�

315°

300°

330°

240°

210°

225°

120°

90°

60°

45°

30°

[−

�

2

]

7

6

�

5

4

�

4

3

�

11

6

�

7

4

�

5

3

�

5

6

�

3

4

�

2

3

�

�

3

�

4

√3

2

-1

-1

1

-

√3

2

1

2

0

tgα

-

√3

-1

ctgα

1

1

√3

-

1

√3

-

√3

√3

1

√3

-

1

√3

-1

�

6

-

1

2

-

√2

2

√2

2

√3

2

-

1

2

1

2

-

√2

2

√2

2

-

√3

2

y, sinα

x, cosα

1

�

2

2

�

3

2

�

[−

5

6

�

]

[−

�

3

]

[−

3

4

�

]

[−

�

4

]

]

[−

�

6

]

[−

2

3

�

]

135°

150°

180°

270°

360°

0°

Тригонометр

Решение простейших тригонометрических уравнений.

1) Уравнение cost=a

Случаи решения:

I.

Если а

∉

[-1; 1],

то

уравнение

не

имеет

корней

.

II.

Если

а

∈

[-1; 1],

то

уравнение

имеет

2

корня

:

t=±arccos a+2

π

n

,

где

n

∈

ℤ

III.

Особенности

:

cost=a

а) cost=0

t=

±arccos 0+2

π

n, n

∈

ℤ

t=±

+2

π

n, n

∈

ℤ

-

не

используется

t=

+

π

n, n

∈

ℤ

б

) cost=1

t=2

π

k, k

∈

ℤ

в

) cost=-1

t=

π

+2

π

k, k

∈

ℤ

2) Уравнение sint=a

Случаи решения:

I.

Если а

∉

[-1; 1],

то

уравнение

не

имеет

корней

.

II.

Если

а

∈

[-1; 1],

то

уравнение

имеет

2

корня

:

t=(-1)

k

arcsin a+

π

k

, k

∈

ℤ

III.

Особенности

:

sint=a

а) sint=0

t

=0 +

π

k, k

∈

ℤ

,

однако

принята

запись

t=

π

k, k

∈

ℤ

б

) sint=1

t=

+2

π

k, k

∈

ℤ

в

) sint=-1

t=-

+2

π

k, k

∈

ℤ

3) Уравнения tgt и ctgt

tgt=a,

а

∈

(-∞; +∞)

t=arctg a+

π

n, n

∈

ℤ

c

tgt=a,

а

∈

(-∞; +∞)

t=arcctg a+

π

n, n

∈

ℤ

Формулы

сложения

.

Формулы

косинуса

.

1.

Формула

косинуса

суммы

.

Косинус

суммы

двух

углов

равен

произведению

косинусов

этих

углов

минус

произведение

синусов

этих

углов

:

cos(

α

+

β

)=cos

α

·cos

β

-sin

α

·sin

β

2.

Формула

косинуса

разности

.

Косинус

разности

двух

углов

равен

произведению

этих

углов

плюс

произведение

синусов

этих

углов

:

cos(

α

-

β

)=cos

α

·cos

β

+sin

α

·sin

β

Формулы

синуса

.

3.

Формула

синуса

суммы

.

Синус

суммы

двух

углов

равен

произведению

синуса

первого

угла

на

косинус

второго

,

плюс

произведение

косинуса

первого

угла

на

синус

второго

.

sin(

α

+

β

)=sin

α

·cos

β

+cos

α

·sin

β

4.

Формула

синуса

разности

.

Синус

разности

двух

углов

равен

произведению

синуса

первого

угла

на

косинус

второго

,

минус

произведение

косинуса

первого

угла

на

синус

второго

.

sin(

α

-

β

)=sin

α

·cos

β

-cos

α

·sin

β

Формулы

тангенса

.

5.

Формула

тангенса

суммы

двух

углов

.

tg(

α

+

β

)=

6.

Формула

разности

тангенса

двух

углов

.

tg(

α

-

β

)=

Формулы

суммы

и

разности

тригонометрических

функций

.

1.

Формула

суммы

синусов

.

Сумма

синусов

двух

углов

равна

удвоенному

произведению

синуса

полусуммы

этих

углов

на

косинус

их

полуразности

.

sin

α

+sin

β

=2sin

·

cos

2.

Формула

разности

синусов

.

Разность

синусов

двух

углов

равна

удвоенному

произведению

синуса

полуразности

эти

углов

на

косинус

их

полусуммы

.

sin

α

-sin

β

=2sin

·cos

3.

Формула

суммы

косинусов

.

Сумма

косинусов

двух

углов

равна

удвоенному

произведению

косинуса

полусуммы

этих

углов

на

косинус

их

полуразности

.

cos

α

-cos

β

=2cos

·cos

4.

Формула

разности

косинусов

.

Разность

косинусов

двух

углов

равна

удвоенному

произведению

синуса

полусуммы

этих

углов

на

синус

их

полуразности

.

cos

α

+cos

β

=-2sin

·sin

Формулы

двойного

угла

.

1.

sin(

α

+

β

)=sin

α

·cos

β

+sin

β

·cos

α

,

если

β

=

α

то

sin(

α

+

α

)=sin

α

·cos

α

+sin

α

·cos

α

sin2

α

=2sin

α

·cos

α

2.

cos(

α

+

β

)=cos

α

·cos

β

-sin

α

·sin

β

,

если

β

=

α

то

cos(

α

+

α

)=cos

α

·cos

α

-sin

α

·sin

α

cos2

α

=cos

2

α

-sin

2

α

3.

tg(

α

+

β

)=

,

если

β

=

α

то

tg(

α

+

β

)=

tg2

α

=

4.

cos2

α

=cos

2

α

-sin

2

α

cos2

α

=(1-sin

2

α

)- sin

2

α

cos2

α

=1-sin

2

α

- sin

2

α

cos2

α

=1-2sin

2

α

5.

cos2

α

=cos

2

α

-sin

2

α

cos2

α

= cos

2

α

-(1-cos

2

α

)

cos2

α

= cos

2

α

-1+cos

2

α

cos2

α

=2cos

2

α

-1

Формулы приведения.

Закономерности формул приведения.

I.

Функция в правой части равенства берётся с тем же знаком, какой

имеет исходная функция, если считать, что угол α является углом I ч.

II.

Для углов π±α и 2π±α название исходной функции сохраняется; для

углов

±

и

±

название исходной функции заменяется (sin на

cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg)

Мнемоническое правило

(из курса алгебры и начал анализа):

I.

Перед приведённой функцией ставится тот знак, который имеет

исходная функция, если угол

∈

I

ч

.

II.

Для

углов

π

±

α

и

2

π

±

α

название

исходной

функции

не

меняется

;

для

углов

±

и

±

название исходной функции меняется на

коф-ию.