Комплексные

числа
1. Мы уже знаем, что квадратное уравнение может не иметь действительных корней. Простейшее из таких уравнений это уравнение х 2 + 1 = 0 А чтобы любое квадратное уравнение имело корни, приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел. На множестве комплексных чисел уравнение х 2 + 1 = 0 должно иметь корень. Этот корень обозначается буквой i и называется мнимой единицей. Мнимая единица определяется равенством i= √ − 1 Простейшее свойство мнимой единицы i 2 =-1 Комплексным числом называется выражение вида a+bi, где а и b– действительные числа, i= √ − 1 При этом a – называется действительной частью, bi – мнимой частью числа комплексного числа. Например: 5+ 7i , 5 – действительная часть, 7i – мнимая Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел Например: 18+0i=18 0+0i=0 -17+0i=-17 Два комплексных числа a+bi и c+di считаются равными, если a=c и b=d , т.е. если равны их действительные и мнимые части. Пример: Найдите действительные число X Y если (5x+3y)+(3x-y)i=13+5i Решение: По определению равенства комплексных чисел получим + { 5 x + 3 y = 13 3 x − y = 5 ∨ ∙ 3 ≤¿ { 5 x + 3 y = 13 9 x − 3 y = 15 14x=28 x=2 y=3x-5, y=1 Ответ: x=2,y=1. Из определения комплексных чисел следует, что действия над ними можно производить по обычным правилам действий с многочленами, учитывая что i= √ − 1 Очевидно, что для действий над комплексными числами справедливцы известные свойства действий для действительных чисел, такие, как переместительное и сочетательное свойства сложения, умножения, распределит свойство умножения и др. Пример 2. Выполнить действия
1.(7-15ij)+(-19+3i) =7-15i-19+3i= -12-12i; 2.(6-11i)-(8-7i) = 6-11i-8+7i=-2-4i ; 3.(3+2i) ∙ (5-8i)=15-24i+10i-16i=15-14i+16=31-14i; 4. 7 − 26 i 5 − 2 i = ( 7 − 26 i ) ( 5 + 2 i ) ( 5 − 2 i )( 5 + 2 i ) = 35 − 116 i − 52 i 2 25 − 4 i 2 = 87 − 116 i 29 = 87 29 - 116 j 26 = 3- 4j. (Умножили числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю: число a-bi называется сопряженным числа a+bi и наоборот). Замечание: B результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получаются комплексные числа, то есть действия с ними аналогичны действиям для действительных чисел. Но есть и отличительные свойства: действительные числа можно сравнить (>или<), а комплексные числа, отличные от действий, сравнивать нельзя! Пример3. Найти значение выражения: ( 3 + 5 i )( 2 − i ) ( 2 + i )( 1 − 3 i ) = 6 − 5 i 2 + 7 i 2 − 3 i 2 − 5 i = 11 + 7 i 2 + 18 i 5 ( 1 − i 2 ) = 4 + 18 i 10 = 4 10 + 18 i 10 = 0,4+1,8i Квадратные уравнения, содержащие комплексные неизвестные. Пусть t 2 = m, где m – заданное число, t- неизвестное На множестве R уравнение имеет: а) один корень t=0, если m=0; б) два действительных корня t 1,2 = ± √ m , если m> 0; в) не имеем действительных корней, если m< 0. Hа множестве комплексных чисел квадратное уравнение всегда имеет корни, причем два, считая и кратность корня. Пример 1. Решить уравнение t 2 = m , если а)m=-1; б)m =-49; в)m=-17. Решение а) t 2 =-1 Известно, что i 2 =-1, тогда t 2 = i 2 , t 2 − i 2 = 0 (t-i)(t+i)=0, t 1 = i , t 2 =− i Ответ: t=-i. t=i б) t 2 =-49. Т.к. i 2 =-1, то t 2 =49 i 2 , t 2 − 49 i 2 =0, (t -7i) (t + 7i)=0, t 1 = 7 i , t 2 =− 7 i . Ответ: t 1,2 = ± 7 i в) t 2 =-17 т.к. i 2 =-1,то t 2 =(-1) ∙ 17 или t 2 =17 i 2 , t 2 − 17 i 2 = 0, ( t − √ 17 i ) (t+ √ 17 i ¿= 0 t 1 = √ 17 i , t 2 =− √ 17 i Ответ: t 1,2 = ± √ 17 i Уравнение t 2 = m где m<0 имеем два комплексных корня: ¿ m ∨¿ i t 1 = √ ¿ , t 2 = √ | m | i Т.к. i 2 =− 1 , то квадратные корни из отриц. чисел записывают так: √ − 1 =i, √ − 16 = i √ 16 =4i √ − 17 =i √ 17
Таким образом, √ m определен для любого действительного числа (полож., отриц. и 0) и тогда квадратное уравнение a t 2 +bt+c=0, где a, b, c, a ≠ 0 - действительные числа , всегда имеет корни на множестве комплексных чисел. Эти корни находятся по известным уже формулам: t 1,2 = − b ± √ D 2 a , где D= b 2 -4ac t 1,2 = − b 2 ± √ D 4 a , Пример 2. t 2 − 10 t + 34 = 0 По формуле x 2 + pa + q = 0 , где p,q - действительное число x 1,2 = − p 2 ± √ ( p 2 ) 2 − q t 1,2 =5 ± √ 25 − 34 =¿ 5 ± √ − 9 = 5 ± 3 i t 1 =5-3i, t 2 = 5 + 3i Найдем сумму и произведение этих корней t 1 + t 2 = 5 = 3i + 5 + 3i = 10 t 1 ∙ t 2 = 25 – 3i = 34 т.е. в этом случае справедлива т. Виета. Пример 2 . Составьте приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если один из его корней t 1 =-2-5j Решение: Т.к. корни квадратного уравнения являются сопряженными величинами, то t 2 =− 2 + 5 i . по т. Виета найдем: p=-( t 1 + t 2 ) =-(-2 – 5i – 2 + 5i) = 4 q= t 1 ∙ t 2 =¿ (-2-5i)(-2+5i) = (− 2 ) 2 - ( 5 i ) 2 = 4 - 25 i 2 = 29 Данное уравнение имеем вид t 2 +4t+29=0 Ответ: t 2 +4t+29=0.