ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Класс

ФИО учителя

Предмет

9

Пахомова Татьяна Юрьевна

алгебра

Подготовительная стадия

Тема занятия

Геометрическая прогрессия. Формула n-ого члена

Тип занятия

Объяснение нового материала

Материально-

техническое

обеспечение

Компьютер, смарт-доска, проектор (при наличии)

Цели, задачи и ожидаемые результаты учебного занятия

Цель учебного занятия при работе с классом

Учебные цели:

1.Обеспечить постоянную опору на личный опыт учащихся,

сопряженный с понятием "Последовательности"

2. Выявить и раскрыть особенности геометрической прогрессии в

сопоставлении с другими видами последовательностей

3. Акцентировать внимание учащихся на особенностях

геометрической прогрессии, обусловленных потребностями реальной

действительности

Развивающие цели:

1. Раскрыть практическую значимость темы «Геометрическая

прогрессия» в реальной действительности.

2. Раскрыть особенности геометрической прогрессии, как

фундаментального понятия, определяющего теоретическую и

практическую значимость математики.

Воспитывающие цели:

1.Раскрыть характеристики геометрической прогрессии, как

соответствие потребности реальной действительности и возможности

использования знания геометрии.

2. Формирование умения четко выражать свое мнение, слушать и

слышать других, проводить сравнительный анализ предложенных

решений и выбирать наиболее удачное

Цель учебного занятия при работе с одаренными детьми

Учебные цели:

1.Акцентирование внимания учащихся на введение новых понятий и

установление связи с ранее изученными понятиями.

2.

Постоянная опора на личный опыт учащихся, сопряженный с

понятием "Последовательности"

Развивающие цели:

1.Формирование и углубление представления о многообразии

подходов к действительности и средств решения задачи

2.

Развитие умения характеризовать и использовать особые свойства

геометрической прогрессии как математической структуры

Воспитывающие цели:

1. Формирование диалектического отношения к событию,

позволяющему рассматривать в органическом единстве

противоположные суждения

Задачи учебного занятия при работе с классом

Задачи учебного занятия при работе с одаренными детьми

Ожидаемые

результаты

Личностные:

В результате проведения учебного занятия учащиеся

класса смогут:

развивать

умение

производить

этимологический

анализ

слова, умение работать с текстовой информацией, умение

делать

выводы;

Овладение

рациональными

приемами

работы, навыками самоконтроля,

самооценки;

Личностные:

В результате проведения учебного занятия одаренные дети

смогут:

В результате проведения учебного занятия одаренные

дети смогут:

Творческая самореализация;

Раскрытия творческих способностей учащихся

Овладение рациональными приемами работы, навыками

самоконтроля,

самооценки;

Метапредметные:

В результате проведения учебного занятия учащиеся

класса смогут:

развивать умение работать в группах, умение слушать друг

друга.

Формирование аналитической готовности определять по

условиям задания вариант его выполнения (инвариант или

творческий).

Умение осуществлять мыслительные операции:

сравнения,

классификации .

обобщения,

установления закономерностей,

анализа,

синтеза.

Метапредметные:

В результате проведения учебного занятия одаренные дети

смогут:

1.Вычленять условия, требующие адекватного варианта

решения задания

2.Овладение логикой решения стандартных и

специфических заданий.

3.Формирование диалектического отношения к суждению,

позволяющему рассматривать в органическом единстве

противоположные стороны действительности .

4.Расширение потенциальной возможности вариативности

решения, выбора оптимального варианта

Предметные:

В результате проведения учебного занятия учащиеся

класса смогут:

познакомить учащихся с новым разделом науки о языке –

Предметные:

В результате проведения учебного занятия одаренные дети

смогут:

изучить процесс формирования

этимологией,

формировать

умение

пользоваться

этимологическим словарём, определять этимологию слова,

применять на практике полученные знания;

этимологии как науки и исследовать прием

этимологического анализа как метода

объяснения беспроверочных, с современной точки зрения,

написаний слов в русском

языке.

этимологический анализ

как средство изучения правописания непроверяемых

безударных гласных (словарных

слов).

Индукция

Создание эмоционального настроя, объединение в группы

Сегодня нам предстоит убедиться, что математика не только интересна сама по себе, но и необычайно полезна.

Вспомним известную легенду о создателе шахмат:

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за

создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за

первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую два, за третью четыре, и т.д. "Ты получишь свои зерна за все 64 клетки

доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей, - раздраженно сказал царь.. Но знай, что просьба твоя не достойна

моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью.. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой

мешок с пшеницей". Сильно разгневался царь, когда вечером узнал, что его приказ еще не выполнен. А утром придворные мудрецы

доложили: " Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерён, какое потребовал

Сета."

Так насколько большое вознаграждение запросил изобретатель шахмат? Может придворные мудрецы просто не хотели обеднеть и берегли

покой правителя? Или год был неурожайный? А может быть легенды просто слегка преувеличивают?

А еще, что общего у поселковых слухов, банковских процентов, ядерной физики и у планеты одуванчиков? (4 задачи, которые будут решать

группы)

Работа с материалом

Работа с группами

Работа с одаренными детьми

Деятельность учителя-

мастера

Деятельность учеников

Деятельность учителя-мастера

Деятельность учеников

Деконструкция

работа с материалом, (текстом,

з в у к а м и ,

в е щ е с т в а м и ,

красками,

моделями

и

др.)

разработка

заданий

на

этом

этапе

1.

Мы продолжаем изучать

числовые

последовательности.

Вспомним, что мы знаем о

последовательностях. В

каком случае

последовательность

считается заданной?

2.

Перед вами лист с

написанными на нем

математическими

понятиями и таблица.

Разместите известные вам

понятия в соответствии со

структурой таблицы,

впишите изученные на

предыдущих уроках

формулы.

3.

Проанализируйте, все ли

колонки вы смогли

заполнить. Почему?

Подумайте над темой

урока.

4.

Над какой задачей вы

хотели бы работать?

(разделение по группам)

Учащиеся

вспоминают,

что

д л я

з а д а н и я

последовательности

необходимо указать способ, с

помощью

которого

можно

н а й т и

л ю б о й

ч л е н

последовательности

З а п о л н я ю т

т а б л и ц у ,

в с п о м и н а ю т

о с н о в н ы е

формулы

арифметической

прогрессии,

понимают,

что

н и ч е г о

н е

з н а ю т

о б

геометрической прогрессии.

Прогнозируют тему урока.

Выбирают интересующую их

задачу (делятся на группы)

Проана лизируйте

и м е ю щи е с я

ф о р м у л ы

а р и ф м е т и ч е с к о й

прогрессии.

Спланируйте

ваши

действия по изучению нового вида

последовательности

Выявляют различие новой

последовательности и

арифметической

прогрессии. На примере

формул для работы с

арифметической

прогрессией ставят себе

задачи и планируют

деятельность по выводу

аналогичных формул для

нового вида

последовательности.

Предполагают, что это будет

геометрическая прогрессия.

Самоинструкция

Внимательно прочитайте

задачу.

1. Выпишите несколько членов

последовательности, с которой

вам придется работать.

2.Найдите первый член

последовательности. Назовите

его b

1

3.Сравните каждый следующий

член последовательности с

предыдущим. Назовите число,

характеризующее это

изменение знаменателем

прогрессии - q. Запишите связь

между двумя соседними

членами прогрессии

4.Подумайте, как можно

вычислить 10-ый член

последовательности? n -ый

член?

У ч а щ и е с я

а н а л и з и р у ю т

задачи, знакомятся с новыми

обозначениями,

пытаются

сконструировать

соответствующие формулы

На

примере

задачи

о

шахматах

выявите закономерности построения

геометрической прогрессии, введите

обозначения,

с ко н с т р у и р у й т е

необходимые формулы.

Принимают новые

обозначения, исследуют

зависимости между

величинами, предлагают

формулы для нахождения

знаменателя прогрессии, n-

ого члена, анализируют

зависимость свойств

последовательности в

зависимости от знаменателя,

выявляют возможность

нахождения члена

прогрессии по

предыдущему и

последующему членам.

Обдумывают название

прогрессии

Деятельность учителя

Деятельность учеников

С о ц и а л и з а ц и я соотнесение

с в о е й

д е я т е л ь н о с т и

с

деятельностью остальных

Соотнесите результаты,

полученные вами с

результатами других членов

группы.. Выработайте

алгоритм решения. Решите

поставленную задачу.

Оформите полученные

результаты на листе бумаги.

Работа в группах, оформление

общего решения

Обсудите полученные формулы,

если работаете в группе.

Исследуйте возможность

выплаты вознаграждения

изобретателю шахмат. Сделайте

презентацию полученных

результатов.

Работа в группе (или

индивидуально), оформление

решения.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Афиширование

вывешивание

произведений

и

ознакомление с ними:

Представьте ваши результаты.

Сравните с результатами

других групп. Согласны ли вы с

предложенными решениями.

Удалось ли получить общие

формулы?

Есть ли закономерности в

решении разных на первый

взгляд задач?

Сравнивают и анализируют

результаты, полученные

другими группами.

Представьте ваши результаты.

совпадают ли формулы,

полученные другими группами с

вашими? Хотели бы вы

использовать идеи других групп

или порекомендовать свои

методы как более удобные в

использовании?

Анализируют результаты других

групп, обмениваются идеями

Работа с группами

Работа с одаренными детьми

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Реконструкция-

с о з д а н и е

своего мира, текста, гипотезы,

проекта, решения.

Вы познакомились с

решениями других задач.

Сложилось ли у вас общее

представление о том, что такое

геометрическая прогрессия?

Можете ли вы предложить

формулы, которые помогут вам

в решении других задач на

геометрическую прогрессию?

Предлагается решить 1-2 задачи

на применение формулы n -ого

члена геометрической

прогрессии

Определяются с формулами

для нахождения знаменателя

прогрессии, n -ого члена

прогрессии. Решают и

обсуждают предложенные

задачи. Отстаивают свою

точку зрения. Приходят к

единому мнению.

Скорректируйте в случае

необходимости полученные

формулы.

Оптимизируйте решение

задачи, поработав в случае

необходимости над

дополнительной формулой.

Пытаются вывести формулу

суммы n членов геометрической

прогрессии

Разрыв-

к у л ь м и н а ц и я

творческого

процесса:

новое

видение предмета, явления

Вернемся к таблице, которую

заполняли в начале урока. С

какой новой прогрессией мы

познакомились? Дайте

определение геометрической

прогрессии. Чем она отличается

от арифметической? Похожи ли

ключевые понятия? Заполните

колонку формулами. Все ли

формулы мы смогли вывести?

Что еще предстоит узнать?

Учащиеся заполняют

таблицу формулами.

Отмечают, что еще не

научились находить сумму n

членов геометрической

прогрессии. Ставят цели на

следующие уроки.

Познакомьтесь с

дополнительной информацией

о геометрической прогрессии.

Подумайте при решении каких

задач возникает геометрическая

прогрессия.

Знакомятся с термином "вторая

половина шахматной доски",

понятием экспоненциального

роста, обдумывают примеры

использования геометрической

прогрессии.

Рефлексия-

о т р а ж е н и е ,

самоанализ, обобщение чувств,

ощуще ний,

возникших

в

мастерской.

Попробуйте составить задачу

на геометрическую

прогрессию

.

Какая прогрессия

показалась вам более

интересной, более значимой? В

каких еще отраслях науки и

производства мы можем

столкнуться с похожими

явлениями? Согласны ли вы с

тезисом древних греков "Числа

правят миром".

Приобрели ли вы сегодня опыт,

который может пригодиться вам

Учащиеся пробуют

сформулировать задачи,

приводящие к понятию

геометрической прогрессии,

прогнозируют где еще может

встретиться геометрическая

прогрессия.

Делятся впечатлениями,

полученным опытом.

Предложите различные типы

задач на геометрическую

прогрессию. Сможете ли вы

использовать полученные

знания для анализа и

прогнозирования развития

ситуации в конкретных

случаях?

Если бы вы были царем и не

хотели бы отказывать

создателю шахмат в его

"маленькой" просьбе, какое бы

решение могли предложить?

Придумывают различные типы

задач, делятся впечатлениями от

работы, задумываются над

решением новой задачи,

возможно понимая, что еще не

настолько хорошо разобрались в

свойствах прогрессии. Ставят

цели для домашней работы и на

следующие уроки

в реальной жизни?

Рабочий лист к уроку геометрии

.......................................................................................................................

Ключевые формулы и понятия

Название последовательности

1. Расположите предложенные понятия в соответствии со структурой таблицы: "арифметическая прогрессия", "формула n-ого члена", "первый член

последовательности", "геометрическая прогрессия", "разность", " n-ый член последовательности", "формула суммы n членов последовательности"

2. Заполните клетки изученными ранее формулами

3. Все ли колонки заполнены? Почему?

4. Можете ли вы назвать тему урока? Впишите ее перед таблицей.

Познакомьтесь со следующими задачами. Над какой из них ты хотел бы работать?

Задача о поселковых слухах

Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого-нибудь происшествия, а новость уже

облетела весь город: все о ней знают, все слышали.

В поселке 80 000 жителей. Приезжий в 8.00-8.15 рассказывает новость трем жителям поселка; в течение следующих 15 минут каждый из них

рассказывает новость "по секрету" трем своим ближайшим соседям и т. д. Сколько людей узнают новость в период времени 10.15-10.30. Во сколько эта

новость станет известна всему поселку?

Задача о банковских процентах

Проценты – одно из математических понятий, которое часто встречается в повседневной жизни. Люди берут банковские кредиты делают

различные вклады с целью сохранить и преумножить сбережения, но не всегда могут правильно оценить выгоду предложенных банком условий.

Ежегодный доход по вкладу "Юбилейный" составляет 10%. Каким станет этот вклад через 10 лет, если первоначальная сумма 5000 рублей.

Задача о планете одуванчиков

“Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”.К. А. Тимирязев

Задача

Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян. Предположим, что все семена приживаются и на

следующий год дают семена, а материнское растение погибает.

а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет?

б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара, если площадь суши около 149 млн. км

2

?

Задача о бактериях

При благоприятных условиях бактерии размножаются так, что в течение одной минуты одна бактерия делится на две. Далее каждая бактерия опять

делится на две в течение минуты и т.д. Какое количество бактерий получится из одной за 10 минут? За n минут?

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток

общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн.

Где может использоваться свойство бактерий к быстрому размножению?

Задание к задачам

1. Выпишите несколько членов последовательности, с которой вам придется работать.

2.Найдите первый член последовательности. Назовите его b

1

3.Сравните каждый следующий член последовательности с предыдущим. Назовите число, характеризующее это изменение знаменателем прогрессии -

q. Запишите связь между двумя соседними членами прогрессии

4.Подумайте, как можно вычислить 10-ый член последовательности? n -ый член?

Совместно с группой сделай презентацию полученных результатов.

Используя полученные формулы, решите следующие задачи:

№1.

Найдите 6-ой и n -ый члены геометрической прогрессии:

а) 48; 12;....

б)

64

9

;

−

32

3

;…

№2.

На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на этом участке через 6 лет, если

первоначальное количество древесины равно

2,0 ∙ 10

4

м

3

?

Попробуйте составить свою задачу на геометрическую прогрессию.

Какая прогрессия показалась вам более интересной, более значимой? В каких еще отраслях науки и производства мы можем столкнуться с похожими

явлениями?

Приобрели ли вы сегодня опыт, который может пригодиться вам в реальной жизни?

Рабочий лист к уроку геометрии

(работа с одаренными детьми)

.......................................................................................................................

Ключевые формулы и понятия

Название последовательности

1. Расположите предложенные понятия в соответствии со структурой таблицы: "арифметическая прогрессия", "формула n-ого члена", "первый член

последовательности", "геометрическая прогрессия", "разность", " n-ый член последовательности", "формула суммы n членов последовательности"

2. Заполните клетки изученными ранее формулами

3. Все ли колонки заполнены? Почему?

4. Можете ли вы назвать тему урока? Впишите ее перед таблицей.

Прочитайте внимательно легенду.

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил,

чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила

скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку

шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую два, за третью четыре, и т.д. "Ты получишь

свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей,

- раздраженно сказал царь.. Но знай, что просьба твоя не достойна моей щедрости. Прося такую

ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью.. Ступай. Слуги мои вынесут

тебе твой мешок с пшеницей". Сильно разгневался царь, когда вечером узнал, что его приказ еще не

выполнен. А утром придворные мудрецы доложили: " Не в твоей власти, повелитель, исполнять

подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерён, какое потребовал Сета."

Сколько зерен надо положить на каждую клетку доски?

Запиши каждое

число во второй колонке с помощью не более трех цифр (используй свойства

степени).

Используя

калькулятор и свойства степени, попробуй вычислить количество зерен в 10, 20, 40

и 60 клетках.

Выпиши

прогрессию(используй удобную форму записи

чисел):........................................................

Обозначь

первый член прогрессии b

1

, b

1

=.....................

Запиши формулу, позволяющую найти следующий член последовательности................................

Число, которое показывает, во сколько раз отличаются соседние члены последовательности, называется знаменателем прогрессии и обозначается q,

q=......................................

Запиши формулу, позволяющую найти n-ый член последовательности b

n

=..................................

Номер клетки

Количество зерен

1

2

3

4

5

..

10

20

40

60

64

9 223 372 036 854 775 808

Найди n-ый член последовательности, зная следующий и предыдущий.......................................

Почему последовательность называется геометрической прогрессией?

Как изменятся свойства последовательности, если знаменатель q будет положительным числом меньше 1?

Какие значения могут принимать b

1

и q?

Дайте определение геометрической прогрессии .............................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

......

Подсчитано, что количество зерен на всей доске равно

18 446 744 073 709 551 615

Используя таблицу больших чисел, прочитай и запиши это число........................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

Округлив число до квинтиллионов, вычисли, сколько лет население России будет выращивать такое количество зерна, если масса 1000 зерен пшеницы

около 40 г, сажать будут только яровую пшеницу с максимальной урожайностью, а посевные площади будут на уровне 2004 года.

Совместно с группой сделай презентацию полученных результатов.

Подумай, как вывести формулу для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Используй в качестве модели решенную задачу.

Постарайся сделать формулу удобнее в использовании короче. Не забывай, что степени натуральных чисел давно известны.

Подсказка. Используй формулу

x

n

−

a

n

=

(

x

−

a

)

(

x

n

−

1

+

x

n

−

2

a

+

x

n

−

3

a

2

+

…

+

x a

n

−

1

+

a

n

)

Футуролог Рэймонд Курцвейл ввел в обиход термин "вторая половина шахматной доски", который сейчас активно используется в

экономике и управлении. Как ты думаешь, что этот термин означает?

Стремительное возрастание значений величины, подобное тому, которое мы наблюдали, в математике называется экспоненциальным ростом.

Экспоненциальный рост – возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. Говорят, что такой рост

подчиняется экспоненциальному закону. В случае дискретной области определения (состоящей из отдельных точек) с равными интервалами

его еще называют геометрическим ростом (значения образуют геометрическую прогрессию).

Для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растет, т.е. величина переменной и

скорость ее роста прямо пропорциональны.

Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии (если есть неограниченные ресурсы)

Знаешь ли ты другие примеры подобного роста? Поинтересуйся у родителей, в сети Интернет. Где в жизни встречается геометрическая

прогрессия? Подбери подходящие примеры.