Автор: Беличева Анастасия Юрьевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "Городищенская СОШ с УИОП"
Населённый пункт: Старооскольский городской округ, с. Городище
Наименование материала: урок алгебры и начал математического анализа в 11 классе
Тема: Равносильность систем
Раздел: полное образование
П.14. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 11 КЛАСС
Тема: Равносильность систем
Тип урока: изучение нового материала
Цели:
1. Образовательные - рассмотреть основные утверждения о равносильности систем уравнений,
учить учащихся приемам и методам решения систем уравнений с двумя неизвестными.
2.
Развивающие –
развитие
мыслительных
операций
посредством
наблюдений,
сравнений,
сопоставлений,
обобщений,
конкретизаций,
сознательного
восприятия
учебного
материала,
развитие
зрительной
памяти,
развитие
математической
речи
учащихся,
потребности
к
самообразованию, способствовать развитию творческой деятельности учащихся.
3.Воспитательные - воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения
друг к другу, взаимопонимания, взаимоподдержки, уверенности в себе; воспитание культуры
общения.
Оборудование:
«Алгебра
и
начала
математического
анализа:
учебник
для
11
кл.
общеобразоват.
учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.:
Просвещение, 2011»;
Алгебра и начала математического анализа. Дидакт. материалы для 11 кл.: \М.К.Потапов,
А.В.Шевкин. – М. : Просвещение, 2010;
тетради
учащихся,
компьютер,
экран,
проектор,
материалы
ЕГЭ
по
математике,
презентация к уроку.
Ход урока
I.
ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ
Сообщение целей и задач урока
II.
ПРОВЕРКА
ДОМАШНЕГО
ЗАДАНИЯ,
ОБСУЖДЕНИЕ
ПРОБЛЕМНЫХ
ЗАДАНИЙ.
III.
ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА
Актуализация знаний (стр. 332, повторение утверждений 1-6 из учебника)
Объяснение учителем нового материала у доски с разбором примеров
Рассмотрим теоретические и практические основы темы «Равносильность систем».
Пусть
дано
два
уравнения
с
двумя
неизвестными
)
;
(
)
;
(
1
1
y
x
g
y
x
f
и
)
;
(
)
;
(
2
2
y
x
g
y
x
f
,
и
ставится задача найти все пары чисел
)
;
(
0
0
y
x
, таких, что при подстановке их в эти уравнения
получаются верные числовые равенства, то говорят, что задана система уравнений и записывают
её в виде
).
;
(
)
;
(
),
;
(
)
;
(
2
2
1
1
y
x
g
y
x
f
y
x
g
y
x
f
Решить систему уравнений – значит найти множество всех пар чисел
)
;
(
0
0
y
x
, таких, что при
подстановке числа
0
x
вместо х и числа
0
y
вместо y получаются верные числовые равенства. Это
множество будем называть решением системы уравнений.
Две системы уравнений называются равносильными, если их решения совпадают.
При
решении
систем
уравнений
их
заменяют
более
простыми,
равносильными
им
системами. Так же как и при решении уравнений, при решении систем уравнений важно знать
при каких преобразованиях система переходит в равносильную ей систему. Очевидно, что при
замене
одного
уравнения
системы
равносильным
ему
уравнением,
система
переходит
в
равносильную ей систему уравнений (в частности, можно переносить члены уравнения из одной
части уравнения в другую с изменением знака, и умножать обе части уравнения на одно и тоже
отличное от нуля число).
Рассмотрим основные методы решения систем уравнений, приводящие исходные СУ
в более простые равносильные СУ
1. Метод подстановки. Этот метод основан на том, что данную систему
П.14. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 11 КЛАСС
.
0
)
;
(
,
0
)
;
(
y
x
g
y
x
f
…………………………(1) сводят к равносильной системе
вида:
0
))
(
;
(
),
(
x
x
g
x
y
…………………………(2)
или к совокупности аналогичных систем. Чтобы свести данную систему к виду (2), надо решить
какое-либо уравнение системы (1) относительно одного из переменных, т.е. выразить его через
другую переменную.
Пример 1. Решите систему уравнений
.
3
,
148
7
4
2
2
2
2
y
x
y
x
Решение. Из второго уравнения находим:
11
3
2
2
x
y
. Подставляя это значение в первое
уравнение,
получаем:
148
77
21
4
2
2
x
x
,
или
после
упрощения
9
2
x
.
Корнями
этого
уравнения являются числа
3
1
x
,
3
2
x
. Таким образом, получаем совокупность двух систем
уравнений:
;
11
3
,
3
2
2
x
y
x
.
11
3
,
3
2
2
x
y
x
Первая система имеет решения
)}
4
;
3
(
);
4
;
3
(
, а вторая
)}
4
;
3
(
);
4
;
3
{(
. Значит, данная система
имеет решения:
)}
4
;
3
(
);
4
;
3
(
);
4
;
3
(
);
4
;
3
{(
.
2. Метод алгебраического сложения уравнений.
Это второй очень эффективный метод решения систем уравнений. Сущность его в том, что к
обеим
частям
одного
из
уравнений
системы
прибавляют
соответствующие
части
другого
уравнения, умноженные на одно и то же число, а другое уравнение оставляют без изменения. В
результате, как правило, получается система, к которой применим метод подстановки.
Пример 2. Решите систему уравнений:
.
73
2
2
,
74
2
2
2
2
2
y
xy
x
x
xy
x
Решение. Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Поэтому будем
рассуждать иначе: прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, тогда получаем
систему:
147
3
3
3
,
74
2
2
2
2
2
y
xy
x
y
xy
x
т.е.
49
,
74
)
(
2
2
2
2
2
y
xy
x
y
y
xy
x
Равносильную заданной. А теперь воспользуемся методом подстановки:
,
74
49
,
49
2
2
2
y
y
xy
x
т.е.
.
5
,
49
2
2
y
y
xy
x
Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:
,
5
,
49
25
5
2
y
x
x
,
5
,
49
25
5
2
y
x
x
Первая система име6т решение
)}
5
;
3
(
);
5
;
8
{(
, а вторая
)}
5
;
3
(
);
5
;
8
{(
. Значит, решение данной
системы имеет вид:
);
5
;
3
(
);
5
;
8
{(
)}
5
;
3
(
);
5
;
8
(
.
3. Метод замены переменных. Сущность его в том, некоторые выражения от исходных
переменных принимаются за новые переменные, в результате чего получается более простая
система уравнений, относительно новых переменных. После того как эта система буде решена,
необходимо найти значения исходных переменных.
Пример 3. Решите систему уравнений:
.
5
,
3
2
2
xy
x
y
x
xy
x
y
x
П.14. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 11 КЛАСС
Решение.
Обозначим
y
x
через и,
xy
x
2
через v, тогда получим более простую систему
,
5
,
3
2
2
v
u
v
u
равносильную
исходной.
Решив
полученную
систему,
будем
иметь:
1
;
2
;
2
;
1
2
1
2
1
v
v
u
u
. Перейдем к переменным х и y, и решим совокупность двух систем
уравнений:
1)
.
2
,
1
,
2
,
1
2
xy
x
y
x
v
u
или
,
2
)
(
,
1
,
2
,
1
y
x
x
y
x
v
u
т.е.
.
3
,
4
y
x
2)
,
1
,
2
,
1
,
2
2
xy
x
y
x
v
u
75
,
3
25
,
0
y
x
. Ответ:
)}
75
,
3
;
25
,
0
(
);
3
;
4
{(
.
4. Метод разложения на множители основан на следующей теореме:
Если
функции
)
;
(
),...,
;
(
),
;
(
2
1
y
x
f
y
x
f
y
x
f
n
определены
на
некотором
множестве А, то на
этом множестве система уравнений
0
)
;
(
,
0
)
;
(
)...
;
(
)
;
(
2
1
y
x
g
y
x
f
y
x
f
y
x
f
n
, равносильна совокупности
систем уравнений:
;
0
)
;
(
,
0
)
;
(
1
y
x
g
y
x
f
;
0
)
;
(
,
0
)
;
(
2
y
x
g
y
x
f
….
.
0
)
;
(
,
0
)
;
(
y
x
g
y
x
f
n
Пример 4. Решите систему уравнений:
.
0
12
6
,
17
2
2
2
2
2
y
xy
x
y
x
Решение. Второе уравнение системы представим в виде:
0
)
4
3
)(
3
2
(
y
x
y
x
. Тогда данная
система будет равносильна совокупности двух систем, решаемых методом подстановки.
1)
;
17
2
,
0
3
2
2
2
y
x
y
x
или
17
2
25
,
2
5
,
1
2
2
y
y
y
x
,
значит
2
,
3
y
x
и решением первой системы будет
)}
2
;
3
)(
2
;
3
{(
.
2)
;
17
2
,
0
4
3
2
2
y
x
y
x
или
,
17
9
34
,
3
4
2
y
y
x
, значит
2
2
,
2
2
3
x
y
и решением второй системы будет
)}.
2
2
3
;
2
2
(
);
2
2
3
;
2
2
{(
Ответ:
2
2
3
;
2
2
;
2
2
3
;
2
2
;
2
;
3
;
2
;
3
.
IV.
ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА: решение систем уравнений по
учебнику (работа у доски и на местах) №14.7(а, в), №14.8 (а), №14.9 (а) Проверка с
помощью слайда «решение уравнений»
V.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: №№14.7 (б,г), №14.8(б), №14.9 (б)
VI.
РЕФЛЕКСИЯ УРОКА: (СЛАЙД)
Что было сегодня необычного?
Что понравилось?
Что взяли с урока?
П.14. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 11 КЛАСС
Кому и в чем помог разобраться сегодняшний урок?
IX.
ИТОГИ УРОКА, ВЫСТАВЛЕНИЕ ОЦЕНОК.