Вычисление элементов прямоугольного треугольника
Решать задачи на вычисление элементов прямоугольного треугольника можно по- разному
.
Показан самый простой способ их решений, учитывая в задании отношения сторон прямоугольного треугольника и принимая стороны
за части
. Используя этот способ, экономится время во время ЕГЭ. При выполнении заданий на вычисление элементов прямоугольного треугольника достаточно знать определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника и теорему Пифагора, использовать Пифагоровы треугольники.
1)


В
Теорема Пифагора
: АВ² = АС² + ВС².
Пифагоровы треугольники:
3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25.
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

острого угла:

sinA
= АВ ВС ;
cosA

=
АВ АС ;
tgA
= АС ВС ;
ctgA
= ВС АС А С


Формулы приведения:
sin(180º - α) = sinα, tg(180º - α ) = - tg α      90 В А
2)
В ∆АВС - равнобедренный, С А    ∆АВН=∆ВСН

А С ВН - медиана, биссектриса, высота. Н
3)
B гипотенуза 2 катет 1 30° A катет C Впрямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
4)
B sinα cosα tgα α A C sinα cosα tgα
Отношения

сторон

прямоугольного

треугольника

с

острым

углом



α
Очень просто и легко запомнить отношения сторон п р я м оу го л ь н о го треугольника с острым углом α, которые показаны стрелками на рисунке слева. Чтобы знать определения синуса, ко синус а и т ангенс а о ст рого у гл а прямоугольного треугольника, достаточно запомнить положение стрелок в фигуре (рисунок справа). Показано несколько
образцов решения задач.
Пример 1.
Задание 7
. В треугольнике АВС угол С равен 90º, tgα = 4 3 , ВС = 6. Найдите АС. B A C
Решение:
6 : 3 = 2 – одна часть, 2 · 4 = 8 – катет АС. B tgα 3 части
= 6 α A 4 части - ? С
В бланк ответов:

Пример 2.

Задание 7
. В треугольнике АВС угол С равен 90º, угол В равен 30º, ВС = 3 3 . Найдите АС. B A C
Решение:
1) По теореме Пифагора: 1 2 + ВС 2 = 2 2 , 1 + ВС 2 = 4, ВС 2 = 3, ВС = 3 (частей). 2) 3 3 : 3 = 3 – 1 часть или катет АС. B 2 ч. 30 о 3 3 = 3 частей A 1 ч. - ? C
В бланк ответов:

Пример 3.

Задание 7
. В треугольнике АВС угол С равен 90º, cosA
=
5 4 . Найдите sinB. B A C
Решение:
1) Угол А: стрелкой показано cosA = 5 4 (рисунок справа). 2) Угол В: стрелка показывает также sinB = 5 4 , т.е. sinB = cosA = 5 4 = 0,8. B 5 ч. A C 4 ч.
В бланк ответов:

Пример 4.

Задание 7
. В треугольнике АВС угол С равен 90º, АВ = 39, sinА = 13 5 . Найдите АС. B A C
Решение:
1) Прямоугольный треугольник со сторонами 5, 12, 13 – Пифагоров треугольник, т.е. АС=12 ч. (рисунок справа). 2) 39 : 13 = 3 – одна часть. 3) 3 · 12 = 36 – катет АС. B 39=13ч. 5 ч. A C 12ч. – ?
В бланк ответов:

Пример 5.

Задание 7
. В треугольнике АВС угол С равен 90º, АВ = 95, cosВ = 5 3 . Найдите АС. 8 3 0 , 8 3 6
B A C
Решение:
1) Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 – Пифагоров треугольник, т.е. АС = 4 ч. (рисунок справа). 2) 95 : 5 = 19 – одна часть. 3) 19 · 4 = 76 – катет АС. B 95=5ч. 3 ч. A 4 ч. – ? C
В бланк ответов:

Пример 6.

BЗадание 7. В треугольнике АВС угол С равен 90º, AB = 14, AС = 7
3
.

Найдите sinА.



14 ? х





A C

7
3
В бланк

ответов:
Решение: 1) По теореме Пифагора (рисунок справа): х 2 + (7 3 ) 2 = 14 2 , х 2 + 147 = 196, х 2 = 196 – 147, х 2 = 49, х = 7. 2) Значит, sinА = АВ ВС = 14 7 = 2 1 = 0,5. B A C
Пример 7.

Задание 7
. В треугольникеАВС угол С равен 90º, угол А равен 30º. Найдите синус угла ВАD. В D А С
Решение:
1) sinВAС = sin30 = 2 1 = 0,5 (рисунок справа). 2)  BAD и  BAС – смежные, В 2 ч. sinВAС 1 ч. 30 о D А С 7 6 0 , 5
отсюда sin BAD = sin(180º - 30º) = sin30º = 2 1 = 0,5.
В бланк ответов:

Пример 8.

Задание 7
. На клетчатой бумаге изображен угол. Найдите его тангенс.
Решение:
D В 2 ч. А С 1 ч. 1) На рисунке видно, что соответствующие стрелкам стороны составляют 2 ч. и 1 ч. (как равные диагонали квадратов), т. е. tg BAС = . 2 1 2  2)  BAD и  BAС – смежные, отсюда tg BAD = tg(180º -  BAС ) = - tg BAC = - 2.
В бланк ответов:

Пример 9
.
Задание 7.
Найдите тангенс угла АОВ, изображенного на клетчатой бумаге.
В

О А

Решение:

В
На рисунке видно, что соответствующие стрелкам стороны составляют 4 ч. и 5 ч., т. е. tg BОA = 5 4 = 0,8.
О А В бланк ответов:



Пример 10.

Задание 7
. В треугольникеАВС угол С равен 90º, cosA
=
5 4 , ВС = 3. СН – высота. Найдите АН. B Н A C
Решение:
1) Сторона АС и угол А – общие для прямоугольных треугольников АВС и АСН. Покажем стрелками в этих треугольниках: cosA
=
5 4 . Рис.1 B Н 5 3 A 4 C Рис.2 Н 4 ч. 3 ч. A 4=5 ч. C 2) Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 – Пифагоров треугольник. Отсюда: ΔАВС имеет стороны 3, 4, 5 (рис. 1), где АС = 4. ΔАСН имеет стороны 3 ч., 4 ч., 5 ч. (рис. 2), где АС = 5 ч. 3) Значит, 4 : 5 = 0,8 – одна часть. 4) Следовательно, АН = 0,8· 4 = 3,2.
В бланк ответов:
0 , 5 - 2 0 , 8 3 , 2

Пример 11.

Задание 7
. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна 10, а высота, проведенная к основанию, равна . 19 Найдите косинус угла А. В А Н С В 10 ? 19 А х Н С
Решение:
1) ΔАВН – прямоугольный: по теореме Пифагора (рисунок справа) х 2 + ( 19 ) 2 = 10 2 , х 2 + 19 = 100, х 2 = 100 – 19, х 2 = 81, х = 9. 2) Значит, соsА = 10 9 = 0,9.
В бланк ответов:

Пример 12.

Задание 7
. В треугольнике АВС АС = ВС = 5, АВ = 8. Найдите tg А. С A Н В
Решение:
1) Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 – Пифагоров треугольник, т.е. СН = 3 (рисунок справа). 2) Значит, tg А = 3 : 4 = 0,75. С 5 3 A 4 Н В 8
В бланк ответов:

Пример 13.

Задание 7
. В треугольнике АВС АВ = ВС, АС = 5, cosС = 0,8. Найдите высоту СН. С A В Н
Решение:
1) ΔАВС – равнобедренный, значит, cosС = cosА = 0,8 = 5 4 . 2) Отсюда в прямоугольном треугольнике АСН cosА = 5 4 . Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 – Пифагоров треугольник, т.е. АН = 4, СН = 3 (рисунок справа). С 5 ? cosА A В Н 4
В бланк ответов:
0 , 9 0 , 7 5 3