Департамент образования

города Москвы

Северо-Западное окружное

управление образования

Презентация по геометрии на тему : «Пирамида»

учителя математики

ГБОУ СОШ №1056

Романенко Елены Алексеевны

A

C

D

E

H

B

S

Вершин

а

Рёбра

Основание

O

Высота пирамиды

Высота

боковой грани

Боковая грань

Пирамида

(др.

греч.

πυραμίς)

–

многогранник,

основание

которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники,

имеющие общую вершину

Виды пирамид

Пирамида

называется

правильной,

если

основанием

её

является правильный многоугольник, а вершина проецируется

в центр основания.

В правильной пирамиде все

боковые грани – равные

равнобедренные треугольники.

Апофема – высота

боковой грани

правильной пирамиды.

А

В

С

D

S

Н

О

C

B

A

S

O

M

N

K

AB=BC=AC,

∆ABC-равносторонний

.

Пирамида

правильная

r

R

Апофема

1.

PO( катет) – общий;

Все боковые рёбра правильной

пирамиды равны.

P

A

2

A

n

A

1

PA

1

A

2

…A

n

- правильная пирамида

O

h

R

R

OPA

1

=

OPA

2

= …

2.OA

1

=OA

2

=…R

(катеты)

Значит,

PA

1

=PA

2

=…

PA

2

A

3

=…=

PA

1

A

2

=

Все боковые грани правильной пирамиды –

равные равнобедренные треугольники .

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

n

P

PA

1

A

2

A

3

…A

n

– правильная

пирамида

PA

1

A

n

(по трём сторонам)

A

1

A

2

=A

2

A

3

=A

3

A

4

=..;

PA

1

=PA

2

=PA

3

=…

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

равна половине произведения периметра основания на

апофему

A

1

A

2

A

3

A

4

A

n

P

H

S

бок.п.

=½P

основ

h,

где h - апофема

S

ПОЛН

=

S

БОК

+S

ОСН

Построение правильных

пирамид

O

S

А

В

D

C

M

O

А

С

В

S

M

M

A

D

C

B

E

F

S

O

УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

Плоскость параллельная основанию

пирамиды, разбивает её на два

многогранника. Один из них является

пирамидой, а другой называется

усечённой пирамидой.

Усеченная пирамида – это часть

полной пирамиды, заключенная между

её основанием и секущей плоскостью,

параллельной основанию данной

пирамиды

ПОНЯТИЕ УСЕЧЕННОЙ

ПИРАМИДЫ

ОСНОВАНИЯ

А

1

А

2

А

4

А

3

В

1

В

3

В

4

В

2

В

5

А

5

С

Н

Многоугольники А

1

А

2

А

3

А

4

А

5

и В

1

В

2

В

3

В

4

В

5

-

нижнее и верхнее основания усечённой

пирамиды

Отрезки А

1

В

1

, А

2

В

2

, А

3

В

3

… - боковые ребра

усечённой пирамиды

Четырёхугольники А

1

В

1

В

2

А

2

, А

2

В

2

В

3

А

3

… -

боковые грани усечённой пирамиды. Можно

доказать, что все они являются трапециями

.

Отрезок СН – перпендикуляр, проведённый

из какой-нибудь точки верхнего основания к

нижнему основанию – называется высотой

усечённой пирамиды.

ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ

ПИРАМИДА

Усеченная пирамида называется

правильной, если она получена

сечением правильной пирамиды

плоскостью, параллельной основанию.

Основания - правильные

многоугольники .

Боковые грани – равные

равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций называются

апофемами.

УСЕЧЕННЫЕ ПИРАМИДЫ

Усеченная четырехугольная

пирамида

В

А

С

О

1

A

1

C

1

D

1

B

1

D

О

Апофема

Верхнее основание

Нижнее основание

Боковые грани

(трапеции)

Площадью полной поверхности пирамиды (Sполн) пирамиды называется

сумма площадей всех её граней: основания и всех боковых граней.

Sполн =Sбок+Sосн

Sполн.усеч .= Sбок + Sверхн.осн. + Sнижн.осн.

Площадью боковой поверхности (Sбок) пирамиды называется сумма

площадей её боковых граней.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине

произведения периметра основания на апофему. (Доказательство на следующем

слайде)

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна

произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

УСЕЧЁННОЙ ПИРАМИДЫ

Площадь боковой поверхности правильной усечённой

пирамиды равна произведению полусуммы периметров

оснований на апофему.

h

h

P

P

S

бок







2

2

1

Объем пирамиды

А

В

С

D

S

О

h

S

V

осн







3

1

Объем усеченной пирамиды

В

А

С

О

1

A

1

C

1

D

1

B

1

D

О

)

(

3

2

1

2

1

S

S

S

S

H

V













Задача №1

Дано: SABCD – пирамида, SB

⊥

ABCD

ABCD – квадрат, АВ = 2,

∠

SAB = 60°.

Найдите: S

бок.

А

В

С

D

S

2

2

60º

Задача №2

Дано: SABCD – пирамида,

ABCD – ромб, АВ = BD, Р

ABCD

= 16,

SO

⊥

(АВС), SO = 1.

Найдите: S

бок.

А

В

С

D

S

O

1

H

А

В

С

D

O

H

М

Задача №3

Дано: SABCD – пирамида,

ABCD – ромб, АС = 8, BD = 6,

SO

⊥

(АВС), SO = 1.

Найдите: S

бок.

М

А

В

С

D

S

O

1

H

А

В

С

D

O

H

4

3

№ 255 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8

см, а плоский угол при вершине равен φ найдите высоту пирамиды.

Решение:

1. Из ΔBCD найдем боковое ребро DC по теореме косинусов:

получим

2. Из ΔCDO определим высоту пирамиды DO=H= , где

ОС – радиус окружности, описанной около основания

3. По теореме синусов , ОС=

4. = =

= 4

=

Ответ: