Метод оценки
(для подготовки к ЕГЭ) Выполнила: Нюхнина Р.Л., учитель математики высшей квалификационной категории Козьмодемьянск
Многие задачи, встречающиеся на экзаменах, могут быть успешно проанализированы и решены с помощью оценок левой и правой частей, входящих в уравнения или неравенства. Признаком таких задач могут быть наличие в них функций различной природы, например, тригонометрических и показательных, или количество неизвестных, большее количество уравнений или неравенств. Применение метода оценок окажется успешным, если находить наибольшие и наименьшие значения элементарных функций или их композиций, если применять некоторые «полезные» неравенства: 1) Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел (неравенство Коши). где a i > 0 Равенство достигается при a 1 = a 2 = a 3 …a n В частности: 2) Неравенство для суммы синуса и косинуса одного аргумента (из формулы «введения вспомогательного угла»). 3) Неравенство для суммы двух взаимообратных чисел равенство достигается при x =  1.
Теорема.
Пусть f(x) и g(x) — непрерывные, строго монотонные на интервале (а; b) функции, имеющие разный характер монотонности. Тогда если уравнение f(x) = g(x) имеет решение, то оно единственно.
Доказательство.
Пусть функция f(x) строго возрастает, g(x) строго убывает, а х 0 — решение уравнения f(x) = g(x) , т.е. f(x 0 ) = g(x 0 ) . Тогда по определению строгой монотонности для любого х  (a; х 0 ) f(x) < f(x 0 ) = g(x 0 ) < g(x). Следовательно, f(x) < g(x) на интервале (a; х 0 ). Аналогично f(x) > g(x) на интервале (х 0 ; b) . Таким образом, ни при каких других значениях x  x 0 равенство невозможно. Теорема доказана.
Замечание.
В условии теоремы строгой монотонности достаточно потребовать только от одной функции, а другая может быть нестрого монотонной. Конечно, характер монотонности этих функций должен оставаться различным.
Все разобранные выше задачи достаточно непохожи друг на друга, однако их решения содержат общую идею — оценить одно аналитическое выражение другим выражением (чаще всего конкретным числом), «снизу», а другое — этим же числом «сверху». Сделаем вывод, когда есть основания для предложения, что данная задача может быть решена методом оценки: 1) если в одной части соотношения стоят ограниченные функции, а в другой - конкретные числа. 2) если в задаче переменных больше, чем заданных соотношений (уравнений или неравенств. 3) если в соотношениях содержатся разного вида функции. 4) если в задаче просматриваются неравенства, основанные на свойствах среднего арифметического, среднего степенного, неравенства Коши или им подобные. Конечно, все эти признаки не гарантируют того, что задача решается методом оценки. Кроме того, порой применение метода сложно в техническом исполнении, поэтому, для того чтобы хорошо овладеть им и уметь видеть, когда его применение может принести успех, нужно прорешать большое количество задач такого типа. Не всякое уравнение в результате преобразований может быть сведено к уравнению или неравенству, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях ключевую роль могут сыграть свойства функций, входящих в уравнение или неравенство, как ограниченность, монотонность, четность, выпуклость и др. Используемые чаще всего утверждения: 1) Если f(x) – монотонна на множестве M, то уравнение f(x) = с имеет не более одного решения на множестве M. 1 решение  2) Если f(x) – возрастает на своей области определения, то уравнение f(f(x)) = x равносильно уравнению f(x) = x. Пример: X 1 y = c y = c
Решение: Рассмотрим , тогда исходное уравнение можно записать так (1), так как f(t) – возрастающая функция, основание > 1, то уравнение (1) равнозначно следующему f(x) = x И так для решения исходного уравнения нужно решить уравнение 1 + lnx = x lnx = x – 1 Касательной к графику функции lnx в точке x = 1 является прямая y = -1 + x (доказать). И поскольку функция y = lnx выпукла вверх, то lnx  -1 + x, следовательно равенство достигается только при x = 1. Ответ: x = 1 3) Если f(x) на множестве М каждое значение принимает только один раз, то уравнение f(x) = f(z) равносильно на множестве М уравнению x = z. 4) Е с л и f(x) – возрастает, а g(x) – убывает на множестве М, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного решения на множестве М. 5) Если f(x)  с , а g(x)  c, то уравнение f(x) = g(x) равносильно системе Примеры: (применение свойств) 1) 2 x = -3x + 10 (свойство 4)   возр. убыв. x = 2  один корень 2
ОДЗ: x   + 2  k, k  Z Поэтому имеем Преобразуем выражение в правой части. Оценим левую и правую часть. Для левой части Для правой части: Уравнение возможно, если Аналогично предыдущему примеру Оценим левую часть: Оценим правую часть:
Уравнение возможно, если поскольку не определен tgx. Значит уравнение решений не имеет. Ответ:  Оценим правую часть, учитывая то, что . Имеем Решим систему методом интервалов -1 1 0 0 — — — + + + x x
Оценим правую часть . Оценим левую часть . Пусть x 2 – 4x + 5 = t, y = 2 t – возрастающая функция и 2 t >0 Рассмотрим промежуточную функцию t = x 2 – 4x + 5 – квадратичное уравнение , имеет наименьшее значение , наибольшего значения нет . Вершина параболы ( 2; 1)  Функция y = 2 t принимает наименьшее значение y наим = 2' = 2 E(y ) = [2;  ) Уравнение (1) возможно , если Проверим, является ли x = 2 решением уравнения (1) Ответ: x = 2.
Оценим левую часть, применяя неравенство Коши. Е (f(x)) = [6;  ) Оценим правую часть. Уравнение возможно, если Решим второе уравнение, так как достаточно решить одно уравнение и проверить другое. Имеем Ответ: x = 1.
Оценим левую часть. Уравнение (1) возможно, если Ответ: Преобразуем правую часть:
Имеем:  0  0 Ответ: Оценим знаменатель: Обозначим Имеем: Оценим левую часть. Равенство (1) достигается, если
Ответ: Имеем: Равенство (1) достигается, если Имеем: а) если x + y = 0, то x(x+y) = 0, но у нас x(x + y) = 1  б) если x – y = 0 x = y , получим x(x+y) = 1, x(x+x) = 2x 2 = 1 x 2 = ½
Ответ: 12) Решить уравнение: Решение: Так как -1  cosx  1, то левая часть уравнения принимает значение от -1/2 до 2 (y = 2 -t , убывающая функция) Для правой части (правило 3) для суммы двух взаимно обратных чисел выполнено Уравнение (1) имеет решение, если выполняются одновременно условия: Решив систему, получим x = Ответ: x = 13) При каких значениях параметра p система имеет единственное решение? Решение: Оценим правую часть: (правило 2) Для того, чтобы исходная система имела единственное решение необходимо, чтобы наименьшее значение левой части (трехчлен, имеет наименьшее значение, наибольшего нет) совпадало с наибольшим значением правой части. Имеем:
Ответ: 14) Решить неравенство: Запишем неравенство в виде Так как область определения функции есть отрезок t  [-1;1], то Имеем: Отсюда следует, что y  1. Следовательно минимальное значение правой части неравенство равно при y = 1. Но, поскольку , то максимальное значение левой части неравенства равно , оно до стигает ся п р и исходное неравенство имеет единственное решение: y = 1, x = 0. Ответ: x = 0, y = 1. 15) Решить уравнение: Решение: Имеем: С другой стороны, поскольку для любого положительного числа a справедливо неравенство , заключаем: Равенство (1) возможно, если выполняются одновременно условия: .
Ответ: x = 1. 16) Пример 1. Решите уравнение cos2x · sinx = 1. Решение. Поскольку |cos2x|  1 и |sinx|  1, то |cos2x| · |cosx|  1 и исходное уравнение равносильно совокупности Для уравнения первой системы имеем 1 - 2sin 2 x = -1, откуда sinx = 0, система противоречива, поэтому решений не имеет. Из первого уравнения второй системы следует, что 1 — 2sin 2 x = -1, sinx = ±1. Ясно, что обоим уравнениям системы удовлетворяют только те значения х, при которых sinx = -1, откуда Ответ: Замечание. Приведем другое решение данного уравнения. Заменив cos2x на 1 - 2sin 2 x, получим sinx - 2sin 3 x - 1=0. Положив sinx = t,  t   1, получаем уравнение 17) Решите уравнение: Решение. Так как , то
и возможные корни данного уравнения Подставив эти значения в левую часть уравнения, получим а последнее равенство возможно только при . Следовательно, Ответ: 18) Решите уравнение Решение. Легко видеть, что . Следовательно , но тогда , откуда - возможные корни данного уравнения. Подстановка в данное уравнение показывает, что эти числа действительно являются его корнями. Ответ: 19) Решите уравнение sin 2 2х + sin 2 4х + sin 2 6х = 0. Решение. Легко сообразить, что данное уравнение равносильно системе
Отмечая все корни на окружности единичного радиуса, замечаем, что их совпадение наступает в точках 0; /2; ; 3 /2. Теперь ясен и ответ: 20) Решите уравнение Решение. Так как и, следовательно, Если данное уравнение имеет корень, то необходимо (но не достаточно), чтобы Непосредственная подстановка в исходное уравнение показывает, что это число – его корень. Ответ: 21) Решите уравнение Решение. Заметим, что Получаем уравнение, равносильное данному:
Оценим левую и правую части уравнения: Следовательно, исходное уравнение может иметь корни, которые удовлетворяют системе: Ответ: 22) Решите уравнение. Решение. Применим для левой части уравнения формулу где и получим В нашем случае Замечаем, что Значит, чтобы дано уравнение имело корни, необходимо, чтобы его корни удовлетворяли уравнению то исходное уравнение принимает вид Итак, необходимо решить систему
В т о р о е р а в е н с т в о с и с т е м ы с т а н о в и т с я в е р н ы м п р и - решение данного уравнения. Е с л и не обращается в верное при этих значениях x. Ответ: Метод оценки (из прошлых ЕГЭ) 1) Найти количество целых чисел,  ОО функции. ОДЗ x  (3; 7) промежутку (3; 7) принадлежат числа 4, 5, 6. Проверим не является решением, т.к.  n, n  Z является решением, т.к. не целое число не я в л я е т с я решением. Ответ: x = 5
2) Решить Т.к. Равенство (1) возможно, когда Т.к. то x = 5  этому промежутку, проверим x = 1 1  x  2 Ответ: x = 1. 3) Решить уравнение ОДЗ решение Т.к. но  0, то равенство (1) возможно тогда, когда
Проверим, выполняется ли 1 = 1 верно Ответ: x = 0. 4) Решить уравнение Решение. Сумма коэффициентов перед тригонометрическими функциями в левой части равна 6, что меньше 7. Это наталкивает на мысль о решении уравнения методом оценки. Действительно, Следовательно, левая часть не превосходит 6 при любом х, поэтому уравнение не имеет действительных решений. Ответ: нет решений. 5) Найти все пары чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению Решение. Имеется одно уравнение от двух переменных, поэтому попробуем применить метод оценки. Применяя формулу разности косинусов, получаем: Т.к. (иначе , что невозможно), то Чтобы полученное уравнение имело решения, необходимо, чтобы Т.к то это неравенство можно переписать как
Но поэтому Замечание. Исходное уравнение имеет еще одно решение, использующее метод оценки. 6) Решить уравнение. Если то причем равенство достигается только при . В данном случае . Таким образом, по аналогии с уравнением (2) уравнение имеет решение, только если обе части равны 2. Следовательно, .
Проверив, убедимся, что при х = 0. Ответ: х = 0. 7) Решить неравенство Решение. , но Ответ: решений нет. 8) Решить неравенство Решение. Поскольку в неравенстве присутствуют функции разного вида, то вновь попробуем применить метод оценки. Правая часть неравенства имеет смысл при . Это означает, что . Т а к и м о б р а з о м , п р и в с е х д е й с т в и т е л ь н ы х з н а ч е н и я х х в ы п о л н е н о н е р а в е н с т в о , поэтому неравенство (3) может быть выполнено, только если . Решая полученные уравнение, приходим к окончательному ответу. Ответ: (0; 1) 9) Решить неравенство Решение. По аналогии с предыдущим неравенством , следовательно, . Поэтому левая часть неравенства неотрицательна при любых действительных x и y, и неравенство выполнено, только если .
Ответ: (0; 1) Замечание. Исходное неравенство можно было также решить аналогично неравенству (3), если переписать его в виде 10) Решить систему уравнений Решение. В данной системе переменных больше, чем уравнений, и в первом уравнении в левой части стоит сумма взаимообратных положительных величин, поэтому возникает мысль о возможности использования метода оценки. Р е ш и м п е р в о е у р а в н е н и е . Следовательно . Подставляя последнее равенство во второе уравнение системы, получаем: . Решая полученные тригонометрические уравнения, находим ответ. Ответ: 11) При каких значениях параметров a и b имеет решение система Решение. Можно заметить, что и в этом случае переменных больше, чем уравнений и неравенств, поэтому снова попробуем применить метод оценки. Р а с с м о т р и м у р а в н е н и е с и с т е м ы . Е с л и о б о з н а ч и м и уравнение можно переписать в виде Если имеет решение система, то существует по крайней мере одно решение полученного уравнения. Уравнение является квадратным относительно y, следовательно, Исследуем неравенство системы. Пользуясь формулой косинуса д в о й н о г о у гл а и у с л о в и е м ( 5 ) , и м е е м д л я л е в о й ч а с т и :
В правой части очевидно, что . Таким образом, выполнение неравенства возможно только в случае, когда обе его части равны 2. В частности, чтобы это было так, tgbz должен быть равен 2, т.е. дискриминант уравнения (4) должен быть равен 0, и, следовательно, это уравнение имеет единственный корень . Суммируя в с е вышесказанное, получаем, что исходная система равносильна следующей системе: Из первого уравнения системы получаем . Из третьего уравнения найдем . Учитывая предыдущее соотношение, . 12) Решить уравнение Решение. Так как и, следовательно, С другой стороны, sinх  1, значит корнем уравнения может быть только такое число, при котором левая и правая части уравнения одновременно обращаются в 1. Значит, задача сводится к решению системы тригонометрических уравнений
Из уравнения находим Подставив эти значения во второе уравнение, получим и нам останется лишь найти такие целочисленные значения параметра k, при которых это верно. Начнем последовательный перебор целочисленных значений параметра k: если k = 1, то или k = 3, то и т.д. Перебор показывает, что подходят такие значения k = 2, 5, 8, 11,…, -1, -4,7,… их можно объединить формулой k = 3n – 1. Таким образом решения системы (а значит и заданного уравнения) имеют вид Ответ: 13) Решить уравнение Решение. Имеем Так как (мы использовали возрастание функции ). C другой стороны, известно, что , если a > 0, причем лишь при a = 1. Это значит, что тогда правая часть заданного уравнения больше или равна .
Итак, левая часть уравнения не превосходит , а правая – не меньше чем . Мы приходим к системе уравнений Из второго уравнения получаем , откуда х 1 = 3, х 2 = -3. Первое значение не удовлетворяет первому уравнению системы, второе – удовлетворяет. Ответ: х = -3. 14) Решите уравнение Решение. Преобразуем левую часть уравнения: Сумма квадратов чисел равна нулю, если эти числа равны нулю: Ответ: (-3; 3). 15) Решите уравнение Решение. Так как , то равенство возможно лишь в случае, когда оба слагаемых равны единице, т.е. Найдем, какие значения х удовлетворяют обоим этим неравенствам:
Так как k – целое число, то 12n + 3 должно быть кратно 5, а это возможно лишь когда n = 1 + 5t, t  Z. Отсюда Ответ: . 16) Решите уравнение Решение. Т а к к а к и равенство возможно, когда Отсюда Ответ:
17) Решите уравнение Решение. Так как и , то равенство возможно лишь в случае, когда Отсюда Значит, Ответ: . В двух последних примерах нам было удобно рассматривать равенство двух функций . В этом случае надо найти области значений функций , их пересечение , а затем решить систему уравнений. Так, например, если , то решение уравнения сводится к решению системы 18) Решите уравнение
Решение. Рассмотрим функции Т а к к а к , данное уравнение равносильно системе Решив первое уравнение системы, получим Решением второго уравнения системы является х = 2. Отсюда следует, что решением системы, а значит, и данного уравнения является х = 2. Ответ: 2 19) При каких значениях а уравнение имеет хотя бы один корень. Решение. Рассмотрим функции Так как , то данное уравнение равносильно системе Решая первое уравнение системы, получим Подставим найденное решение во второе уравнение системы
Отсюда следует, что при данная система уравнений, а значит, и данное уравнение имеет хотя бы один корень. Ответ: Задания из тестов. Решить: Т-31 Ответ: 1 T-32 Ответ: 2 T-33 Ответ: 4 T-34 Ответ: 2 T-35
Ответ: 2 T-38 Ответ: 2 T-31 Ответ: 1 T-32 Ответ: x = -1 T-33 Ответ: x = 0 T-34 x = 2 Ответ: 3 Ответ: x = -2 1) Решить неравенство Это возможно, лишь тогда:
Решим: Проверим, обращаются ли в другие слагаемые. Ответ: . 2) Ответ: . 3) Оценим правую часть
Нужно проверить Ответ: х = -2 4) Уравнение имеет корни, когда обе части равны  1 Ответ: х = 0. 5) Решить уравнение. Подставим в Ответ: 2 Из №201, 2005 г. С-2. Найти нули функции Оценив выражение левой части, под знаком корня z = cos( )  x 1
1  cos  x  1 под знаком корня может быть только значение= 0 Значит и значение правой части должно быть равным 0. - не удовлетворяет условию Обязательно выполнить проверку, подставив в Ответ: х = 0; х = 2. С-2 из 202. Найти нули функции. Оценим Значит и значение правой части должно быть равным 0. Проверка: 1) -1  0 2) 2)
3) 1 – 1 = 0 Ответ: . №203. Найти нули функции. Оценим правую часть (= 0) Проверка: 1) -1 – 1  0 2) 1 + 1 = 0 3) 1 – 0  0 Ответ: х = 3. 1) Решить уравнение:
Оценим правую часть Оценим левую часть: y = 2 t – возрастающая функция (показательная) и свое наименьшее значение принимает, если показатель - наиб. (наиб. – если – наиб.) 2 t > 0 – квадратичная функция, график парабола Уравнение возможно, если Достаточно решить одно уравнение и проверить другое. Проверим, удовлетворяет ли х = 2 второму уравнению. Ответ: x = 2. 2) Оценим
Уравнение возможно, если . Подставив в первое уравнение Ответ: x = 1. 3) – возрастающая - убывающая х = 1 По теореме о единственном корне уравнение имеет один корень. Ответ: х = 1 4) Оценим правую часть: Оценим левую часть: Имеем:
Уравнение возможно, если: Решим (достаточно его решить и проверить выполнимость второго уравнения). Подставим во второе уравнение: 3(1 + 1) = 6 6 = 6 Ответ: х = 1. 5) Найти пары чисел (x;y) удовлетворяющие уравнению Решим методом оценки. Оценим левую часть: Правая часть: Решим метом интервалов: -3 3 0 0 — — — + + + x x
Проверим: 1 = 1 – верно -1 = -1 – верно Ответ: х = 3, х = -3. Найти все значения параметра а, при которых уравнение: имеет хотя бы одно решение на множестве целых чисел. Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе под знаком логарифма (выделим полный квадрат). Посмотрим на Числитель данной положительной дроби больше знаменателя, либо равен знаменателю, поэтому дробь равна 1, либо > 1 но сумма двух положительных чисел равна 0 данное уравнение равносильно:
Так как исходное уравнение должно иметь хотя бы одно целочисленное решение  нужно вычислить при каких значениях параметра а хотя бы одна из систем (1) или (2) имеет решение на множестве целых чисел. Рассмотрим (1). Подставим из второго уравнения в (1) Решим вторую систему: (решим по интервалам). Из этого промежутка целочисленные х = -3; х = -2. Найдем Ответ: {  ;  + 1;  + 3}. 5) Решить уравнение: Решим методом оценки. А правая часть уравнения (1) не может быть меньше -1, то равенство в данном уравнении возможно только в следующем случае:
Ответ: