Калашникова Г.А.

Учитель математики

МКОУ «Ильменская СОШ»

Поворинский район

Воронежская область

Логические задачи на уроках математики

Общепризнанно,

что

умение

рассуждать

и

логически

мыслить

чрезвычайно

сильно

развивается

в

процессе

изучения

математики,

быть

может, сильнее, чем в процессе изучения других школьных предметов. В этой

ситуации

на

учителя

математики

ложится

основная

нагрузка

по

формированию

у

школьников

логической

грамотности.

В

свою

очередь

владение

элементарным

комплексом

логических

понятий

и

действий

позволяет школьникам лучше усваивать математику.

Таким

образом,

на

сегодняшний

день

актуальна

проблема

одновременного изучения школьного курса математики и элементов логики.

Школьная математика – основа всей математики. Чтобы изучение шло

успешно, необходимо усвоить азы. Для этого необходимо, прежде всего,

научить решать задачи, особенно логические. Задачи, которые кажутся на

первый взгляд простыми, могут потребовать остроумия, смекалки при ее

решении.

Цель уроков по логике не заучивание правил, а развитие способностей

умения рассуждать и делать правильные выводы.

Однако

в

практике

современной

школы

не

реализуются

объективно

существующие возможности для одновременного изучения курса математики

и элементов логики. В настоящее время не все учебники содержат материал,

который познакомил бы учеников с элементами логики в полной мере

и доля

логических задач и

упражнений в этих учебниках незначительна. В ныне

существующих

учебниках

рассматриваются

вопросы,

связанные

с

высказываниями и их равносильными преобразованиями. В основном, это

одно или двуместные высказывания.

Здесь изучаются уравнения, тождества,

тождественно

равные

выражения,

неравенства,

системы

уравнений

и

неравенств,

а

также

их

свойства.

Этот

материал

дается

с

целью

использования его при решении текстовых задач.

Более полно по сравнению

с

другими

учебниками

по

математике

идеи

одновременного

изучения

математики и элементов логики отвечает учебник для 5-6 классов авторов

Г.В.

Дорофеева,

Л.Г.

Петерсон

(программа

«Школа

2100»).

В

названном

учебнике рассматриваются отдельные вопросы из области логики, и доля

логических

задач

соответственно

выше,

чем

в

остальных

учебниках

по

математике. Однако и в данном учебнике не рассматривается весь спектр

вопросов из области логики, необходимый для успешного формирования у

школьников логической грамотности.

Существует

комплекс

требований

к

системе

учебных

заданий,

направленных на развитие логического мышления.

Требование

1.

Система

заданий

должна

носить

развивающую

направленность,

способствовать

не

только

формированию

определенных

математических умений и навыков, но, в первую очередь, содействовать

развитию

логического

мышления

школьников,

учить

их

определенным

мыслительным приемам.

Требование 2. В систему должны быть включены учебные задачи, которые

помогут

сформировать

такие

операции

как

анализ,

синтез,

сравнение,

абстрагирование, обобщение и классификация и тем самым реализовать цель

нашего исследования.

Требование

3.

Система

заданий

должна

учитывать

возрастные

психологические особенности учащихся.

Требование

4.

Методика

изложения

математического

материала

должна

учитывать специфичные для возраста сдвиги в межполушарной асимметрии,

когда

развитие

логического

мышления

происходит,

в

первую

очередь,

с

опорой на наглядно-действенное и наглядно-образное мышление.

Применение

системы

логических

заданий,

создает

оптимальные

условия не только для интеллектуального развития всех детей, вовлеченных в

педагогический

процесс,

но

и

повышает

общий

уровень

математической

культуры учащихся, улучшает их успеваемость.

Далее приводится подборка задач по логике для школьников, которые

могут

быть

использованы

как

во

время

уроков,

так

и

во

внеурочной

деятельности по предмету.

И.Ф. Шарыгин, А.В.Шевкин «Задачи на смекалку. 5-6» (Серия МГУ –

школе,

УМК

к

учебникам

Математика

для

5

и

6

классов

С.М.

Никольского и др.)

№ 136.

Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них

было черное платье, на другой – красное, на третьей – белое. Девочка в белом

платье говорит Черновой; «Нам надо поменяться платьями, а то у всех троих

цвет платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?

Решение:

Из условия следует, что на Беловой не белое платье, на Черновой не черное,

на

Красновой

не

красное.

Поставим

минусы

в

соответствующие

клетки

таблицы:

Цвет платья

Фамилия

Белое

Черное

Красное

Белова

-

+

-

Чернова

-

-

+

Краснова

+

-

-

Ответ: Белова в черном платье, Чернова – в красном, Краснова – в белом.

№138

Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На

вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:

1)

Коля ни первое, ни четвертое;

2)

Боря второе;

3)

Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

Решение:

Место

Имя

1

2

3

4

Коля

-

-

+

-

Боря

-

+

-

-

Вова

+

-

-

-

Юра

-

-

-

+

Ответ: 1 место занял Вова, 2 место – Боря, 3 место – Коля, 4 место – Юра.

№140

Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил

мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал:

«Это

Петя

разбил

стекло»

Позднее

выяснилось,

что

одно

из

этих

утверждений верное, а другое – нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

Решение:

1)

Если предположить, неправду сказал Коля, но тогда и Олег сказал

неправду. Это противоречит условию, т.к. одно утверждение верно.

2)

Значит, неправду сказал Олег. Тогда стекло разбил не Коля и не Петя.

Ответ: стекло разбил Олег.

1. Мудрецы развлекаются

Математические задачи - Логика и рассуждения

Решили как-то пять мудрецов поразвлечься. Взяли они десять колпаков,

причем разноцветных - шесть красных, два белых и два синих, позвали

независимую

персону,

он

каждому

должен

одеть

на

голову

по

колпаку.

Естественно, все это происходит в кромешной тьме и никто из мудрецов даже

не знает, какие колпаки оказались лишними. Затем они выходят на свет,

смотрят друг на друга, и кто первый определит, какой на нем колпак, тот и

победит. Кто станет победителем, если на трех участниках красные колпаки,

на одном - синий и на одном - белый?

Решение. Победителем станет один из мудрецов с красным колпаком.

Для простоты будем называть мудрецов по цвету надетых на них

колпаков.

Один из трех красных думает:

- Если б я был белый, тогда один из двух красных подумает "допустим,

я синий, тогда мой красный сосед сразу догадался бы, что он красный (видит

два белых и два синих). Но так как он этого не делает, то я не синий.

Но так как я вижу перед собой два белых, то следовательно я красный".

Но эти два красных молчат, следовательно, я не белый.

Точно также двое могли определить, что они красные, если бы я был

синим.

Но они все еще молчат, следовательно, я не синий тоже.

Отсюда вывод - я красный

7. Про школьников

Математические задачи - Логика и рассуждения

В

класе

35

учеников,

из

них

20

школьников

занимаются

в

математическом

кружке,

11-

в

литературном,

10

ребят

не

посещают

эти

кружки. Сколько литераторов увлекаются математикой?

Решение.

Всего

35

учеников.

10

кружки

не

посещают.

Значит,

посещают кружки 35-10=25 учеников.

25

учеников

посещают

кружки.

20

учеников

занимаются

в

математическом кружке. Значит, только литературный кружок посещают 25-

20=5 человек. В литературном кружке 11 человек. Лишь 5 из них посещают

только литературный кружок.

Значит, 11-5 = 6 человек-литераторов посещают ещё и математический

кружок.

11. Шарики

Математические задачи - Логика и рассуждения

На столе стоят три одинаковых ящика. В одном из них 2 черных

шарика, в другом 1 черный и 1 белый шарик, в третьем 2 белых шарика. На

ящиках

написано:

"2

белых",

"2

черных",

"черный

и

белый".

При

этом

известно, что ни одна из записей не соответствует действительности. Как,

вынув только один шарик, определить правильное расположение надписей?

Решение. Вынимаем шарик из коробки с надписью "черный и белый".

Возможны два варианта:

1) шарик белый;

тогда второй шарик в этой коробке тоже белый (иначе надпись была бы

правильной);

третий белый шарик может находится либо в коробке "2 белых", либо в

коробке "2черных", т.е. опять два варианта:

1а) белый и черный шарики находятся в коробке "2 белых";

тогда в коробке "2 черных" находятся 2 черных шарика - невозможный

вараинт;

2б) белый и черный шарики находятся в коробке "2 черных";

тогда в коробке "2 белых" находятся 2 черных шарика - единственно

возможный вариант

2) шарик черный

аналогично пункту 1)

Собственно ответ: Вытаскиваем шарик из коробки с надписью "белый

и черный".

Если шарик белый, то:

в коробке "белый и черный" - 2 белых шарика;

в коробке "2 белых" - 2 черных шарика;

в коробке "2 черных" - белый и черный шарики

Если шарик черный:

в коробке "белый и черный" - 2 черных шарика;

в коробке "2 белых" - белый и черный шарики;

в коробке "2 черных" - 2 белых шарика.

16. Торговцы и гончары

Математические задачи - Логика и рассуждения

В одном городе все люди были торговцами или гончарами. Торговцы

всегда говорили неправду, а гончары - правду. Когда все люди собрались на

площади, каждый из собравшихся сказал остальным : "Вы все торговцы!"

Сколько гончаров было в этом городе?

Решение. Гончар был один, так как:

1) если бы гончаров не было, то торговцам пришлось бы сказать правду,

что все остальные торговцы, а это противоречит условиям задачи;

2)

если

бы

гончаров

было

больше

одного,

то

каждому

гончару

пришлось бы соврать, что остальные гончары – это торговцы.

Ответ: один.

17. Как выбрать нужного парикмахера?

Математические задачи - Логика и рассуждения

Будучи проездом в маленьком городке, один купец зашел перекусить в

ресторанчик,

а

потом

решил

постричься.

В

городке

было

всего

две

парикмахерские, и в каждой - только один мастер, он же хозяин. В одной

парикмахер был неопрятно побрит и плохо пострижен, а в другой - чисто

выбрит

и

с

отличной

стрижкой.

Купец

решил

стричься

в

первой

парикмахерской. Как по-вашему, он сделал правильный выбор?

Решение.

Купец

верно

рассудил,

что

что

раз

в

городе

всего

два

парикмахера, то они наверняка стригут друг друга. Значит, идти стричься

надо к тому, у кого плохая стрижка.

Ответ: да.

9. 2009 натуральных чисел

Математические задачи - Логика и рассуждения

По кругу написано 2009 натуральных чисел. Докажите, что найдутся

два соседних числа, сумма которых четна.

Решение. Доказываем от противного. Предположим, что для любых

двух соседних чисел их сумма будет нечетной. Это означает, что одно из них

четное, а другое нечетное, т. е. четные и нечетные числа чередуются через

одно.

Зафиксируем одно произвольное число. Пусть оно будет четным. Его

сосед слева будет нечетным, левый сосед соседа будет опять четным и т.д. по

цепочке придем опять к зафиксированному числу. Т.к. число переходов равно

2009 (нечетное), то зафиксированное должно быть оказаться нечетным, что

невозможно.

Получаем противоречие, т. е. первоначальное предположение было

неверным, и найдутся два соседних числа, сумма которых четна.

21. Верно ли тождество?

Логические трюки

Докажем, что 2 * 2 = 5.

Напишем тождество: 4 : 4 = 5 : 5.

Вынеся

из

каждой

части

тождества

общие

множители

за

скобки,

получаем:

4 * (1 : 1) = 5 * (1 : 1) или (2 * 2) * (1 : 1) = 5 * (1 : 1).

Так как 1 : 1 = 1, то 2 * 2 = 5. Где ошибка?

Решение. Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из

левой части и 5 из правой части.

Действительно, 4 : 4 = 1 : 1, но 4 : 4

¿

4 * (1 : 1).

Круги Эйлера

"Обитаемый остров" и "Стиляги"

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15

ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги»,

из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек

смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение

Ч е р т и м

д в а

м н о ж е с т в а

т а к и м

о б р а з о м :

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги»,

п о м е щ а е м

в

п е р е с е ч е н и е

м н о ж е с т в .

15

–

6

=

9

–

человек,

которые

смотрели

только

«Обитаемый

остров».

11

–

6

=

5

–

человек,

которые

смотрели

только

«Стиляги».

Получаем:

Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».

Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют

в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6

спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и

драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не

занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение

Изобразим множества следующим образом:

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом,

не

занимаются

в

драмкружке.

Только

спортом

заняты

5

человек.

Ответ. 5 человек заняты только спортом.

1.В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и

вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит

между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода; стакан

стоит между банкой и сосудом с молоком. В каком сосуде находится каждая

из жидкостей?

Решение:

Ответ: в бутылке – лимонад, в стакане – вода, в кувшине – молоко, в банке –

квас.

2. На марафонском беге.

На марафонском беге было сделано два прогноза о местах, которые займут

спортсмены Василенко, Левченко и Симченко, реально претендующие на

призовые места:

1.

«Симченко будет первым, Василенко – вторым, а Левченко – третьим»;

2.

«Победит

Василенко,

Левченко

придет

вторым,

а

Симченко

будет

третьим».

После

окончания

состязания

оказалось,

что

три

фаворита

действительно

заняли три первых места, но оба предсказания оказались ложными. Ни в

одном из предсказаний ни одно из мест не было названо правильно. Какое

место занял каждый из спортсменов?

Решение:

Ответ: на 1 месте - Левченко, на 2 – Симченко, на 3 – Василенко.

3.54. Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике

Один из трех братьев Витя, Толя, Коля разбил окно. В разговоре участвуют

еще двое братьев — Андрей и Дима.

— Это мог сделать только или Витя, или Толя, — сказал Андрей.

— Я окно не разбивал, — возразил Витя, — и Коля тоже.

— Вы оба говорите неправду, — заявил Толя.

— Нет, Толя, один из них сказал правду, а другой сказал

неправду, — возразил Дима.

— Ты, Дима, не прав, — вмешался Коля.

Их

отец,

которому,

конечно,

можно

доверять,

уверен,

что

трое

братьев

сказали правду. Кто разбил окно?

Решение. Введем обозначения для высказываний:

В: «Витя разбил окно»;

Т: «Толя разбил окно»;

К: «Коля разбил окно».

Тогда

высказывания

братьев

можно

записать

в

символической

форме

следующим образом:

A

≡

B

∨

T

;

V

≡¬

B

∧¬

K

;

L

≡¬

A

∧¬

V

≡¬(

B

∨

T

)∧¬(

B

∨¬

K

)≡¬

B

¬

T

∧(

B

∨

K

)≡¬

T

∧(( ¬

B

∧

B

)∨(¬

B

∧

K

))≡¿

¿ ¿¬

T

∧¬

B

∧

K

D

≡(

A

∧¬

V

)∨(¬

A

∨

V

)≡((

B

∨

T

)∧(¬

B

∧¬

K

))∨(¬(

B

∨

T

)∧(¬

B

∧¬

K

))≡((

B

∨

T

)∧(

B

∨¿

¿

K

))∨(¬

B

∧¬

T

∧¬

K

)≡

B

∨(

T

∧

K

)∨(¬

B

∧¬

T

∧¬

K

)≡(

B

∨¬

B

)∧(

B

∨¬

T

)∧(

B

∨¬

K

)≡¿

¿ ¿¿

B

∨(¬

T

∧¬

K

)

M

≡¬

D

≡¬(

B

∨(¬

T

∧¬

K

))≡¬

B

∧(

T

∨

K

)

Образуем из высказываний A,

V, L, D, M всевозможные конъюнкции по три

высказывания:

A

∧

V

∧

L

,

A

∧

V

∧

D

,

A

∧

L

∧

D

,

A

∧

L

∧

M

,

A

∧

D

∧

M

,

V

∧

L

∧

D

,

V

∧

L

∧

M

,

V

∧

D

∧

M

,

L

∧

D

∧

M

,

A

∧

V

∧

M

.

Поскольку из высказываний A,

V,

L,

D,

M только три истинны, то из десяти

конъюнкций

истинна

лишь

одна.

Проверьте

самостоятельно,

что

конъюнкции

A

∧

L

,

V

∧

L

,

L

∧

D

ложны,

а

потому

восемь

из

перечисленных конъюнкций ложны.

Остаются

две

конъюнкции:

A

∧

V

∧

D

,

A

∧

V

∧

M

.

Проведем

их

преобразования:

A

∧

V

∧

D

≡(

B

∨

T

)∧¬

B

∧¬

M

∧(

B

∨(¬

T

∧¬

M

))≡(

B

∨(

T

∧¬

T

∧¬

M

))∧¬

B

∧¬

M

≡

B

∧¬

B

∧¿

¿ ¿¬

M

≡

0

A

∧

V

∧

M

≡(

B

∨

T

)∧¬

B

∧¬

M

∧(

T

∨

M

)≡

T

∧¬

B

∧¬

M

∧

T

≡

T

∧¬

B

∧¬

M

Итак,

заключаем,

что

истинным

может

быть

только

высказывание

A

∧

V

∧

M

или

(эквивалентное

е м у )

T

∧¬

B

∧¬

M

,

т.е.

истинны

высказывания T, ¬B и ¬M, а значит, окно разбил Толя.

Список литературы:

1.

Гайшут А.Г. Математика в логических упражнениях. – К.: Рад.

шк, 1985. – 192с.

2.

Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и

теории

алгоритмов:

учебное

пособие

для

студентов

высших

учебных заведений / В.И.Игошин. – 3-е изд. – М.: издат. Центр

«Академия», 2007. – 304с.

3.

Калужин

Л.Н.

Элементы

теории

множеств

и

математическая

логика в школьном курсе математики. Пособие для учителей, М.:

«Просвещение», 1978. – 88с.

4.

Столяр

А.А.

Логические

проблемы

преподавания

математики.

Учебно е

по собие

для

математиче ских

ф а к ул ьт е т о в

педагогических институтов. Минск: «Высшая школа», 1965. –

254с.

5.

Эдельман

С.Л.

Математическая

логика.

Учебное

пособие

для

институтов. М.: «Высшая школа», 1975. – 176с.