Введение

В данный момент перед любым выпускником остро стоит выбор хорошего ВУЗа

для того чтобы получить хорошую, престижную профессию, чтобы в дальнейшем

обеспечить свою жизнь. Для этого уже в школьном возрасте нужно осваивать не только

учебный материал для того, чтобы имея прочные знания получить высокие баллы на

ЕГЭ. Для меня как и для всех выпускников очень важно набрать большое количество

баллов на ЕГЭ по математике, так как это увеличит на шансы поступить в желаемый

ВУЗ. Для этого необходимо достаточно большое количество учебного времени для

углубленного подготовки к заданиям высокого уровня сложности, одним из которых

является задание 18 профильного уровня ЕГЭ по математики-уравнения и неравенства с

параметром,

приемы

и

способы

решения

которых

в

школьной

программе

рассматриваются крайне скудно.

Более половины выпускников КГБОУ «КШИ «Алтайский кадетский корпус»

выбирают

факультеты

ВУЗов

нашей

страны

где

математика

является

профильным

предметом, поэтому без баллов, полученных за решение С5, не обойтись. Но изучая

результаты

исследования

Федерального

Института

Педагогических

Измерений

(ФИПИ), я обратил внимание, что в основной волне ЕГЭ по математике (июнь 2016 г.)

приняли

участие 83074 человек в Алтайском крае, а приступили к выполнению

задания 18

всего лишь 3,5 % выпускников, из которых только 1,5% (!) получили

максимальный балл. Оказалось, что по итогам ГИА и в нашей школе уже несколько лет

подряд

выпускники

не

приступают

совсем

к

решению

18

задания.

Меня

очень

заинтересовал вопрос: почему сложилась такая ситуация? Ведь задания с параметром

встречаются не только в математике, но и в физике например. Таким образом решая

задачи по физике, химии и некоторым другим школьным предметам, мы имеем дело с

параметрами. Несмотря на это ученики задания с параметром даже не пробуют решать.

В следствии чего поставил

перед собой задачу изучить данную тему, попробовать

научиться

решать задания №18, самостоятельно разработать серию анимационных

иллюстраций, которые помогут другим выпускникам решать задачи с параметрами и

получить наибольшее колическтво балов на ЕГЭ. В связи с этим мною в данной работе

рассмотрены

способы

решения

и

ряд

примеров,

большая

часть

которых

взята

из

вариантов ЕГЭ по математике прошлых лет (задача 18 или С5). (Слайд 1)

I. Что такое параметр?

В учебнике, который используется в нашей школе под редакцией Мордковича

четкого определения параметра не дается. Будем использовать термин опубликованный

в

интернете

«Параметр (гр. Parametron-отмеривающий)

–

математическая

величина,

входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах

рассматриваемой задачи. Переменные а, b, c, …, k, которые при решении заданий

считаются

постоянными,

называются параметрами,

а

сами

задания

называются

заданиями, содержащими параметры». Таки образом, если в уравнении (неравенстве),

некоторые

коэффициенты

заданы

не

конкретными

числовыми

значениями,

а

обозначены

буквами,

то

они

называются

параметрами,

а

уравнение

(неравенство)

параметрическим.

Приведем некоторые примеры уравнений и неравенств с параметром

(Слайд2)

II. Что означает «решить задачу с параметром»? Этапы решения заданий с

параметром.

Решать задания (неравенства или уравнения) с параметром следует начинать

упрощения предложенного выражения. Например разложить рациональное выражение

на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, обращаться к

его текстовой части с целью выполнения сформулированного избавиться от модулей,

логарифмов, и т.д. Решая такие задания нужно множество раз там условия.

Что

же

значит

решить

уравнения

(неравенства)

с

параметром

–

это

значит

указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

III. Каковы основные типы задач с параметрами?

1.

Уравнения (неравенства), которые надо решить либо для любого значения

параметра,

либо

для

значений

параметра,

принадлежащих

заранее

оговоренному

множеству.

(Слайд3)

Способ

I

(аналитический).

Способ

при

котором

применяются

стандартные

операции

решения

уравнений

(неравенств)

без

параметра.

По-моему

мнению

этот

способ наиболее трудный, так как для решения этим способом необходим большой

«багаж» теоретического математической информации и уметь грамотно это применять.

Пример задания которое я решил аналитическим способом. ЕГЭ 2014 основная

волна.

Найдите

все

значения

a,

п р и

к а ж д ом

и з

ко т о р ы х

у р а в н е н и е

|

x

2

−

2 ax

+

7

|

=¿

6 a

−

x

2

−

2 x

−

1

∨¿

имеет два корня.

Решение. Для того чтобы «избавится» от модуля возведем обе части уравнения в

квадрат

(Слайд4)

Способ II (графический). На мой взгляд наиболее наглядный и простой способ

решения.

Суть его заключается в том, что в зависимости от задачи (с переменной x и

параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в

координатной плоскости (x; a). Для этого просто необходимо знать типы элементарных

функций (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные

тригонометрические), их

свойства и графики. Использование графического способа

даже схематически помогает найти решение задачи.

Применяя графический способ я обратил внимание на следующие: если в правой

и левой части уравнения (неравенства) находятся функции разных типов, то проще эта

задача

будет

решатся

графическим

способом.

Для

решения

заданий

с

параметром

удобно

применять

программу GeoGebra - эта программа с универсальным набором

функций для полноценного геометрического проектирования.

Приведу пример

задания аналога пробного ЕГЭ по математике профильного

уровня, которое очень легко решается этим способом:

(Слайд5)

Изобразим эту плоскость при помощи программы GeoGebra

Плоскость между прямыми я заштриховал цветом. Теперь видно, что уравнение

(2) задающие окружность попадая в эту плоскость имеет бесконечно много решений. А

так

как

по

условию

задачи

решение

системы

должно

быть

единственным,

то

рассмотрим два возможных случая.

Повторимся

уравнение

(2)

задает

окружность

с

центром

в

точке

(а;

2а)

и

радиусом

√

2

+

а

, тогда

2

+

а ≥ 0→ а ≥

−

2

.

(Слайд6)

Мною были рассмотрены лишь некоторые приемы и способы решения заданий с

параметром,

часто

встречающиеся на

ЕГЭ

по

математике,

считаю,

что

наиболее

эффективным является графический метод решения задач с параметрами.

Данное исследование подтверждает гипотезу: общие методы решения заданий с

параметром

есть,

их

можно

классифицировать.

С

уверенностью

могу

сказать,

что

научился

решать

уравнения

(неравенства)

с

параметрами,

и

не

собираюсь

останавливаться на этом. Впереди у меня ещё целых три месяца для того, чтобы

отработать опыт решения таких заданий.

Моя

работа

может

служить

методическим

материалом

для

факультативного

курса

в

10-11

классах.

Для

будущих

выпускников

я

создал

ряд

анимированных

иллюстраций для помощи в решении задания №18. Считаю, что мое исследование

поможет мне увеличить количество возможных баллов на ЕГЭ по математике.