Логико- дидактический анализ понятия равнобедренного треугольника

Учебник «Геометрия, 7-9 классы», автор Л.С. Атанасян и др.

§2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

п.18. Свойства равнобедренного треугольника.

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

а) вид определения: через род и видовые отличия

б) родовое понятие: треугольник

видовые отличия: две стороны равны

в)содержание понятия: две стороны равны; углы при основании равны; углы при

основании острые; биссектриса, проведённая к основанию ,является медианой и

высотой

объем понятия: множество равнобедренных треугольников

Доказательство существования: построение.

Отрицание определения.

Если в треугольнике нет пары равных сторон, то треугольник не является

равнобедренным.

Связь между новым понятием и изученными ранее.

Равнобедренные треугольники тесно связаны с такими понятиями, как треугольник,

сторона треугольника, равные отрезки, равные углы, высота, медиана, биссектриса и т.п.

. Доказательство существования: построение.

Дидактический анализ.

Для учеников определение не является новым по структуре и формулировке.

Подведение под понятие.

1. Сформулируйте определения следующих понятий:

а) треугольник;

б) вершины треугольника;

г) стороны треугольника;

д) периметр треугольника.

2. Можно ли назвать треугольниками фигуры, изображённые на рисунках? Почему?

3. Начертите произвольный треугольник и назовите его



MKP. Назовите его вершины и

стороны.

Учитель вовлекает учеников в исследовательскую деятельность и ученики считают себя

настоящими исследователями.

Вопросы:

1. В геометрии принято классифицировать или, разделять на группы фигуры по каким-

либо признакам. Каждая группа изучается отдельно и выявляются свойства, которыми

обладают фигуры этой группы. Например, треугольники можно на несколько групп в

зависимости от количества равных между собой сторон треугольника. Сколько всего

сторон имеет треугольник?

2. Тогда как вы думаете, на сколько групп можно разделить треугольники в зависимости

от количества равных между собой сторон? (На три: в треугольнике могут быть все

стороны разной длины, т.е. нет равных сторон; две стороны равной длины; все стороны

равны между собой.)

3. Сегодня мы выделим группу «равнобедренных треугольников» и будем использовать

их при решении задач. Но для того, чтобы использовать какое-либо понятие в практике,

нам необходимо дать строгое математическое определение этого понятия.

4. Сформулируйте цель нашего урока.

(Выявить содержание понятия «равнобедренный треугольник» и дать строгое

математическое определение этому понятию).

Определение вводится с помощью наглядно-конструктивного метода.

Упражнения на осознание логической структуры определения.

∆АВС равнобедренный: АВ = ВС.

(треугольник равнобедренный)

(две стороны треугольника равны)

Упражнения на формирование умения подводить объект под понятие.

1. Какое из следующих предложений является определением равнобедренного

треугольника?

а) треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным;

б) треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

2. Найдите все треугольники, изображённые на рисунке. Есть ли среди них те, которые

можно назвать равнобедренными? Если да, то какие.

3. Известно, что



АВС =



MKP. Можно ли назвать



АВС равнобедренным,

если



MKP равнобедренный?

13. Частные эвристики, позволяющие подводить объект под понятие:

чтобы доказать, что треугольник равнобедренный достаточно найти в нём две равные

стороны.

Классификационная схема понятия

Треугольники

Схема определения понятия равнобедренного треугольника:

1)

Треугольник И

2)

две стороны равны

А

В

С

D

Логико- дидактический анализ теоремы об углах при основании

равнобедренного треугольника

Учебник «Геометрия, 7-9 классы», автор Л.С. Атанасян и др.

§2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

п.18. Свойства равнобедренного треугольника.

Свойство1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Анализ формулировки.

а) Вид формулировки теоремы: категоричный;

условие: треугольник равнобедренный

заключение: углы при основании равны

простая теорема (одно условие и одно заключение).

Логический смысл теоремы: свойство.

б) Метод доказательства – аналитико-синтетический;

при доказательстве используется приём дополнительного построения (этот приём

является новым для учеников);

в основе доказательства лежит первый признак равенства треугольников, определение

биссектрисы угла и то, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон

лежат равные углы.

Пошаговая запись доказательства теоремы

Т е о р е м а : в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Д а н о :



АВС, АВ = ВС.

Д о к а з а т ь :

ВАС =

ВСА.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1. Строим ВD – биссектрису

АВС.

2. Рассмотрим



ABD и



CBD:

1) АВ = ВС по условию,

А

С

В

D

350

?

2) BD – общая сторона,

3)

ABD =

CBD, так как ВD – биссектриса

АВС.

Значит,



ABD =



CBD по двум сторонам и углу между ними. б)

Так как



ABD =



CBD и BD – общая, значит,

ВАD =

ВСD (в равных

треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы).

Теорема доказана.

Опорный материал:

первый признак равенства треугольников, определение биссектрисы угла и то, что в

равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.

Этот материал необходимо повторить на конкретных задачах на этапе актуализации.

1.

АВС, ВD – биссектриса

АВС,

АВ

= ВС,

BCD = 35

0

ВАD = ?.

Другие методы доказательства теоремы

Теорема. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Доказательство.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC (рис. 67, а) и докажем,

что

∠

B =

∠

C.

Мысленно скопируем треугольник ABC на лист прозрачной бумаги, перевернем копию

(рис. 67,б) и наложим ее на треугольник ABC так, чтобы вершина A копии совместилась с

вершиной Aтреугольника, а отрезок AC копии – с равной ему стороной AB треугольника

(рис. 67, в).

Так как угол A копии равен углу A треугольника, то отрезок AB копии наложится на

луч AC, а поскольку AB = AC, то отрезок AB копии совместится со

стороной AC треугольника. В результате копии полностью совместятся с

треугольником ABC (рис. 67, г). При этом угол Bкопии совместится с

углом C треугольника ABC, а значит, эти углы равны. Теорема доказана.

Схема поиска доказательства теоремы.

На этапе мотивации можно предложить ученикам построить равнобедренный треугольник

и измерить его углы (можно использовать треугольники, которые они рисовали на

прошлом занятии при изучении понятия «равнобедренный треугольник»). Учитывая

погрешности измерения, ученики получат примерно равные величины углов при

основании.

Создание проблемной ситуации.

После получения пары равных углов при основании, возникает предположение, что в

любом равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Постановка УЗ: выяснить, верно ли предположение.

При установлении наличия необходимой базы знаний, можно предложить ученикам

следующие вопросы:

1. Какие математические факты позволяют устанавливать равенство углов? (первый

признак равенства треугольников, определение биссектрисы угла, определение

вертикальных углов и т.д.)

2. Но для использования первого признака равенства треугольников нужно иметь два

треугольника, а у нас только один. Как из одного треугольника получит два? (нужно

дополнить рисунок)

На этапе осознании, осмыслении можно предложить следующие вопросы:

1. Сформулируйте доказанную теорему.

2. Выделите идею доказательства.

3. Составьте план доказательства.

4. На какой теоретический материал мы опирались при доказательстве?

5. Сформулируете утверждение, обратное теореме. Можем ли мы установить его

истинность?

6. Можем ли мы использовать обратное утверждение при установлении того, является ли

треугольник равнобедренным?

Обратное утверждение истинно, но доказываться оно будет позднее, после изучения

признаков равенства прямоугольных треугольников.

Важность и значение теоремы, границы её использования

Тема «Равнобедренные треугольники» является очень важной для учеников:

1. сравнительно простой материал для изучения при небольшом «геометрическом» опыте

школьников;

2. на равнобедренных треугольниках школьники учатся исследованию свойств

многоугольников, обладающих определёнными качествами, поскольку равнобедренный

треугольник – это первый частный случай треугольников (и многоугольников), с которым

сталкиваются ученики;

3. доказательства свойств равнобедренного треугольника не являются очень сложными для

восприятия, поэтому на них можно обучать различным методам доказательства;

4. при доказательстве свойств равнобедренного треугольника используется первый

признак равенства треугольников, пройденный несколько уроков назад. Тема «Признаки

равенства треугольников» является сложной для учеников, поэтому её применение не в

стандартных задачах, а при исследовании геометрических фигур способствует лучшему её

усвоению;

5. после изучения свойств равнобедренного треугольника ученики, пользуясь тем, что

любой равносторонний треугольник является также равнобедренным, устанавливают

некоторые свойства равносторонних треугольников.

В учебнике «Геометрия 7 – 9» Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др. данная теорема

доказывается синтетическим методом. Поиск доказательства на уроке лучше вести

аналитико-синтетическим методом, а запись вести синтетически.