Метод координат в пространстве

Прямоугольная система координат

Если через точку пространства проведены

три попарно перпендикулярные прямые,

на каждой из которых выбрано

направление и единичный отрезок, то

говорят, что задана прямоугольная система

координат в пространстве.

Прямые с выбранными на них

направлениями называются осями

координат и обозначаются так: Ох, Оy, Оz,

имеют свои названия: ось абсцисс, ось

ординат и ось аппликат соответственно, а

их общая точка – началом координат.

Обычно она обозначается буквой О.

Вся система координат обозначается Охуz.

Если через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz,

Оz и Ох провести плоскости, то такие

плоскости будут называться

координатными плоскостями и

обозначаться: Оху, Оуz, Оzх

соответственно.

Точка О разделяет каждую из осей

координат на два луча. Луч, направление

которого совпадает с направлением оси,

называется положительной полуосью, а

другой луч — отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат

каждой точке М пространства

сопоставляется тройка чисел, которые

называются ее координатами. Они

определяются аналогично координатам

точек на плоскости.

Посмотрим, как это делается.

Проведем через точку М три плоскости,

перпендикулярные осям координат, и

Картинка

Текст

Прямые с выбранными на них

направлениями, называются осями

координат и обозначаются так: Ох, Оy, Оz,

имеют свои названия: ось абсцисс, ось

ординат и ось аппликат соответственно, а

их общая точка – началом координат.

Обычно она обозначается буквой О.

Вся система координат обозначается Охуz.

Ох – абсцисса

Оу – ордината

Оz - аппликата

Плоскость Оху; плоскость Оуz; плоскость

Оzх.

Картинка

Картинка

обозначим через М

₁

, М

₂

и М

₃

точки

пересечения этих плоскостей

соответственно с осями абсцисс, ординат и

аппликат.

Первая координата точки М (она

называется абсциссой и обозначается

обычно буквой х) определяется так: х =

ОМ

₁

, если М

₁

- точка положительной

полуоси;

х= - ОМ

₁

, если М

₁

- точка отрицательной

полуоси; х =0, если М

₁

совпадает с точкой

О.

Аналогично с помощью точки М

₂

определяется вторая координата (ордината)

у точки М,

а с помощью точки М

₃

— третья

координата (аппликата) z точки М.

Координаты точки М записываются в

скобках после обозначения точки М (х; у;

z).

Запомните, что первой указывают

абсциссу, второй – ординату, третьей —

аппликату.

Задача 1.

Найдем координаты точек А, В, С, D, E, F,

представленные на рисунке.

Проведем через точку А три плоскости,

перпендикулярные к осям координат, тогда

точки пересечения этих плоскостей

соответственно с осями абсцисс, ординат и

аппликат будут координатами точки А.

Точка А имеет координаты: абсцисса = 9,

ордината = 5, аппликата = 10 и

записывается это так: А (9; 5;10).

Аналогично записываются координаты

следующих точек:

Точка В имеет координаты: абсцисса = 4,

ордината = -3, аппликата = 6

Точка С имеет координаты: абсцисса = 9,

ордината = 0, аппликата = 0

Точка имеет D координаты: абсцисса = 4,

ордината = 0, аппликата = 5

Точка Е имеет координаты: абсцисса = 0,

Картинка

Текст

М(х;у;z)

Найдем координаты точек А, В, С, D, E, F,

представленные на рисунке.

Дано:Oxyz, A, B, C, D E, F

Найти: координаты точек

Решение:

А (9; 5;10),

В (4; -3; 6),

С (9; 0; 0),

D (4; 0; 5),

Е (0; 8; 0),

F (0; 0; -3)

ордината = 8, аппликата = 0

Точка F имеет координаты: абсцисса = 0,

ордината = 0, аппликата = -3

В (4; -3; 6),

С (9; 0; 0),

D (4; 0; 5),

Е (0; 8; 0),

F (0; 0; -3).

Если точка М (х; у; z) лежит на

координатной плоскости на оси координат,

то некоторые ее координаты равны нулю.

Если МЄОху (точка М принадлежит

плоскости Оху), то аппликата точки М

равна нулю: z=0.

Аналогично, если МЄОхz (точка М

принадлежит плоскости Оxz), то у = 0, а

если МЄОуz (точка М принадлежит

плоскости Oyz), то х = 0.

Если МЄОх (точка М лежит на оси

абсцисс) ордината и аппликата точки М

равны нулю: у=о и z=0. В нашем примере

это точка С.

Если МЄОу (точка М лежит на оси

ординат), то х=0 и z=0. В нашем примере

это точка Е.

Если МЄОz (точка М лежит на оси

аппликат), то х = 0 и у = 0. В нашем

примере это точка F.

Если все три координаты точки М равны

нулю, то это значит, что М=О (0; 0; 0) –

начало координат.

Задача 2

Плоскость Оху

Плоскость Охz

Плоскость Оуz

Задача 2

Дано: ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

– куб;

A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); A

1

(1; 0; 0).

Найти: координаты точек

Даны координаты четырех вершин куба

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

: A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0;

1; 0); A

1

(1; 0; 0). Найдите координаты

остальных вершин куба.

Решение:

Так как фигура — куб, то все стороны

равны единице, все грани являются

квадратами.

Точка С принадлежит плоскости Оху, то

есть ее координата z равна нулю,

координата х равна стороне СД и равна

АВ, значит равна единице, координата

игрек равна стороне куба СВ, значит равна

АД и равна единице.

Аналогично, Точка В

1

принадлежи

плоскости Охz, то еcть ее координата y

равна нулю, координата х равна стороне

координата х равна стороне А1B1 и равна

АВ значит равна единице, координата зет

равна стороне куба В В1значит равна АА1

и равна единице.

Точка Д

1

принадлежи плоскости Оуz, то

еcть ее координата х равна нулю,

координата у равна стороне А

1

Д

1

и равна

АД, значит равна единице, координата зет

равна стороне куба А

1

В

1

, значит равна АВ

и равна единице.

Точка С

1

не принадлежит никакой

плоскости, то еcть все координаты

отличны от нуля, координата х равна

стороне C

1

D

1

и равна АB, значит равна

единице, координата игрек равна стороне

куба В

1

С

1

, значит равна АД и равна

единице, и координата зет равна стороне

CC

1

, то есть AA

1

и также равна единице.

Задача 3.

Найдите координаты проекций точки C (

3



;

2

2



;

3

5



) на координатные

плоскости Oxy, Oxz, Oyz и координатные

оси Ox, Oy, Oz.

Решение:

1) опустим перпендикуляры на плоскость

Oxy — это CN, на плоскость Oxz – CL, и

Решение:

С



Оху



z=0, x=CD=AB=1, y=CB=AD=1:

C(1; 1; 0)

B

1



Охz



y=0, z =B

1

A1=AB=1,

х=B

1

B=AA

1

=1: B(1; 0; 1);

D

1



Оyz



x=0, y=A

1

D

1

=AD=1,

z=DD

1

=AA

1

=1: D

1

(0; 1; 1);

C

1

: x=C

1

D

1

=AB=1; y=B

1

C

1

=AD=1;

z=CC

1

=AA

1

=1: C

1

(1; 1; 1);

Дано: С(

3



;

2

2



;

3

5



)

Найти: координаты проекции точки на

Oxy, Oxz, Oyz; Ox, Oy, Oz.

на плоскость Oyz прямая CR.

Таким образом, проекция точки С на

плоскость Oxy это точка N и она имеет

координаты икс равный минус корень из

трех, игрек равен минус корень из двух на

два, зет равнен нулю.

Проекция точки С на плоскость Oxz – это

точка L и она имеет координаты икс равен

минус корень из трех, игрек равен нулю,

зет равен корень из пяти минус корень из

трех.

Проекция точки С на плоскость Oyz – это

точка R и она имеет координаты икс равен

нулю, игрек равен минус корень из двух на

два, зет равен корень из пяти минус корень

из трех.

2)Из точки N проводим перпендикуляры на

ось Ох – прямая NK, а на Оу – прямая NG,

и на ось Оz проводим перпендикуляр из

точки R – это прямая RP.

Проекция точки С на ось Ох – точка К

имеет координаты икс равный минус

корень из трех, а игрек и зет равны нулю.

Проекция точки С на ось Оy – точка G

имеет координаты икс и зет равны нулю,

игрек равен минус корень из двух на два.

Проекция точки С на ось Оz – точка P

имеет координаты икс и игрек равны нулю,

зет равный корень из пяти минус корень из

трех.

1) N



Oxy, N(

3



;

2

2



; 0)

L



Oxz, L(

3



; 0;

3

5



)

R



Oyz; R(0;

2

2



;

3

5



)

2) K



Ox, K(

3



; 0; 0)

G



Oy, G(0;

2

2



; 0)

P



Oz, P(0; 0;

3

5



)