Муниципальное образовательное учреждение

Нарышкинская СОШ

Методическая разработка раздела образовательной

программы по алгебре

в 8 классе «Квадратные уравнения»

Автор:

Климакова Валентина Ивановна

учитель математики

МБОУ Нарышкинской СОШ

с. Нарышкино

2012 г.

Пояснительная записка

С тех самых пор, как мир возник большой,

Стремились люди к знаньям всей душой.

На разных языках из века в век

Дорогу к знаньям ищет человек.

А.Рудаки

Главная

задача

российской

образовательной

политики

-

обеспечение

современного

качества

образования

на

основе

сохранения

его

фундаментальности

и

соответствия

актуальным

и

перспективным

потребностям

личности,

общества

и

государства.

Согласно

«Концепции

модернизации российского образования» «школа должна стать важнейшим

фактором

гуманизации

общественно-экономических

отношений,

формирования

новых

жизненных

установок

личности.

Развивающемуся

обществу нужны современно образованные, нравственные, предприимчивые

люди, которые могут самостоятельно принимать ответственные решения в

ситуации

выбора,

прогнозируя

их

возможные

последствия,

способны

к

с о т р уд н и ч е с т ву,

о т л и ч а ю т с я

м о б и л ь н о с т ь ю ,

д и н а м и з м о м ,

конструктивностью, обладают развитым чувством ответственности за судьбу

страны".

Модернизация

общеобразовательной

школы

предполагает

ориентацию

образования

не

только

на

усвоение

обучающимся

определенной

суммы

знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных

способностей. Общеобразовательная школа должна формировать целостную

систему

универсальных

знаний,

умений,

навыков,

а

также

опыт

самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся, то

есть

ключевые

компетенции,

определяющие

современное

качество

содержания образования.

Изучение математики способствует формированию гражданских качеств

личности

посредством

воспитания

свойства,

которое

мы

называем

интеллектуальной честностью. "Кто пропитался с детства математикой в

такой мере, что усвоил себе ее неопровержимые доказательства, тот так

подготовлен

к

восприятию

истины,

что

нелегко

допустит

какую-нибудь

фальшь",- говорит П. Гассенди. "

Одной из важнейших тем алгебры является тема «Квадратные

уравнения». Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место.

На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему

школьного курса математики (8 класс – 23 ч). Сила теории уравнений в том,

что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных

законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о

пространственных формах и количественных отношениях реального мира

сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их

решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники

(транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так же для

формирования

умения

решать

уравнения

большое

значение

имеет

самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений. При

изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное

средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических

знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.

В соответствии с основной целью образования результатом

работы

является активное самостоятельное усвоение учащимися учебного материала

и приобретение навыков, необходимых в жизни, а также подготовка к ГИА и

в дальнейшем к ЕГЭ.

Автором данной работы выбрана тема «Квадратные уравнения в 8 классе»,

так

как

она

актуальна

в

современном

мире;

это

объясняется

тем,

что

уравнения

широко

используются

в

различных

разделах

математики,

в

решении важных прикладных задач.

Цели и задачи раздела

«Квадратные уравнения»(23 ч.)

Основная цель раздела – выработать умения решать квадратные уравнения,

уравнения, сводящиеся к квадратным, и применять их в решении задач.

Задачи раздела:

- Сформировать у учащихся 8 класса понятия неполного, полного и

приведенного квадратного уравнения.

- Научить учащихся решать квадратные уравнения.

-

Научить применять квадратные уравнения к решению задач.

- Развивать у учащихся вычислительные навыки , логическое мышление,

память, внимание через решение уравнений различных уровней сложности.

- Приобрести опыт творческой деятельности в исследовательской среде:

отбор материала в соответствии с представленными задачами и предложение

способов их решения.

- Воспитывать трудолюбие, аккуратность, математическую культуру, умение

аргументировать свою точку зрения.

Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и

освоения учебного материала учащимися в соответствии с возрастными

особенностями

К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный

опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и

общематематических представлений, понятий, умений. Учащиеся 8 класса

уже знают определение уравнения, корня уравнения, знают, что значит

решить уравнение, знают основные свойства уравнений.

Обучение решению квадратных уравнений начинается с простейших их

видов. Можно выделить следующие этапы при изучении темы «Квадратные

уравнения»:

I этап – «Решение неполных квадратных уравнений».

II этап – «Решение полных квадратных уравнений».

III этап – «Решение приведенных квадратных уравнений».

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как

сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения,

поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это

уравнения вида: ах

2

= 0, ах

2

+ с = 0, где с≠ 0, ах

2

+ bх = 0, где b ≠ 0.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного

уравнения. Это уравнения вида ах

2

+ bx + c = 0, где a,b,c – заданные числа,

а ≠ 0, х – неизвестное.

На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения,

которые имеют вид х

2

+px + q = 0 (3), где p и q – данные числа. Число p –

коэффициент при х, а q – свободный член.

Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других

уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших

степеней).

Для успешного проведения занятий используются разнообразные виды работ:

игровые элементы, дидактический и раздаточный материал, очень щироко

используются ИКТ.

Ожидаемые результаты освоения раздела программы



Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны

знать:

- формулу нахождения корней квадратного уравнения;

- алгоритмы решения уравнений данного вида.

уметь:

- решать неполные квадратные уравнения;

- решать полные квадратные уравнения;

- решать приведенные квадратные уравнения;

- находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

- делать проверку.

Уметь:

учебно-познавательные

исследовательские

практические

- сравнивать и

различать виды

квадратных уравнений;

- определять

количество корней

уравнения;

- давать

характеристику

каждого записанного

уравнения ;

- соотносить формулы

нахождения корней

квадратного уравнения

по видам уравнений;

- решать квадратные

уравнения различных

видов.

- накапливать материал

по теме «Уравнения»

- организовать

самостоятельный

(индивидуальный,

парный, групповой)

поиск решений

непростых уравнений;

- выдвигать гипотезы

(предположения) на

основе идеи;

- приводить аргументы

(доказательства),

подтверждающие

главную мысль;

- делать выводы и

умозаключения по

теме;

- обращаться к

различным источникам.

- определять вид

уравнения ;

- составлять план его

решения;

- находить ошибки,

допущенные в

решении;

- применять в

нестандартных

ситуациях( при

сокращении дробей).

Обобщенные способы деятельности.

С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание

уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся

специальным объектом изучения. Для этой темы характерна большая глубина

изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении,

логическая обоснованность изложения.

Методическая разработка образовательной программы по разделу

«Квадратные уравнения» реализует поисково-исследовательский подход к

выбору способов решения уравнений в зависимости от их вида. Модель

поведения школьника в предложенных условиях меняется от просто

учебной деятельности к деятельности поиска и исследования при решении

проблемы . Таким образом, следует знать и понимать специфические знания

о проведении исследований и действий механизмов исследовательского

поиска на ученика 8 класса. Коммуникативно-исследовательское поведение

предполагает следующие умения:



видеть проблемы при анализе задания;



задавать вопросы при обсуждении методов решения и

подборе нужного из них;



выдвигать гипотезы (предположения) на этапе

прогнозирования хода решения;



давать определения понятиям и записывать формулы,

используемые при решении уравнений;



классифицировать виды уравнений;



проводить эксперименты по самостоятельному подбору

способов решения квадратных уравнений, записанных в

нестандартном виде;



делать выводы и умозаключения при доказательстве

гипотез;



структурировать материал при составлении плана;



доказывать и защищать свои идеи.

Сочетание обобщенных способов действий в работе над уравнениями

обеспечивает эффективную организацию учебной деятельности

(регулятивные действия), ценностно-смысловую ориентацию учащихся

(личностные действия), постановку и решение проблемы (познавательные

универсальные действия).

В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения»

поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием

школьной математики.

Обоснование используемых в образовательном процессе по

разделу программы образовательных технологий, методов,

форм организации деятельности учащихся.

В отборе материала к занятиям учитель должен ориентироваться на связи с

программным

материалом

по

алгебре,

учитывая

необходимость

осуществления

преемственности

между

ранее

изученным

и

изучаемым

материалом.

Сталкиваясь с противоречивой, новой, непонятной проблемой у

ребенка возникает состояние недоумения, удивления, возникает вопрос: в чем

суть? Далее мыслительный процесс происходит по схеме:



выдвижение гипотез;



обоснование гипотез;



проверка гипотез.

И человек либо самостоятельно осуществляет мыслительный поиск

открытия

неизвестного,

либо

с

помощью

учителя.

Активизации

творческого

мышления

способствуют

субъект-объект-субъектные

отношения,

возникающие

при

коллективном

решении

проблемы

.

Используемые

методы:

поиск,

наблюдение,

прогноз,

исследование,

эксперимент, способствуют мотивации и настрою на интересную и

эффективную работу.

Знание математики создает условия для успешного усвоения всех учебных

предметов: физики, химии, биологии, информатики. Формы проведения

уроков разнообразные: работа в группах, работа в «тематических» группах,

игра, контроль и учет знаний, конкурс.

Виды уроков также разнообразны: урок открытия новых знаний, урок

накопления знаний, урок поиска истины, урок – исследование.

Без

хорошего

владения

учебным

материалом

невозможна

никакая

познавательная деятельность. Поэтому особое внимание на занятиях следует

обращать

на

задания,

направленные

на

развитие

знаний

учащихся

по

изучению теоретического материала.

Система знаний и система деятельности.

Система знаний:

Общенаучные

знания

Знания из

определенной

научной области

Фундаментальные

знания из

конкретной

предметной области

Знания профильного

характера

Понятие квадратного

уравнения,

формулы корней

квадратного

уравнения.

Правила и способы

решения квадратных

уравнений.

Самостоятельное

решение квадратных

уравнений с

использованием

алгоритма. Его

анализ, обсуждение.

Самостоятельное

решение квадратных

уравнений без

использования

алгоритма решения,

поиск решения

нестандартных

заданий. Подготовка

к ЕГЭ

Система деятельности:

Познавательная

Преобразующая

Общеучебная

Самоорганизующая

1. На основе

исследования

проводится анализ,

синтез, обобщения,

аналогия,

интерпретация

материала.

2. На основе

наблюдений,

выясняются правила

решения уравнений,

создание алгоритма

работы

3. Учащиеся решают

уравнения на основе

алгоритма,

1. Ведется беседа по

использованию

более простых

методов решения

уравнений.

2. Поиск по набору

изученных формул,

той которая более

быстро и точно

приведет к

результату.

3. Решение

уравнений и задач

выбранным

способом.

1.Совершенствовать

вычислительные

навыки, навыки

решения уравнений,

навыки составления

квадратных

уравнений по

условию задачи .

2. Анализировать

результаты своей

деятельности.

4. Формирование

навыков решения

уравнений,

приводящихся к

1. Самостоятельный

подбор метода

решения.

2. Решение

уравнений

различных типов

сложности,

применительно к

данному возрасту.

3. Самоконтроль на

этапе решения

уравнений и при

отборе корней.

используя все этапы

решения

квадратным.

Поурочное планирование по разделу.

№

урок

а

Тема урока

Тип урока или

вид учебного

занятия

ТСО, ИКТ, наглядные

пособия и

дидактический

материал

Способы

отслеживания

уровня усвоения

материала урока

учащимися

1

Квадратное

уравнение и его

корни

Работа с книгой

(конспект)

Иллюстрации на

экране через

мултимедий ный

проектор. Учебник

Устный опрос

2

Квадратное

уравнение и его

корни

Отработка

навыков

решения

Иллюстрации на

экране через

мултимедий ный

проектор. Учебник

Проверочная

работа

3

Неполные

квадратные

уравнения

Частично-

поисковый

Плакаты с формулами

Формулы

сокращенного

умножения

4

Метод выделения

полного квадрата

Эвристический

урок

Иллюстрации на

экране через

мултимедий ный

проектор. Учебник

Работа у доски

5

Решение квадратных

уравнений

Изучение

нового

материала

Плакаты с формулами

Проверка

формул

6

Решение квадратных

уравнений

Урок практикум

Иллюстрации на

экране через

мултимедий ный

проектор. Учебник

Взаимопроверка

в парах

7

Решение квадратных

уравнений

Урок практикум

Плакаты с формулами

Опрос по знанию

формул

8

Решение квадратных

уравнений

Частично-

поисковый

Плакаты с формулами

Самост. работа

9

Приведенное

квадратное

уравнение. Теорема

Виета.

Коррекция

знаний и

умений по

теме

Плакаты с формулами

Взаимопроверка

в парах

10

Приведенное

квадратное

уравнение. Теорема

Виета.

Урок

подготовки к

контр. работе

Плакаты с формулами

Работа у доски

11

Уравнения,

сводящиеся к

квадратным

Частично-

поисковый

Иллюстрации на

экране через

мултимедий ный

проектор. Учебник

Ответы на

вопросы

12

Уравнения,

сводящиеся к

квадратным

Частично-

поисковый

Иллюстрации на

экране через

мултимедий ный

проектор. Учебник

Опрос по знанию

формул

13

Урок обобщения и

систематизации ЗУН

по теме

«Квадратные

уравнения»

Урок-

соревнование

Карточки, листочки

для решения

уравнений,

математическое

домино, слайды

Ответы на

вопросы,

решение

уравнений

14

Решение задач с

помощью

квадратных

уравнений

Частично-

поисковый

Иллюстрации на

экране через

мултимедий ный

проектор.

Работа у доски

15

Решение задач с

помощью

квадратных

уравнений

Поисковый

Учебник, карточки с

заданиями для опроса

Проверочная

работа

16

Решение задач с

помощью

квадратных

уравнений

Поисковый

Учебник

Составление

уравнения к

задаче

17

Решение задач с

помощью

квадратных

уравнений

Частично-

поисковый

Учебник

Фронтальный

опрос

18

Решение простейших

систем, содержащих

уравнение второй

степени

Частично-

поисковый

Учебник

Взаимопроверка

в парах

19

Решение простейших

систем, содержащих

уравнение второй

степени

Изучение

нового

материала

Сборник задач.

Учебник

Работа у доски

20

Решение простейших

систем,

содержащих

уравнение

второй

степени

Урок

практикум

Сборник задач.

Учебник.

Работа по

карточкам

21

Обобщающий урок .

Решение упражнений

к главе IV

Урок

закрепления

знаний.

Иллюстрации на

экране через

мултимедий ный

проектор. Учебник.

Фронтальная

работа с

классом.

22

Обобщающий урок .

Решение упражнений

к главе IV.

Подготовка к

контрольной

работе.

Иллюстрации на

экране через

мултимедий ный

проектор. Карточки.

Учебник

Фронтальный

опрос,

самостоятельная

работа

23

Контрольная работа

Контроль,

оценка и

коррекция

знаний

Дифференцированный

контрольно-

измерительный

материал

Контрольная

работа по

вариантам

Урок-соревнование

по теме: «Квадратные уравнения» , 8 класс.

Сухие строки уравнений –

В них сила разума влилась.

В них объяснение явлений,

Вещей разгаданная связь.

Л.М.Фридман

Цели: образовательные: повторение, обобщение и систематизация материала

темы, контроль усвоения знаний и умений;

развивающие: развитие математического и общего кругозора,

мышления и речи, внимания и памяти;

воспитательные: воспитание интереса к математике, активности,

умения общаться.

Оборудование к уроку: Листочки с уравнениями для команд, математическое

домино, карточки для капитанов, карточки для 5 этапа, жетоны, карточки с

дополнительными заданиями.

Подготовка к уроку: класс делиться на 2 группы по 7 человек (в классе 14

человек).

Ход урока.

І. Разминка:

Команды отвечают по очереди на вопросы ( по одному каждой команде ).

1.

Дайте определение квадратного уравнения.

2.

Какие квадратные уравнения называются неполными?

3.

По какой основной формуле вычисляются корни квадратного

уравнения?

4.

Дайте определение приведенного квадратного уравнения.

5.

По какой формуле вычисляются корни квадратного уравнения, в

котором второй коэффициент является чётным числом?

6.

Как определить корни приведенного квадратного уравнения?

ІІ. Решить уравнения (каждому члену команды по одному уравнению).

Члены команд на листочках выполняют задания по вариантам (Слайд 1)

Команда -І Команда - ІІ

1) 2х² - 7х = 0 1) 49 = 14х + 2х²

2) – 2х² - х = 12 2) х² - 4х = 5

3) х(х + 3 )= 0 3) 2х² - 8 = 0

4) х² = 4 4) ( х – 2 ) х = 0

5) 5 + х² = х 5) х² - 9 = 0

6) 5х² - 16х + 3 = 0 6) 35 х² + 2х - 1 = 0

7) 2х – 4 = 0 7) х – 5 = 0.

Задания командам (Слайд 2)

а ) среди данных уравнений укажите номера тех, которые являются полными,

приведенными, неполными;

б ) в уравнении №5 запишите значения коэффициентов а, в, с;

в ) найдите сумму и произведение корней уравнения №5;

ІІІ. Математическое лото.

Решить уравнения, найти среди разрезанных карточек нужный ответ и

составить высказывание, которое нужно закончить:

І вариант

х² + х = 0

х² - 16 = 0

у² - 10у – 24 = 0

9 у² - 30у + 25 = 0

2 х² - 3х + 2 = 0

(х + 2 )( х – 2 ) = 7х - 14

Разрезанные

карточки

х = 0 х = -1

х = 4 х = -4

х = -2 х = 12

х = 1⅔

Нет корней

х = 2 х = 5

ІІ вариант

х² - х = 0

х

2

– 64 =0

х² + х – 90 = 0

16 х² - 8х + 1 = 0

6 х² - 8х + 11 = 0

( х - 3)(х + 3) = 5х - 13

Разрезанные

карточки

х = 0 х = 1

х = 8 х = -8

х = 9 х = -10

х = ¼

Нет корней

х = 1 х = 4

С обратной стороны высказывания:

1) Если дискриминант меньше нуля, то …

2) Если дискриминант равен нулю, то …

3) Если дискриминант больше нуля, то …

4) Сумма корней приведённого квадратного уравнения …

5) Произведение корней приведённого квадратного уравнения …

6) Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

ІV. Конкурс капитанов.

Капитаны решают на доске по одному уравнению:

1.

(х + 1)² + ( 1 + х )5 = 14

2.

( х – 4 )( х + 4 ) = -2х + 64

Одновременно с конкурсом капитанов проводится эстафета «Цепочка»:

сидящие за партами решают уравнение, в котором дискриминант находит

первый ученик, первый корень – второй ученик, второй корень – третий

ученик.

1) 5 х² - 4х – 1 = 0 2) 3 х² - 5х + 2 = 0 (Слайд 3)

V. «Найди ошибку»

Каждая команда должна в данном для них уравнении найти ошибку:

1)

2 х² - 3х – 2 = 0

2) 2у – 9у² + 10 = 0

х

1;2

= (-3)± √ (-3)² - 4∙2∙(-2) =

9 + 16 = 25

у

1;2

= (-(-9)±√

(-9)²

- 4∙2∙10 = 81

- 8

= 1

х

1

= (-3 + √25)/4 = (-3 + 5 )/

4 = ½

у

1

= (-(-9) + √1)/4 = ( 9 + 1 )/ 4 = 2½

х

2

= (-3 - √25)/4 = (-3 - 5 )/

4 = -2

у

2

= (-(-9) - √1)/4 = ( 9 - 1 )/ 4 = 2

VІ. Команды выполняют задания по карточкам:

К – І: 1) решить уравнение х² = 12 – 11х

2) решить уравнение х² - 16х + 64 = 0

3) уравнение х² + bх + 24 = 0 имеет корень х = 8. Найдите b и второй

корень.

4) При каком значении k уравнение х² + kх + 9 = 0 имеет один корень?

К – ІІ: 1) решить уравнение х² = -2х + 48

2) решить уравнение х² + 8х + 64 = 0

3) уравнение х² - 7х + с = 0 имеет корень х = 5. Найдите с и второй

корень.

4) При каком значении k уравнение х² + kх + 4 = 0 имеет один корень?

Каждый этап соревнования оценивается жетонами: коричневый – 1 балл,

жёлтый – 2 балла, зелёный – 3 балла, синий – 4 балла, красный – 5 баллов.

Цвет выданного жетона зависит от количества правильно решенных

уравнений. Жетоны закрепляются на стенде. Если во время какого-то

этапа команда выполняет быстрее всех задание, то она может взять

дополнительное задание, за которое может получить дополнительные

баллы.

Дополнительные задания:

1) (х² + 1 )/ 2 – 2х = -1 2) (х² - 3 )/2 – 6х = 5

3) (х² - 4 )/3 + 4х = 3 4) (х² - х )/3 = ( 2х – 4 )/ 5

Пока жюри подводит итоги, выполняются задания из рубрики «Это

интересно» (Слайд 4)

1.

Если в квадратном уравнении а х² + bх + с = 0 сумма коэффициентов а

+ b + с = 0, то х = 1 и х = с/а

Например, 5 х² - 7х + 2 = 0 : а + b + с = 5 - 7 + 2 = 0 следовательно, х = 1

и х = 2/5

2. Если в том же уравнении а - b + с = 0, то х = -1 и х = -с/а

Например, 3 х² + 2х – 1 = 0 : а - b + с = 3 – 2 + (-1) = 0 следовательно

,

х = -1 и х = ⅓.

Используя теоремы,

найти корни уравнения: 1978 х² + 1984х + 6 = 0

Жюри подводит итоги и называет победителей.

Задание на дом:

1. Используя теоремы, записанные в конце урока, решить уравнения: а) 345 х²

+ 137х – 208 = 0; б) 132 х² - 247х + 115 = 0.

2. N531, 534 (2,4).