Движения. Центральная симметрия

Мы начинаем знакомство с понятием движение

в пространстве.

В курсе планиметрии вы уже познакомились с

понятием движения — это такое отображение

плоскости, при котором сохраняется расстояние

между точками.

А

1

О=АО

Говорят, что задано отображение пространства

на себя, если каждой точке К пространства

поставлена в соответствие некоторая точка К

1

,

причём любая точка К

1

пространства оказалась

поставленной в соответствие какой-либо точке

К.

Принято говорить, что при таком отображении

точка К отображается (переходит) в точку К

1

.

К

К

1

Точка К отображается в точку К

1

,

а точка К

1

отображается в точку К.

Отметим, что особую роль в геометрии играют

отображения пространства на себя,

сохраняющее расстояние между точками. Они

называются движениями пространства.

Таким образом, если при движении

пространства точки А и В переходят

(отображаются) в точки А

1

и В

1

,то АВ=А

1

В

1

.

Одним из примеров движения служит

центральная симметрия — это такое

отображение пространства на себя, при котором

любая точка К переходит в симметричную ей

точку К

1

, относительно центра симметрии точки

В.

(желательно показать

отображение одного яблока в

другое)

Пример движения пространства-

центральная симметрия.

Центральная симметрия-

отображение пространства на себя,

при котором любая точка К

переходит в симметричную ей точку

К

1

, относительно центра симметрии.

1. Обозначим буквой О центр симметрии и

введём декартову (прямоугольную) систему

координат О

xyz

с началом в точке О.

2.Найдем связь между точками М(x;y;z) и

M

1

(x

1

;y

1

;z

1

), которые симметричны

относительно точки О.

В случае, если М не совпадает с центром

симметрии О, то О является серединой отрезка

ММ

1

.Тогда по формулам координат середины

отрезка найдём:

x

+x

1

=0; y

+y

1

=0; z

+z

1

=0

1. О

xyz

-прямоугольная система

координат.

2.Точки М(x;y;z) и M

1

(x

1

;y

1

;z

1

),

симметричны относительно О.

2 2 2

Откуда:

x=-x

1 ;

y=-y

1

; z=-z

1

Данные формулы верны и в случае, когда М и О

совпадают (объясните самостоятельно).

3.Рассмотрим любые две точки: А — с

координатами (x

1

;y

1

;z

1

) и В — с координатами

(x

2

;y

2

;z

2

) и докажем, что расстояние между

точками А

1

и В

1

, которые им симметричны,

равно АВ.

По доказанному выше, имеем, что точки А

1

и В

1

имеют координаты: А

1

(-x

1

;-y

1

;-z

1

) и В

1

(-x

2

;-y

2

;-

z

2

).

По формуле расстояний между двумя точками,

найдём:

АВ=√(х

2

-х

1

)

2

+(y

2

-y

1

)

2

+(z

2

-z

1

)

2

A

1

B

1

=√(-х

2

+х

1

)

2

+(-y

2

+y

1

)

2

+(-z

2

+z

1

)

2

,

Очевидно, что АВ=A

1

B

1

, то есть расстояние

между точками сохранено.

Таким образом, мы доказали, что центральная

симметрия является движением.

x

+x

1

=0; y

+y

1

=0; z

+z

1

=0→

2 2 2

x=-x

1 ;

y=-y

1

; z=-z

1

Данные формулы верны и в случае,

когда М и О совпадают(объясните

самостоятельно).

3. А (x

1

;y

1

;z

1

); В (x

2

;y

2

;z

2

)

Симметричные им точки

А

1

(-x

1

;-y

1

;-z

1

) и В

1

(-x

2

;-y

2

;-z

2

).

АВ=√(х

2

-х

1

)

2

+(y

2

-y

1

)

2

+(z

2

-z

1

)

2

A

1

B

1

=√(-х

2

+х

1

)

2

+(-y

2

+y

1

)

2

+(-z

2

+z

1

)

2

,

АВ= A

1

B

1

Центральная симметрия является

движением.

Применим полученные знания при решении

задач.

Задача 1.

Доказать, что при центральной симметрии

прямая, не проходящая через центр симметрии,

отображается на параллельную ей прямую.

1. Рассмотрим центральную симметрию

пространства с центром в точке О и

произвольную прямую АВ, не проходящую

через эту точку.

Прямая АВ и точка О определяют единственную

плоскость α. Точки А и В отображаются при

центральной симметрии в точки А

1

и В

1

,

которые так же лежат в плоскости α. А значит, и

вся прямая А

1

В

1

лежит в плоскости α.

2. Докажем, что прямые АВ и А

1

В

1

параллельны.

Так как симметрия центральная, то ОА=ОА

1

,

ОВ=ОВ

1

, угол АОВ равен углу А

1

ОВ

1

— как

вертикальные, значит треугольник АОВ равен

треугольнику А

1

ОВ

1

по первому признаку

равенства треугольников.

1. Центральная симметрия с

центром в точке О.

АВ→ А

1

В

1

А

1

В

1

принадлежит плоскости α.

2. ОА=ОА

1

, ОВ=ОВ

1

, <АОВ

=<А

1

ОВ→

Δ АОВ=Δ А

1

ОВ

1

(по I пр. рав-ва тр-

ков) →

< АВО=< А

1

В

1

О(накрест лежащие

Из равенства треугольников следует, что угол

АВО равен углу А

1

В

1

О, то есть равны накрест

лежащие углы при пересечении прямых АВ и

А

1

В

1

секущей ВВ

1

, следовательно прямые АВ и

А

1

В

1

параллельны.

3. Докажем теперь, что при центральной

симметрии с центром в точке О прямая АВ

отображается на прямую А

1

В

1

. Для этого нужно

доказать, что произвольная точка М прямой АВ

переходит в некоторую точку М

1

прямой А

1

В

1

и

наоборот: произвольная точка прямой А

1

В

1

симметрична некоторой точке прямой АВ.

Возьмём на прямой АВ какую-либо точку М,

отличную от А, и проведём прямую МО. Эта

прямая пересечёт прямую А

1

В

1

в какой-то точке

М

1

.

Симметрия центральная, значит АО=ОА

1

; угол

МОА равен углу М

1

ОА

1,

как вертикальные; угол

МАО равен углу М

1

А

1

О, как накрест лежащие

при параллельных прямых АВ и А

1

В

1

и секущей

ВВ

1

. Значит, треугольники МАО и М

1

А

1

О равны

по второму признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что отрезки

МО и ОМ

1

равны, а это значит, что точка М

переходит в точку М

1

, лежащую на прямой А

1

В

1

при симметрии относительно точки О.

Аналогично доказывается обратное: любая

точка М

1

прямой А

1

В

1

симметрична некоторой

точке М прямой АВ относительно точки О.

Итак, при симметрии с центром О прямая, не

проходящая через точку О, отображается на

параллельную прямую.

при прямых АВ и А

1

В

1

секущей

ВВ)→ АВ ║ А

1

В

1

3.Д.п.

М принадлежит АВ, М≠А.

МО.

МО А

1

В

1

= М

1

АО=ОА

1

, <МОА =<М

1

ОА

1

( вертикальные); <МАО =< М

1

А

1

О

(накрест лежащие)→

Δ МАО= ΔМ

1

А

1

О(поII пр-ку рав-ва

тр-ков)→ МО = ОМ

1

М→ М

1

при симметрии

относительно точки О.

М

1

→ М при симметрии

относительно точки О.

При симметрии с центром О прямая,

не проходящая через точку О,

отображается на параллельную

прямую.

Сегодня мы показали, что отображение

пространства на себя, сохраняющее расстояние

между точками, является движением, а так же

убедились, что при движении отрезок переходит

в равный ему отрезок, прямая — в прямую,

плоскость — в плоскость. Примером этому

служит центральная симметрия.