Психология и математика
Связь этих наук так или иначе затрагивают почти все авторы в своих исследованиях. Использование математических методов способствует не только доказательно представлять те или иные выводы в исследовании, но и строго логично строить весь его процесс. Даже крупные ученые, написав немало трудов, возвращались к изучению математики с тем, чтобы увеличить свой творческий потенциал. Изучение математики в школе положительно влияет на формирование мышления и речь школьников. Методисты доказали, например, что изучение учащимися геометрии в средней школе способствует развитию их умственных способностей.
К.Рамуль
в книге "Из истории психологии" подробно описал математическую психологию
И.Ф.Горбатова
, для которого ее обоснование было делом величайшей важности в течение всей жизни. Другие ученые считали, что математические знания и способности помогли бы добиться важных разъяснений относительно предмета психологии. Существует мнение, неоднократно высказывавшееся крупными учеными прошлого: область знания становится наукой, лишь применяя математику. С этим мнением, возможно, не согласятся многие гуманитарии. А зря: именно математика позволяет количественно сравнивать явления, проверять правильность словесных утверждений и тем самым добираться до истины либо приближаться к ней. Математика делает обозримыми длинные и подчас туманные словесные описания, проясняет и экономит мысль. Математические методы позволяют обоснованно прогнозировать будущие события, вместо того, чтобы гадать на кофейной гуще или как-либо иначе. В общем, польза от применения математики велика, но и труда на ее освоение требуется много. Однако он окупается сполна. Психология в своем научном становлении неизбежно должна была пройти и прошла путь математизации, хотя не во всех странах и не в полной мере. Точной даты начала пути математизации, пожалуй, не знает ни одна наука. Однако для психологии в качестве условной даты начата этого пути можно принять
18 апреля 1822

г.
Именно тогда в Королевском немецком научном обществе
Иоганн Фридрих

Гербарт
прочел доклад «О возможности и необходимости применять в психологии математику». Основная идея доклада сводилась к упомянутому выше мнению: если психология хочет быть наукой, подобно физике, в ней нужно и можно применять математику. Спустя два года после этого программного по своей сути доклада
И. Ф. Гербарт
издал книгу «Психология как наука, заново основанная на опыте, метафизике и математике». Эта книга примечательна во многих отношениях. Она явилась первой попыткой создания психологической теории, опирающейся на тот круг явлений, которые непосредственно доступны каждому субъекту, а именно на поток представлений, сменяющих друг друга в сознании. Никаких эмпирических данных о характеристиках этого потока, полученных, подобно физике, экспериментальным путем, тогда не существовало. Поэтому Гербарт в отсутствие этих данных, как он сам писал, должен был придумывать гипотетические модели борьбы всплывающих и исчезающих в сознании представлений. Облекая эти модели в аналитическую форму,например
φ =α(l-exp[-βt])
,где
t
—время,
φ
—скорость изменения представлений,
α и β
— константы, зависящие от опыта,
Гербарт
, манипулируя
числовыми значениями параметров, пытался описать возможные характеристики смены представлений. По-видимому,
И. Ф. Гербарту
первому принадлежит мысль о том, что свойства потока сознания — это величины и, следовательно, они в дальнейшем развитии научной психологии подлежат измерению. Ему также принадлежит идея «порога сознания», и он первый употребил выражение «математическая психология». У
И. Ф. Гербарта
в Лейпцигском университете нашелся ученик и последователь, позднее ставший профессором философии и математики, —
Мориц-Вильгельм Дробиш.
Он воспринял, развил и по-своему реализовал программную идею учителя. В словаре
Брокгауза
и
Ефрона
о
Дробише
сказано, что еще в 30-х годах Х1Х века он занимался исследованиями по математике и психологии и публиковался на латинском языке. Но в 1842г.
М.В.Дробиш
издал в Лейпциге на немецком языке монографию под недвусмысленным названием: «Эмпирическая психология согласно естественнонаучному методу». Эта книга
М.-В. Дробиша
дает замечательный пример первичной формализации знаний в области психологии сознания. Там нет математики в смысле формул, символики и расчетов, но там есть четкая система понятий о характеристиках потока представлений в сознании как взаимосвязанных величинах. Уже в предисловии
М.-В. Дробиш
написал, что эта книга предваряет другую, уже готовую, — имеется в виду книга по математической психологии. Но поскольку его коллеги-психологи недостаточно подготовлены в математике, постольку он счел необходимым продемонстрировать эмпирическую психологию сначала безо всякой математики, а лишь на твердых естественнонаучных основах. Не знаю, подействовала ли эта книга на тогдашних философов и богословов, занимавшихся психологией. Скорее всего — нет. Но она, несомненно, подействовала, как и работы
И. Ф. Гербарта
, на лейпцигских ученых с естественнонаучным образованием. Лишь через восемь лет, в 1850 г. в Лейпциге вышла в свет вторая основополагающая книга М.-В. Дробиша—«Первоосновы математической психологии». Таким образом, у этой психологической дисциплины тоже есть точная дата появления в науке. Некоторые современные психологи, пишущие в области математической психологии, ухитряются начинать ее развитие с американского журнала, появившегося в 1963 г. Воистину, «все новое — это хорошо забытое старое». Целое столетие до американцев развивалась математическая психология, точнее — математизированная психология. И начало процессу математизации нашей науки положили
И. Ф. Гербарт
и
М.-В. Дробиш.
Надо сказать, что по части новаций математическая психология
Дробиша
уступает сделанному его учителем —
Гербартом.
Правда,
Дробиш
к двум борющимся в сознании представлениям добавил третье, а это сильно усложнило решения. Но главное, по-моему, в другом. Большую часть объема книги составляют примеры численного моделирования. К сожалению, ни современники, ни потомки не поняли и не оценили научного подвига, совершенного
М.-В. Дробишем
: у него ведь не было компьютера для численного моделирования. А в современной психологии математическое моделирование — это продукт второй половины XX века. В предисловии к нечаевскому переводу гербартианской психологии российский профессор
А. И. Введенский,
знаменитый своей "Психологией без всякой метафизики", весьма пренебрежительно отозвался о попытке
Гербарта
применять в психологии
математику. Но не такова была реакция естествоиспытателей. И психофизики, в частности
Теодор

Фехнер,
и знаменитый
Вильгельм Вундт
, работавшие в Лейпциге, не могли пройти мимо основополагающих публикаций
И.Ф.Гербартаи М.-В. Дробиша.
Ведь именно они математически реализовали в психологии идеи
Гербарта
о психологических величинах, порогах сознания, времени реакций сознания человека, причем реализовали с использованием современной им математики. Большие массивы числовых результатов измерений по тестам— в баллах, стали объектом многочисленных исследований, в том числе математико-психологических. Особая роль здесь принадлежит английскому инженеру, работавшему в Америке, —
Чарльзу

Спирмену
.
Спирмен
предложил теорию «генерального» фактора, определяющего совместную изменчивость переменных тестовых результатов, а также разработал метод выявления этого фактора по корреляционной матрице. Это был первый метод факторного анализа, созданный в психологии и для психологических целей. С конца 20-х гг XX века математические методы все шире проникают в психологию и творчески используются в ней. Интенсивно развивается психологическая теория измерений. На основе аппарата цепей
Маркова
разрабатываются стохастические модели научения в психологии поведения. Созданный в области биологии
Рональдом

Фишером
дисперсионный анализ становится основным математическим методом в генетической психологии. Математические модели из теории автоматического регулирования и шенноновская теория информации широко применяются в инженерной и общей психологии Должен возникнуть вопрос: какими особыми свойствами обладает математика, если одни и те же математические методы успешно применяются в различных науках? Отвечая на этот вопрос, следует обратиться к предмету математики и ее объектам. На протяжении многих столетий считалось, что предметом математики является все сущее — природа в широком смысле. Математики древности полагали, что математические формы имеют божественное происхождение. Так,
Платон
рассматривал геометрические фигуры как идеальные эйдосы, т. е. образы, созданные высшими богами для копирования людьми, конечно, уже не в той совершенной форме. А знаменитый
Пифагор
видел в числах и определенных числовых сочетаниях предустановленную гармонию небесных сфер. Религиозное мировоззрение людей веками связывало божественное творение мира с математическими средствами, с помощью которых выражаются законы природы. Глубоко религиозный сэр
Исаак Ньютон
верил, что «книга природы написана на языке математики», и широко использовал математические методы в своей натуральной философии. Надо сказать, что, даже отказавшись от веры в божественное творение мира, многие математики продолжали считать природу предметом математики. Нам широко известна формулировка, данная в свое время
Ф. Энгельсом:
«Предметом математики служат пространственные формы и количественные отношения материального мира».
Еще и сегодня можно встретить эту формулировку в учебной литературе. Правда, появились и другие трактовки предмета — как наиболее абстрактных моделей всего сущего. Но здесь, на мой взгляд, предмет математики опять-таки сужен до служебной функции — моделирования и снова природы в широком смысле. Спрашивается, а правильно ли это, отказавшись от идеи творения, по-прежнему считать природу предметом математики? Ведь это не только не последовательно. Дело в том, что один и тот же природный закон можно выразить математически по- разному и в пределах научной точности нельзя доказать, какое из выражений истинно. Примером могут служить логарифмический закон
Вебера—Фехнера
и степенной закон
Стивенса,
которые, как показал
Ю. М. Забродин,
оба выводятся при определенных допущениях из некоего обобщенного психофизического закона. То обстоятельство, что один и тот же математический метод описывает явления из разных наук, тоже свидетельствует не в пользу природы как предмета математики. Так если не природа, то что же является предметом математики? Мой ответ, несомненно, крайне удивит многих представителей физико-математических наук: предметом математики является ее собственный продукт—те математические объекты, из которых состоит математика как наука.
Математический объект
— это продукт человеческой мысли, материализованный хотя бы в одной из пяти основных форм: вербальной, графической, табличной, символической или аналитической. Конечно, древний мыслитель мог найти в природе аналоги математическим объектам — геометрическим формам, числам, как-либо физически воплощенным (прямая тростинка, пять камней и т. п.). Но ведь математическую сущность надо было абстрагировать от материальной природной формы. Лишь после этого она становилась математической, а не физической (биологической и т.д.). И сделать это мог только человек. В длинном ряду поколений — и для практических целей, и ради интереса — люди создавали тот мир математических объектов (включая отношения и операции над объектами, которые тоже суть математические объекты), который называется математикой. Подобно психологии, математика — это обширная и бурно развивающаяся область знаний. Но она также далеко не однородна: в ее составе выделяются не только многочисленные отрасли, но и «разные математики». Существуют «чистая» и прикладная, «непрерывная» и дискретная, «не конструктивная» и конструктивная, формально-логическая и содержательная математики. Пожалуй, так же как нет психолога, знающего все отрасли психологии, так нет и математика, знающего все отрасли и направления современной математики. Ведь даже энциклопедии и справочники наряду с классическими, традиционными разделами, общими для всех, содержат различные дополнительные, причем отнюдь не новые разделы математических сведений. Обилие и разнообразие математических теорий и методов порождает проблемы выбора и практического использования математики за ее пределами, в том числе в психологии. Абстрактный характер математики, ее независимость от природы в широком смысле и позволяют использовать математические методы в самых разных приложениях. Разумеется, при этом важно, чтобы метод был адекватен объекту, для изучения которого применяется. В каждой науке, помимо ее предмета, предполагают существующими особые,
свойственные данной науке методы. Так, для современной психологии характерным является метод тестов. Используемые в ней методы наблюдения, беседы, эксперимента и т.д., о которых пишется в учебниках, не являются специфичными для психологии и широко используются в других науках. Вообще, за редким исключением, современные научные методы универсальны и применяются везде, где можно. Аналогично обстоит дело с математикой. И хотя большинство математиков убеждены в специфичности аксиоматического подхода, математической индукции и доказательств, на самом деле все эти методы используются и за пределами математики. Математические объекты существуют в текстах и мыслях думающих о них людей в одной, нескольких или всех из пяти основных форм — словесной, графической, табличной, символической и аналитической. Это названия объектов, геометрические фигуры или чертежи и графики, различные таблицы, символы объектов, операций и отношений, наконец, различные формулы, которыми выражаются отношения между объектами. Так вот математические методы представляют собой правила или процедуры построения, преобразования, метризации и вычисления математических объектов—всего четыре основных типа методов. Среди каждого из них есть простые и сложные, как, например, суммирование двух чисел и факторизация корреляционной матрицы. Пятый тип — комбинированный из основных — открывает неограниченные возможности конструирования новых математических методов, необходимых для определенных научных приложений. Многие методы играют служебную роль в самой математике, как, в частности, доказательства теорем или определенные строгости изложения, так приветствуемые математиками. Для практических приложений математических методов за пределами математики, в том числе в психологии, математические строгости и тонкости не нужны: они затеняют суть результатов, в которых математика должна находиться на заднем плане, как, например, логарифмическая основа психофизического закона
Вебера—Фехнера.