Учитель математики МОБУ ЯГНГ г.Якутска Сергина Марина Ивановна

БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

1

0

.

Б и с с е к т р и с а

д е л и т

сторону

треугольника

на

отрезки,

пропорциональные

двум

другим

его

сторонам,

т . е .

a

b

=

a

1

b

1

,

г д е a,

b

–

стороны треугольника, a

1

, b

1

–

прилегающие

к

ним

отрезки

стороны с.

Рис. 9

Доказательство:

1

способ.П у с т ь CD

–

б и с с е кт р и с а

т р е у г о л ь н и к а ABC.

ТреугольникиBCD

и ACD

с

основаниями a

1

и b

1

имеют общую

высоту (рис. 9).Пусть их площади равны соответственно S

1

и S

2

;

т о г д а S

1

:S

2

=a

1

:b

1

.

С

д р у г о й

с т о р о н ы ,

S

1

=

1

2

a

⋅

CD sin

C

2

,

S

2

=

1

2

b

⋅

CD sin

C

2

,

о т к у д а S

1

:S

2

=a:b.

Сравнивая

полученные

пропорции, заключаем, что a

1

:b

1

=a:b.

2 способ.Пусть

∠

BDС=β, тогда

∠

ADC=π – β. Согласно теореме

синусов,

имеем:

a

1

: a

=

sin

C

2

:sin β

(из

треугольника BCD)

и

b

1

: b

=

sin

C

2

:sin

(

π

−

β

)=

sin

C

2

:sin β

(из

треугольника ACD).

Сравнивая

эти

пропорции,

заключаем,

что a

1

:a=b

1

:b,

откуда

a

1

:b

1

=a:b.

3

способ.

П р о д о л ж и м

б и с с е к т р и с у CD

д о

пересечения

в

точке E

с

прямой

AE║CB(рис.10).Имеем

∠

α=

∠

β (по условию) и

∠

α=

∠

γ

( у г л ы

п р и

параллельных CB

и AE и

с е к у щ е й CE).Сопоставим

эти

равенства,

получим

∠

β=

∠

γ.

Рис.10

Следовательно,

треугольник ACE – равнобедренный и AE=AC=b;

ΔAED~ ΔBCD (вследствие равенства углов), откуда a

1

:b

1

=a:b.

2

0

. Длина

биссектрисы

треугольника

выражается

формулой

l

c

=

√

ab

−

a

1

b

1

,

где a

и b – длины двух сторон треугольника

ABC;a

1

и b

1

– отрезки третьей стороны.

Доказательство:Опишем

о ко л о

треугольника ABC

окружность,

продолжим

биссектрису CD=l

c

до

пересечения окружности в точке Eи

соединим B

с E(рис.

11).Так

как

ΔADC~ΔEBC,

то

l

c

b

=

a

l

c

+

DE

, или

ab

=

l

c

(

l

c

+

DE

)

.Учитывая,

что

l

c

DE

=

a

1

b

1

,

з а п и ш е м

последнееравенство в виде

ab

=

l

c

2

+

a

1

b

1

,откуда

l

c

=

√

ab

−

a

1

b

1

.

Рис. 11

Вопросы для самопроверки

№ 1 . Докажите,

что

биссектрисы

треугольника

пересекаются

в

одной точке.

№2. Верно ли, что расстояние от вершины угла до точек касания

равны?

№ 3 . Докажите,

что

радиусы,

проведенные

в

точки

касания,

перпендикулярны к сторонам треугольника.

Примеры решения задач

1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит

противоположный катет на отрезки 8 и 10. Определить площадь

треугольника.

Решение: Пусть АС=х, AB=y, то по свойству биссектрисы

x

CE

=

y

EB

ипо

теореме

Пифагора

x

2

+

CB

2

=

y

2

(рис.

12).

Тогда

решая

систему:

x

8

=

y

10

x

2

+

18

2

=

y

2

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

, получаем х=24, у=30.

Отсюда,

S

Δ

=

AC

⋅

BC

2

=

24

⋅

18

2

=

216

.

Ответ: 216.

Рис. 12

Рис.13

2. В равнобедренном треугольнике основание ибоковая сторона

равны соответственно 2,5 и 10. Найти биссектрису угла при

основании треугольника.

Решение:AB=BC=10, AC=2,5. ПустьBF=x,

FC=10-x(рис. 13), тогда

BF

FC

=

AB

AC

,

т . е .

x

10

−

x

=

10

2,5

и

BF= 8 , FC=2.По

формуле

биссектрисы

AF

=

√

AB

⋅

AC

−

BF

⋅

FC

=

√

25

−

16

=

3

.

Ответ: 3.

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса BE, которую центр O

вписанной

окружно сти

делит

в

от н оше н и и BO:OE=2:1,

AC=7,BC=8. Найдите сторону AB.

Решение:Т а к

к а к O

–

ц е н т р

вписанной

окружности,

то AMи

CD

–

биссектрисы

треугольника

ABC(рис. 1 4 ) .

Т о г д а CO

–

биссектриса

треугольника BCE,

значит,

BC

CE

=

BO

OE

=

2

1

,

о т к у д а

8

CE

=

2

1

,

CE=4.

Следовательно,АЕ=3.

А н а л о г и ч н о AO

–

бисс ект рис ат реугольника BAE,

BO

OE

=

AB

AE

=

2

1

,

AB

3

=

2

1

и АВ=6.

Рис. 14

Ответ: 6.

Задачи для самостоятельного решения

II.1.В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, высота

проведенная из вершины прямого угла, равна 3. Найти отрезки, на

которые биссектриса прямого угла делит гипотенузу.

II. 2 . Найдите

стороны

треугольника,

если

медиана

и

высота,

проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на

три равные части, а длина медианы равна 10.

II. 3 . В

треугольнике ABCAB=2,

AC=3,

BC=4.

Найдите

длину

биссектрисы

угла B и отношение, в котором точка пересечения

биссектрис делит биссектрису угла B этого треугольника.

II.4. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки 9и 6, а его

периметр равен 45. Найти стороны треугольника.

II.5. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит

противоположный

катет

на

отрезки

длиной

4

и

5.

Определить

площадь треугольника.

II. 6 . Основание равнобедренного треугольника равно8, а боковая

сторона 12. Найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения

биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.

№

Ответ

№

Ответ

II.1.

AE=2,5; EB=7,5.

II.4.

18; 12.

II.2.

10; 20;

10

√

10

.

II.5.

54.

II.3.

√

6

; 1:2

II.6.

4,8.

Литература

1.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.

Геометрия:

Учебник

для

7-9

классов

общеобразовательных

учреждений. – М.: Просвещение, 1998.

2.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Шестаков С.А., Юдина

И.И. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класс. - М.: Вита-

Пресс, 2004.

3.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Юдина И.И. Геометрия.

Дополнительные главы к учебнику 9 класс. - М.: Вита-Пресс, 2004.

4.

Варшавский

И.К.,

Гаиашвили

М.Я.,

Глазков

Ю.А.

Планиметрия

на

едином государственном экзамене. // Математика в школе. – 2006. - №9.

5.

Готман Э.Н. Медиана и средние линии // Квант. – 1975 - №12.

6.

Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы. - С.-Петербург: НПО

«Мир и семья-95», 1998.

7.

Ковалева Г.И. Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением

метода ключевой задачи. // Математика в школе. – 2008 - №10.

8.

Манова А.Н. Геометрия 9-й класс: методическое пособие. - Ростов-на-

Дону: Феникс, 2009.

9.

Павлов А.Н. Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс. –

М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2005.

10.Под ред. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих

в

вузы

(с

решениями).

Геометрия.

–

М.:

Оникс

21

век.

Мир

и

образование, 2003.

11.Созоненко Р.С. Теоремы и задачи по планиметрии с перекрестными

ссылками. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1998.

12.Филипповский

Г.Б.

Параллелограмм

Вариньона

решает

задачи.

//

Математика в школе. – 2006. №4.

13.Шлыков В.В. Математика поступающему в ВУЗ. Конкурсные задачи по

планиметрии. - Минск, 1992.