называется

вписанным.

Каждый центральный угол данной окружности

определяет дугу окружности, которая состоит из

точек окружности, принадлежащих этому углу.

Вписанный угол

Теорема. Вписанный угол равен половине центрального

угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Вписанный угол измеряется половиной дуги окружности.

(угол АСВ = 0,5 дуги АВ)

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу

окружности, равны.

Угол между касательной и хордой

Теорема. Угол, с вершиной на окружности, одна сторона

которого лежит на касательной, а вторая – пересекает

окружность,

измеряется

половиной

дуги

окружности,

лежащей внутри этого угла.

(угол АСВ = 0,5 дуги ВС)

Угол с вершиной внутри окружности

Теорема.

Угол,

с

вершиной

внутри

окружности,

измеряется

полусуммой

дуг,

на

которые

опираются

данный угол и вертикальный с ним угол.

угол А

1

СВ

1

= 0,5(дуга А

1

В

1

+ В

2

А

2

)

1

Угол с вершиной вне окружности

Теорема. Угол, с вершиной вне окружности, стороны

которого

пересекают

окружность,

и з м е р я е т с я

полуразностью

дуг

окружности,

заключенных

внутри

этого угла.

угол А

1

СВ

1

= 0,5(А

1

В

1

– А

2

В

2

)

Угол с вершиной вне окружности

Теорема.

Угол,

с

вершиной

вне

окружности,

одна

сторона которого лежит на касательной к окружности, а

вторая

сторона

пересекает

окружность,

измеряется

полуразностью

дуг

окружности,

заключенных

внутри

этого угла.

угол АСВ

1

= 0,5(АВ

1

– АВ

2

)

Угол с вершиной вне окружности

Теорема. Угол, с вершиной вне окружности, стороны

которого лежат на касательных к окружности, измеряется

полуразностью

дуг

окружности,

заключенных

внутри

этого угла.

угол АСВ = 0,5 (дуги АВ – ВА)

Упражнение 1

Чему равен вписанный угол, опирающийся на

диаметр окружности?

Решение

Угол АСВ –вписанный;

(Вписанный угол равен

половине центрального

угла, опирающегося на ту

же дугу окружности.)

угол АСВ = 0,5 угла АОВ

=>

Угол АСВ = 90

о

Ответ: 90

о

.

Упражнение 2

Найдите центральный угол AOB, опирающийся

на хорду AB, равную радиусу.

Решение

АОВ - равнобедренный

Угол АОВ –центральный;

АО=ВО – радиусы

АО=АВ => АОВ –

равносторонний;

угол АОВ=60

о

(углы

равностороннего треугольника

равны)

Ответ: 60

о

.

Упражнение 3

Угол

ACB вписан

в

окружность.

Градусные

величины

дуг

AC и

BC

равны

98

о

и

48

о

соответственно. Найдите угол ACB.

Решение

Ответ: 107

о

.

Дуга АВ=360

о

-(98

о

+ 48

о

)

= 214

о

угол АСВ – вписанный

=>

угол АСВ = 0,5 АВ

угол АСВ = 107

о

Упражнение 4

Найдите

вписанный

угол,

опирающийся

на

дугу, которая составляет окружности.

1

6

Решение

Дуга АВ = 360:6 = 60

о

;

угол АСВ – вписанный =>

угол АСВ = 0,5 дуги АВ

Угол АСВ = 30

о

Ответ: 30

о

.

Упражнение 5

Найдите

вписанный

угол,

опирающийся

на

дугу, которая составляет 10 % окружности.

Решение

Ответ: 18

о

.

Дуга АВ = 3,6 * 10 = 36

о

Угол АСВ = 0,5 дуги АВ

=>

Угол АСВ= 18

о

Упражнение 6

Вписанный угол на 35



меньше центрального

угла,

опирающегося

на

ту

же

дугу.

Найдите

вписанный угол.

Решение

Ответ: 35

о

.

Центральный угол

(АОВ) в два раза

больше вписанного.

Если вписанный (АСВ)

равен х, то

2х= х+35

о

2х – х=35

о

х=35

о

Упражнение 7

Центральный

угол

на

51

о

больше

вписанного

угла,

опирающегося

на

ту

же

дугу.

Найдите

вписанный угол.

Решение

Ответ: 51

о

.

Центральный угол

(АОВ) в два раза

больше вписанного.

Если вписанный (АСВ)

равен х, то

2х= х+51

о

2х – х=51

о

х=51

о

Упражнение 8

Угол ACB, величиной 50

о

, вписан в окружность.

Найдите градусную величину дуги ACB.

Решение

Ответ: 260

о

.

(Вписанный угол равен

половине дуги, на

которую он опирается);

Угол АСВ = 50

о

=>дуга

АВ=100

о

;

дуга АСВ=

360

о

- 100

о

=260

о

Упражнение 9

Вершины

треугольника

ABC,

вписанного

в

окружность,

делят

окружность

на

части,

градусные величины которых равны 100

о

, 120

о

и

140

о

. Найдите

наименьший угол треугольника

ABC.

Решение

Ответ: 50

о

.

Углы А,В,С – вписанные;

(Вписанный угол равен

половине дуги

окружности на которую

он опирается)

Наименьшая дуга (ВС) =

100

о

=> наименьший угол

ВАС= 50

о

Упражнение 10

На рисунке угол ACB равен 30

о

, угол AEF равен

40

о

. Найдите угол BDF.

Решение

Ответ: 70

о

.

Угол АСВ вписанный;

угол АСВ=30

о

=> дуга

АВ = 60

о

; угол АЕF = 40

о

=> дуга AF =80

о

Дуга ВАF = 80

о

+60

о

=140

о

; угол BDF = 70

о

Упражнение 11

Углы ABC и BCD вписаны в окружность и равны

45

о

и 30

о

соответственно, S – точка пересечения AD

и BC. Найдите угол ASC.

Решение

Ответ: 75

о

.

Угол, с вершиной внутри окружности,

измеряется полусуммой дуг, на которые

опираются данный угол и вертикальный с ним

угол.

Угол BCD=30

о

, т.к. это вписанный

угол, то дуга BD=60

о

;

Угол ABC=45

о

=> дуга АС=90

о

Угол ASC= 0,5(дуга АС+BD)

Угол ASC= 0,5(60

о

+90

о

)= 75

о

Упражнение 12

Хорда CD пересекает диаметр AB окружности под

углом 60

о

. Градусная величина дуги AD равна 80

о

.

Найдите градусную величину дуги BC.

Решение

Ответ: 40

о

.

Угол, с вершиной внутри окружности,

измеряется полусуммой дуг, на

которые опираются данный угол и

вертикальный с ним угол.

Угол ASD= 0,5(дуга АD+BC)

Пусть дуга ВС – х, тогда

60

о

=0,5(80

о

+х)

60

о

=40

о

+0,5х

0,5х=60

о

-40

о

0,5х=20

о

х = 40

о

S

Упражнение 13

Стороны угла с вершиной C вне окружности

отсекают от окружности дуги A

1

B

1

, A

2

B

2

,

градусные величины которых равны 30

о

и 100

о

.

Найдите угол C.

Решение

Ответ: 35

о

.

Угол С=0,5(дуга А

2

В

2

-

дуга А

1

В

1

)

Угол С = 0,5(100

о

-30

о

)

Угол С= 0,5*70

о

Угол С = 35

о

Упражнение 14

Стороны угла с вершиной C вне окружности отсекают от

окружности дуги AB

1

, AB

2

, градусные величины которых

равны 60

о

и 140

о

соответственно, CA – касательная.

Найдите угол C.

Решение

Ответ: 40

о

.

Угол, с вершиной вне окружности,

одна сторона которого лежит на

касательной к окружности, а вторая

сторона пересекает окружность,

измеряется полуразностью дуг

окружности, заключенных внутри

этого угла.

Угол С = 0,5(дуга АВ

2

- АВ

1

)

Угол С = 0,5(140

о

-60

о

)

угол С = 40

о

Упражнение 15

Точки А, В, С, расположенные на окружности с

центром в точке O, делят эту окружность на три

дуги,

градусные

величины

которых

относятся

как 3 : 4 : 5. Найдите угол AOB.

Решение

Ответ: 90

о

.

Пусть х

о

= 1 часть

Всего частей = 3х+4х+5х=

12х

о

12х = 360

о

х = 30

о

Дуга АВ = 3х

о

= 3*30

о

= 90

о

Угол АОВ – центральный

(центральный угол равен

дуге, на которую он

опирается) =>

Угол АОВ = 90

о

Упражнение 16

Углы A и C вписанного в окружность пятиугольника

ABCDE равны 120

о

и 100

о

соответственно. Найдите угол

DBE.

Решение

Ответ: 20

о

.

Угол А, угол С – вписанные;

Угол А = 120

о

, => дуга ВЕ = 240

о

(вписанный угол равен половине

дуги, на которую он опирается)

Угол С = 100

о

, => дуга BD = 200

о

Угол DBE = 0,5(дуга BE – дуга

BD) = 240

о

– 200

о

=40

о

* 0,5=20

о

Упражнение 17

Проведите прямые через каждые две точки.

Сколько общих точек имеет каждая из прямых

с окружностью?

C

A

B

D

Ответ:

Прямая BD и окружность

не имеют общих точек.

Прямая AB и окружность

имеют только одну общую

точку.

Прямые CA, CD, AD, CB

и окружность имеют две

общие точки.

Упражнение 18

Прямая AC проходит через центр О

Окружности, угол MAO = углу OCM = 30º. Докажите, что

прямая CM является касательной к данной окружности.

Доказательство:

Так как в треугольнике AOM AO=OM, то угол AMO= MAC=30º. В треугольнике AMC

угол AMC=180º-(угол MAC+угол ACH)=180º-(30º +30º)=120º. Поэтому угол OMC=углу

AMC- угол MCO= 120-30=90, т. е. CM больше OM.

Итак, прямая CM проходит через конец радиуса О, лежащий на окружности, и

перпендикулярна

к

этому

радиусу.

Поэтому

она

является

касательной

к

данной

окружности, что и требовалось доказать.

C

M

O

A

30°

30°

Упражнение 19

На рисунке точка O – центр окружности, угол AOB=92°. Найдите

угол ACB.

Решение.

Угол AOB является

центральным углом данной окружности и

равен 92°, следовательно, дуга AMB= 92.

Угол ACB является вписанный и опирается на дугу AВ, поэтому

угол ACB=0,5AB=46°

Ответ. 46°

A

C

B

M

92°

Упражнение 20

На рисунке дуга МАР=120°. Найдите

угол MAP.

Решение.

Угол MAP является вписанным

углом окружности и опирается на

дугу МВР .МВР = 360° - дуга MAP =

= 360°- 120°= 240°, угол MAP =

0,5 МВР = 120°

Ответ. Угол MAP = 120°

M

A

P

B

C

На рисунке угол АРМ=38°, угол ВСМ=

= 32°. Найдите угол АМР.

Решение.

Вписанные углы РАВ и ВСР опираются

на одну и ту же дугу

ВР, следовательно,

угол РАВ = углу PCB = 32°.

Из треугольника AMP получим:

угол АМР = 180°- (угол MPA + угол PAM ) =

= 180°- ( 38°+ 32°) = 110°

Ответ. Угол AMP = 110°.

Упражнение 21

P

B

A

C

M

32

°

38°