ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП.

5-Й КЛАСС

(время проведения 2 урока)

1.Расшифруйте ребус: КИС+КСИ=ИСК. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые

цифры, разным — разные.

2.На одной чашке весов лежат 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чашке

– 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко

или груша? Ответ поясните.

3.Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она

тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин.

Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти

пешком?

4.Разрежьте данную фигуру на три одинаковые части.

5.Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом

оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил

стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое – нет. Кто из

мальчиков разбил стекло?

Ответы.

1.Расшифруйте ребус: КИС+КСИ=ИСК. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые

цифры, разным — разные.

Решение. Для удобства изложения запишем этот ребус иначе.

Из первого столбика видно, что К<И. Отсюда и из последнего столбика следует, что

С+И=К+10 (а не С+И=К). Тогда из второго столбика выводим 1+И+С=С, или 1 +И+С= 10

+С. Первый вариант невозможен, а из второго сразу определяем, что И= 9. Отсюда К=4,

С=5. Весь ребус расшифровывается так: 495 + 459 = 954.

Ответ: 495 + 459 = 954.

2.На одной чашке весов лежат 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чашке

– 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко

или груша? Ответ поясните.

Решение: С каждой чаши весов надо снять поровну: по 3 яблока и 3 груши. На одной

чашке весов останется 3 яблока, а на другой – 2 груши, поэтому легче яблоко.

Ответ: яблоко

3.Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она

тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин.

Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти

пешком

Решение

На путь пешком в оба конца плюс путь на автобусе в оба конца уйдет столько же времени

сколько на два пути пешком и на автобусе.

2·1,5 – 0,5 = 2,5 часа.

Ответ 2,5 ч.

4.Разрежьте данную фигуру на три одинаковые части.

Решение:

5.Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом

оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил

стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое – нет. Кто из

мальчиков разбил стекло?

Решение. Предположим, что Олег сказал правду, тогда и Коля сказал правду, а это

противоречит условию задачи. Следовательно, Олег сказал неправду, а Коля правду. Из их

утверждений следует, что стекло разбил Олег.

ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП.

6-Й КЛАСС

(время проведения 2 урока)

1.В записи *1*2*4*8*16*32*64 = 27 вместо знаков ''*'' поставьте знаки ''+'' или ''-'' так,

чтобы равенство стало верным.

2. В классе 37 человек. Докажите, что среди них найдутся 4 человека, родившиеся в один

и тот же месяц.

3.Коля, Серёжа и Ваня регулярно ходили в кинотеатр. Коля бывал в нём каждый 3-й день,

Серёжа — каждый 7-й, Ваня — каждый 5-й. Сегодня все ребята были в кино. Когда все

трое встретятся в кинотеатре в следующий раз?

4.В лесу проводился кросс. Обсуждая его итоги, одна белка сказала: «Первое место занял

заяц, а второй была лиса». Другая белка возразила: «Заяц занял второе место, а лось был

первым». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а

другая – нет. Кто был первым и кто вторым в кроссе?

5.Надя испекла пирожки с малиной, черникой и клубникой. Пирожков с малиной

получилась половина от общего количества пирожков; пирожков с черникой – на 14

меньше, чем пирожков с малиной. А пирожков с клубникой получилось в два раза меньше,

чем пирожков с малиной и черникой вместе. Сколько пирожков каждого вида испекла

Надя?

Ответы.

1.В записи *1*2*4*8*16*32*64 = 27 вместо знаков ''*'' поставьте знаки ''+'' или ''-'' так,

чтобы равенство стало верным.

Решение.

Будем заменять звёздочки справа налево. Так как 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 < 64, то

перед 64 должен стоять ''+'' (иначе результат будет отрицательным). Получаем

1*2*4*8*16*32 + 64 = 27. Перед 32 должен стоять ''-'', иначе слева будет слишком большое

число, даже если остальные звёздочки заменить на ''-''. Продолжая аналогично, получим

+1 - 2 + 4 + 8 - 16 - 32 + 64 = 27.

Ответ: Знаки можно расставить следующим образом: +1 - 2 + 4 + 8 - 16 - 32 + 64 = 27.

2. В классе 37 человек. Докажите, что среди них найдутся 4 человека, родившиеся в один

и тот же месяц.

Доказательство. В худшем случае в каждом из 12 месяцев родилось по 3 человека – всего

36 человек.37-й родился с какой-то из этих троек в один месяц.

3.Коля, Серёжа и Ваня регулярно ходили в кинотеатр. Коля бывал в нём каждый 3-й день,

Серёжа — каждый 7-й, Ваня — каждый 5-й. Сегодня все ребята были в кино. Когда все

трое встретятся в кинотеатре в следующий раз?

Решение.

Начнём отсчитывать дни от первого посещения кинотеатра всеми мальчиками. Номер дня,

когда в кинотеатр приходит Коля, делится на 3, когда приходит Серёжа — делится на 7 и

т.д. Значит, чтобы все трое пришли в кинотеатр, номер дня должен одновременно делиться

на 3, на 5 и на 7. Таким образом, номер этого дня должен делиться на 105, т.е. 105, 210, 315

и т.д. Поскольку нас интересует самый первый день, то это день под номером 105 (это

значит, что до встречи ребятам придётся ходить в кинотеатр больше 3х месяцев).

Ответ: На 105й день

.

4.В лесу проводился кросс. Обсуждая его итоги, одна белка сказала: «Первое место занял

заяц, а второй была лиса». Другая белка возразила: «Заяц занял второе место, а лось был

первым». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а

другая – нет. Кто был первым и кто вторым в кроссе?

Решение. Если предположить, что высказывание «Первое место занял заяц» верно, то оба

высказывания 2 –й белки будут неверными, а это противоречит условию задачи. Значит,

высказывание «Первое место занял заяц» не может быть верным, тогда Лиса заняла

второе место, а Лось – первое.

5.Надя испекла пирожки с малиной, черникой и клубникой. Пирожков с малиной

получилась половина от общего количества пирожков; пирожков с черникой – на 14

меньше, чем пирожков с малиной. А пирожков с клубникой получилось в два раза меньше,

чем пирожков с малиной и черникой вместе. Сколько пирожков каждого вида испекла

Надя?

Решение.

Так как пирожков с малиной половина от общего количества, то пирожков с черникой и

клубникой вместе столько же, сколько пирожков с малиной (см. рис.). При этом, пирожков

с черникой на 14 меньше, чем пирожков с малиной, следовательно, эти 14 пирожков – с

клубникой. Тогда пирожков с малиной и черникой: 14·2 = 28, значит, всего испечено 28 +

14 = 42 пирожка. Таким образом, пирожков с малиной

42 : 2 = 21, с черникой – 7, а с клубникой – 14.

Ответ : 21 пирожок с малиной, 7 пирожков с черникой и 14 пирожков с клубникой.