Предмет:
Элективный курс Математика: избранные вопросы
Класс:
10 А
Учитель
: Кузнецова Ирина Сергеевна, МОУ СОШ №7, г. Алексеевка, Белгородская обл.
Тема: Показательная и логарифмическая функции.
Цели урока: обобщить и систематизировать материал, изученный на уроках математики по теме «Показательная и логарифмическая функции», применить полученные знания при решении прикладных задач, в том числе задач ЕГЭ. Задачи урока: расширить представление учащихся о применении свойств показательной функции и логарифмов в различных областях естествознания и при решении заданий государственной итоговой аттестации, определить прочность знаний, умений и навыков при решении показательных и логарифмических уравнений; развивать логическое мышление, умение анализировать, классифицировать факты, оперировать полученными знаниями и навыками, выделять главное, обобщать, развивать интерес к математике, формировать навыки самостоятельной работы с учебной литературой и Интернет-ресурсами; развивать самостоятельность, волю: инициативу, уверенность в своих силах, умений самостоятельно действовать; воспитывать познавательную активность, стремиться к воспитанию коллективизма, взаимопомощи, отзывчивости, добросовестности, чувства такта, ответственности за порученное дело, воспитывать умения управлять эмоциями. Формируемые УУД: регулятивные: умения управлять познавательной и учебной деятельностью: ставить цели, планировать деятельность, осуществлять контроль и коррекцию знаний, оценивать деятельность; познавательные: умения осуществлять поиск и выделять необходимую информацию, выбирать эффективные способы решения, проводить исследовательскую работу; коммуникативные: умения сотрудничать: слушать, понимать, планировать свою деятельность и деятельность окружающих, осуществлять контроль и самоконтроль, уметь договариваться, считаться с чужим мнением, грамотно задавать вопросы. Тип урока: урок повторения и обобщения полученных знаний Форма организации учебного процесса: фронтальная, индивидуальная, работа в группах. Оборудование: ПК, проектор, экран, таблицы Брадиса, кейсы с заданиями ХОД УРОКА I. Организационный момент. (1 мин.) Заранее раздать кейсы с материалами к уроку. Учитель:
- Здравствуйте ребята и уважаемые коллеги! Я рада приветствовать вас на сегодняшнем уроке. - Ребята, сегодня необычный урок, у нас присутствуют гости, мои коллеги. Вы должны постараться сегодня показать себя только с лучшей стороны, быть активными, показать все свои знания и умения, приобретенные на предыдущих уроках. Желаю вам удачи! У вас на столе лежат материалы – кейсы с заданиями для урока. Выполняя эти задания, вы будете получать баллы, сумма которых определит вашу отметку в конце урока. Баллы будете заносить в таблицы результатов, которые есть в этих кейсах. II. Актуализация полученных знаний. 1. Формулировка темы и задач урока (5 мин) - Вспомните, что вы изучали на протяжении нескольких последних уроков математики? -Верно, вы изучили понятия логарифма, показательную и логарифмическую функции и их свойства, научились решать показательные и логарифмические уравнения. - А сейчас, прежде чем сформулировать сегодняшнюю тему в рамках элективного курса, я предлагаю посмотреть следующие слайды. (
Слайд 2-6
) После просмотра слайдов: - Как вы думаете, ребята, как звучит тема сегодняшнего занятия? - Верно, тема сегодняшнего урока: «Показательная и логарифмическая функции» - Давайте сформулируем цели нашего урока: что мы должны обобщить, систематизировать и что рассмотреть сегодня? (
Слайд 7-8
) 2. Проверка домашнего задания. (10 мин) Проверим домашнее задание - Что было задано на дом? - Итак, дома решали задания на сайте «Решу ЕГЭ», профильная математика, задание 9, раздел «Преобразования числовых логарифмических выражений». Начнем с небольшой разминки и проверим как вы справились с домашним заданием, повторим основные определения, формулы и свойства логарифмов. (
Слайд

9-19
) Молодцы! Каждый из вас получил балл, не забудьте внести его в таблицу результатов. Выполним задания по вариантам. Все материалы в конце урока выбудете сдавать вместе с выполненными заданиями, поэтому ваш пакет нужно подписать. (работа с бланком регистрации). Найдите в кейсах бланк «Проверка домашнего задания». Проверим (Слайд 20). Внесем данные в таблицу результатов. III. Решение задач. 1. Дальше мы будем работать в группах. (15 мин) В жизни люди различных профессий встречаются с разными видами задач, в том числе с задачами, требующими математических знаний. “Без знания математики нельзя
понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления”, - Колмогоров А.Н. Сейчас вы будете решать задачи из различных областей науки: географии, химии, биологии, биофизики. В кейсах найдите задания для работы в группе 1 группа – задачи в области географии Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчёты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд. Покажем, как в таких расчётах применяются логарифмы. Задача. Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 1,5 раза? Решение. Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: А = а ⋅ ( 1 + р 100 ) х . Примем население города за a, тогда А = 1,5а, p = 3 и x – неизвестно. Сделав подстановку в формулу и сократив на а, получим: 1,5 = ( 1 + 3 100 ) х или 1,5 = 1,03 х . Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его. xlg1,03 = lg1,5 , откуда х = lg 1 .5 lg 1 . 03 . Найдя по таблице lg1,5 и lg1,03 , получим х = 0. 1761 0 . 0128 ≈ 14 Ответ: примерно через 14 лет. Увеличение населения в 2 раза при ежегодном приросте на 3% : х = lg 2 lg 1 . 03 = 0, 3010 0, 0128 ≈ 24 произойдет через 24 года. Увеличение населения в 3 раза при ежегодном приросте на 3% : х = lg 3 lg 1 . 03 = 0, 4771 0, 0128 ≈ 37 произойдет через 37 лет. Увеличение населения в 2 раза при ежегодном приросте на 5% : х = lg 2 lg 1 . 05 = 0, 3010 0, 0212 ≈ 14 произойдет через 14 лет. Увеличение населения в 3 раза при ежегодном приросте на 5% : х = lg 3 lg 1 . 05 = 0, 4771 0, 0212 ≈ 23 произойдет через 23 года. Эти данные позволяют планировать городское строительство. Разрабатывать долгосрочные проекты. 2 группа – задачи в области химии и биофизики
Думаю все из нас неоднократно встречались с пометкой pH на моющих средствах. В химии ее называют водородным показателем – это отрицательный десятичный логарифм концентрации ионов водорода. С помощью этого показателя определяется уровень кислотности среды. И на основе этого проводится радиоуглеродный анализ, который позволяет определять точный возраст ископаемых пород и животных. Попытаемся понять суть этого метода на примере следующей задачи. Задача. Известно, что соотношение между углеродом С 12 и его радиоактивным изотопом С 14 во всех живых организмах постоянно и равно 1\2. Период полураспада углерода С 14 составляет 5760 лет. Определите возраст останков мамонта, найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание изотопа С 14 в них составляет 26% от его количества в живом организме. Решение. Для решения этой задачи применим формулу: х = t ⋅ ( lg B − lg q ) lg p ,где q – начальное количество изотопа С 14 пусть оно равно т, В – количество изотопа в живом организме, t – период полураспада, р=1/2 (соотношение между углеродом С 12 и его радиоактивным изотопом С 14 во всех живых организмах постоянно). Получим: х = t ⋅ ( lg B − lg q ) lg p = 5760 ⋅ ( lg 0,26 m − lg m ) lg 1 2 = 5760 ⋅ lg 0,26 m m − lg 2 =− 5760 ⋅ lg 0, 26 lg 2 =− 5760 ⋅ ( − 0, 5850 ) 0,3010 ≈ 11200 Ответ: возраст останков мамонта 11200 лет. Если относительное содержание изотопа С 14 в них составляет 6% от его количества в ж и в о м о р г а н и з м е , т о х = t ⋅ ( lg B − lg q ) lg p = 5760 ⋅ ( lg 0,06 m − lg m ) lg 1 2 = 5760 ⋅ lg 0,06 m m − lg 2 =− 5760 ⋅ lg 0, 06 lg 2 =− 5760 ⋅ ( − 1, 2218 ) 0, 3010 ≈ 23381 озраст останков 23381 год. Если относительное содержание изотопа С 14 в них составляет 5% от его количества в ж и в о м о р г а н и з м е , т о х = t ⋅ ( lg B − lg q ) lg p = 5760 ⋅ ( lg 0,05 m − lg m ) lg 1 2 = 5760 ⋅ lg 0,05 m m − lg 2 =− 5760 ⋅ lg 0, 05 lg 2 =− 5760 ⋅ ( − 1,3010 ) 0,3010 ≈ 24896 озраст останков 24896 лет Если относительное содержание изотопа С 14 в них составляет 4% от его количества в ж и в о м о р г а н и з м е , т о
х = t ⋅ ( lg B − lg q ) lg p = 5760 ⋅ ( lg 0,04 m − lg m ) lg 1 2 = 5760 ⋅ lg 0, 04 m m − lg 2 =− 5760 ⋅ lg 0,04 lg 2 =− 5760 ⋅ ( − 1,3979 ) 0,3010 ≈ 26751 озраст останков 26751 лет Сделайте прогноз. Сколько будет примерно лет останкам, если еще на 1% понизится содержание изотопа? (29 142 года) 3 группа - задачи в области биологии В нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера и для биолога. Задача. В начальный момент времени было 8 бактерий. Через два часа после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий? Решение. Для решения этой задачи применим формулу: х = t ⋅ ( lg B − lg q ) lg p ,где q – количество бактерий в начальный момент времени, В - количество бактерий в конечный момент, р – отношение числа бактерий после помещения в питательную среду к числу бактерий в начальный момент времени. х = t ⋅ ( lg B − lg q ) lg p = 2 ⋅ ( lg 500 − lg 8 ) lg 100 8 = 2 ⋅ lg 500 8 lg 12 ,5 = 2 ⋅ lg 62 ,5 lg 12 ,5 = 2 ⋅ 1,7959 1,0969 ≈ 3, 27 часа Ответ: примерно 3 часа 15 мин. Следует ожидать колонию в 1000 бактерий х = t ⋅ ( lg B − lg q ) lg p = 2 ⋅ ( lg 1000 − lg 8 ) lg 100 8 = 2 ⋅ lg 1000 8 lg 12,5 = 2 ⋅ lg 125 lg 12,5 = 2 ⋅ 2,0969 1,0969 ≈ 3,8 С л е д у е т о ж и д а т ь к о л о н и ю в 2 0 0 0 б а к т е р и й х = t ⋅ ( lg B − lg q ) lg p = 2 ⋅ ( lg 2000 − lg 8 ) lg 100 8 = 2 ⋅ lg 2000 8 lg 12 ,5 = 2 ⋅ lg 250 lg 12 ,5 = 2 ⋅ 2,3979 1,0969 ≈ 4,4 Увеличение числа бактерий в 2 раза происходит примерно с промежутком в пол часа с небольшим. 4 группа - задачи в области экономики В настоящее время нельзя представить экономику банковского дела без расчетов с логарифмами, примером этому следуют представленные 4 группой задачи. Задача. Пусть вкладчик положил в банк 10 000 рублей под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится?
Решение. Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: S = A ⋅ ( 1 + р 100 ) х , где А – начальная сумма вклада, р - процентная ставка, S – итоговая сумма, х – срок хранения вклада. Сделав подстановку в формулу, получим: 20000 = 10000 ( 1 + 12 100 ) х и л и 2 = 1,12 х .Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его. xlg1,12 = lg2 , откуда х = lg 2 lg 1, 12 . Найдя по таблице lg2 и lg1,12 , получим х = 0 . 3010 0 . 0492 ≈ 6,12 Ответ: примерно через 6 с небольшим лет. Через сколько лет вклад утроится ? 30000 = 10000 ( 1 + 12 100 ) х 3 = 1,12 х xlg1,12 = lg3 х = 0 . 4771 0 . 0492 ≈ 9,7 Через сколько лет вклад станет 40 000? 40000 = 10000 ( 1 + 12 100 ) х , 4 = 1,12 х , xlg1,12 = lg4, х = 0 . 6021 0 . 0492 ≈ 12 . 2 Учитель: -Все молодцы. Не забудьте поставить баллы в таблицу результатов. Баллы у каждого участника группы свои. Их определяет командир группы за проявленную активность при решении задачи. - Мы не исчерпали всех примеров применения логарифмов, поскольку это сделать просто невозможно. Логарифмы находят самое широкое применение и при обработке результатов тестирований в психологии и социологии, в составлении прогнозов погоды, в экономике и даже музыке. Рассмотренные нами примеры убедительно показывают, что знание математики (в таком объёме) нужно не только человеку, непосредственно связанного с математикой, но и людям многих других специальностей. Недаром задачи практического характера внесены в Единый государственный экзамен по математике на профильном уровне. 2. Следующий этап нашей работы – решение прикладных задач ЕГЭ профильный уровень. (10 мин.)
Садятся за компьютеры и решают задачи на сайте решу ЕГЭ, Задачи с прикладным содержанием, Логарифмические уравнения. За каждую задачу 2 балла. IV. Домашнее задание. (2 мин.) 1.Сайт решу ЕГЭ. Задание 10. Решение прикладных задач с помощью показательных уравнений. 2. Сайт Белгородстат найти информацию о численности населения Белгородской обл.и приросте на 1 января 2016 года и сделать прогноз, через сколько лет население области увеличится в 1,5 раза V. Подведение итогов. (1 мин) Давайте подведем итог урока. Какова тема сегодняшнего урока? Какие преследовали цели? Достигли ли мы этих целей? Главное мы достигли поставленной цели и поняли, как широко применяются знание логарифмов в различных областях науки и техники. Подсчитаем баллы по таблице результатов. 0-4 балла «2» 5-9 баллов – «3» 10 - 15 баллов – «4» 16 баллов и выше - «5» VI. Рефлексия. Выберите ответ (подчеркните или поставьте какой-либо знак) На уроке я работал активно пассивно Своей работой на уроке я доволен не доволен Урок показался длинным коротким За урок я устал не устал Мое настроение стало лучше стало хуже Материал урока был мне понятен бесполезен
Приложения
Приложение 1.
Таблица результатов
Считаем устно Знаю теорию Решу ЕГЭ Работа в группе Работа на сайте (каждая, правильно решенная задача оценивается в 2 балла) Активност ь на уроке 0-4 0-4 0-5 0-3 1- 8 0-2
Приложение 2.
Рефлексия
Выберите ответ (подчеркните или поставьте какой-либо знак) На уроке я работал активно пассивно Своей работой на уроке я доволен не доволен Урок показался длинным коротким За урок я устал не устал Мое настроение стало лучше стало хуже Материал урока был мне понятен бесполезен Вариант 1 Приложение 3
Вариант 2
Приложение 4 1 группа – задачи в области географии Для решения этой задачи применяется формула сложных процентов: А = а ⋅ ( 1 + р 100 ) х . Задача 1. Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 1,5 раза? Задача 2. Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 2 раза? Задача 3. Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 3 раза? Задача 4. Население города возрастает ежегодно на 5%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 2 раза?
2 группа – задачи в области химии и биофизики Для решения этой задачи применим формулу: х = t ⋅ ( lg B − lg q ) lg p ,где q – начальное количество изотопа С 14 пусть оно равно т, В – количество изотопа в живом организме, t – период полураспада, р=1/2 (соотношение между углеродом С 12 и его радиоактивным изотопом С 14 во всех живых организмах постоянно). Задача 1. Известно, что соотношение между углеродом С 12 и его радиоактивным изотопом С 14 во всех живых организмах постоянно и равно 1\2. Период полураспада углерода С 14 составляет 5760 лет. Определите возраст останков мамонта, найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание изотопа С 14 в них составляет 26% от его количества в живом организме. Задача 2. Известно, что соотношение между углеродом С 12 и его радиоактивным изотопом С 14 во всех живых организмах постоянно и равно 1\2. Период полураспада углерода С 14 составляет 5760 лет. Определите возраст останков мамонта, найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание изотопа С 14 в них составляет 6% от его количества в живом организме. Задача 3. Известно, что соотношение между углеродом С 12 и его радиоактивным изотопом С 14 во всех живых организмах постоянно и равно 1\2. Период полураспада углерода С 14 составляет 5760 лет. Определите возраст останков мамонта, найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание изотопа С 14 в них составляет 5% от его количества в живом организме. Задача 4. Известно, что соотношение между углеродом С 12 и его радиоактивным изотопом С 14 во всех живых организмах постоянно и равно 1\2. Период полураспада углерода С 14 составляет 5760 лет. Определите возраст останков мамонта, найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание изотопа С 14 в них составляет 4% от его количества в живом организме.
3 группа - задачи в области биологии Для решения этой задачи применим формулу: х = t ⋅ ( lg B − lg q ) lg p , гд е q – количество бактерий в начальный момент времени, В - количество бактерий в конечный момент, р – отношение числа бактерий после помещения в питательную среду к числу бактерий в начальный момент времени. Задача 1. В начальный момент времени было 8 бактерий. Через два часа после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий? Задача 2. В начальный момент времени было 8 бактерий. Через два часа после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 1000 бактерий? Задача 3. В начальный момент времени было 8 бактерий. Через два часа после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 2000 бактерий?
4 группа - задачи в области экономики Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: S = A ⋅ ( 1 + р 100 ) х , где А – начальная сумма вклада, р - процентная ставка, S – итоговая сумма, х – срок хранения вклада. Задача 1. Пусть вкладчик положил в банк 10 000 рублей под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится? Задача 2. Пусть вкладчик положил в банк 10 000 рублей под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад утроится? Задача 3. Пусть вкладчик положил в банк 10 000 рублей под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад станет 40000?