Автор: Попова Ирина Наилевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: ГБОУ Школа №2010
Населённый пункт: Москва
Наименование материала: методическая разработка
Тема: Методический материал рекомендуемый при изучении курса "Алгебра и начала математического анализа" в разделе "Тригонометрия"
Раздел: полное образование
�
315°
300°
330°
240°
210°
225°
120°
90°
60°
45°
30°
[−
�
2
]
7
6
�
5
4
�
4
3
�
11
6
�
7
4
�
5
3
�
5
6
�
3
4
�
2
3
�
�
3
�
4
√3
2
-1
-1
1
-
√3
2
1
2
0
tgα
-
√3
-1
ctgα
1
1
√3
-
1
√3
-
√3
√3
1
√3
-
1
√3
-1
�
6
-
1
2
-
√2
2
√2
2
√3
2
-
1
2
1
2
-
√2
2
√2
2
-
√3
2
y, sinα
x, cosα
1
�
2
2
�
3
2
�
[−
5
6
�
]
[−
�
3
]
[−
3
4
�
]
[−
�
4
]
]
[−
�
6
]
[−
2
3
�
]
135°
150°
180°
270°
360°
0°
Тригонометр
Основные тригонометрические
тождества.
I.1) По теореме Пифагора для
ABC: AB
2
=BC
2
+AC
2
│:AB
2
;
2) По определению синуса
BAC: sin
BAC=
AB
BC
,
т.к.
BAC=
, то sin
=
AB
BC
;
3) По определению cos
BAC: cos
BAC=
AB
AC
,
т.к.
BAC=
, то cos
=
AB
AC
;
4) Подставим в п.1:
1=sin
2
+ cos
2
;
помнить:
sin
2
= (sin
)
2
, cos
2
= (cos
)
2
но:
sin
2
≠sin
2
, cos
2
≠cos
2
II. 1) tg
BAC=
AC
BC
=BC:AC=
AB
AC
AB
BC
=sin
:cos
=
cos
sin
;
tg
=sin
: cos
=
cos
sin
.
2) ctg
=
BC
AC
=AC:BC=
AB
BC
AB
AC
:
=cos
:sin
=
sin
cos
ctg
=cos
: sin
=
sin
cos
.
III. 1=sin
2
+cos
2
│:sin
2
≠0;
2
sin
1
=
2
2
sin
sin
+
2
2
sin
cos
;
2
sin
1
= (
sin
sin
)
2
+(
sin
cos
)
2
;
2
sin
1
=1+(ctg
)
2
;
2
sin
1
=1+ctg
2
.
IV.
1=sin
2
+cos
2
│: cos
2
≠0;
2
cos
1
=
2
2
2
2
cos
cos
cos
sin
;
2
cos
1
= (
cos
sin
)
2
+(
cos
cos
)
2
;
2
cos
1
=1+(tg
)
2
;
2
cos
1
=1+ tg
2
.
V.
sin
cos
cos
sin
=1, т.е.
tg
∙ctg
=1;
tg
=
ctg
1
;
ctg
=
tg
1
.
Формулы
сложения
.
Формулы
косинуса
.
1.
Формула
косинуса
суммы
.
Косинус
суммы
двух
углов
равен
произведению
косинусов
этих
углов
минус
произведение
синусов
этих
углов
:
cos(
α
+
β
)=cos
α
·cos
β
-sin
α
·sin
β
2.
Формула
косинуса
разности
.
Косинус
разности
двух
углов
равен
произведению
этих
углов
плюс
произведение
синусов
этих
углов
:
cos(
α
-
β
)=cos
α
·cos
β
+sin
α
·sin
β
Формулы
синуса
.
3.
Формула
синуса
суммы
.
Синус
суммы
двух
углов
равен
произведению
синуса
первого
угла
на
косинус
второго
,
плюс
произведение
косинуса
первого
угла
на
синус
второго
.
sin(
α
+
β
)=sin
α
·cos
β
+cos
α
·sin
β
4.
Формула
синуса
разности
.
Синус
разности
двух
углов
равен
произведению
синуса
первого
угла
на
косинус
второго
,
минус
произведение
косинуса
первого
угла
на
синус
второго
.
sin(
α
-
β
)=sin
α
·cos
β
-cos
α
·sin
β
Формулы
тангенса
.
5.
Формула
тангенса
суммы
двух
углов
.
tg(
α
+
β
)=
6.
Формула
разности
тангенса
двух
углов
.
tg(
α
-
β
)=
Формулы
суммы
и
разности
тригонометрических
функций
.
1.
Формула
суммы
синусов
.
Сумма
синусов
двух
углов
равна
удвоенному
произведению
синуса
полусуммы
этих
углов
на
косинус
их
полуразности
.
sin
α
+sin
β
=2sin
·
cos
2.
Формула
разности
синусов
.
Разность
синусов
двух
углов
равна
удвоенному
произведению
синуса
полуразности
эти
углов
на
косинус
их
полусуммы
.
sin
α
-sin
β
=2sin
·cos
3.
Формула
суммы
косинусов
.
Сумма
косинусов
двух
углов
равна
удвоенному
произведению
косинуса
полусуммы
этих
углов
на
косинус
их
полуразности
.
cos
α
-cos
β
=2cos
·cos
4.
Формула
разности
косинусов
.
Разность
косинусов
двух
углов
равна
удвоенному
произведению
синуса
полусуммы
этих
углов
на
синус
их
полуразности
.
cos
α
+cos
β
=-2sin
·sin
Формулы
двойного
угла
.
1.
sin(
α
+
β
)=sin
α
·cos
β
+sin
β
·cos
α
,
если
β
=
α
то
sin(
α
+
α
)=sin
α
·cos
α
+sin
α
·cos
α
sin2
α
=2sin
α
·cos
α
2.
cos(
α
+
β
)=cos
α
·cos
β
-sin
α
·sin
β
,
если
β
=
α
то
cos(
α
+
α
)=cos
α
·cos
α
-sin
α
·sin
α
cos2
α
=cos
2
α
-sin
2
α
3.
tg(
α
+
β
)=
,
если
β
=
α
то
tg(
α
+
β
)=
tg2
α
=
4.
cos2
α
=cos
2
α
-sin
2
α
cos2
α
=(1-sin
2
α
)- sin
2
α
cos2
α
=1-sin
2
α
- sin
2
α
cos2
α
=1-2sin
2
α
5.
cos2
α
=cos
2
α
-sin
2
α
cos2
α
= cos
2
α
-(1-cos
2
α
)
cos2
α
= cos
2
α
-1+cos
2
α
cos2
α
=2cos
2
α
-1
Формулы приведения.
Закономерности формул приведения.
I.
Функция в правой части равенства берётся с тем же знаком, какой
имеет исходная функция, если считать, что угол α является углом I ч.
II.
Для углов π±α и 2π±α название исходной функции сохраняется; для
углов
и
название исходной функции заменяется (sin на
cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg)
Мнемоническое правило
(из курса алгебры и начал анализа):
I.
Перед приведённой функцией ставится тот знак, который имеет
исходная функция, если угол
∈
I
ч
.
II.
Для
углов
π
α
и
2
π
α
название
исходной
функции
не
меняется
;
для
углов
и
название исходной функции меняется на
коф-ию.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
1) Уравнение cost=a
Случаи решения:
I.
Если а
∉
[-1; 1],
то
уравнение
не
имеет
корней
.
II.
Если
а
∈
[-1; 1],
то
уравнение
имеет
2
корня
:
t= arccos a+2
π
n
,
где
n
∈
ℤ
III.
Особенности
:
cost=a
а) cost=0
t=
arccos 0+2
π
n, n
∈
ℤ
t=
+2
π
n, n
∈
ℤ
-
не
используется
t=
+
π
n, n
∈
ℤ
б
) cost=1
t=2
π
k, k
∈
ℤ
в
) cost=-1
t=
π
+2
π
k, k
∈
ℤ
2) Уравнение sint=a
Случаи решения:
I.
Если а
∉
[-1; 1],
то
уравнение
не
имеет
корней
.
II.
Если
а
∈
[-1; 1],
то
уравнение
имеет
2
корня
:
t=(-1)
k
arcsin a+
π
k
, k
∈
ℤ
III.
Особенности
:
sint=a
а) sint=0
t
=0 +
π
k, k
∈
ℤ
,
однако
принята
запись
t=
π
k, k
∈
ℤ
б
) sint=1
t=
+2
π
k, k
∈
ℤ
в
) sint=-1
t=-
+2
π
k, k
∈
ℤ
3) Уравнения tgt и ctgt
tgt=a,
а
∈
(-∞; +∞)
t=arctg a+
π
n, n
∈
ℤ
c
tgt=a,
а
∈
(-∞; +∞)
t=arcctg a+
π
n, n
∈
ℤ