Тема 2.1

Последовательности

Выполнила преподаватель

Кудина Л.В.

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение

Свердловской области

«Талицкий лесотехнический колледж им.

Н.И.Кузнецова»

Талица 2017

Содержание

Понятие числовой последовательности

Примеры числовых последовательностей

Способы задания последовательностей

Ограниченность числовых

последовательностей

Возрастание и убывание числовых

последовательностей

Бесконечная числовая последовательность

Бесконечной числовой последовательностью

называется числовая функция, определенная на

множестве N натуральных чисел.

Последовательность (х

п

) называется возрастающей

(убывающей), если каждый ее член, начиная со второго,

больше (меньше) предыдущего, т.е. если для любого п

выполняется неравенство

х

п+1

х

п

(х

п+1

х

п

)

/

\

/\

//\

Последовательность (х

п

) называется невозрастающей

(неубывающей), если каждый ее член, начиная со второго, не

больше (не меньше) предыдущего, т.е. если для любого п

выполняется неравенство

х

п+1

х

п

(х

п+1

х

п

)

/

\

\

Убывающие, возрастающие, неубываюшие и

невозрастающие последовательности

называются монотонными.

Последовательность (х

п

) называетсч ограниченной сверху

(ограниченной снизу), если можно указать такое число М

(число т), что для всех членов этой последовательности

выполняется неравенство х

п

М

(х

п

т). Числа М и т называются соответственно верхней

и нижней границами последовательности (х

п

).

Последовательность (х

п

) называется постоянной , если все

ее члены совпадают.

/

/

\

/

\

\

Например: -1, -4, -9, -16,…, - n²

,…

Верхняя граница - -1

Например: 1, 4, 9, 16,…,n²,…

Нижняя граница - 1

Последовательности, содержащие бесконечно

много членов, называются

бесконечными.

Последовательности, содержащие конечное число

членов, называют

конечными.

Например:

конечной является последовательность

двузначных чисел

10; 11; 12; 13

; …; 98; 99.

Например: бесконечной является

последовательность четных чисел: 2; 4; 6; …

Функцию вида у= f (х), х ϵ Ν

называют функцией натурального

аргумента или числовой

последовательностью и обозначают у = f (n)

или у1, у2, у3,…, уn,…, или (уn).

(а

n

) – последовательность

а

1

; а

2

; а

3

;…. а

n

-

члены

последовательности

Первый

n-ый

член послед. член послед.

Последовательность

1, 2, 3, 4, 5, : - последовательность натуральных чисел;

2, 4, 6, 8, 10, :- последовательность четных чисел;

1, 3, 5, 7, 9, : - последовательность нечетных чисел;

1, 4, 9, 16, 25, : - последовательность квадратов

натуральных чисел;

2, 3, 5, 7, 11, : - последовательность простых чисел;

1,1/2,1/3,1/4,1/5, :- последовательность чисел, обратных

натуральным.

Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые

пять последовательностей - монотонно возрастающие,

последняя - монотонно убывающая.

Вот примеры бесконечных числовых

последовательностей, известных еще в древности:

Способы задания

последовательностей



Аналитический,



Рекуррентны,



Графический,



Описательный,



Табличный

1.

Словесный способ.

Правила задания последовательности описываются

словами, без указания формул или когда

закономерности между элементами

последовательности нет.

Пример 1. Последовательность простых чисел:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… .

Пример 2. Произвольный набор чисел:

1,4,12,25,26,33,39,… .

Пример 3. Последовательность четных чисел:

2,4,6,8,10,12,14,16,… .

2. Аналитический способ.

Любой n-й элемент последовательности можно

определить с помощью формулы.

Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2n.

Пример 2. Последовательность квадратов натуральных чисел:

у = n².

Пример 3. Стационарная последовательность: у = С

С, С, С, С,…,С,…

Пример 4. Последовательность у = n² - 3n

– 2, -2,0,4,10,…

Пример 5. Последовательность у = 2ⁿ

2, 2²,2³,…,2ⁿ,…

3.Рекуррентное задание числовой

последовательности.

Указывается правило позволяющее

вычислить n-й член последовательности,

если известны ее предыдущие члены.

При вычислении членов

последовательности по этому правилу

мы все время возвращаемся назад,

выясняем чему равны предыдущие члены,

поэтому такой способ называют

рекуррентным ( от латинского recurrere

– возвращаться)

Рекуррентное задание числовой

последовательности.

Пример 1:

y

1

=3, y

n

= y

n-1

+ 4, если n = 2, 3, 4, …

Каждый член последовательности получается из

предыдущего прибавлением к нему числа 4

y

1

= 3 y

2

= y

1

+ 4= 3 + 4 = 7

y

3

= y

2

+ 4= 7 + 4 = 11 y

4

= y

3

+ 4= 11 + 4 = 15 и т.д.

Получаем последовательность

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Рекуррентное задание числовой

последовательности.

Пример 2:

y

1

=1, y

2

=1, y

n

= y

n-2

+ y

n-1

Каждый член последовательности равен сумме двух

предыдущих членов

y

1

=1 y

2

=1 y

3

= y

1

+ y

2

= 1 + 1 = 2

y

4

= y

2

+ y

3

= 1 + 2 = 3 y

5

= y

3

+ y

4

= 2 + 3 = 5 и т.д.

Получаем последовательность

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Рекуррентное задание числовой

последовательности.

Выделяют 2 особенно важные рекуррентно

заданные последовательности:

1) Арифметическая прогрессия

у

1

= а, у

n

= у

n-1

+ d, а и d – числа, n = 2, 3, …

2) Геометрическая прогрессия

у

1

= b, у

n

= у

n-1

· q, b и q – числа, n = 2, 3, …

Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6…

Продолжите ряд 77, 49, 36, 18

…

Ответ: Перемножаются две цифры, входящие

в предыдущее число

Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на

нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных

местах: 10, 9, 8, 7

Примеры последовательностей.

Продолжи ряд

1)

1, 2, 3, 4, 5, 6,

2)

12, 10, 8, 6, 4

3)

6, 9, 12, 15, 18, 21

4)

2, 4, 8, 16,

5)

1, 4, 16 ,

Продолжи ряд

1)

1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10 …

2)

12, 10, 8, 6, 4

4, 2, 0, -2…

3)

6, 9, 12, 15, 18, 21

24, 27, 30…

4)

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256…

5)

1, 4, 16 ,

64, 256, 1024…

В порядке

возрастания

положительные

нечетные числа

В порядке убывания

Правильные дроби

с числителем,

равным 1

В порядке возрастания

положительные числа,

кратные7

В порядке убывания

положительные

двузначные числа

7;14;21;28…

99;98;97…

1;3;5;7;9…

;....

6

1

;

5

1

;

4

1

;

3

1

;

2

1

Диктант

Найдите закономерности

1)

1)

1; 4; 7; 10; 13; …

1; 4; 7; 10; 13; …

В порядке возрастания

2) положительные нечетные

числа

3)10; 19; 37; 73; 145; …

4)В порядке убывания

правильные дроби

с числителем, равным 1

5)6; 8; 16; 18; 36; …

6)В порядке возрастания

положительные числа,

кратные 5

1)

½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;

2)Увеличение

на 3

3)Чередовать увеличение

на 2 и увеличение в 2 раза

4)1; 3; 5; 7; 9; …

5)

5; 10; 15; 20; 25; …

6)Увеличение в 2 раза

и уменьшение на 1

По преданию, индийский царь Шерам,

восхищенный остроумием шахматной игры, призвал

к себе изобретателя шахмат Сету и сказал ему: «Я

желаю достойно вознаградить тебя ! Исполню

любое твое желание…» Сета попросил положить на

первую клетку доски 1 пшеничное зерно, на вторую –

2 зерна, на третью – 4 зерна и т. д. Сколько нужно

зерен ?

Это интересно!

Среднеазиатский математик Бернулли получил верный

ответ: 18 446 744 073 709 551 615 зерен.

Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с

урожая планеты, поверхность которой в 2000 раз больше

поверхности Земли.

Проторговался ли купец ?

•

Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей.

Купец сказал, что цена велика, "Хорошо,- ответил

продавец, если ты говоришь, что конь дорого стоит, то

возьми его себе даром, а заплати только за одни гвозди

на его подковах, а гвоздей на его каждой подкове по 6

штук, и будешь ты мне за них платить таким

образом: за первый гвоздь полушку, за второй - две

полушки, за третий 4 полушки, и так далее за все

гвозди: за каждый в два раза больше чем предыдущий".

Купец согласился, проторговался ли купец?

Всего гвоздей 24 штуки, за все гвозди купец должен заплатить

1 + 2 + 2*2 + 2*2*2+ +...+2*2*...*2 полушек

23 раза и того получаем 41943 рубля и 15 полушек

Решите самостоятельно

Что есть последовательность?

Последовательности составляют

такие элементы природы, которые

можно как то пронумеровать.

Дни недели, названия месяцев, номера

домов, кабинеты в колледже, номера

счетов в банке… Всё это есть

последовательности.

Например:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Числа Фибоначчи.

Элементы числовой

последовательности, в

которой каждое

последующее число равно

сумме двух предыдущих

чисел

.

Ветви, листья деревьев, ракушки, морские

звезды, ушная раковина человека, тюльпаны и

другие цветы, и особенно раковины моллюсков

- сформированы по той же самой схеме.

С каждым приростом раковина добавляет

себе ещё один сегмент в соответствии с

масштабом Фибоначчи.

Леонардо Фибоначчи -

итальянский

математик.

( 1170 — 1228)

Треугольник Паскаля – это бесконечная числовая таблица

треугольной формы, в которой на вершине и по боковым

сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно

сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в

предшествующей строке:

Блез Паскаль

(1623 – 1662 )

Французский

математика XVII

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

Треугольник Паскаля.

1

1

1

1 2

1

1 3

3 1

1 4

6

4 1

1 5

10

10

5 1

Связь между числами Фибоначчи

и треугольником Паскаля

Между числами Фибоначчи

и треугольником Паскаля существует связь.

Подсчитаем для каждой восходящей диагонали

треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой

диагонали чисел, получим:

Для 1 диагонали –

1

;

Для 2 диагонали –

1

;

Для 3 диагонали – 1+1=

2

;

Для 4 диагонали – 1+2=

3

;

Для 5 диагонали – 1+3+1=

5

;

Для 6 диагонали – 1+4+3=

8

...

В результате мы получаем числа Фибоначчи: 1; 1; 2; 3; 5; 8; …

Всегда сумма чисел n-ой диагонали есть n-ое число Фибоначчи.

•

Задания

pedsovet/publ/86-1-0-6117