Предмет – математика ( алгебра)

Класс – 9

Учитель – Буторина Татьяна Владимировна

Тема урока

: «Функции и их свойства».

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока:



Образовательная – рассмотреть свойства числовых функций: монотонность, ограниченность, экстремумы, периодичность.;

проиллюстрировать их с помощью пословиц и графически; дать им более точные определения.



Развивающая – развитие логического мышления, анализа, памяти., межпредметных связей математики.

Воспитательная –создать условия для формирования мировоззрения и развития общекультурных компетенций через

нестандартный взгляд на применение математических понятий и функций в окружающей нас жизни.



воспитание уверенности, внимания., активной жизненной позиции, патриотизма.

Знать свойства функции (монотонность, ограниченность, выпуклость, наибольшее и наименьшее значения, периодичность) и их

описание по графику построенной функции

Уметь: находить интервалы монотонности функции, наименьшее и наибольшее значение функции на заданном промежутке,

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, карточки для индивидуальной и домашней работы.

Актуальность:



задания по данной теме встречаются в ГИА по математике в 9 классе и в ЕГЭ - 11 класса;



исследование свойств функции и чтение графиков функций имеет большое практическое значение.

Ход урока

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

I.

Организацио

н-ный

момент.

2 мин.

Взаимное приветствие. Представиться . Познакомиться с учащимися ( ).

2.Сообщение

темы и цели

урока.

Слайд 1, 2

Постановка

проблемы.

Чтобы

узнать

тему

урока, ответьте на вопросы:-

- этот термин ввел Лейбниц и в переводе он

означает « свершение, выполнение»

-Это

является

«математическими

портретами

закономерностей природы»

- это означает зависимость, соответствие одной

величины от другой

-наглядной иллюстрацией этого служит график

- это записывается у = f (x)

.

Мотивация.

Девиз

урока.

Высказывания

великих о функции. Историческая справка.

Записывают дату и тему урока в тетрадь.

Участвуют в обсуждениях. По подсказкам определяют слово

« Функция». Формулируют тему и цели урока.

3. Слайд 3-5 Историческая справка

Как

образно

заметил

Г.Галилей,

книга

природы

написана

на

математическом

языке,

и

её

буквы

–

математические

знаки

и

геометрические

фигуры,

без

них

невозможно понять её слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте. А

именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет

описывать процессы движения, изменения, присущие природе.

Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом

труде французского математика и философа Р. Декарта « Геометрия» (1637 г.).

Термин «функция» впервые встречается у немецкого математика Лейбница в 1694 г.

В употребление он был введен в начале XVIII века Иоганном Бернулли.

Без

переменных

величин

Ньютон

не

смог

бы

выразить

законы

динамики,

описывающие процессы механического движения тел – небесных и вполне земных, а

современные

ученые

не

могли

бы

рассчитывать

траектории

движения

космических

кораблей и решать бесконечное множество технических проблем нашей эпохи

С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось.

И мы сегодня попытаемся полученные вами знания упорядочить и применить на практике.

4.

Функции

вокруг

нас

.Актуализа

ция знаний.

Как только с функциями начинается работа, вот тут и

появляются вопросы.

- Зачем мне знать, что такое функция?

Где

функция

встречается

в

жизни

и

где

мне

знания

о

функции пригодятся?

Вопрос, конечно, интересный. В нем на самом деле три

вопроса: Что? Зачем?и Где?

Что такое функция?Зачем мы

изучаем функции? Где они встречаются?

Предлагает учащимся

ответить на эти вопросы,

привести

примеры

функций.«Какие

явления

и

зависимости можно описать с помощью функций?»

-Функция в музыке, литературе, танце.

-Функция в экономике.

Функция в медицине

-Функция в социологии.

- Функция в статистике.

Функция о Челябинской области, о родном поселке

Функция в повседневной жизни

Учащиеся приводят примеры, обсуждают примеры на

слайдах. Делают вывод.

5.Изучение

нового

материала.

Свойства

функций

Какие функции изучают в школе?

Свойства функции.

Схема исследования функции.

Какие свойства вы еще не изучали?

Исследование функции на монотонность.

Исследование функции на экстремум.

Исследование функции на периодичность

Для иллюстрации этих свойств функций, мы используем

Учащиеся

комментируют

пословицы,

Строят

графики.

Анализируют свойства функций.

Сами

формулирую

определение

возрастающей

функции,

убывающей

функции,,

ограниченной

сверху

и

снизу,

периодиче ской

функций

Записывают

в

т е т р а д я х

определения свойств функций:

Возрастание, убывание, монотонность функции.

- Ограниченность функции сверху, снизу.

народную мудрость, выраженную в пословицах.

Функции

—

это математические

портреты

устойчивых

закономерностей,

познаваемых

человеком.

Чтобы

проиллюстрировать

характерные

свойства

функций,

нам

показалось естественным обратиться к пословицам. Ведь

по словицы

—

это

тоже

от ражение

у с т о й ч и в ы х

закономерностей, выверенное многовековым опытом народа

С помощью графиков функции проиллюстрируйте смысл

высказываний

:

«

Какой

мерой

меряешь,

такой

и

тебе

отмерится»

.

«Чем дальше в лес, тем больше дров.»

« Каши маслом не испортишь»

«

Каково

жизнь

проживешь,

такую

славу

наживешь»

Кто пьет до дна, тот живет без ума»

« Вино входит - разум выходит»

«Выше меры конь не скачет»

«Пересев хуже недосева»

« День и ночь- сутки прочь»

Демонстрирует график функции. Предлагает уч-ся

с а м и м

п р и в е с т и

п р и м е р ы

п о с л о в и ц

соответствующих этим графикам

- Максимум, минимум функции.

Периодичность функции.

Не много слов, да много дела.

Реже видишь - больше любишь.

Лишние деньги - лишняя забота.

Аппетит приходит во время еды.

Кто много читает, тот много знает.

Тот , кто хочет много знать,тот не должен долго спать.

Где дружба крепка, там хорошо идут дела

Кто долго жует,тот долго живет.

Где хотенье, там и уменье..

Кто спортом занимается, тот силы набирается.

Выше головы носа не поднимай.

Выше головы не прыгнешь.

Какие труды, такие и плоды.

В прилежном доме густо, а в ленивом- пусть.

Где любовь и совет, там и горя нет

Маленькие детки- маленькие бедки, большие детки-

Пить до дна _не видать добра.

Тише едешь- дальше будешь..

Много снега- много хлеба, много воды- много травы.

Учащиеся приводят примеры пословиц.

Иллюстрирующие изученные свойства

функций из предложенных пословиц и

поговорок

Приводят свои примеры.(приложение №1)

6.Физкультминутка. (Учитель проводит комплекс упражнений для профилактики

заболеваний .)

Упражнения

1.Функция возрастает- , убывает-. ,постоянная функция ( демонстрация с помощью рук графиков

возрастающей, убывающей или постоянной функции)

2. Наклоны( руки вверх- максимум функции, наклоны-руки вниз- минимум функции

3.Повороты головы.( последовательность- вправо, влево , вверх, вниз повторить в такой последовательности

несколько раз) Периодичность функции

7.Закрепление.

Свойства

элементарных

функций

1.

Давайте ещё раз вспомним изученные

нами функции и укажем их свойства по

плану исследования функции:

Общая схема исследования функции

1.

Область определения функции.

2.

Определение точек пересечения графика

функции с осями координат.

3.

О п р е д е л е н и е

п р о м е ж у т к о в

знакопостоянства

4.

Исследование функции на четность.

5.

И с с л е д о в а н и е

ф у н к ц и и

н а

монотонность.

6.

Исследование функции на экстремум.

7.

Исследование функции на периодичность.

8.

Исследование области значений функции.

9. Построение графика функции

Линейная

функция

D(у) = ( - ∞; + ∞)

E (у) =





b

Квадратичная функция

D(у) = ( - ∞; + ∞) D(у) = ( - ∞;+ ∞)

E (у) = [0;+ ∞) E (у) = ( - ∞; y

0

]

Обратная пропорциональная зависимость

D(у) = ( - ∞; + ∞)

E (у) = ( - ∞; + ∞)

Задание группам: заполнить таблицу свойств

основных элементарных функций.

Проверка заполнения таблицы по образцам.

( т-цы остаются у уч-ся как справочный

материал)(Приложение №2)

D(у) = ( -

∞;

0]

U

[0;+ ∞)

E (у) = ( - ∞; 0]

U

[0;+ ∞)

Функция целой части числа

D(у) = ( - ∞; + ∞)

E (у) = Z

Кубическая функция

D(у) = ( - ∞; + ∞)

E (у) = ( - ∞; + ∞)

Функция корня

.

Закрепление.Уст

ная работа.

Слайды 25-26

Демонстрируется на мультимедийной

установке

Описать свойства функции по плану

исследования функции по графику.

Учитель демонстрирует слайды, организует

Устную работу.

Опишите свойства

функции

Учащиеся описывают свойства функции по графику.

8

. Решение

задач ОГЭ

1. Каждый график соотнесите с соответствующей ему

формулой.

а)

х

у

2



; б) у = 2х; в) у = 2 – х

2

; г) у = 2х + 2

а б в г

3 1 4 2

2. На рисунке изображены графики функций вида у = kх + b.

Установите соответствие между графиками и знаками

коэффициентов k и b.

а) k > 0, b > 0 б) k < 0, b > 0

в) k < 0, b < 0

а

б в

2 3 1

9.Домашнее задание (на карточках- тренировочные задания

тОГЭ) ( Приложение №3)

У каждого на столе лежит карточка с домашним заданием.( 4

варианта)

При выполнении этой работы вы самостоятельно определяете

необходимость выполнения дополнительных заданий.

Дополнительные задания

1.Постройте график функции.





























.

2

,

2

5

,

0

;

2

2

),

1

)(

1

(

;

2

,

3

х

если

x

x

если

х

х

х

если

2.Попробуй решить сам

Часть 2. 21.

Найдите все значения k, при которых прямая у = kх

пересекает в трех точках график функции





























.

3

,

11

3

;

3

3

,

2

;

3

,

7

3

х

если

x

x

если

х

если

х

.

10. Подведение

итогов.

Рефлексия

Слайд 42, 43

Составьте график своего настроения на уроке

. ( Приложение №4) раздается каждому уч-ся

Перед вами график. Придумайте фразу, которая демонстрирует данную зависимость. - Чем больше примеров

привели из различных областей наук, тем интереснее стало искать эти примеры. -Чем глубже мы исследовали

тему, тем больше выявили примеров применения функции

Подводя итог, можно сказать, что функции позволяют воспринимать зависимость различных величин, как

«живой», изменяющийся процесс. Человек, владеющий ими, способен видеть процесс взаимосвязи явлений,

окружающего мира в «динамике.

Урок окончен! Спасибо за работу!

Выставление отметок в дневники учащихся

. Резервные задания.

Решение заданий

из

тренировочных

вариантов

экзамена в новой

форме по

алгебре.

Слайд 31-39

Вопрос 1.

Какая из данных прямых не имеет общих точек с параболой

3

2





х

у

?

1) у = 0 2) у = 8 3) у = –6 4) у = –3.

Вопрос 2.

Для каждого графика укажите соответствующую формулу

1)

6

3







х

у

2)

6

3







х

у

3)

6

3





х

у

4)

6

3





х

у

Вопрос 3.

а

б в

2 3 1

Какая из прямых пересекает график функции

х

у

4



в двух точках?

1)

х

у

3





2)

х

у

2



3)

5





у

4)

4



х

.

Вопрос 4.

На рисунке изображен график функции, заданной на промежутке [–5;4). Укажите множество значений

этой функции.

1) [–5;4) 2) [–3;2)

3) [–3;3] 4)









3

;

2

2

;

3





Вопрос 5. (на доске и в тетрадях)

На рисунке изображен график функции

3

5

2

2







х

х

у

. Вычислите абсциссу точки А.

Ответ: 0,5

Вопрос 6.

На рисунке изображен график функции у = f(х), заданный на промежутке [–1; 4,5]. Из

приведенных ниже утверждений выберите верное.

1) Наименьшее значение функции у = f (х) равно 0.

2) f

(х) < 0 при –0,5 < x

< 3

3) Функция у = f (х) возрастает на промежутке [–1; 1]

4) f (0) = 3

Вопрос 7. (Решение на слайде 39)

На рисунке изображен график функции

х

х

у

4

2





. Используя график, решите неравенство

х

х

4

2



.

1) (-∞; 0) 2) (4; +∞)

3) (-∞; 0)

U

(4; +∞) 4) (0; 4)

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Презентация PowerPoint «Функции и их свойства».

Таблицы « Свойства элементарных функций», План исследования функции, Пословицы и

поговорки,

Карточки для индивидуальной домашней работы

Таблица « График моего настроения на уроке».



На каждого учащегося

Пословицы

.(приложение №1) раздается на каждую парту

Не много слов, да много дела.

Реже видишь - больше любишь.

Лишние деньги - лишняя забота..

Кто много читает, тот много знает.

Тот , кто хочет много знать, тот не должен долго спать.

У семи нянек дитя без глаза.

Где дружба крепка, там хорошо идут дела

Кто долго жует ,тот долго живет.

Где хотенье, там и уменье.

Книги читать, скуки не знать.

Кто спортом занимается, тот силы набирается.

Выше головы носа не поднимай.

Выше головы не прыгнешь.

Какие труды, такие и плоды.

Ученье-путь к уменью

В прилежном доме густо, а в ленивом- пусто.

Где любовь и совет, там и горя нет

Маленькие детки- маленькие бедки, большие детки-бедки.

Пить до дна _не видать добра.

Крепок телом- богат умом и делом.

Много снега- много хлеба, много воды- много травы.

Тише едешь — дальше будешь.

.

Приложение №2

Свойства

Функция

Свойства элементарных функций.

График

Область

определения

Область

значений

Интервалы монотонности

Огранич

енность

возрастани

я

убывания

Линейная

K0

( - ∞; + ∞)

( - ∞; +

∞)

K0

( - ∞; + ∞)

( - ∞; +

∞)

K=0

( - ∞; + ∞)





b

Обратная

пропорцио-

нальность

K0

( - ∞; 0)

U

(0;+ ∞)

( - ∞; 0)

U

(0;+ ∞)

K0

Квадра-

тичная

a 0

( - ∞; + ∞)

[y

0

;+ ∞)

a 0

( - ∞; + ∞)

( - ∞; y

0

]

Кубическая

функция

( - ∞; + ∞)

( - ∞; +

∞)

Функция

корня

[0;+ ∞)

[0;+ ∞)

Приложение №3

Дополнительные задания

1.Постройте график функции.





























.

2

,

2

5

,

0

;

2

2

),

1

)(

1

(

;

2

,

3

х

если

x

x

если

х

х

х

если

2.Попробуй решить сам

Часть 2. 21.

Найдите все значения k, при которых прямая у = kх

пересекает в трех точках график функции





























.

3

,

11

3

;

3

3

,

2

;

3

,

7

3

х

если

x

x

если

х

если

х

Дополнительные задания

1.Постройте график функции.





























.

2

,

2

5

,

0

;

2

2

),

1

)(

1

(

;

2

,

3

х

если

x

x

если

х

х

х

если

2.Попробуй решить сам

Часть 2. 21.

Найдите все значения k, при которых прямая у = kх

пересекает в трех точках график функции





























.

3

,

11

3

;

3

3

,

2

;

3

,

7

3

х

если

x

x

если

х

если

х

Приложение №4